Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 33*x^18 - 8*x^17 + 450*x^16 + 197*x^15 - 3262*x^14 - 1894*x^13 + 13516*x^12 + 8956*x^11 - 32275*x^10 - 21581*x^9 + 43333*x^8 + 24983*x^7 - 31327*x^6 - 12012*x^5 + 10432*x^4 + 1475*x^3 - 725*x^2 - 76*x + 1)
gp: K = bnfinit(y^20 - 33*y^18 - 8*y^17 + 450*y^16 + 197*y^15 - 3262*y^14 - 1894*y^13 + 13516*y^12 + 8956*y^11 - 32275*y^10 - 21581*y^9 + 43333*y^8 + 24983*y^7 - 31327*y^6 - 12012*y^5 + 10432*y^4 + 1475*y^3 - 725*y^2 - 76*y + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - 33*x^18 - 8*x^17 + 450*x^16 + 197*x^15 - 3262*x^14 - 1894*x^13 + 13516*x^12 + 8956*x^11 - 32275*x^10 - 21581*x^9 + 43333*x^8 + 24983*x^7 - 31327*x^6 - 12012*x^5 + 10432*x^4 + 1475*x^3 - 725*x^2 - 76*x + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 33*x^18 - 8*x^17 + 450*x^16 + 197*x^15 - 3262*x^14 - 1894*x^13 + 13516*x^12 + 8956*x^11 - 32275*x^10 - 21581*x^9 + 43333*x^8 + 24983*x^7 - 31327*x^6 - 12012*x^5 + 10432*x^4 + 1475*x^3 - 725*x^2 - 76*x + 1)
\( x^{20} - 33 x^{18} - 8 x^{17} + 450 x^{16} + 197 x^{15} - 3262 x^{14} - 1894 x^{13} + 13516 x^{12} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[20, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(6119366577566395275933837890625\)
\(\medspace = 3^{4}\cdot 5^{14}\cdot 23^{4}\cdot 89^{7}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(34.62\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{1/2}5^{5/6}23^{1/2}89^{1/2}\approx 299.6363873961673$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(5\), \(23\), \(89\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{89}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{78\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!51}{78\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!11}a-\frac{11\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!11}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{10522777}{4745270825381}a^{19}+\frac{29547485133}{4745270825381}a^{18}+\frac{26473909015}{4745270825381}a^{17}-\frac{1025118311124}{4745270825381}a^{16}-\frac{948541231908}{4745270825381}a^{15}+\frac{14300468156669}{4745270825381}a^{14}+\frac{13843586025091}{4745270825381}a^{13}-\frac{103586121807802}{4745270825381}a^{12}-\frac{104194464750188}{4745270825381}a^{11}+\frac{418380447002229}{4745270825381}a^{10}+\frac{426039737626902}{4745270825381}a^{9}-\frac{942420220953494}{4745270825381}a^{8}-\frac{920127903632072}{4745270825381}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!60}{4745270825381}a^{6}+\frac{945447499709268}{4745270825381}a^{5}-\frac{699945145606986}{4745270825381}a^{4}-\frac{372945804910997}{4745270825381}a^{3}+\frac{188255460987571}{4745270825381}a^{2}+\frac{22489991534280}{4745270825381}a-\frac{3225118869619}{4745270825381}$, $\frac{68\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a-\frac{12\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{68\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a-\frac{50\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{11\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!17}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!11}a-\frac{11\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{22\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{87\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!92}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{82\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{54\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!11}a-\frac{17\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{20\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!99}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!11}a-\frac{24\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{20\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!11}a+\frac{89\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{26\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!91}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!46}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{94\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!11}a+\frac{26\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{88\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!53}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!61}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{97\!\cdots\!90}{78\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!71}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!28}{78\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!19}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{64\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{70\!\cdots\!23}{78\!\cdots\!11}a-\frac{74\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{43\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{90\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!63}{78\!\cdots\!11}a-\frac{59\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{16\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!09}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!11}a-\frac{19\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{11\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!11}a+\frac{11\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{61\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!58}{78\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!70}{78\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!57}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!08}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!42}{78\!\cdots\!11}a+\frac{10\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{12\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!60}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!75}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!21}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!12}{78\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{98\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{71\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!11}a-\frac{15\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{11\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!69}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!94}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!34}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!13}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!07}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!03}{78\!\cdots\!11}a-\frac{66\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{63\!\cdots\!85}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!16}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!01}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!14}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!27}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!38}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!05}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!25}{78\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!15}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!11}a-\frac{51\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{30\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!18}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!86}{78\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!40}{78\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!50}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!30}{78\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!02}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!77}{78\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!95}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!84}{78\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!33}{78\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!39}{78\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!11}a-\frac{12\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{13\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!20}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!96}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{76\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!67}{78\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!81}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!47}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!97}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!74}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!11}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!55}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!73}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!65}{78\!\cdots\!11}a+\frac{84\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!11}$, $\frac{26\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!66}{78\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!98}{78\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!78}{78\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!48}{78\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!32}{78\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!52}{78\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!31}{78\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!06}{78\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!22}{78\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!87}{78\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!24}{78\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!00}{78\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!72}{78\!\cdots\!11}a-\frac{60\!\cdots\!54}{78\!\cdots\!11}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 729718318.944 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{20}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 729718318.944 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{6119366577566395275933837890625}}\cr\approx \mathstrut & 0.154657836836 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 33*x^18 - 8*x^17 + 450*x^16 + 197*x^15 - 3262*x^14 - 1894*x^13 + 13516*x^12 + 8956*x^11 - 32275*x^10 - 21581*x^9 + 43333*x^8 + 24983*x^7 - 31327*x^6 - 12012*x^5 + 10432*x^4 + 1475*x^3 - 725*x^2 - 76*x + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^20 - 33*x^18 - 8*x^17 + 450*x^16 + 197*x^15 - 3262*x^14 - 1894*x^13 + 13516*x^12 + 8956*x^11 - 32275*x^10 - 21581*x^9 + 43333*x^8 + 24983*x^7 - 31327*x^6 - 12012*x^5 + 10432*x^4 + 1475*x^3 - 725*x^2 - 76*x + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - 33*x^18 - 8*x^17 + 450*x^16 + 197*x^15 - 3262*x^14 - 1894*x^13 + 13516*x^12 + 8956*x^11 - 32275*x^10 - 21581*x^9 + 43333*x^8 + 24983*x^7 - 31327*x^6 - 12012*x^5 + 10432*x^4 + 1475*x^3 - 725*x^2 - 76*x + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 33*x^18 - 8*x^17 + 450*x^16 + 197*x^15 - 3262*x^14 - 1894*x^13 + 13516*x^12 + 8956*x^11 - 32275*x^10 - 21581*x^9 + 43333*x^8 + 24983*x^7 - 31327*x^6 - 12012*x^5 + 10432*x^4 + 1475*x^3 - 725*x^2 - 76*x + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$D_4\times S_5$ (as 20T174):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 960 |
| The 35 conjugacy class representatives for $D_4\times S_5$ |
| Character table for $D_4\times S_5$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.2225.1, 5.5.767625.1, 10.10.2946240703125.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 20 siblings: | data not computed |
| Degree 24 siblings: | data not computed |
| Degree 40 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.10.0.1}{10} }^{2}$ | R | R | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/11.10.0.1}{10} }^{2}$ | $20$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{9}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| 3.8.4.1 | $x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ |
| 3.12.0.1 | $x^{12} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{2} + 2$ | $1$ | $12$ | $0$ | $C_{12}$ | $[\ ]^{12}$ | |
|
\(5\)
| 5.4.2.1 | $x^{4} + 48 x^{3} + 670 x^{2} + 2256 x + 1449$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
| 5.4.2.1 | $x^{4} + 48 x^{3} + 670 x^{2} + 2256 x + 1449$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 5.12.10.1 | $x^{12} + 20 x^{7} + 10 x^{6} + 50 x^{2} + 100 x + 25$ | $6$ | $2$ | $10$ | $D_6$ | $[\ ]_{6}^{2}$ | |
|
\(23\)
| 23.4.0.1 | $x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |
| 23.4.0.1 | $x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
| 23.4.0.1 | $x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
| 23.8.4.1 | $x^{8} + 98 x^{6} + 38 x^{5} + 3331 x^{4} - 1634 x^{3} + 44919 x^{2} - 57494 x + 224528$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ | |
|
\(89\)
| 89.4.2.1 | $x^{4} + 12268 x^{3} + 38122404 x^{2} + 3045212032 x + 156142232$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
| 89.4.2.1 | $x^{4} + 12268 x^{3} + 38122404 x^{2} + 3045212032 x + 156142232$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 89.6.0.1 | $x^{6} + x^{4} + 82 x^{3} + 80 x^{2} + 15 x + 3$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 89.6.3.2 | $x^{6} + 23763 x^{2} - 60627334$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ |