Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - x^21 - 16*x^20 + 27*x^19 + 68*x^18 - 193*x^17 + 15*x^16 + 436*x^15 - 469*x^14 - 26*x^13 + 234*x^12 - 345*x^11 + 554*x^10 - 110*x^9 - 487*x^8 + 401*x^7 + 17*x^6 - 196*x^5 + 76*x^4 + 32*x^3 - 18*x^2 - 2*x + 1)
gp: K = bnfinit(y^22 - y^21 - 16*y^20 + 27*y^19 + 68*y^18 - 193*y^17 + 15*y^16 + 436*y^15 - 469*y^14 - 26*y^13 + 234*y^12 - 345*y^11 + 554*y^10 - 110*y^9 - 487*y^8 + 401*y^7 + 17*y^6 - 196*y^5 + 76*y^4 + 32*y^3 - 18*y^2 - 2*y + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 - x^21 - 16*x^20 + 27*x^19 + 68*x^18 - 193*x^17 + 15*x^16 + 436*x^15 - 469*x^14 - 26*x^13 + 234*x^12 - 345*x^11 + 554*x^10 - 110*x^9 - 487*x^8 + 401*x^7 + 17*x^6 - 196*x^5 + 76*x^4 + 32*x^3 - 18*x^2 - 2*x + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - x^21 - 16*x^20 + 27*x^19 + 68*x^18 - 193*x^17 + 15*x^16 + 436*x^15 - 469*x^14 - 26*x^13 + 234*x^12 - 345*x^11 + 554*x^10 - 110*x^9 - 487*x^8 + 401*x^7 + 17*x^6 - 196*x^5 + 76*x^4 + 32*x^3 - 18*x^2 - 2*x + 1)
\( x^{22} - x^{21} - 16 x^{20} + 27 x^{19} + 68 x^{18} - 193 x^{17} + 15 x^{16} + 436 x^{15} - 469 x^{14} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[14, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(3790988231418101231518884499009\)
\(\medspace = 23^{20}\cdot 47^{2}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(24.54\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $23^{10/11}47^{1/2}\approx 118.57232216797493$ | ||
| Ramified primes: |
\(23\), \(47\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{77\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!99}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!64}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!82}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!54}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!04}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{91\!\cdots\!50}{77\!\cdots\!37}a-\frac{10\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!37}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$a$, $\frac{42\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{94\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!20}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!78}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!87}{77\!\cdots\!37}a-\frac{84\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{19\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!77}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!51}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!59}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!62}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!09}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{71\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!17}{77\!\cdots\!37}a-\frac{38\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{44\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!71}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!64}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!13}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{81\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!99}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!30}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!26}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!13}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!42}{77\!\cdots\!37}a-\frac{11\!\cdots\!50}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{32\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!86}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!88}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!93}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!72}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!93}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!53}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!26}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!37}a-\frac{86\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{16\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!25}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!77}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!12}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{56\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!37}a+\frac{12\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{16\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!94}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!20}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!26}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!64}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!50}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!12}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!37}a-\frac{19\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{42\!\cdots\!93}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!17}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!40}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{88\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!60}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!30}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!86}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!88}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!37}a-\frac{48\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{10\!\cdots\!42}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!80}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!84}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!98}{77\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{76\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!08}{77\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!37}a+\frac{24\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{48\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{78\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{81\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!54}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!22}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!50}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{71\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!08}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!37}a-\frac{59\!\cdots\!84}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!13}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!26}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!86}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!78}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!42}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!54}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{92\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!50}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!84}{77\!\cdots\!37}a-\frac{11\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{46\!\cdots\!20}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!53}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{73\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!98}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!08}{77\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!06}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!10}{77\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!20}{77\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!29}{77\!\cdots\!37}a+\frac{21\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{61\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{99\!\cdots\!72}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{93\!\cdots\!14}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{83\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{92\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!70}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!33}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!52}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!41}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!37}a-\frac{76\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{17\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!37}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!08}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!40}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!25}{77\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!50}{77\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!87}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!15}{77\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!99}{77\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{46\!\cdots\!84}{77\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!94}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!37}a-\frac{52\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{42\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{94\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!16}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!20}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!78}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!18}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!00}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!50}{77\!\cdots\!37}a-\frac{84\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{10\!\cdots\!89}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!15}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!38}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!20}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!53}{77\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!13}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!90}{77\!\cdots\!37}a-\frac{81\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!37}$, $\frac{39\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!30}{77\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!22}{77\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!28}{77\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!62}{77\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!25}{77\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!34}{77\!\cdots\!37}a-\frac{11\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!37}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 24016183.4425 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{14}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 24016183.4425 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3790988231418101231518884499009}}\cr\approx \mathstrut & 0.157484273434 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - x^21 - 16*x^20 + 27*x^19 + 68*x^18 - 193*x^17 + 15*x^16 + 436*x^15 - 469*x^14 - 26*x^13 + 234*x^12 - 345*x^11 + 554*x^10 - 110*x^9 - 487*x^8 + 401*x^7 + 17*x^6 - 196*x^5 + 76*x^4 + 32*x^3 - 18*x^2 - 2*x + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^22 - x^21 - 16*x^20 + 27*x^19 + 68*x^18 - 193*x^17 + 15*x^16 + 436*x^15 - 469*x^14 - 26*x^13 + 234*x^12 - 345*x^11 + 554*x^10 - 110*x^9 - 487*x^8 + 401*x^7 + 17*x^6 - 196*x^5 + 76*x^4 + 32*x^3 - 18*x^2 - 2*x + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 - x^21 - 16*x^20 + 27*x^19 + 68*x^18 - 193*x^17 + 15*x^16 + 436*x^15 - 469*x^14 - 26*x^13 + 234*x^12 - 345*x^11 + 554*x^10 - 110*x^9 - 487*x^8 + 401*x^7 + 17*x^6 - 196*x^5 + 76*x^4 + 32*x^3 - 18*x^2 - 2*x + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - x^21 - 16*x^20 + 27*x^19 + 68*x^18 - 193*x^17 + 15*x^16 + 436*x^15 - 469*x^14 - 26*x^13 + 234*x^12 - 345*x^11 + 554*x^10 - 110*x^9 - 487*x^8 + 401*x^7 + 17*x^6 - 196*x^5 + 76*x^4 + 32*x^3 - 18*x^2 - 2*x + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^{10}:C_{11}$ (as 22T23):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 11264 |
| The 104 conjugacy class representatives for $C_2^{10}:C_{11}$ |
| Character table for $C_2^{10}:C_{11}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{23})^+\) |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 22 siblings: | data not computed |
| Degree 44 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | 22.10.3790988231418101231518884499009.1 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/3.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.11.0.1}{11} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/29.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.11.0.1}{11} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.11.0.1}{11} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(23\)
| 23.11.10.10 | $x^{11} + 23$ | $11$ | $1$ | $10$ | $C_{11}$ | $[\ ]_{11}$ |
| 23.11.10.10 | $x^{11} + 23$ | $11$ | $1$ | $10$ | $C_{11}$ | $[\ ]_{11}$ | |
|
\(47\)
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 47.2.0.1 | $x^{2} + 45 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 47.2.0.1 | $x^{2} + 45 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 47.2.1.1 | $x^{2} + 235$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 47.2.0.1 | $x^{2} + 45 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 47.2.0.1 | $x^{2} + 45 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 47.2.0.1 | $x^{2} + 45 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 47.2.1.2 | $x^{2} + 47$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |