Normalized defining polynomial
\( x^{16} - 7 x^{15} - 26 x^{14} + 244 x^{13} + 154 x^{12} - 3075 x^{11} + 698 x^{10} + 17667 x^{9} + \cdots + 1039 \)
Invariants
Degree: | $16$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[16, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(62012617154311401446400000000\) \(\medspace = 2^{16}\cdot 3^{4}\cdot 5^{8}\cdot 7^{6}\cdot 191^{5}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(63.03\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{175/96}3^{1/2}5^{1/2}7^{3/4}191^{5/6}\approx 4693.349490473681$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(191\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{191}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!57}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!57}a+\frac{12\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!57}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $15$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{140535629151275}{79\!\cdots\!83}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!23}{79\!\cdots\!83}a^{14}+\frac{311451891994373}{79\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!74}{79\!\cdots\!83}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!50}{79\!\cdots\!83}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!75}{79\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!44}{79\!\cdots\!83}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!52}{79\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!27}{79\!\cdots\!83}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!11}{79\!\cdots\!83}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!83}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!07}{79\!\cdots\!83}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!02}{79\!\cdots\!83}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!70}{79\!\cdots\!83}a+\frac{34\!\cdots\!06}{79\!\cdots\!83}$, $\frac{55\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{78\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!71}{97\!\cdots\!59}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!21}a-\frac{60\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!21}$, $\frac{17\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!57}a-\frac{28\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{68\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!57}a-\frac{34\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{30\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{64\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{86\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!57}a+\frac{78\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{16\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!57}a+\frac{83\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{18\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!57}a-\frac{14\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{11\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!57}a+\frac{18\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{12\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!57}a-\frac{79\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{40\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!57}a-\frac{75\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{15\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!57}a+\frac{29\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{21\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!57}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{76\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!57}a+\frac{12\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{47\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!57}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{59\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!57}a+\frac{16\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{34\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{76\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!57}a^{13}+\frac{83\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!57}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!57}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!57}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!57}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!57}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!57}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!03}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!57}a+\frac{12\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!57}$, $\frac{16\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!21}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!21}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!21}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!21}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!21}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!24}{97\!\cdots\!59}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!21}a-\frac{29\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!21}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 4183971505.09 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{16}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 4183971505.09 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{62012617154311401446400000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.550552352630 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^8.\PGOPlus(4,3)$ (as 16T1887):
A solvable group of order 147456 |
The 148 conjugacy class representatives for $C_2^8.\PGOPlus(4,3)$ |
Character table for $C_2^8.\PGOPlus(4,3)$ |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{5}) \), 8.8.160881210000.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 16 siblings: | data not computed |
Degree 32 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | R | R | R | ${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/13.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/17.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{6}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.4.0.1 | $x^{4} + x + 1$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |
2.12.16.1 | $x^{12} - 2 x^{11} + 4 x^{10} + 4 x^{9} - 4 x^{7} + 10 x^{6} + 8 x^{5} + 4 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2} + 12$ | $6$ | $2$ | $16$ | 12T208 | $[4/3, 4/3, 4/3, 4/3, 2, 2]_{3}^{6}$ | |
\(3\) | 3.4.2.2 | $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 18$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
3.4.2.2 | $x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 18$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_4$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
3.8.0.1 | $x^{8} + 2 x^{5} + x^{4} + 2 x^{2} + 2 x + 2$ | $1$ | $8$ | $0$ | $C_8$ | $[\ ]^{8}$ | |
\(5\) | 5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |
5.2.1.1 | $x^{2} + 5$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
5.12.6.1 | $x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$ | $2$ | $6$ | $6$ | $C_6\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{6}$ | |
\(7\) | 7.8.6.3 | $x^{8} - 154 x^{4} - 1421$ | $4$ | $2$ | $6$ | $C_8:C_2$ | $[\ ]_{4}^{4}$ |
7.8.0.1 | $x^{8} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x + 3$ | $1$ | $8$ | $0$ | $C_8$ | $[\ ]^{8}$ | |
\(191\) | $\Q_{191}$ | $x + 172$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{191}$ | $x + 172$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
191.2.0.1 | $x^{2} + 190 x + 19$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
191.2.1.1 | $x^{2} + 1337$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
191.3.2.1 | $x^{3} + 191$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
191.3.2.1 | $x^{3} + 191$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
191.4.0.1 | $x^{4} + 7 x^{2} + 100 x + 19$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |