Normalized defining polynomial
\( x^{40} - x^{39} + 165 x^{38} - 165 x^{37} + 12629 x^{36} - 12629 x^{35} + 595157 x^{34} + \cdots + 56\!\cdots\!21 \)
Invariants
| Degree: | $40$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 20]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(321\!\cdots\!761\)
\(\medspace = 17^{20}\cdot 41^{39}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(154.06\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $17^{1/2}41^{39/40}\approx 154.05958406012812$ | ||
| Ramified primes: |
\(17\), \(41\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{41}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $40$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(697=17\cdot 41\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{697}(256,·)$, $\chi_{697}(1,·)$, $\chi_{697}(645,·)$, $\chi_{697}(135,·)$, $\chi_{697}(392,·)$, $\chi_{697}(526,·)$, $\chi_{697}(528,·)$, $\chi_{697}(664,·)$, $\chi_{697}(18,·)$, $\chi_{697}(67,·)$, $\chi_{697}(662,·)$, $\chi_{697}(407,·)$, $\chi_{697}(152,·)$, $\chi_{697}(409,·)$, $\chi_{697}(154,·)$, $\chi_{697}(424,·)$, $\chi_{697}(681,·)$, $\chi_{697}(426,·)$, $\chi_{697}(647,·)$, $\chi_{697}(560,·)$, $\chi_{697}(307,·)$, $\chi_{697}(186,·)$, $\chi_{697}(443,·)$, $\chi_{697}(577,·)$, $\chi_{697}(322,·)$, $\chi_{697}(579,·)$, $\chi_{697}(324,·)$, $\chi_{697}(458,·)$, $\chi_{697}(460,·)$, $\chi_{697}(339,·)$, $\chi_{697}(86,·)$, $\chi_{697}(475,·)$, $\chi_{697}(220,·)$, $\chi_{697}(101,·)$, $\chi_{697}(356,·)$, $\chi_{697}(613,·)$, $\chi_{697}(103,·)$, $\chi_{697}(494,·)$, $\chi_{697}(628,·)$, $\chi_{697}(509,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{524288}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{339835402508973}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{84}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{5184907452938}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{3024}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{176286853399892}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{60928}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{752640}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{5870592}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{28700672}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{84344832}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{136249344}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{100925440}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{510595081949785}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{22020096}{13\!\cdots\!89}a-\frac{26\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{88}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{3344}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{71808}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{957440}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{8200192}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{541751968144198}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{45101056}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{154632192}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{309264384}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{317194240}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{126877696}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{50\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!89}a+\frac{8388608}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{4048}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{59\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{194304}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{171482419434710}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{4404224}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{58032128}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{471511040}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{31522325201911}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{2371026944}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{7113080832}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{11672748032}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{8754561024}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{906009610027406}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{1929379840}{13\!\cdots\!89}a+\frac{45\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{4416}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{223744}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{5405184}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{422039039201498}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{76873728}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{685834240}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{67499621515240}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{3879862272}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{265477007862653}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{13579517952}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{27590131712}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{28651290624}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{11576279040}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{514576315530887}{13\!\cdots\!89}a-\frac{771751936}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{25}-\frac{311094447176280}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{147200}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{7948800}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{192184320}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{2637824000}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{238820080150140}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{22044672000}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{940619020927043}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{113162649600}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{344876646400}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{573025812480}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{434110464000}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{96468992000}{13\!\cdots\!89}a+\frac{915717637292910}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{166400}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{9484800}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{244408320}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{3620864000}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{33226752000}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{191884492800}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{682255974400}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{1403498004480}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{1472200704000}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{599785472000}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a+\frac{40265318400}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{4492800}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{258785280}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{6517555200}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{92012544000}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{784982016000}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{4093535846400}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{12631482040320}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{21199690137600}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{919988771206860}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{16194207744000}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{3623878656000}{13\!\cdots\!89}a+\frac{962546127156580}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{5241600}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{318689280}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{8554291200}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{130351104000}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{1221083136000}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{55\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{7163687731200}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{25789275832320}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{53588105625600}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{56679727104000}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{149394891931916}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{23253221376000}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a-\frac{1570347417600}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{56\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{121605120}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{7296307200}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{189009100800}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{2723954688000}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{23607607296000}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{124648166522880}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{388513765785600}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{657484834406400}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{505757564928000}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{113850187776000}{13\!\cdots\!89}a-\frac{31\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{145926144}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{9241989120}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{255162286080}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{119081492918020}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{3969191116800}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{37772171673600}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{224366699741184}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{735597601300398}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{815878908149760}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{751411239321600}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a+\frac{51004884123648}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{3015806976}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{186118373376}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{4921796984832}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{72057681346560}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{632306153816064}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{380240497296371}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a-\frac{15\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{3711762432}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{241794809856}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{6814795825152}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{107690600693760}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{169932853724163}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!96}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!89}a-\frac{14\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{33}-\frac{66\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{69993234432}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{49\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{4409573769216}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{118459660763136}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{65\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{291323302582610}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a-\frac{39\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{34}+\frac{88139628544}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{5861285298176}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{167817852747776}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{47\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{871993150966549}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{429531365413362}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{866683425643441}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{859159584937519}{13\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{453092746065095}{13\!\cdots\!89}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{84443374592649}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!89}a-\frac{27\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{35}+\frac{39\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{1542443499520}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{10467333806222}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{98716383969280}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{418217972437430}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{583534736585767}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{653862333503260}{13\!\cdots\!89}a-\frac{44\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{36}-\frac{1983141642240}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{133972235386880}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{67\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{303692048581116}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!89}a+\frac{317590276273012}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{37}-\frac{62\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{32611662561280}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!64}{13\!\cdots\!89}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!80}{13\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!89}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{59\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!89}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!48}{13\!\cdots\!89}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!89}a-\frac{19\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{38}+\frac{42732523356160}{13\!\cdots\!89}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!89}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!89}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!89}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{392127932061204}{13\!\cdots\!89}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!89}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!89}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!62}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a+\frac{16\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!89}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!89}a^{39}-\frac{62\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{666627364356096}{13\!\cdots\!89}a^{19}+\frac{684395861050029}{13\!\cdots\!89}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!89}a^{17}-\frac{846489904231534}{13\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!89}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!89}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!89}a^{3}-\frac{656102084288616}{13\!\cdots\!89}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!89}a+\frac{487297682679618}{13\!\cdots\!89}$
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
not computed
Unit group
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: | not computed | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | not computed | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $
Galois group
| A cyclic group of order 40 |
| The 40 conjugacy class representatives for $C_{40}$ |
| Character table for $C_{40}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.68921.1, 5.5.2825761.1, 8.0.16266071708815001.1, 10.10.327381934393961.1, \(\Q(\zeta_{41})^+\) |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $20^{2}$ | ${\href{/padicField/3.8.0.1}{8} }^{5}$ | $20^{2}$ | $40$ | $40$ | $40$ | R | $40$ | ${\href{/padicField/23.5.0.1}{5} }^{8}$ | $40$ | ${\href{/padicField/31.5.0.1}{5} }^{8}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{4}$ | R | $20^{2}$ | $40$ | $40$ | ${\href{/padicField/59.5.0.1}{5} }^{8}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(17\)
| Deg $40$ | $2$ | $20$ | $20$ | |||
|
\(41\)
| Deg $40$ | $40$ | $1$ | $39$ |