Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 4*x^19 - 33*x^18 + 120*x^17 + 468*x^16 - 1392*x^15 - 3799*x^14 + 8012*x^13 + 19008*x^12 - 23720*x^11 - 57969*x^10 + 31228*x^9 + 101057*x^8 - 964*x^7 - 86922*x^6 - 33928*x^5 + 22258*x^4 + 19672*x^3 + 5396*x^2 + 600*x + 20)
gp: K = bnfinit(y^20 - 4*y^19 - 33*y^18 + 120*y^17 + 468*y^16 - 1392*y^15 - 3799*y^14 + 8012*y^13 + 19008*y^12 - 23720*y^11 - 57969*y^10 + 31228*y^9 + 101057*y^8 - 964*y^7 - 86922*y^6 - 33928*y^5 + 22258*y^4 + 19672*y^3 + 5396*y^2 + 600*y + 20, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - 4*x^19 - 33*x^18 + 120*x^17 + 468*x^16 - 1392*x^15 - 3799*x^14 + 8012*x^13 + 19008*x^12 - 23720*x^11 - 57969*x^10 + 31228*x^9 + 101057*x^8 - 964*x^7 - 86922*x^6 - 33928*x^5 + 22258*x^4 + 19672*x^3 + 5396*x^2 + 600*x + 20);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 4*x^19 - 33*x^18 + 120*x^17 + 468*x^16 - 1392*x^15 - 3799*x^14 + 8012*x^13 + 19008*x^12 - 23720*x^11 - 57969*x^10 + 31228*x^9 + 101057*x^8 - 964*x^7 - 86922*x^6 - 33928*x^5 + 22258*x^4 + 19672*x^3 + 5396*x^2 + 600*x + 20)
\( x^{20} - 4 x^{19} - 33 x^{18} + 120 x^{17} + 468 x^{16} - 1392 x^{15} - 3799 x^{14} + 8012 x^{13} + \cdots + 20 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[20, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(8501150111111046013911040000000000\)
\(\medspace = 2^{36}\cdot 5^{10}\cdot 103^{8}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(49.71\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2^{13/6}5^{1/2}103^{1/2}\approx 101.89087030315206$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(5\), \(103\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{82\!\cdots\!34}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!78}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!77}{91\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!34}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!34}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!86}{41\!\cdots\!67}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!34}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!03}{91\!\cdots\!26}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!34}a^{7}+\frac{97\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!94}{41\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!78}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!03}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!16}{41\!\cdots\!67}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!82}{41\!\cdots\!67}a+\frac{19\!\cdots\!90}{41\!\cdots\!67}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{15\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{94\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!22}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!11}{40\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!22}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!25}{73\!\cdots\!66}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!37}{73\!\cdots\!66}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!21}{36\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!99}{81\!\cdots\!74}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!82}{36\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!22}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!20}{36\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!86}{36\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!26}{36\!\cdots\!33}a+\frac{94\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!33}$, $\frac{33\!\cdots\!82}{41\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!15}{91\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!78}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!59}{41\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!32}{41\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!34}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!34}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!34}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!34}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!78}a^{4}+\frac{87\!\cdots\!30}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!78}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{85\!\cdots\!72}{41\!\cdots\!67}a+\frac{28\!\cdots\!79}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{34\!\cdots\!23}{41\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{56\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!75}{41\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!92}{41\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!39}{41\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!85}{41\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!62}{41\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!16}{41\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!48}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!44}{41\!\cdots\!67}a+\frac{28\!\cdots\!01}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{23\!\cdots\!55}{41\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!78}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!30}{41\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!07}{41\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!12}{41\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!68}{41\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!34}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!67}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!78}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!22}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!86}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!62}{41\!\cdots\!67}a+\frac{25\!\cdots\!01}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{26\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!27}{91\!\cdots\!26}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!49}{91\!\cdots\!26}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!78}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!31}{27\!\cdots\!78}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!55}{91\!\cdots\!26}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a+\frac{13\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{18\!\cdots\!43}{41\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!78}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!23}{41\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!42}{41\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!62}{41\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!14}{41\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{96\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!90}{41\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!34}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!14}{41\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{90\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!78}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!24}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!57}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!10}{41\!\cdots\!67}a+\frac{11\!\cdots\!29}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{25\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!67}{91\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!33}{91\!\cdots\!26}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!11}{91\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!03}{91\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!78}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!78}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!78}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!78}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!78}a^{5}-\frac{98\!\cdots\!43}{91\!\cdots\!26}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a+\frac{15\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{29\!\cdots\!37}{27\!\cdots\!78}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!43}{91\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!23}{91\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!89}{91\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!78}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!78}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!78}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!78}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!11}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!78}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!73}{91\!\cdots\!26}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!89}a+\frac{24\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{15\!\cdots\!59}{41\!\cdots\!67}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!01}{91\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!78}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!92}{41\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!34}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!65}{41\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!34}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!34}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!34}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!78}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!80}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!52}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!68}{41\!\cdots\!67}a+\frac{60\!\cdots\!12}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{50\!\cdots\!36}{41\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!78}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!15}{91\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!52}{41\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!34}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!34}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!76}{41\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!53}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!34}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!98}{41\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!34}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!78}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!96}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!52}{41\!\cdots\!67}a+\frac{54\!\cdots\!57}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{23\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!34}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!78}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!78}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!34}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!34}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!34}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!08}{41\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!34}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!37}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!14}{41\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!34}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!34}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!42}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!64}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!66}{41\!\cdots\!67}a+\frac{85\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{38\!\cdots\!11}{91\!\cdots\!26}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!97}{91\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!41}{91\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!11}{91\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!17}{91\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!45}{91\!\cdots\!26}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!27}{91\!\cdots\!26}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!67}{91\!\cdots\!26}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!81}{91\!\cdots\!26}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!51}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!33}{91\!\cdots\!26}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!03}{91\!\cdots\!26}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!63}a+\frac{13\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!63}$, $\frac{64\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!78}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!51}{91\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!33}{91\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!57}{91\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!78}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!78}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!78}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!78}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!78}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!37}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!78}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!41}{91\!\cdots\!26}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a+\frac{26\!\cdots\!36}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{51\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!67}{91\!\cdots\!26}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!39}{91\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!78}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!78}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!03}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!09}{91\!\cdots\!26}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!89}a+\frac{41\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{33\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!63}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!17}{91\!\cdots\!26}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!73}{91\!\cdots\!26}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!69}{91\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!85}{91\!\cdots\!26}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!78}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!78}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!78}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!78}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!78}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!73}{91\!\cdots\!26}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a+\frac{84\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{28\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!34}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!78}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!34}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!34}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!34}a^{11}-\frac{83\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!34}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!57}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!06}{41\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!97}{41\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!34}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!78}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!92}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!64}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!67}a+\frac{98\!\cdots\!78}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{35\!\cdots\!38}{41\!\cdots\!67}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!78}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!75}{27\!\cdots\!78}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!38}{41\!\cdots\!67}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!34}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!67}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!16}{41\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!39}{41\!\cdots\!67}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!13}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!70}{41\!\cdots\!67}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!34}a^{6}-\frac{70\!\cdots\!52}{41\!\cdots\!67}a^{5}-\frac{59\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!65}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!88}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!84}{41\!\cdots\!67}a+\frac{60\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{27\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!34}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!78}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{72\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!34}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!34}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!34}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!34}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!34}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!43}{91\!\cdots\!26}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!26}{41\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!23}{41\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{65\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!34}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!25}{27\!\cdots\!78}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!02}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!77}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!87}{41\!\cdots\!67}a+\frac{32\!\cdots\!63}{41\!\cdots\!67}$, $\frac{51\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!34}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{92\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!34}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!49}{41\!\cdots\!67}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!34}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!67}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!34}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!34}{41\!\cdots\!67}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!14}{41\!\cdots\!67}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!34}a^{5}-\frac{98\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!27}{41\!\cdots\!67}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!79}{41\!\cdots\!67}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!68}{41\!\cdots\!67}a+\frac{13\!\cdots\!51}{41\!\cdots\!67}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 70785617543.0 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{20}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 70785617543.0 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{8501150111111046013911040000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.402509467940 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 4*x^19 - 33*x^18 + 120*x^17 + 468*x^16 - 1392*x^15 - 3799*x^14 + 8012*x^13 + 19008*x^12 - 23720*x^11 - 57969*x^10 + 31228*x^9 + 101057*x^8 - 964*x^7 - 86922*x^6 - 33928*x^5 + 22258*x^4 + 19672*x^3 + 5396*x^2 + 600*x + 20)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^20 - 4*x^19 - 33*x^18 + 120*x^17 + 468*x^16 - 1392*x^15 - 3799*x^14 + 8012*x^13 + 19008*x^12 - 23720*x^11 - 57969*x^10 + 31228*x^9 + 101057*x^8 - 964*x^7 - 86922*x^6 - 33928*x^5 + 22258*x^4 + 19672*x^3 + 5396*x^2 + 600*x + 20, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - 4*x^19 - 33*x^18 + 120*x^17 + 468*x^16 - 1392*x^15 - 3799*x^14 + 8012*x^13 + 19008*x^12 - 23720*x^11 - 57969*x^10 + 31228*x^9 + 101057*x^8 - 964*x^7 - 86922*x^6 - 33928*x^5 + 22258*x^4 + 19672*x^3 + 5396*x^2 + 600*x + 20);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 4*x^19 - 33*x^18 + 120*x^17 + 468*x^16 - 1392*x^15 - 3799*x^14 + 8012*x^13 + 19008*x^12 - 23720*x^11 - 57969*x^10 + 31228*x^9 + 101057*x^8 - 964*x^7 - 86922*x^6 - 33928*x^5 + 22258*x^4 + 19672*x^3 + 5396*x^2 + 600*x + 20);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 120 |
| The 7 conjugacy class representatives for $S_5$ |
| Character table for $S_5$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 10.10.3688067268608000.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 5 sibling: | 5.5.13579520.1 |
| Degree 6 sibling: | 6.6.1357952000.1 |
| Degree 10 siblings: | 10.10.3688067268608000.1, deg 10 |
| Degree 12 sibling: | 12.12.1844033634304000000.1 |
| Degree 15 sibling: | deg 15 |
| Degree 20 siblings: | deg 20, deg 20 |
| Degree 24 sibling: | data not computed |
| Degree 30 siblings: | data not computed |
| Degree 40 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | 5.5.13579520.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/3.2.0.1}{2} }$ | R | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{10}$ | ${\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.8.16.8 | $x^{8} + 4 x^{7} + 10 x^{6} + 24 x^{5} + 51 x^{4} + 48 x^{3} - 18 x^{2} + 63$ | $4$ | $2$ | $16$ | $S_4$ | $[8/3, 8/3]_{3}^{2}$ |
| 2.12.20.37 | $x^{12} + 10 x^{11} + 51 x^{10} + 176 x^{9} + 450 x^{8} + 870 x^{7} + 1299 x^{6} + 1516 x^{5} + 1250 x^{4} + 542 x^{3} + 67 x^{2} - 56 x + 7$ | $6$ | $2$ | $20$ | $S_4$ | $[8/3, 8/3]_{3}^{2}$ | |
|
\(5\)
| 5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |
| 5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ | |
| 5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ | |
| 5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ | |
|
\(103\)
| 103.2.0.1 | $x^{2} + 102 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |
| 103.2.0.1 | $x^{2} + 102 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 103.4.2.1 | $x^{4} + 204 x^{3} + 10620 x^{2} + 22032 x + 1081216$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 103.4.2.1 | $x^{4} + 204 x^{3} + 10620 x^{2} + 22032 x + 1081216$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 103.4.2.1 | $x^{4} + 204 x^{3} + 10620 x^{2} + 22032 x + 1081216$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 103.4.2.1 | $x^{4} + 204 x^{3} + 10620 x^{2} + 22032 x + 1081216$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |