Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 2·2-s − 4·3-s − 8·4-s − 9·5-s + 8·6-s − 16·7-s + 18·8-s − 9·9-s + 18·10-s − 22·11-s + 32·12-s − 4·13-s + 32·14-s + 36·15-s + 29·16-s − 18·17-s + 18·18-s − 15·19-s + 72·20-s + 64·21-s + 44·22-s − 5·23-s − 72·24-s + 8·25-s + 8·26-s + 58·27-s + 128·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.41·2-s − 2.30·3-s − 4·4-s − 4.02·5-s + 3.26·6-s − 6.04·7-s + 6.36·8-s − 3·9-s + 5.69·10-s − 6.63·11-s + 9.23·12-s − 1.10·13-s + 8.55·14-s + 9.29·15-s + 29/4·16-s − 4.36·17-s + 4.24·18-s − 3.44·19-s + 16.0·20-s + 13.9·21-s + 9.38·22-s − 1.04·23-s − 14.6·24-s + 8/5·25-s + 1.56·26-s + 11.1·27-s + 24.1·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{16} \cdot 127^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{16} \cdot 127^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(32\) |
| Conductor: | \(7^{16} \cdot 127^{16}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(4.15778\times 10^{13}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.66433\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(16\) |
| Selberg data: | \((32,\ 7^{16} \cdot 127^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{16} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 7 | \( ( 1 + T )^{16} \) |
| 127 | \( ( 1 + T )^{16} \) | |
| good | 2 | \( 1 + p T + 3 p^{2} T^{2} + 11 p T^{3} + 75 T^{4} + 127 T^{5} + 327 T^{6} + 517 T^{7} + 1117 T^{8} + 1665 T^{9} + 1599 p T^{10} + 4555 T^{11} + 4025 p T^{12} + 5527 p T^{13} + 18325 T^{14} + 24255 T^{15} + 38213 T^{16} + 24255 p T^{17} + 18325 p^{2} T^{18} + 5527 p^{4} T^{19} + 4025 p^{5} T^{20} + 4555 p^{5} T^{21} + 1599 p^{7} T^{22} + 1665 p^{7} T^{23} + 1117 p^{8} T^{24} + 517 p^{9} T^{25} + 327 p^{10} T^{26} + 127 p^{11} T^{27} + 75 p^{12} T^{28} + 11 p^{14} T^{29} + 3 p^{16} T^{30} + p^{16} T^{31} + p^{16} T^{32} \) |
| 3 | \( 1 + 4 T + 25 T^{2} + 26 p T^{3} + 289 T^{4} + 752 T^{5} + 233 p^{2} T^{6} + 520 p^{2} T^{7} + 10714 T^{8} + 20851 T^{9} + 41080 T^{10} + 23588 p T^{11} + 125156 T^{12} + 196546 T^{13} + 333922 T^{14} + 515395 T^{15} + 927368 T^{16} + 515395 p T^{17} + 333922 p^{2} T^{18} + 196546 p^{3} T^{19} + 125156 p^{4} T^{20} + 23588 p^{6} T^{21} + 41080 p^{6} T^{22} + 20851 p^{7} T^{23} + 10714 p^{8} T^{24} + 520 p^{11} T^{25} + 233 p^{12} T^{26} + 752 p^{11} T^{27} + 289 p^{12} T^{28} + 26 p^{14} T^{29} + 25 p^{14} T^{30} + 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 5 | \( 1 + 9 T + 73 T^{2} + 402 T^{3} + 1978 T^{4} + 1603 p T^{5} + 29678 T^{6} + 96727 T^{7} + 295846 T^{8} + 831141 T^{9} + 2261906 T^{10} + 5860568 T^{11} + 15073267 T^{12} + 37453319 T^{13} + 92144207 T^{14} + 216794219 T^{15} + 497747736 T^{16} + 216794219 p T^{17} + 92144207 p^{2} T^{18} + 37453319 p^{3} T^{19} + 15073267 p^{4} T^{20} + 5860568 p^{5} T^{21} + 2261906 p^{6} T^{22} + 831141 p^{7} T^{23} + 295846 p^{8} T^{24} + 96727 p^{9} T^{25} + 29678 p^{10} T^{26} + 1603 p^{12} T^{27} + 1978 p^{12} T^{28} + 402 p^{13} T^{29} + 73 p^{14} T^{30} + 9 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 11 | \( 1 + 2 p T + 303 T^{2} + 3067 T^{3} + 25368 T^{4} + 177770 T^{5} + 1090130 T^{6} + 5934857 T^{7} + 29109808 T^{8} + 129561057 T^{9} + 528043225 T^{10} + 1982539376 T^{11} + 6932748788 T^{12} + 22873704378 T^{13} + 72928938613 T^{14} + 231216828675 T^{15} + 752600334649 T^{16} + 231216828675 p T^{17} + 72928938613 p^{2} T^{18} + 22873704378 p^{3} T^{19} + 6932748788 p^{4} T^{20} + 1982539376 p^{5} T^{21} + 528043225 p^{6} T^{22} + 129561057 p^{7} T^{23} + 29109808 p^{8} T^{24} + 5934857 p^{9} T^{25} + 1090130 p^{10} T^{26} + 177770 p^{11} T^{27} + 25368 p^{12} T^{28} + 3067 p^{13} T^{29} + 303 p^{14} T^{30} + 2 p^{16} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 13 | \( 1 + 4 T + 107 T^{2} + 380 T^{3} + 5789 T^{4} + 19050 T^{5} + 212144 T^{6} + 652425 T^{7} + 5882030 T^{8} + 16921131 T^{9} + 131205020 T^{10} + 27144341 p T^{11} + 2446352235 T^{12} + 6149085091 T^{13} + 39093257012 T^{14} + 91927991319 T^{15} + 543536230395 T^{16} + 91927991319 p T^{17} + 39093257012 p^{2} T^{18} + 6149085091 p^{3} T^{19} + 2446352235 p^{4} T^{20} + 27144341 p^{6} T^{21} + 131205020 p^{6} T^{22} + 16921131 p^{7} T^{23} + 5882030 p^{8} T^{24} + 652425 p^{9} T^{25} + 212144 p^{10} T^{26} + 19050 p^{11} T^{27} + 5789 p^{12} T^{28} + 380 p^{13} T^{29} + 107 p^{14} T^{30} + 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 17 | \( 1 + 18 T + 273 T^{2} + 2781 T^{3} + 25658 T^{4} + 193733 T^{5} + 1383023 T^{6} + 8697320 T^{7} + 53036891 T^{8} + 294777276 T^{9} + 1607117632 T^{10} + 8112035114 T^{11} + 40363531935 T^{12} + 187473496595 T^{13} + 860633799060 T^{14} + 3703086251987 T^{15} + 15762439781607 T^{16} + 3703086251987 p T^{17} + 860633799060 p^{2} T^{18} + 187473496595 p^{3} T^{19} + 40363531935 p^{4} T^{20} + 8112035114 p^{5} T^{21} + 1607117632 p^{6} T^{22} + 294777276 p^{7} T^{23} + 53036891 p^{8} T^{24} + 8697320 p^{9} T^{25} + 1383023 p^{10} T^{26} + 193733 p^{11} T^{27} + 25658 p^{12} T^{28} + 2781 p^{13} T^{29} + 273 p^{14} T^{30} + 18 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 19 | \( 1 + 15 T + 248 T^{2} + 2524 T^{3} + 1323 p T^{4} + 195368 T^{5} + 76668 p T^{6} + 9129794 T^{7} + 54772327 T^{8} + 283776189 T^{9} + 1411840969 T^{10} + 6094322619 T^{11} + 25604146193 T^{12} + 93020585977 T^{13} + 350079022597 T^{14} + 1197314079224 T^{15} + 5166511617041 T^{16} + 1197314079224 p T^{17} + 350079022597 p^{2} T^{18} + 93020585977 p^{3} T^{19} + 25604146193 p^{4} T^{20} + 6094322619 p^{5} T^{21} + 1411840969 p^{6} T^{22} + 283776189 p^{7} T^{23} + 54772327 p^{8} T^{24} + 9129794 p^{9} T^{25} + 76668 p^{11} T^{26} + 195368 p^{11} T^{27} + 1323 p^{13} T^{28} + 2524 p^{13} T^{29} + 248 p^{14} T^{30} + 15 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 23 | \( 1 + 5 T + 180 T^{2} + 911 T^{3} + 16850 T^{4} + 85251 T^{5} + 1077221 T^{6} + 5402068 T^{7} + 52468559 T^{8} + 258760441 T^{9} + 2064324615 T^{10} + 18774420 p^{2} T^{11} + 68039962889 T^{12} + 316125223782 T^{13} + 1923834329544 T^{14} + 8513441106040 T^{15} + 47326552683658 T^{16} + 8513441106040 p T^{17} + 1923834329544 p^{2} T^{18} + 316125223782 p^{3} T^{19} + 68039962889 p^{4} T^{20} + 18774420 p^{7} T^{21} + 2064324615 p^{6} T^{22} + 258760441 p^{7} T^{23} + 52468559 p^{8} T^{24} + 5402068 p^{9} T^{25} + 1077221 p^{10} T^{26} + 85251 p^{11} T^{27} + 16850 p^{12} T^{28} + 911 p^{13} T^{29} + 180 p^{14} T^{30} + 5 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 29 | \( 1 + 12 T + 296 T^{2} + 98 p T^{3} + 41236 T^{4} + 340889 T^{5} + 3735779 T^{6} + 27481870 T^{7} + 249794460 T^{8} + 1665448573 T^{9} + 13186445822 T^{10} + 80594686502 T^{11} + 572307864911 T^{12} + 3229196488825 T^{13} + 20940762186163 T^{14} + 109497405605747 T^{15} + 655215411792280 T^{16} + 109497405605747 p T^{17} + 20940762186163 p^{2} T^{18} + 3229196488825 p^{3} T^{19} + 572307864911 p^{4} T^{20} + 80594686502 p^{5} T^{21} + 13186445822 p^{6} T^{22} + 1665448573 p^{7} T^{23} + 249794460 p^{8} T^{24} + 27481870 p^{9} T^{25} + 3735779 p^{10} T^{26} + 340889 p^{11} T^{27} + 41236 p^{12} T^{28} + 98 p^{14} T^{29} + 296 p^{14} T^{30} + 12 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 31 | \( 1 + 32 T + 24 p T^{2} + 13016 T^{3} + 192404 T^{4} + 2460971 T^{5} + 28126531 T^{6} + 290885953 T^{7} + 2761525270 T^{8} + 24235747979 T^{9} + 198158955757 T^{10} + 1515764606612 T^{11} + 10895848982445 T^{12} + 73780338113067 T^{13} + 471827014000243 T^{14} + 2852663099422432 T^{15} + 16325698746086223 T^{16} + 2852663099422432 p T^{17} + 471827014000243 p^{2} T^{18} + 73780338113067 p^{3} T^{19} + 10895848982445 p^{4} T^{20} + 1515764606612 p^{5} T^{21} + 198158955757 p^{6} T^{22} + 24235747979 p^{7} T^{23} + 2761525270 p^{8} T^{24} + 290885953 p^{9} T^{25} + 28126531 p^{10} T^{26} + 2460971 p^{11} T^{27} + 192404 p^{12} T^{28} + 13016 p^{13} T^{29} + 24 p^{15} T^{30} + 32 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 37 | \( 1 + 2 T + 264 T^{2} + 460 T^{3} + 36898 T^{4} + 50046 T^{5} + 3563953 T^{6} + 3368000 T^{7} + 264976726 T^{8} + 146604940 T^{9} + 16104532122 T^{10} + 3592350051 T^{11} + 830343504612 T^{12} - 7778681402 T^{13} + 37173486688105 T^{14} - 4566087322258 T^{15} + 1463655345234495 T^{16} - 4566087322258 p T^{17} + 37173486688105 p^{2} T^{18} - 7778681402 p^{3} T^{19} + 830343504612 p^{4} T^{20} + 3592350051 p^{5} T^{21} + 16104532122 p^{6} T^{22} + 146604940 p^{7} T^{23} + 264976726 p^{8} T^{24} + 3368000 p^{9} T^{25} + 3563953 p^{10} T^{26} + 50046 p^{11} T^{27} + 36898 p^{12} T^{28} + 460 p^{13} T^{29} + 264 p^{14} T^{30} + 2 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 41 | \( 1 + 45 T + 1354 T^{2} + 29742 T^{3} + 539561 T^{4} + 8306060 T^{5} + 112851209 T^{6} + 1371437510 T^{7} + 15189795372 T^{8} + 154507375963 T^{9} + 1458900626256 T^{10} + 12844913969889 T^{11} + 106153970573282 T^{12} + 825425574095967 T^{13} + 6063417597356300 T^{14} + 42109583127809282 T^{15} + 277097438585419287 T^{16} + 42109583127809282 p T^{17} + 6063417597356300 p^{2} T^{18} + 825425574095967 p^{3} T^{19} + 106153970573282 p^{4} T^{20} + 12844913969889 p^{5} T^{21} + 1458900626256 p^{6} T^{22} + 154507375963 p^{7} T^{23} + 15189795372 p^{8} T^{24} + 1371437510 p^{9} T^{25} + 112851209 p^{10} T^{26} + 8306060 p^{11} T^{27} + 539561 p^{12} T^{28} + 29742 p^{13} T^{29} + 1354 p^{14} T^{30} + 45 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 43 | \( 1 + 3 T + 319 T^{2} + 1413 T^{3} + 52260 T^{4} + 283684 T^{5} + 5926636 T^{6} + 35363672 T^{7} + 524737548 T^{8} + 3196631298 T^{9} + 38404648775 T^{10} + 228421070856 T^{11} + 2385008618577 T^{12} + 13544694897079 T^{13} + 127279992634462 T^{14} + 681564642539867 T^{15} + 136671951101236 p T^{16} + 681564642539867 p T^{17} + 127279992634462 p^{2} T^{18} + 13544694897079 p^{3} T^{19} + 2385008618577 p^{4} T^{20} + 228421070856 p^{5} T^{21} + 38404648775 p^{6} T^{22} + 3196631298 p^{7} T^{23} + 524737548 p^{8} T^{24} + 35363672 p^{9} T^{25} + 5926636 p^{10} T^{26} + 283684 p^{11} T^{27} + 52260 p^{12} T^{28} + 1413 p^{13} T^{29} + 319 p^{14} T^{30} + 3 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 47 | \( 1 + 49 T + 1540 T^{2} + 35932 T^{3} + 690686 T^{4} + 11356182 T^{5} + 164930169 T^{6} + 2151451498 T^{7} + 25587688149 T^{8} + 280001642018 T^{9} + 2842901625207 T^{10} + 26927822341974 T^{11} + 239153197112559 T^{12} + 1997966659820780 T^{13} + 15747902890384486 T^{14} + 117290786155418928 T^{15} + 826596227322674813 T^{16} + 117290786155418928 p T^{17} + 15747902890384486 p^{2} T^{18} + 1997966659820780 p^{3} T^{19} + 239153197112559 p^{4} T^{20} + 26927822341974 p^{5} T^{21} + 2842901625207 p^{6} T^{22} + 280001642018 p^{7} T^{23} + 25587688149 p^{8} T^{24} + 2151451498 p^{9} T^{25} + 164930169 p^{10} T^{26} + 11356182 p^{11} T^{27} + 690686 p^{12} T^{28} + 35932 p^{13} T^{29} + 1540 p^{14} T^{30} + 49 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 53 | \( 1 - 16 T + 448 T^{2} - 5762 T^{3} + 91393 T^{4} - 983901 T^{5} + 11466518 T^{6} - 104957901 T^{7} + 986290946 T^{8} - 7672516319 T^{9} + 60304654022 T^{10} - 392902225816 T^{11} + 2604421123952 T^{12} - 13876036558043 T^{13} + 79983593725448 T^{14} - 378455027503734 T^{15} + 2705248289657184 T^{16} - 378455027503734 p T^{17} + 79983593725448 p^{2} T^{18} - 13876036558043 p^{3} T^{19} + 2604421123952 p^{4} T^{20} - 392902225816 p^{5} T^{21} + 60304654022 p^{6} T^{22} - 7672516319 p^{7} T^{23} + 986290946 p^{8} T^{24} - 104957901 p^{9} T^{25} + 11466518 p^{10} T^{26} - 983901 p^{11} T^{27} + 91393 p^{12} T^{28} - 5762 p^{13} T^{29} + 448 p^{14} T^{30} - 16 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 59 | \( 1 + 35 T + 1021 T^{2} + 21516 T^{3} + 399391 T^{4} + 6359827 T^{5} + 92325471 T^{6} + 1214213044 T^{7} + 14857011894 T^{8} + 168822031893 T^{9} + 1807192395472 T^{10} + 18205365400176 T^{11} + 174114971113366 T^{12} + 1578868728093535 T^{13} + 13654772717571364 T^{14} + 112408551214928210 T^{15} + 884444434014014104 T^{16} + 112408551214928210 p T^{17} + 13654772717571364 p^{2} T^{18} + 1578868728093535 p^{3} T^{19} + 174114971113366 p^{4} T^{20} + 18205365400176 p^{5} T^{21} + 1807192395472 p^{6} T^{22} + 168822031893 p^{7} T^{23} + 14857011894 p^{8} T^{24} + 1214213044 p^{9} T^{25} + 92325471 p^{10} T^{26} + 6359827 p^{11} T^{27} + 399391 p^{12} T^{28} + 21516 p^{13} T^{29} + 1021 p^{14} T^{30} + 35 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 61 | \( 1 + 11 T + 419 T^{2} + 4705 T^{3} + 92988 T^{4} + 974800 T^{5} + 13961938 T^{6} + 134959200 T^{7} + 1572046887 T^{8} + 14256371308 T^{9} + 143581697680 T^{10} + 1243450323409 T^{11} + 11282707752897 T^{12} + 94414288868823 T^{13} + 792313173380726 T^{14} + 6401161235238468 T^{15} + 50597238264220389 T^{16} + 6401161235238468 p T^{17} + 792313173380726 p^{2} T^{18} + 94414288868823 p^{3} T^{19} + 11282707752897 p^{4} T^{20} + 1243450323409 p^{5} T^{21} + 143581697680 p^{6} T^{22} + 14256371308 p^{7} T^{23} + 1572046887 p^{8} T^{24} + 134959200 p^{9} T^{25} + 13961938 p^{10} T^{26} + 974800 p^{11} T^{27} + 92988 p^{12} T^{28} + 4705 p^{13} T^{29} + 419 p^{14} T^{30} + 11 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 67 | \( 1 - 17 T + 771 T^{2} - 11012 T^{3} + 278161 T^{4} - 3391789 T^{5} + 62501406 T^{6} - 658812412 T^{7} + 9849603202 T^{8} - 90727821928 T^{9} + 1168800833925 T^{10} - 9528902740863 T^{11} + 110551691797174 T^{12} - 813252069755460 T^{13} + 8808924372578782 T^{14} - 60086690319593739 T^{15} + 620944719838574180 T^{16} - 60086690319593739 p T^{17} + 8808924372578782 p^{2} T^{18} - 813252069755460 p^{3} T^{19} + 110551691797174 p^{4} T^{20} - 9528902740863 p^{5} T^{21} + 1168800833925 p^{6} T^{22} - 90727821928 p^{7} T^{23} + 9849603202 p^{8} T^{24} - 658812412 p^{9} T^{25} + 62501406 p^{10} T^{26} - 3391789 p^{11} T^{27} + 278161 p^{12} T^{28} - 11012 p^{13} T^{29} + 771 p^{14} T^{30} - 17 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 71 | \( 1 + 81 T + 3660 T^{2} + 117320 T^{3} + 2956912 T^{4} + 61849848 T^{5} + 1111681964 T^{6} + 17583755239 T^{7} + 249175830053 T^{8} + 636385726 p^{2} T^{9} + 37964594128726 T^{10} + 417199533670751 T^{11} + 4297142430881890 T^{12} + 41845239261162310 T^{13} + 388313109620644892 T^{14} + 3456595818162838275 T^{15} + 29647910999176336857 T^{16} + 3456595818162838275 p T^{17} + 388313109620644892 p^{2} T^{18} + 41845239261162310 p^{3} T^{19} + 4297142430881890 p^{4} T^{20} + 417199533670751 p^{5} T^{21} + 37964594128726 p^{6} T^{22} + 636385726 p^{9} T^{23} + 249175830053 p^{8} T^{24} + 17583755239 p^{9} T^{25} + 1111681964 p^{10} T^{26} + 61849848 p^{11} T^{27} + 2956912 p^{12} T^{28} + 117320 p^{13} T^{29} + 3660 p^{14} T^{30} + 81 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 73 | \( 1 + 15 T + 582 T^{2} + 7407 T^{3} + 162930 T^{4} + 1750115 T^{5} + 28761720 T^{6} + 257676340 T^{7} + 3508004421 T^{8} + 25338350866 T^{9} + 305254006734 T^{10} + 1605840841813 T^{11} + 19003953434058 T^{12} + 49834092699619 T^{13} + 876101742410588 T^{14} - 909694021596467 T^{15} + 44804948940816447 T^{16} - 909694021596467 p T^{17} + 876101742410588 p^{2} T^{18} + 49834092699619 p^{3} T^{19} + 19003953434058 p^{4} T^{20} + 1605840841813 p^{5} T^{21} + 305254006734 p^{6} T^{22} + 25338350866 p^{7} T^{23} + 3508004421 p^{8} T^{24} + 257676340 p^{9} T^{25} + 28761720 p^{10} T^{26} + 1750115 p^{11} T^{27} + 162930 p^{12} T^{28} + 7407 p^{13} T^{29} + 582 p^{14} T^{30} + 15 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 79 | \( 1 + 34 T + 972 T^{2} + 20901 T^{3} + 402056 T^{4} + 6757725 T^{5} + 104967360 T^{6} + 1495027893 T^{7} + 20022350636 T^{8} + 251334088386 T^{9} + 2996721539937 T^{10} + 33875654453595 T^{11} + 365933241542311 T^{12} + 3771156649534113 T^{13} + 37263605828858117 T^{14} + 352390219640645688 T^{15} + 3200138285073873965 T^{16} + 352390219640645688 p T^{17} + 37263605828858117 p^{2} T^{18} + 3771156649534113 p^{3} T^{19} + 365933241542311 p^{4} T^{20} + 33875654453595 p^{5} T^{21} + 2996721539937 p^{6} T^{22} + 251334088386 p^{7} T^{23} + 20022350636 p^{8} T^{24} + 1495027893 p^{9} T^{25} + 104967360 p^{10} T^{26} + 6757725 p^{11} T^{27} + 402056 p^{12} T^{28} + 20901 p^{13} T^{29} + 972 p^{14} T^{30} + 34 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 83 | \( 1 + 39 T + 1431 T^{2} + 34708 T^{3} + 773041 T^{4} + 13965708 T^{5} + 234032966 T^{6} + 3403017682 T^{7} + 46448294726 T^{8} + 568019341368 T^{9} + 6603756562163 T^{10} + 70248493932706 T^{11} + 722668603920858 T^{12} + 6946547612092480 T^{13} + 66186053085590476 T^{14} + 603454190232013975 T^{15} + 5584537825414777508 T^{16} + 603454190232013975 p T^{17} + 66186053085590476 p^{2} T^{18} + 6946547612092480 p^{3} T^{19} + 722668603920858 p^{4} T^{20} + 70248493932706 p^{5} T^{21} + 6603756562163 p^{6} T^{22} + 568019341368 p^{7} T^{23} + 46448294726 p^{8} T^{24} + 3403017682 p^{9} T^{25} + 234032966 p^{10} T^{26} + 13965708 p^{11} T^{27} + 773041 p^{12} T^{28} + 34708 p^{13} T^{29} + 1431 p^{14} T^{30} + 39 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 89 | \( 1 + 32 T + 1088 T^{2} + 23137 T^{3} + 486714 T^{4} + 8120366 T^{5} + 133448243 T^{6} + 1889856135 T^{7} + 26464403740 T^{8} + 331997649864 T^{9} + 4133229432635 T^{10} + 47071798951924 T^{11} + 533593796463199 T^{12} + 5601161866848319 T^{13} + 58673100952596054 T^{14} + 572968389460590927 T^{15} + 5592319039158292684 T^{16} + 572968389460590927 p T^{17} + 58673100952596054 p^{2} T^{18} + 5601161866848319 p^{3} T^{19} + 533593796463199 p^{4} T^{20} + 47071798951924 p^{5} T^{21} + 4133229432635 p^{6} T^{22} + 331997649864 p^{7} T^{23} + 26464403740 p^{8} T^{24} + 1889856135 p^{9} T^{25} + 133448243 p^{10} T^{26} + 8120366 p^{11} T^{27} + 486714 p^{12} T^{28} + 23137 p^{13} T^{29} + 1088 p^{14} T^{30} + 32 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 97 | \( 1 + 4 T + 855 T^{2} + 4309 T^{3} + 352124 T^{4} + 1945811 T^{5} + 93690966 T^{6} + 504108188 T^{7} + 18128480187 T^{8} + 84709603850 T^{9} + 2718723343687 T^{10} + 9828561478241 T^{11} + 332212996296665 T^{12} + 837257682488933 T^{13} + 35171789290194436 T^{14} + 62777578584495400 T^{15} + 3469534574436373438 T^{16} + 62777578584495400 p T^{17} + 35171789290194436 p^{2} T^{18} + 837257682488933 p^{3} T^{19} + 332212996296665 p^{4} T^{20} + 9828561478241 p^{5} T^{21} + 2718723343687 p^{6} T^{22} + 84709603850 p^{7} T^{23} + 18128480187 p^{8} T^{24} + 504108188 p^{9} T^{25} + 93690966 p^{10} T^{26} + 1945811 p^{11} T^{27} + 352124 p^{12} T^{28} + 4309 p^{13} T^{29} + 855 p^{14} T^{30} + 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.25590791841606169790941970100, −3.25174181185777244695308852326, −3.22578164418540266586394406493, −3.07681642225262103861095867090, −3.02434267932642312405198916437, −3.01380493442065074893244179019, −2.80003206071070328776295050586, −2.77026438977174414220757898304, −2.69567576189617036703280962189, −2.60802331637868610175827527131, −2.60194093597350805998662782875, −2.58725520200058019940310248264, −2.36123125106230914752896966908, −2.26756136439517151024014785044, −2.18091545919723722515458481375, −2.08729703694277673800447165693, −2.08564048510823301561078077499, −1.86628514433894584491574012183, −1.82005006994064814163522474892, −1.69768823329458331839845745969, −1.67019937763350881317528958864, −1.59289963472212335602072329387, −1.30144173389999600126320605345, −1.21395297346037214994132286354, −0.976177477789611951373141189030, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.976177477789611951373141189030, 1.21395297346037214994132286354, 1.30144173389999600126320605345, 1.59289963472212335602072329387, 1.67019937763350881317528958864, 1.69768823329458331839845745969, 1.82005006994064814163522474892, 1.86628514433894584491574012183, 2.08564048510823301561078077499, 2.08729703694277673800447165693, 2.18091545919723722515458481375, 2.26756136439517151024014785044, 2.36123125106230914752896966908, 2.58725520200058019940310248264, 2.60194093597350805998662782875, 2.60802331637868610175827527131, 2.69567576189617036703280962189, 2.77026438977174414220757898304, 2.80003206071070328776295050586, 3.01380493442065074893244179019, 3.02434267932642312405198916437, 3.07681642225262103861095867090, 3.22578164418540266586394406493, 3.25174181185777244695308852326, 3.25590791841606169790941970100
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.