Normalized defining polynomial
\( x^{22} - 7 x^{21} - 9 x^{20} + 171 x^{19} - 276 x^{18} - 1022 x^{17} + 3668 x^{16} - 1134 x^{15} + \cdots + 68279 \)
Invariants
Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[14, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(22661033510180079603495293971842498241\) \(\medspace = 1297^{12}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(49.88\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $1297^{3/4}\approx 216.12498794754728$ | ||
Ramified primes: | \(1297\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{25}a^{20}+\frac{6}{25}a^{19}-\frac{1}{5}a^{18}+\frac{12}{25}a^{17}-\frac{2}{5}a^{15}-\frac{12}{25}a^{14}-\frac{2}{5}a^{11}+\frac{6}{25}a^{10}-\frac{1}{25}a^{9}+\frac{6}{25}a^{7}+\frac{1}{5}a^{6}+\frac{9}{25}a^{5}+\frac{2}{25}a^{4}+\frac{8}{25}a^{3}-\frac{8}{25}a^{2}+\frac{8}{25}a-\frac{4}{25}$, $\frac{1}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!93}{63\!\cdots\!35}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!12}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!75}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!46}{63\!\cdots\!35}a-\frac{99\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!75}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{23\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!33}{63\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!82}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!43}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a+\frac{76\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{61\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!48}{63\!\cdots\!35}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!89}{63\!\cdots\!35}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!47}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!41}{63\!\cdots\!35}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!88}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!62}{63\!\cdots\!35}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!69}{63\!\cdots\!35}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{80\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!75}a+\frac{42\!\cdots\!78}{63\!\cdots\!35}$, $\frac{14\!\cdots\!28}{63\!\cdots\!35}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!68}{63\!\cdots\!35}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!87}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!87}{63\!\cdots\!35}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!97}{63\!\cdots\!35}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!75}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!83}{63\!\cdots\!35}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!87}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!75}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a-\frac{44\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{14\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!69}{63\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!43}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!22}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{89\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!75}a+\frac{19\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{21\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!75}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!93}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!75}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!73}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!41}{63\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!75}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!75}a+\frac{54\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{23\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!33}{63\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{97\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!82}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!43}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a+\frac{39\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{16\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!92}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!03}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!17}{63\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{69\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!76}{63\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!43}{63\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{97\!\cdots\!67}{63\!\cdots\!35}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!75}a-\frac{14\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{15\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!81}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{80\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!64}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!83}{63\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a+\frac{94\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{49\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!31}{63\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{85\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!14}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!66}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!75}a+\frac{22\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{28\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{66\!\cdots\!77}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!75}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!83}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!75}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!82}{63\!\cdots\!35}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!75}a-\frac{35\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{97\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{72\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!73}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!92}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!12}{63\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!56}{63\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!99}{63\!\cdots\!35}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!59}{63\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!75}a+\frac{79\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{91\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!93}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!62}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!75}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!99}{63\!\cdots\!35}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!75}a-\frac{42\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{53\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!47}{63\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{99\!\cdots\!78}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!27}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!75}a-\frac{17\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{30\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!44}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!51}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{89\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!08}{63\!\cdots\!35}a+\frac{21\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{94\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!75}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!75}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!69}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!75}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!81}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!75}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!75}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!98}{63\!\cdots\!35}a+\frac{78\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!75}$, $\frac{24\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!75}a^{20}-\frac{43\!\cdots\!82}{63\!\cdots\!35}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!46}{63\!\cdots\!35}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!93}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!94}{63\!\cdots\!35}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{81\!\cdots\!87}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!75}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!48}{63\!\cdots\!35}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!46}{63\!\cdots\!35}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{89\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!75}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!75}a-\frac{10\!\cdots\!08}{63\!\cdots\!35}$, $\frac{20\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!75}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!75}a^{20}+\frac{86\!\cdots\!67}{63\!\cdots\!35}a^{19}+\frac{66\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!75}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!99}{63\!\cdots\!35}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!75}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!87}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{86\!\cdots\!49}{63\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!75}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!75}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!75}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!58}{63\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!75}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!75}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!75}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!75}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!75}a+\frac{20\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!87}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 62984644695.5 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{14}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 62984644695.5 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{22661033510180079603495293971842498241}}\cr\approx \mathstrut & 0.168929012895 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^{10}.D_{11}$ (as 22T30):
A solvable group of order 22528 |
The 100 conjugacy class representatives for $C_2^{10}.D_{11}$ |
Character table for $C_2^{10}.D_{11}$ |
Intermediate fields
11.11.3670285774226257.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 22 siblings: | data not computed |
Degree 44 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | 22.14.17471883970840462300304775614373553.2 |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/3.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{5}$ | ${\href{/padicField/7.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{5}$ | ${\href{/padicField/13.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{5}$ | ${\href{/padicField/19.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{9}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{5}$ | ${\href{/padicField/47.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{5}$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(1297\) | $\Q_{1297}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{1297}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
Deg $4$ | $4$ | $1$ | $3$ | ||||
Deg $4$ | $4$ | $1$ | $3$ |