Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 160*x^18 + 10790*x^16 - 372*x^15 - 400000*x^14 + 37080*x^13 + 8908075*x^12 - 1405800*x^11 - 122060112*x^10 + 25437000*x^9 + 1009834870*x^8 - 221247000*x^7 - 4729220200*x^6 + 784838688*x^5 + 10914530225*x^4 - 681612780*x^3 - 8806862800*x^2 + 1007795640*x + 916095316)
gp: K = bnfinit(y^20 - 160*y^18 + 10790*y^16 - 372*y^15 - 400000*y^14 + 37080*y^13 + 8908075*y^12 - 1405800*y^11 - 122060112*y^10 + 25437000*y^9 + 1009834870*y^8 - 221247000*y^7 - 4729220200*y^6 + 784838688*y^5 + 10914530225*y^4 - 681612780*y^3 - 8806862800*y^2 + 1007795640*y + 916095316, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - 160*x^18 + 10790*x^16 - 372*x^15 - 400000*x^14 + 37080*x^13 + 8908075*x^12 - 1405800*x^11 - 122060112*x^10 + 25437000*x^9 + 1009834870*x^8 - 221247000*x^7 - 4729220200*x^6 + 784838688*x^5 + 10914530225*x^4 - 681612780*x^3 - 8806862800*x^2 + 1007795640*x + 916095316);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 160*x^18 + 10790*x^16 - 372*x^15 - 400000*x^14 + 37080*x^13 + 8908075*x^12 - 1405800*x^11 - 122060112*x^10 + 25437000*x^9 + 1009834870*x^8 - 221247000*x^7 - 4729220200*x^6 + 784838688*x^5 + 10914530225*x^4 - 681612780*x^3 - 8806862800*x^2 + 1007795640*x + 916095316)
\( x^{20} - 160 x^{18} + 10790 x^{16} - 372 x^{15} - 400000 x^{14} + 37080 x^{13} + 8908075 x^{12} + \cdots + 916095316 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[20, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(17687695508088196514062500000000000000000000\)
\(\medspace = 2^{20}\cdot 3^{10}\cdot 5^{26}\cdot 61^{8}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(145.34\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2\cdot 3^{1/2}5^{13/10}61^{4/5}\approx 752.5155812562069$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(5\), \(61\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $10$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{10}a^{8}+\frac{1}{10}a^{7}-\frac{1}{10}a^{5}+\frac{2}{5}a^{4}-\frac{1}{10}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{2}{5}a-\frac{2}{5}$, $\frac{1}{10}a^{9}-\frac{1}{10}a^{7}-\frac{1}{10}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{2}{5}a^{3}+\frac{1}{10}a^{2}+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{20}a^{10}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{3}{10}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{3}{10}$, $\frac{1}{20}a^{11}-\frac{1}{4}a^{7}+\frac{1}{5}a^{6}+\frac{1}{4}a^{3}+\frac{3}{10}a$, $\frac{1}{60}a^{12}-\frac{1}{60}a^{10}-\frac{1}{20}a^{8}+\frac{1}{10}a^{7}-\frac{1}{12}a^{6}+\frac{2}{5}a^{5}+\frac{1}{20}a^{4}-\frac{1}{5}a^{3}-\frac{19}{60}a^{2}-\frac{3}{10}a-\frac{7}{30}$, $\frac{1}{60}a^{13}-\frac{1}{60}a^{11}-\frac{1}{20}a^{9}-\frac{11}{60}a^{7}-\frac{1}{10}a^{6}+\frac{3}{20}a^{5}-\frac{1}{10}a^{4}-\frac{13}{60}a^{3}-\frac{3}{10}a^{2}+\frac{1}{6}a+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{600}a^{14}-\frac{1}{300}a^{13}+\frac{1}{200}a^{12}+\frac{1}{75}a^{11}-\frac{1}{150}a^{10}+\frac{1}{25}a^{9}-\frac{23}{600}a^{8}-\frac{1}{75}a^{7}-\frac{17}{150}a^{6}+\frac{1}{25}a^{5}-\frac{139}{600}a^{4}-\frac{29}{75}a^{3}-\frac{19}{200}a^{2}+\frac{89}{300}a-\frac{127}{300}$, $\frac{1}{36600}a^{15}-\frac{221}{36600}a^{13}+\frac{1}{150}a^{12}-\frac{17}{9150}a^{11}+\frac{29}{9150}a^{10}-\frac{151}{7320}a^{9}-\frac{41}{1525}a^{8}+\frac{877}{4575}a^{7}+\frac{337}{9150}a^{6}+\frac{10709}{36600}a^{5}+\frac{2}{5}a^{4}+\frac{239}{600}a^{3}-\frac{19}{150}a^{2}-\frac{149}{300}a+\frac{13}{150}$, $\frac{1}{36600}a^{16}+\frac{23}{36600}a^{14}-\frac{1}{150}a^{13}+\frac{9}{6100}a^{12}+\frac{119}{18300}a^{11}+\frac{709}{36600}a^{10}+\frac{101}{3050}a^{9}-\frac{71}{6100}a^{8}+\frac{2443}{18300}a^{7}+\frac{2657}{36600}a^{6}+\frac{23}{50}a^{5}+\frac{13}{600}a^{4}+\frac{83}{300}a^{3}-\frac{41}{100}a^{2}+\frac{13}{75}a-\frac{4}{25}$, $\frac{1}{36600}a^{17}-\frac{77}{12200}a^{13}+\frac{119}{18300}a^{12}-\frac{3}{2440}a^{11}+\frac{1}{4575}a^{10}+\frac{167}{7320}a^{9}-\frac{9}{6100}a^{8}-\frac{891}{12200}a^{7}-\frac{379}{1830}a^{6}+\frac{2757}{6100}a^{5}+\frac{1}{20}a^{4}-\frac{7}{200}a^{3}+\frac{11}{150}a^{2}+\frac{1}{60}a+\frac{37}{150}$, $\frac{1}{174142800}a^{18}-\frac{17}{2854800}a^{17}+\frac{83}{6697800}a^{16}-\frac{19}{2854800}a^{15}-\frac{73573}{174142800}a^{14}-\frac{496543}{87071400}a^{13}+\frac{189077}{174142800}a^{12}-\frac{135631}{19349200}a^{11}-\frac{160701}{19349200}a^{10}+\frac{1024313}{29023800}a^{9}+\frac{2877727}{58047600}a^{8}-\frac{206029}{951600}a^{7}-\frac{21571}{109800}a^{6}+\frac{325699}{2854800}a^{5}-\frac{895913}{2854800}a^{4}-\frac{40097}{142740}a^{3}+\frac{877}{2340}a^{2}+\frac{5461}{11700}a-\frac{3727}{11700}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!51}{41\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!91}{66\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!91}{55\!\cdots\!48}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!60}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!81}{27\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!73}{90\!\cdots\!80}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!43}{50\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!20}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!25}a-\frac{70\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!90}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$, $3$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{14\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!08}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!04}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!10}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!04}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!16}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!16}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!64}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!64}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!64}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!33}{63\!\cdots\!02}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!82}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!27}{41\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!75}{41\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!51}{80\!\cdots\!14}a-\frac{95\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!20}$, $\frac{19\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!95}{54\!\cdots\!08}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!36}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!78}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!36}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!24}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!78}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!24}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!11}{54\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!40}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!15}{89\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!45}{26\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!99}{74\!\cdots\!44}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!76}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!92}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!49}a+\frac{30\!\cdots\!27}{33\!\cdots\!80}$, $\frac{33\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!24}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!24}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!55}{40\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!24}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!67}{81\!\cdots\!20}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!78}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!24}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!35}{54\!\cdots\!08}a^{12}+\frac{65\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!08}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!10}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!05}{29\!\cdots\!76}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!45}{89\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!25}{66\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!84}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!13}{81\!\cdots\!20}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!39}{33\!\cdots\!98}a+\frac{93\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!66}$, $\frac{12\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!41}{41\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!47}{24\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!15}{33\!\cdots\!88}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!23}{41\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!00}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!33}{41\!\cdots\!25}a-\frac{38\!\cdots\!07}{83\!\cdots\!50}$, $\frac{33\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!25}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!20}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!29}{49\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!99}{81\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!90}a-\frac{19\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!50}$, $\frac{21\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!60}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!98}{15\!\cdots\!25}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!05}{49\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{91\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{80\!\cdots\!04}{51\!\cdots\!75}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!20}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!19}{41\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!45}{81\!\cdots\!12}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!33}{50\!\cdots\!50}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!13}{66\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!80}a-\frac{78\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!00}$, $\frac{65\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!50}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!43}{62\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{80\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!80}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!73}{40\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!25}{81\!\cdots\!12}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!61}{40\!\cdots\!60}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!58}{41\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!86}{41\!\cdots\!25}a-\frac{36\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!50}$, $\frac{14\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!80}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!33}{63\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!62}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!96}a^{11}+\frac{43\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!50}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!80}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!93}{67\!\cdots\!60}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!43}{67\!\cdots\!26}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!75}a-\frac{15\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!50}$, $\frac{41\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!41}{62\!\cdots\!90}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!11}{49\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!00}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{40\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!80}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!73}{40\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!93}{67\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!20}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!00}a-\frac{78\!\cdots\!17}{33\!\cdots\!80}$, $\frac{13\!\cdots\!83}{62\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!17}{62\!\cdots\!90}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{92\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!50}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!16}{51\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!51}{41\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!50}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{57\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!00}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!38}{41\!\cdots\!25}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!73}{33\!\cdots\!80}a-\frac{12\!\cdots\!44}{55\!\cdots\!83}$, $\frac{96\!\cdots\!11}{62\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!79}{62\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!61}{51\!\cdots\!75}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!45}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!51}{41\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!50}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!71}{41\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!71}{41\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!27}{50\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!13}{90\!\cdots\!68}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!75}a+\frac{91\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!00}$, $\frac{56\!\cdots\!79}{41\!\cdots\!60}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!50}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!31}{49\!\cdots\!20}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!96}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!88}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!90}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!57}{81\!\cdots\!20}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!89}{81\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!59}{50\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!59}{83\!\cdots\!50}a-\frac{11\!\cdots\!79}{83\!\cdots\!50}$, $\frac{56\!\cdots\!11}{62\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!41}{62\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!73}{42\!\cdots\!60}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!91}{63\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!17}{41\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!17}{40\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!89}{40\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!49}{40\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!61}{64\!\cdots\!50}a-\frac{16\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!10}$, $\frac{87\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!58}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!07}{55\!\cdots\!80}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!11}{81\!\cdots\!20}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!73}{40\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!24}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!11}{33\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!83}{83\!\cdots\!50}a+\frac{16\!\cdots\!13}{92\!\cdots\!50}$, $\frac{24\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!20}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!31}{49\!\cdots\!20}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!17}{49\!\cdots\!20}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!99}{99\!\cdots\!64}a^{13}-\frac{79\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!55}{33\!\cdots\!88}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!40}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!79}{81\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!49}{40\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!71}{50\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!60}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!61}{66\!\cdots\!60}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!80}a-\frac{70\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!00}$, $\frac{10\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!50}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!50}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!17}{41\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!57}{41\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!31}{41\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!90}a+\frac{98\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!00}$, $\frac{16\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!60}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!53}{33\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!12}{51\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{82\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!58}{79\!\cdots\!55}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!68}{83\!\cdots\!45}a+\frac{67\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!60}$, $\frac{30\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!51}{62\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!87}{49\!\cdots\!20}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!91}{95\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!00}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!29}{41\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{92\!\cdots\!27}{33\!\cdots\!88}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!21}{33\!\cdots\!88}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!47}{33\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!49}{40\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!41}{40\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!00}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!80}a-\frac{97\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!00}$, $\frac{33\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!25}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!21}{49\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!50}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!00}a^{13}-\frac{72\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!63}{51\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!00}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!57}{41\!\cdots\!00}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!93}{40\!\cdots\!00}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!11}{40\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!25}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!21}{55\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!25}a-\frac{48\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!00}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 9814449721720000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{20}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 9814449721720000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{17687695508088196514062500000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 1.22348949690707 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 160*x^18 + 10790*x^16 - 372*x^15 - 400000*x^14 + 37080*x^13 + 8908075*x^12 - 1405800*x^11 - 122060112*x^10 + 25437000*x^9 + 1009834870*x^8 - 221247000*x^7 - 4729220200*x^6 + 784838688*x^5 + 10914530225*x^4 - 681612780*x^3 - 8806862800*x^2 + 1007795640*x + 916095316)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^20 - 160*x^18 + 10790*x^16 - 372*x^15 - 400000*x^14 + 37080*x^13 + 8908075*x^12 - 1405800*x^11 - 122060112*x^10 + 25437000*x^9 + 1009834870*x^8 - 221247000*x^7 - 4729220200*x^6 + 784838688*x^5 + 10914530225*x^4 - 681612780*x^3 - 8806862800*x^2 + 1007795640*x + 916095316, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - 160*x^18 + 10790*x^16 - 372*x^15 - 400000*x^14 + 37080*x^13 + 8908075*x^12 - 1405800*x^11 - 122060112*x^10 + 25437000*x^9 + 1009834870*x^8 - 221247000*x^7 - 4729220200*x^6 + 784838688*x^5 + 10914530225*x^4 - 681612780*x^3 - 8806862800*x^2 + 1007795640*x + 916095316);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 160*x^18 + 10790*x^16 - 372*x^15 - 400000*x^14 + 37080*x^13 + 8908075*x^12 - 1405800*x^11 - 122060112*x^10 + 25437000*x^9 + 1009834870*x^8 - 221247000*x^7 - 4729220200*x^6 + 784838688*x^5 + 10914530225*x^4 - 681612780*x^3 - 8806862800*x^2 + 1007795640*x + 916095316);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 100 |
| The 16 conjugacy class representatives for $D_5^2$ |
| Character table for $D_5^2$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{3}) \), \(\Q(\sqrt{15}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\sqrt{3}, \sqrt{5})\), 10.10.841134840750000000000.1 x5 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 10 siblings: | data not computed |
| Degree 20 sibling: | data not computed |
| Degree 25 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | 10.10.841134840750000000000.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | R | ${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{10}$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{10}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{10}$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{10}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ |
| 2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ | |
| 2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ | |
| 2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ | |
| 2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ | |
|
\(3\)
| 3.4.2.1 | $x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 13$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
| 3.4.2.1 | $x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 13$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 3.4.2.1 | $x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 13$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 3.4.2.1 | $x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 13$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 3.4.2.1 | $x^{4} + 4 x^{3} + 14 x^{2} + 20 x + 13$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
|
\(5\)
| Deg $20$ | $10$ | $2$ | $26$ | |||
|
\(61\)
| 61.5.0.1 | $x^{5} + 12 x + 59$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ |
| 61.5.0.1 | $x^{5} + 12 x + 59$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | |
| 61.5.4.1 | $x^{5} + 61$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ | |
| 61.5.4.1 | $x^{5} + 61$ | $5$ | $1$ | $4$ | $C_5$ | $[\ ]_{5}$ |