Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - x^19 + 9*x^18 - 2*x^17 - x^16 - 6*x^15 + 56*x^14 + 164*x^13 - 104*x^12 - 47*x^11 + 697*x^10 + 362*x^9 - 875*x^8 - 616*x^7 + 136*x^6 + 1180*x^5 + 1411*x^4 + 721*x^3 + 1737*x^2 + 1486*x + 1103)
gp: K = bnfinit(y^20 - y^19 + 9*y^18 - 2*y^17 - y^16 - 6*y^15 + 56*y^14 + 164*y^13 - 104*y^12 - 47*y^11 + 697*y^10 + 362*y^9 - 875*y^8 - 616*y^7 + 136*y^6 + 1180*y^5 + 1411*y^4 + 721*y^3 + 1737*y^2 + 1486*y + 1103, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - x^19 + 9*x^18 - 2*x^17 - x^16 - 6*x^15 + 56*x^14 + 164*x^13 - 104*x^12 - 47*x^11 + 697*x^10 + 362*x^9 - 875*x^8 - 616*x^7 + 136*x^6 + 1180*x^5 + 1411*x^4 + 721*x^3 + 1737*x^2 + 1486*x + 1103);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - x^19 + 9*x^18 - 2*x^17 - x^16 - 6*x^15 + 56*x^14 + 164*x^13 - 104*x^12 - 47*x^11 + 697*x^10 + 362*x^9 - 875*x^8 - 616*x^7 + 136*x^6 + 1180*x^5 + 1411*x^4 + 721*x^3 + 1737*x^2 + 1486*x + 1103)
\( x^{20} - x^{19} + 9 x^{18} - 2 x^{17} - x^{16} - 6 x^{15} + 56 x^{14} + 164 x^{13} - 104 x^{12} + \cdots + 1103 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(35796303426870968668217777609\)
\(\medspace = 11^{9}\cdot 19^{15}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(26.77\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $11^{9/10}19^{3/4}\approx 78.76234126420148$ | ||
| Ramified primes: |
\(11\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{209}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $10$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!37}a-\frac{27\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!37}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $9$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{24\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!37}a+\frac{38\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{20\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{80\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{90\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!37}a+\frac{41\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{27\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{79\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!37}a-\frac{32\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{31\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!37}a+\frac{62\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{10\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!37}a+\frac{10\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{44\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{84\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!37}a+\frac{36\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{71\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{89\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!37}a+\frac{71\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{49\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!37}a-\frac{14\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!37}$, $\frac{86\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{93\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{86\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!37}a+\frac{22\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!37}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 635235.6127553139 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 635235.6127553139 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{35796303426870968668217777609}}\cr\approx \mathstrut & 0.160984637944618 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - x^19 + 9*x^18 - 2*x^17 - x^16 - 6*x^15 + 56*x^14 + 164*x^13 - 104*x^12 - 47*x^11 + 697*x^10 + 362*x^9 - 875*x^8 - 616*x^7 + 136*x^6 + 1180*x^5 + 1411*x^4 + 721*x^3 + 1737*x^2 + 1486*x + 1103)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^20 - x^19 + 9*x^18 - 2*x^17 - x^16 - 6*x^15 + 56*x^14 + 164*x^13 - 104*x^12 - 47*x^11 + 697*x^10 + 362*x^9 - 875*x^8 - 616*x^7 + 136*x^6 + 1180*x^5 + 1411*x^4 + 721*x^3 + 1737*x^2 + 1486*x + 1103, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - x^19 + 9*x^18 - 2*x^17 - x^16 - 6*x^15 + 56*x^14 + 164*x^13 - 104*x^12 - 47*x^11 + 697*x^10 + 362*x^9 - 875*x^8 - 616*x^7 + 136*x^6 + 1180*x^5 + 1411*x^4 + 721*x^3 + 1737*x^2 + 1486*x + 1103);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - x^19 + 9*x^18 - 2*x^17 - x^16 - 6*x^15 + 56*x^14 + 164*x^13 - 104*x^12 - 47*x^11 + 697*x^10 + 362*x^9 - 875*x^8 - 616*x^7 + 136*x^6 + 1180*x^5 + 1411*x^4 + 721*x^3 + 1737*x^2 + 1486*x + 1103);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_{10}\wr C_2$ (as 20T53):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 200 |
| The 65 conjugacy class representatives for $C_{10}\wr C_2$ |
| Character table for $C_{10}\wr C_2$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{-19}) \), 4.0.75449.1, 10.0.36252565459.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 20 siblings: | data not computed |
| Degree 40 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.10.0.1}{10} }^{2}$ | $20$ | ${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }^{5}$ | R | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{5}$ | R | ${\href{/padicField/23.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}$ | $20$ | $20$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/43.5.0.1}{5} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.5.0.1}{5} }^{4}$ | $20$ | $20$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(11\)
| 11.10.0.1 | $x^{10} + 7 x^{5} + 8 x^{4} + 10 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2$ | $1$ | $10$ | $0$ | $C_{10}$ | $[\ ]^{10}$ |
| 11.10.9.4 | $x^{10} + 22$ | $10$ | $1$ | $9$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{10}$ | |
|
\(19\)
| 19.20.15.1 | $x^{20} + 115 x^{16} + 68 x^{15} - 7640 x^{12} - 82960 x^{11} + 1734 x^{10} + 130840 x^{8} + 4391440 x^{7} + 1884280 x^{6} + 19652 x^{5} + 5940880 x^{4} - 19545920 x^{3} + 10970440 x^{2} - 1768680 x + 813425$ | $4$ | $5$ | $15$ | 20T12 | $[\ ]_{4}^{10}$ |