Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 45*x^19 + 362*x^18 + 799*x^17 - 7508*x^16 - 7656*x^15 + 79875*x^14 + 49998*x^13 - 459906*x^12 - 252543*x^11 + 1367403*x^10 + 782753*x^9 - 1809622*x^8 - 897807*x^7 + 1116746*x^6 + 430780*x^5 - 303555*x^4 - 87913*x^3 + 25235*x^2 + 7546*x + 343)
gp: K = bnfinit(y^21 - 7*y^20 - 45*y^19 + 362*y^18 + 799*y^17 - 7508*y^16 - 7656*y^15 + 79875*y^14 + 49998*y^13 - 459906*y^12 - 252543*y^11 + 1367403*y^10 + 782753*y^9 - 1809622*y^8 - 897807*y^7 + 1116746*y^6 + 430780*y^5 - 303555*y^4 - 87913*y^3 + 25235*y^2 + 7546*y + 343, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 7*x^20 - 45*x^19 + 362*x^18 + 799*x^17 - 7508*x^16 - 7656*x^15 + 79875*x^14 + 49998*x^13 - 459906*x^12 - 252543*x^11 + 1367403*x^10 + 782753*x^9 - 1809622*x^8 - 897807*x^7 + 1116746*x^6 + 430780*x^5 - 303555*x^4 - 87913*x^3 + 25235*x^2 + 7546*x + 343);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 45*x^19 + 362*x^18 + 799*x^17 - 7508*x^16 - 7656*x^15 + 79875*x^14 + 49998*x^13 - 459906*x^12 - 252543*x^11 + 1367403*x^10 + 782753*x^9 - 1809622*x^8 - 897807*x^7 + 1116746*x^6 + 430780*x^5 - 303555*x^4 - 87913*x^3 + 25235*x^2 + 7546*x + 343)
\( x^{21} - 7 x^{20} - 45 x^{19} + 362 x^{18} + 799 x^{17} - 7508 x^{16} - 7656 x^{15} + 79875 x^{14} + \cdots + 343 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(988509426193021817935320621873627136\)
\(\medspace = 2^{18}\cdot 7^{14}\cdot 11^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(51.77\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2^{6/7}7^{2/3}11^{6/7}\approx 51.766250010785875$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(7\), \(11\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{8}-\frac{1}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}+\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{10}-\frac{3}{7}a^{8}-\frac{3}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a^{6}+\frac{1}{7}a^{5}-\frac{1}{7}a^{4}+\frac{3}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{11}+\frac{2}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}+\frac{1}{7}a^{6}+\frac{3}{7}a^{5}+\frac{1}{7}a^{4}+\frac{3}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{12}+\frac{2}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}+\frac{3}{7}a^{6}+\frac{3}{7}a^{5}+\frac{2}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{13}+\frac{2}{7}a^{8}-\frac{2}{7}a^{7}+\frac{3}{7}a^{6}-\frac{3}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{14}-\frac{3}{7}a^{8}-\frac{2}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{6}-\frac{1}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}$, $\frac{1}{21}a^{15}-\frac{1}{21}a^{13}+\frac{1}{21}a^{12}+\frac{1}{21}a^{11}-\frac{1}{21}a^{10}+\frac{1}{21}a^{9}+\frac{5}{21}a^{8}-\frac{10}{21}a^{7}+\frac{1}{21}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}-\frac{10}{21}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{147}a^{16}-\frac{1}{49}a^{15}+\frac{5}{147}a^{14}+\frac{1}{21}a^{13}-\frac{8}{147}a^{12}-\frac{10}{147}a^{11}-\frac{8}{147}a^{10}-\frac{10}{147}a^{9}-\frac{31}{147}a^{8}+\frac{46}{147}a^{7}+\frac{4}{49}a^{6}+\frac{16}{147}a^{5}+\frac{2}{21}a^{4}+\frac{2}{21}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}-\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{147}a^{17}+\frac{1}{49}a^{15}+\frac{1}{147}a^{14}+\frac{2}{49}a^{13}-\frac{2}{49}a^{12}-\frac{10}{147}a^{11}+\frac{1}{147}a^{10}+\frac{3}{49}a^{9}-\frac{11}{49}a^{8}+\frac{59}{147}a^{7}+\frac{17}{147}a^{6}-\frac{1}{147}a^{5}+\frac{2}{21}a^{3}+\frac{1}{21}a^{2}-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{441}a^{18}+\frac{1}{441}a^{17}-\frac{1}{441}a^{15}-\frac{8}{441}a^{14}-\frac{1}{63}a^{13}+\frac{5}{147}a^{12}+\frac{4}{63}a^{11}+\frac{2}{147}a^{10}-\frac{29}{441}a^{9}-\frac{17}{63}a^{8}+\frac{19}{147}a^{7}+\frac{92}{441}a^{6}-\frac{1}{63}a^{5}-\frac{5}{21}a^{4}-\frac{1}{63}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{4}{9}a-\frac{2}{9}$, $\frac{1}{441}a^{19}-\frac{1}{441}a^{17}-\frac{1}{441}a^{16}-\frac{1}{63}a^{15}+\frac{1}{441}a^{14}+\frac{22}{441}a^{13}+\frac{13}{441}a^{12}-\frac{22}{441}a^{11}+\frac{4}{63}a^{10}-\frac{3}{49}a^{9}-\frac{202}{441}a^{8}-\frac{31}{63}a^{7}-\frac{18}{49}a^{6}-\frac{2}{9}a^{5}-\frac{22}{63}a^{4}+\frac{16}{63}a^{3}-\frac{1}{9}a^{2}+\frac{2}{9}a+\frac{2}{9}$, $\frac{1}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!40}{19\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!58}{59\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!36}{59\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!03}{65\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!06}{59\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!68}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!03}{84\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!29}{84\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!73}a-\frac{13\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!91}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{29\!\cdots\!16}{88\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!08}{88\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!92}{88\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!88}{88\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!58}{98\!\cdots\!83}a^{16}-\frac{78\!\cdots\!08}{29\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!36}{88\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!60}{88\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!58}{88\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!82}{88\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!62}{88\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!46}{88\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!29}{88\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!60}{53\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!30}{88\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!21}a^{3}-\frac{92\!\cdots\!28}{60\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!29}a+\frac{58\!\cdots\!13}{86\!\cdots\!43}$, $\frac{53\!\cdots\!76}{88\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!84}{88\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!44}{29\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!84}{88\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!91}{29\!\cdots\!49}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!28}{88\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!04}{88\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!48}{88\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!68}{88\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!44}{29\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!08}{88\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!88}{29\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!56}{88\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!20}{53\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!36}{29\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!28}{42\!\cdots\!07}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!36}{42\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!16}{60\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!29}a+\frac{42\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!29}$, $\frac{23\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!83}{65\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!68}{19\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!38}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!46}{35\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!05}{93\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!91}a+\frac{52\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!91}$, $\frac{55\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!71}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!30}{19\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{41\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!26}{65\!\cdots\!71}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!01}{65\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!23}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!16}{59\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!75}{84\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{29\!\cdots\!10}{40\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!73}a-\frac{60\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{49\!\cdots\!68}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!62}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!78}{59\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!66}{19\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!56}{65\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!34}{35\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!19}{93\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{94\!\cdots\!06}{93\!\cdots\!53}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!73}a+\frac{17\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{84\!\cdots\!00}{19\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!19}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!58}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!66}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!00}{84\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!55}{84\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!91}a-\frac{16\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{26\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!74}{65\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!68}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!61}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!64}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!48}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!02}{39\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!59}{59\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!76}{84\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!93}{84\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!73}a-\frac{52\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{91\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!29}{65\!\cdots\!71}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!12}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!10}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!47}{59\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!72}{59\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!21}{84\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!70}{84\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!73}a-\frac{46\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{15\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{73\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!11}{93\!\cdots\!53}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!83}{93\!\cdots\!53}a^{16}-\frac{88\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!78}{40\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!76}{93\!\cdots\!53}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!43}{93\!\cdots\!53}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!08}{56\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!59}{93\!\cdots\!53}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!59}{93\!\cdots\!53}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!80}{40\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!97}a-\frac{36\!\cdots\!96}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{20\!\cdots\!36}{19\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!54}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!96}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!95}{59\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{99\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!96}{39\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!20}{59\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{74\!\cdots\!09}{93\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!03}{40\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{55\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!73}a-\frac{28\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{20\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!90}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{86\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!08}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!63}{40\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!64}{40\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{81\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!73}a-\frac{63\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{56\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!42}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!35}{65\!\cdots\!71}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!74}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!64}{65\!\cdots\!71}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!97}{93\!\cdots\!53}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!73}a+\frac{97\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{88\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!14}{19\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!44}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!33}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!53}{65\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!82}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!32}{19\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!00}{65\!\cdots\!71}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{58\!\cdots\!83}{35\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!68}{84\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!81}{93\!\cdots\!53}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!91}a+\frac{37\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!97}$, $\frac{46\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!32}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!22}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!26}{59\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!58}{65\!\cdots\!71}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!04}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!80}{59\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!80}{19\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{74\!\cdots\!30}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!04}{35\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!68}{65\!\cdots\!71}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!34}{84\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!97}a-\frac{83\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!91}$, $\frac{83\!\cdots\!73}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!13}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!84}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!24}{19\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!44}{59\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!72}{84\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!91}a-\frac{52\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!91}$, $\frac{90\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!72}{65\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!65}{65\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!15}{65\!\cdots\!71}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!18}{65\!\cdots\!71}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!07}{65\!\cdots\!71}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!18}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!88}{59\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!10}{65\!\cdots\!71}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!92}{65\!\cdots\!71}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{93\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!17}{84\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{91\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!73}a-\frac{16\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{36\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!96}{84\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!30}{40\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!43}{84\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!86}{84\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!02}{84\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!06}{84\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!97}{19\!\cdots\!97}a+\frac{64\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{21\!\cdots\!09}{65\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!60}{59\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!39}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!90}{19\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!63}{65\!\cdots\!71}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!98}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!34}{59\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{99\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!36}{59\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{94\!\cdots\!32}{84\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!97}a-\frac{91\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{84\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!41}{65\!\cdots\!71}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!76}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!26}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!46}{59\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!44}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!40}{59\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!94}{84\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!91}a-\frac{30\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!73}$, $\frac{92\!\cdots\!56}{59\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!09}{59\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!28}{59\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{90\!\cdots\!44}{65\!\cdots\!71}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!34}{19\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{72\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!07}{59\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{92\!\cdots\!52}{59\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!14}{59\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!27}{84\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!30}{84\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!51}{40\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!73}a+\frac{28\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!91}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 452833489306 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 452833489306 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{988509426193021817935320621873627136}}\cr\approx \mathstrut & 0.477582102787571 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 45*x^19 + 362*x^18 + 799*x^17 - 7508*x^16 - 7656*x^15 + 79875*x^14 + 49998*x^13 - 459906*x^12 - 252543*x^11 + 1367403*x^10 + 782753*x^9 - 1809622*x^8 - 897807*x^7 + 1116746*x^6 + 430780*x^5 - 303555*x^4 - 87913*x^3 + 25235*x^2 + 7546*x + 343)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 7*x^20 - 45*x^19 + 362*x^18 + 799*x^17 - 7508*x^16 - 7656*x^15 + 79875*x^14 + 49998*x^13 - 459906*x^12 - 252543*x^11 + 1367403*x^10 + 782753*x^9 - 1809622*x^8 - 897807*x^7 + 1116746*x^6 + 430780*x^5 - 303555*x^4 - 87913*x^3 + 25235*x^2 + 7546*x + 343, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 7*x^20 - 45*x^19 + 362*x^18 + 799*x^17 - 7508*x^16 - 7656*x^15 + 79875*x^14 + 49998*x^13 - 459906*x^12 - 252543*x^11 + 1367403*x^10 + 782753*x^9 - 1809622*x^8 - 897807*x^7 + 1116746*x^6 + 430780*x^5 - 303555*x^4 - 87913*x^3 + 25235*x^2 + 7546*x + 343);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 7*x^20 - 45*x^19 + 362*x^18 + 799*x^17 - 7508*x^16 - 7656*x^15 + 79875*x^14 + 49998*x^13 - 459906*x^12 - 252543*x^11 + 1367403*x^10 + 782753*x^9 - 1809622*x^8 - 897807*x^7 + 1116746*x^6 + 430780*x^5 - 303555*x^4 - 87913*x^3 + 25235*x^2 + 7546*x + 343);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 21 |
| The 5 conjugacy class representatives for $C_7:C_3$ |
| Character table for $C_7:C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{7})^+\), 7.7.272225149504.1 x7 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }^{7}$ | R | R | ${\href{/padicField/13.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{7}$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{7}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.21.18.1 | $x^{21} + 7 x^{19} + 7 x^{18} + 21 x^{17} + 42 x^{16} + 62 x^{15} + 111 x^{14} + 98 x^{13} - 189 x^{12} - 189 x^{11} + 259 x^{10} + 1496 x^{9} + 2586 x^{8} + 925 x^{7} + 798 x^{6} - 1092 x^{5} + 1029 x^{4} - 174 x^{3} - 53 x^{2} - 313 x + 131$ | $7$ | $3$ | $18$ | 21T2 | $[\ ]_{7}^{3}$ |
|
\(7\)
| 7.3.2.2 | $x^{3} + 7$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |
| 7.3.2.2 | $x^{3} + 7$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.2 | $x^{3} + 7$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.2 | $x^{3} + 7$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.2 | $x^{3} + 7$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.2 | $x^{3} + 7$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 7.3.2.2 | $x^{3} + 7$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
|
\(11\)
| 11.21.18.1 | $x^{21} + 14 x^{19} + 63 x^{18} + 84 x^{17} + 756 x^{16} + 1981 x^{15} + 3813 x^{14} + 17570 x^{13} + 34825 x^{12} + 45843 x^{11} + 223244 x^{10} + 421603 x^{9} + 1580565 x^{8} + 1422905 x^{7} + 2253811 x^{6} - 3682434 x^{5} + 6238533 x^{4} + 2268805 x^{3} + 11247782 x^{2} + 6487607 x + 5926386$ | $7$ | $3$ | $18$ | 21T2 | $[\ ]_{7}^{3}$ |