Normalized defining polynomial
\( x^{20} - 5 x^{18} - 2 x^{17} + 21 x^{16} - 42 x^{14} - 30 x^{13} + 10 x^{12} + 40 x^{11} + 30 x^{10} + \cdots - 1 \)
Invariants
Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[8, 6]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(4085400993762722886713344\) \(\medspace = 2^{20}\cdot 13^{4}\cdot 97^{2}\cdot 347^{4}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(17.00\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | not computed | ||
Ramified primes: | \(2\), \(13\), \(97\), \(347\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!48}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!86}{40\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!59}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{96\!\cdots\!69}{40\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!59}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{75278018222706}{40\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!54}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!12}{40\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!91}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!04}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{72\!\cdots\!64}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!10}{40\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!85}{40\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!51}{40\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!58}{40\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{91\!\cdots\!59}{40\!\cdots\!57}a+\frac{27\!\cdots\!86}{40\!\cdots\!57}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $13$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{77\!\cdots\!86}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!38}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!84}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!14}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!18}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!58}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!62}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!65}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!68}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!81}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!64}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!27}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!00}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!41}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!08}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{84\!\cdots\!50}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a-\frac{11\!\cdots\!12}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{24\!\cdots\!45}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!96}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!03}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!15}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!75}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{85\!\cdots\!99}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!76}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!59}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!41}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!81}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!99}{40\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!59}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!28}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!02}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!72}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!69}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!55}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!13}{40\!\cdots\!57}a-\frac{41\!\cdots\!80}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{24\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!92}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!89}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!54}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!90}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!63}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!64}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!09}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!28}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!28}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!47}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!24}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!87}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!76}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!66}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!48}{40\!\cdots\!57}a-\frac{48\!\cdots\!69}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{51\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!62}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{99\!\cdots\!88}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!36}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!76}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!18}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!92}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!54}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!32}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{80\!\cdots\!29}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!36}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!37}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!40}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!86}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!81}{40\!\cdots\!57}a-\frac{80\!\cdots\!28}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{12\!\cdots\!39}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!23}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!89}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!39}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!32}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!26}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!88}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!26}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!48}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!74}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!39}{40\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!73}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!14}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!63}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!60}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!55}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!04}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!18}{40\!\cdots\!57}a-\frac{20\!\cdots\!29}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{18\!\cdots\!56}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!96}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{87\!\cdots\!31}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!73}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!89}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!62}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!40}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!10}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!55}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!97}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!58}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!22}{40\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!56}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!06}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!00}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!50}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!18}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!98}{40\!\cdots\!57}a-\frac{25\!\cdots\!12}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{29\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!98}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!68}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!17}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!61}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!39}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!74}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!62}{40\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!19}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!89}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!89}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!79}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!56}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!01}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!79}{40\!\cdots\!57}a-\frac{51\!\cdots\!35}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{11\!\cdots\!07}{40\!\cdots\!57}a^{19}+\frac{73\!\cdots\!13}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{53\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!49}{40\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!12}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!64}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!16}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!47}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{56\!\cdots\!67}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!00}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{74\!\cdots\!03}{40\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!91}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{96\!\cdots\!65}{40\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!83}{40\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!00}{40\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{97\!\cdots\!52}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!69}{40\!\cdots\!57}a-\frac{51\!\cdots\!30}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{13\!\cdots\!06}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!01}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!07}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!49}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!99}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!30}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!60}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!92}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{43\!\cdots\!09}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!50}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!83}{40\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!70}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!84}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!10}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!30}{40\!\cdots\!57}a-\frac{28\!\cdots\!95}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{49\!\cdots\!52}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!72}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!94}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!92}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!90}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!60}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!98}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!49}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!39}{40\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!66}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{31\!\cdots\!04}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!62}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!56}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!39}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!84}{40\!\cdots\!57}a-\frac{87\!\cdots\!70}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{51\!\cdots\!80}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!04}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!14}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!49}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!28}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!90}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!65}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!89}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!85}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!54}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!62}{40\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!59}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!54}{40\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!74}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!79}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!44}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!48}{40\!\cdots\!57}a-\frac{84\!\cdots\!99}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{19\!\cdots\!76}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!17}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!86}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!33}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{66\!\cdots\!99}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!35}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!91}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!82}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!78}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!97}{40\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!35}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!07}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!24}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!58}{40\!\cdots\!57}a-\frac{29\!\cdots\!97}{40\!\cdots\!57}$, $\frac{14\!\cdots\!83}{40\!\cdots\!57}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!37}{40\!\cdots\!57}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!92}{40\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!11}{40\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!51}{40\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{52\!\cdots\!57}{40\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!03}{40\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!50}{40\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{47\!\cdots\!22}{40\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!00}{40\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!18}{40\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!11}{40\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!63}{40\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!33}{40\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!27}{40\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!96}{40\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!02}{40\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!24}{40\!\cdots\!57}a-\frac{30\!\cdots\!20}{40\!\cdots\!57}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 40383.3370327 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{8}\cdot(2\pi)^{6}\cdot 40383.3370327 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4085400993762722886713344}}\cr\approx \mathstrut & 0.157352641631 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^9.C_2^4:S_5$ (as 20T964):
A non-solvable group of order 983040 |
The 155 conjugacy class representatives for $C_2^9.C_2^4:S_5$ |
Character table for $C_2^9.C_2^4:S_5$ |
Intermediate fields
5.3.4511.1, 10.6.20837499904.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 20 siblings: | data not computed |
Degree 40 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{2}$ | R | $16{,}\,{\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{2}$ | $16{,}\,{\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{4}$ | $16{,}\,{\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/53.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $20$ | $2$ | $10$ | $20$ | |||
\(13\) | 13.4.0.1 | $x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |
13.8.4.1 | $x^{8} + 520 x^{7} + 101458 x^{6} + 8810644 x^{5} + 288610205 x^{4} + 142111548 x^{3} + 982314112 x^{2} + 3617879976 x + 920156436$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ | |
13.8.0.1 | $x^{8} + 8 x^{4} + 12 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2$ | $1$ | $8$ | $0$ | $C_8$ | $[\ ]^{8}$ | |
\(97\) | 97.2.0.1 | $x^{2} + 96 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |
97.2.0.1 | $x^{2} + 96 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
97.2.0.1 | $x^{2} + 96 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
97.2.0.1 | $x^{2} + 96 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
97.2.0.1 | $x^{2} + 96 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
97.2.0.1 | $x^{2} + 96 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
97.4.2.2 | $x^{4} - 9312 x^{2} + 47045$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
97.4.0.1 | $x^{4} + 6 x^{2} + 80 x + 5$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
\(347\) | $\Q_{347}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{347}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |