Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 2*x^20 - x^19 - 3*x^18 + 10*x^17 + 13*x^16 + x^15 - 27*x^14 - 16*x^13 - 20*x^12 + 55*x^11 - 4*x^10 + 8*x^9 - 32*x^8 - x^7 + 70*x^6 - 52*x^5 - 4*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2 - 6*x + 1)
gp: K = bnfinit(y^21 - 2*y^20 - y^19 - 3*y^18 + 10*y^17 + 13*y^16 + y^15 - 27*y^14 - 16*y^13 - 20*y^12 + 55*y^11 - 4*y^10 + 8*y^9 - 32*y^8 - y^7 + 70*y^6 - 52*y^5 - 4*y^4 + 6*y^3 + 2*y^2 - 6*y + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 2*x^20 - x^19 - 3*x^18 + 10*x^17 + 13*x^16 + x^15 - 27*x^14 - 16*x^13 - 20*x^12 + 55*x^11 - 4*x^10 + 8*x^9 - 32*x^8 - x^7 + 70*x^6 - 52*x^5 - 4*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2 - 6*x + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 2*x^20 - x^19 - 3*x^18 + 10*x^17 + 13*x^16 + x^15 - 27*x^14 - 16*x^13 - 20*x^12 + 55*x^11 - 4*x^10 + 8*x^9 - 32*x^8 - x^7 + 70*x^6 - 52*x^5 - 4*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2 - 6*x + 1)
\( x^{21} - 2 x^{20} - x^{19} - 3 x^{18} + 10 x^{17} + 13 x^{16} + x^{15} - 27 x^{14} - 16 x^{13} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[3, 9]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(-6826740523487474380439552\)
\(\medspace = -\,2^{21}\cdot 71^{10}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(15.23\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2^{3/2}71^{1/2}\approx 23.83275057562597$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(71\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-2}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{1123}a^{19}+\frac{549}{1123}a^{18}-\frac{486}{1123}a^{17}+\frac{29}{1123}a^{16}+\frac{485}{1123}a^{15}-\frac{210}{1123}a^{14}-\frac{484}{1123}a^{13}+\frac{269}{1123}a^{12}-\frac{486}{1123}a^{11}-\frac{380}{1123}a^{10}-\frac{229}{1123}a^{9}+\frac{184}{1123}a^{8}+\frac{226}{1123}a^{7}-\frac{126}{1123}a^{6}-\frac{383}{1123}a^{5}-\frac{240}{1123}a^{4}+\frac{135}{1123}a^{3}-\frac{73}{1123}a^{2}+\frac{400}{1123}a-\frac{482}{1123}$, $\frac{1}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{1831290216085}{57\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{427915791087797}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{445066428164865}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{962987638183864}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{690862674853154}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{513812502314985}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a-\frac{24\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{859098796309984}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{513184546071150}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{90\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{83\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{404549494737331}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{76\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{68\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a-\frac{83\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{26\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{65\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{86\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{32\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{299531420433311}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a-\frac{63\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{18\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{69\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{963619791070374}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a-\frac{57\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{12\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{877314763182357}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{75486919435253}{5128982048131}a^{4}+\frac{78\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{829795094620996}{57\!\cdots\!13}a-\frac{81\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{14\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{784277518456175}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a-\frac{11\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{12\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{743036770071761}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{54\!\cdots\!87}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a-\frac{10\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{57\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{37\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{501448818413361}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a-\frac{16\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{982255783775215}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{534383668381874}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{62\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{86\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{611561064731710}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a+\frac{13\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{73320916522334}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{388737782089224}{57\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{496234699578267}{57\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{154358740703264}{57\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a+\frac{25\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{11\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{30\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{85\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{427122688243206}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a-\frac{57\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{24\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{71\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{50\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!13}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a-\frac{10\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 7666.61577427 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{3}\cdot(2\pi)^{9}\cdot 7666.61577427 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{6826740523487474380439552}}\cr\approx \mathstrut & 0.179133085640 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 2*x^20 - x^19 - 3*x^18 + 10*x^17 + 13*x^16 + x^15 - 27*x^14 - 16*x^13 - 20*x^12 + 55*x^11 - 4*x^10 + 8*x^9 - 32*x^8 - x^7 + 70*x^6 - 52*x^5 - 4*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2 - 6*x + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 2*x^20 - x^19 - 3*x^18 + 10*x^17 + 13*x^16 + x^15 - 27*x^14 - 16*x^13 - 20*x^12 + 55*x^11 - 4*x^10 + 8*x^9 - 32*x^8 - x^7 + 70*x^6 - 52*x^5 - 4*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2 - 6*x + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 2*x^20 - x^19 - 3*x^18 + 10*x^17 + 13*x^16 + x^15 - 27*x^14 - 16*x^13 - 20*x^12 + 55*x^11 - 4*x^10 + 8*x^9 - 32*x^8 - x^7 + 70*x^6 - 52*x^5 - 4*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2 - 6*x + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 2*x^20 - x^19 - 3*x^18 + 10*x^17 + 13*x^16 + x^15 - 27*x^14 - 16*x^13 - 20*x^12 + 55*x^11 - 4*x^10 + 8*x^9 - 32*x^8 - x^7 + 70*x^6 - 52*x^5 - 4*x^4 + 6*x^3 + 2*x^2 - 6*x + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$S_3\times D_7$ (as 21T8):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 84 |
| The 15 conjugacy class representatives for $S_3\times D_7$ |
| Character table for $S_3\times D_7$ |
Intermediate fields
| 3.3.568.1, 7.1.357911.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 42 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | $21$ | ${\href{/padicField/5.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{10}{,}\,{\href{/padicField/11.1.0.1}{1} }$ | ${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/13.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{10}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/29.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/37.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/37.7.0.1}{7} }$ | ${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{10}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{9}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{10}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.7.0.1 | $x^{7} + x + 1$ | $1$ | $7$ | $0$ | $C_7$ | $[\ ]^{7}$ |
| 2.14.21.6 | $x^{14} + 158 x^{12} + 1568 x^{11} + 1332 x^{10} - 32384 x^{9} + 95128 x^{8} + 683008 x^{7} + 3694128 x^{6} + 18752000 x^{5} + 49924512 x^{4} + 51764736 x^{3} - 10775616 x^{2} + 27525120 x + 167639168$ | $2$ | $7$ | $21$ | $C_{14}$ | $[3]^{7}$ | |
|
\(71\)
| $\Q_{71}$ | $x + 64$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| 71.2.1.1 | $x^{2} + 497$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 71.2.1.2 | $x^{2} + 71$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 71.2.1.2 | $x^{2} + 71$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 71.2.1.2 | $x^{2} + 71$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 71.4.2.1 | $x^{4} + 138 x^{3} + 4917 x^{2} + 10764 x + 342127$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 71.4.2.1 | $x^{4} + 138 x^{3} + 4917 x^{2} + 10764 x + 342127$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
| 71.4.2.1 | $x^{4} + 138 x^{3} + 4917 x^{2} + 10764 x + 342127$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |