Number field 23.23.434498173468775074445875189356350743903198920600715375079386035604631941932241.1

• Label: 23.23.434...241.1
• Degree: $23$
• Signature: $[23, 0]$
• Discriminant: $4.345\times 10^{77}$
• Root discriminant: \(2374.46\)
• Ramified primes: $23,47$
• Class number: $23$ (GRH)
• Class group: [23] (GRH)
• Galois group: $C_{23}:C_{11}$ (as 23T3)

Normalized defining polynomial

x^23 - 4324*x^21 - 6486*x^20 + 5382299*x^19 - 23233933*x^18 - 2724444300*x^17 + 29686323629*x^16 + 512000507352*x^15 - 10294412120640*x^14 + 6885232378569*x^13 + 1102283075184770*x^12 - 8796561210816172*x^11 - 7798660667836453*x^10 + 474243077814357335*x^9 - 2826995282155771181*x^8 + 5949260040976823570*x^7 + 9167317157190582864*x^6 - 81864894718917833350*x^5 + 204445625295748936871*x^4 - 269173314235796280477*x^3 + 199912058984322799237*x^2 - 78929282232647458634*x + 12862216057817467245

Invariants

Degree:		$23$
Signature:		$[23, 0]$
Discriminant:		\(434498173468775074445875189356350743903198920600715375079386035604631941932241\) \(\medspace = 23^{30}\cdot 47^{22}\)
Root discriminant:		\(2374.46\)
Galois root discriminant:		$23^{340/253}47^{22/23}\approx 2687.744168909485$
Ramified primes:		\(23\), \(47\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:		$1$
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $\frac{1}{85\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!87}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!87}{85\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!40}{85\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!70}{85\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{52\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!60}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!47}a-\frac{16\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{23}$, which has order $23$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$22$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{12\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!00}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!25}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{84\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a-\frac{15\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{17\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{73\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!66}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!30}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!70}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!88}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{92\!\cdots\!98}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!16}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!70}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!47}a-\frac{17\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{63\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!60}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!88}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!98}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!98}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!15}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!05}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!47}a-\frac{65\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{12\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!88}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!87}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!16}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!18}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!42}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!57}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!47}a-\frac{12\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{22\!\cdots\!24}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{98\!\cdots\!98}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!90}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!21}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{53\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!05}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!75}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!47}a-\frac{28\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{11\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!98}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!90}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!66}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!73}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!40}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!06}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!68}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!15}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!47}a-\frac{12\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{10\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!66}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!59}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{51\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{88\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{94\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{87\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!47}a-\frac{19\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{57\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!42}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!75}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!11}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{97\!\cdots\!15}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{74\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!58}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!47}a-\frac{59\!\cdots\!53}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{18\!\cdots\!30}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!21}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{97\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{98\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{90\!\cdots\!59}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!56}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!71}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!18}{85\!\cdots\!47}a-\frac{18\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{72\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!90}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!87}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!40}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{84\!\cdots\!05}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a-\frac{75\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{29\!\cdots\!68}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!66}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{80\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!09}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{66\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{92\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a-\frac{30\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{35\!\cdots\!25}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{91\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!25}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!58}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!86}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!20}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!73}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!53}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a-\frac{35\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{67\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!88}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{79\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!53}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!30}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{87\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a-\frac{69\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{21\!\cdots\!36}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!72}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!06}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!54}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!48}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!42}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!93}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!35}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!47}a-\frac{22\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{42\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!97}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!80}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!88}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!88}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!88}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{66\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!86}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!45}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!47}a-\frac{54\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{89\!\cdots\!27}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!53}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!60}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!53}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!47}a-\frac{91\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{72\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{79\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!75}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!15}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!90}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!92}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!42}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!15}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!30}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!89}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{92\!\cdots\!31}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!96}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{97\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!32}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!47}a-\frac{90\!\cdots\!18}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{28\!\cdots\!19}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!21}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!74}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!28}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!22}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!25}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{89\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!60}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!11}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a-\frac{29\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{87\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!18}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!59}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!17}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!66}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!18}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!95}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{60\!\cdots\!99}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!38}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!04}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!41}{85\!\cdots\!47}a-\frac{10\!\cdots\!79}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{67\!\cdots\!14}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!55}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!43}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!85}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!76}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!34}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!51}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!62}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!90}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{83\!\cdots\!10}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!47}a-\frac{70\!\cdots\!26}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{12\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{96\!\cdots\!56}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!64}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!52}{85\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!94}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!46}{85\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!07}{85\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!61}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!63}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!50}{85\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!33}{85\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!67}{85\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!29}{85\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{86\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!44}{85\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!02}{85\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!06}{85\!\cdots\!47}a-\frac{19\!\cdots\!03}{85\!\cdots\!47}$, $\frac{81\!\cdots\!42}{85\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!69}{85\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!05}{85\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!78}{85\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!59}{85\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!13}{85\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!08}{85\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!81}{85\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!93}{85\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!82}{85\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!83}{85\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!23}{85\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!59}{85\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!01}{85\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!84}{85\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!91}{85\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!47}{85\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{88\!\cdots\!77}{85\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!11}{85\!\cdots\!47}a+\frac{95\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!47}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 6651212114850000000000000000000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{23}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 6651212114850000000000000000000 \cdot 23}{2\cdot\sqrt{434498173468775074445875189356350743903198920600715375079386035604631941932241}}\cr\approx \mathstrut & 0.973407215716407 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{23}:C_{11}$ (as 23T3):

A solvable group of order 253

The 13 conjugacy class representatives for $C_{23}:C_{11}$

Character table for $C_{23}:C_{11}$

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/2.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/3.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/3.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/5.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/5.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/7.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/11.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/13.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/17.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/19.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }$	R	${\href{/padicField/29.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/31.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/37.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/43.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }$	R	${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }$	${\href{/padicField/59.11.0.1}{11} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(23\)	23.23.30.3	$x^{23} + 69 x^{8} + 23$	$23$	$1$	$30$	$C_{23}:C_{11}$	$[15/11]_{11}$
\(47\)	47.23.22.12	$x^{23} + 940$	$23$	$1$	$22$	$C_{23}$	$[\ ]_{23}$