LMFDB - L-function 14-208e7-1.1-c9e7-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 13·3^-s − 801·5^-s + 1.09e3·7^-s − 2.48e4·9^-s − 3.22e4·11^-s − 1.99e5·13^-s + 1.04e4·15^-s − 8.70e5·17^-s + 1.28e5·19^-s − 1.41e4·21^-s − 2.19e6·23^-s − 6.01e6·25^-s − 1.40e6·27^-s + 6.32e6·29^-s + 1.66e6·31^-s + 4.18e5·33^-s − 8.73e5·35^-s + 5.05e6·37^-s + 2.59e6·39^-s + 1.47e7·41^-s − 9.40e6·43^-s + 1.99e7·45^-s − 1.33e8·47^-s − 1.18e8·49^-s + 1.13e7·51^-s + 4.39e7·53^-s + 2.58e7·55^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.0926·3^-s − 0.573·5^-s + 0.171·7^-s − 1.26·9^-s − 0.663·11^-s − 1.94·13^-s + 0.0531·15^-s − 2.52·17^-s + 0.227·19^-s − 0.0159·21^-s − 1.63·23^-s − 3.08·25^-s − 0.508·27^-s + 1.66·29^-s + 0.322·31^-s + 0.0614·33^-s − 0.0984·35^-s + 0.443·37^-s + 0.179·39^-s + 0.816·41^-s − 0.419·43^-s + 0.724·45^-s − 3.98·47^-s − 2.93·49^-s + 0.234·51^-s + 0.765·53^-s + 0.380·55^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{28} \cdot 13^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(10-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{28} \cdot 13^{7}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+9/2)^{7} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$14$
Conductor:	$2^{28} \cdot 13^{7}$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$1.61921\times 10^{14}$
Root analytic conductor:	$10.3502$
Motivic weight:	$9$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$7$
Selberg data:	$(14,\ 2^{28} \cdot 13^{7} ,\ ( \ : [9/2]^{7} ),\ -1 )$

Particular Values

$L(5)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{11}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	13	$ ( 1 + p^{4} T )^{7} $
good	3	$ 1 + 13 T + 25043 T^{2} + 2053328 T^{3} + 20124160 p^{3} T^{4} + 6031003952 p^{2} T^{5} + 182979860038 p^{4} T^{6} + 19312574354462 p^{4} T^{7} + 182979860038 p^{13} T^{8} + 6031003952 p^{20} T^{9} + 20124160 p^{30} T^{10} + 2053328 p^{36} T^{11} + 25043 p^{45} T^{12} + 13 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	5	$ 1 + 801 T + 6660733 T^{2} + 5064355348 T^{3} + 21716297122556 T^{4} + 17062730645508676 T^{5} + 10382801094399988062 p T^{6} + $$15\!\cdots\!42$$ p^{2} T^{7} + 10382801094399988062 p^{10} T^{8} + 17062730645508676 p^{18} T^{9} + 21716297122556 p^{27} T^{10} + 5064355348 p^{36} T^{11} + 6660733 p^{45} T^{12} + 801 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	7	$ 1 - 1091 T + 119560271 T^{2} - 368744923300 T^{3} + 1014627536780272 p T^{4} - 829089462002051456 p^{2} T^{5} + $$92\!\cdots\!30$$ p^{3} T^{6} - $$91\!\cdots\!42$$ p^{4} T^{7} + $$92\!\cdots\!30$$ p^{12} T^{8} - 829089462002051456 p^{20} T^{9} + 1014627536780272 p^{28} T^{10} - 368744923300 p^{36} T^{11} + 119560271 p^{45} T^{12} - 1091 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	11	$ 1 + 32218 T + 6772858225 T^{2} + 338396345843676 T^{3} + 25826609872433774457 T^{4} + $$12\!\cdots\!22$$ T^{5} + $$85\!\cdots\!61$$ T^{6} + $$28\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$85\!\cdots\!61$$ p^{9} T^{8} + $$12\!\cdots\!22$$ p^{18} T^{9} + 25826609872433774457 p^{27} T^{10} + 338396345843676 p^{36} T^{11} + 6772858225 p^{45} T^{12} + 32218 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	17	$ 1 + 870531 T + 741608121217 T^{2} + 21051539881489764 p T^{3} + $$17\!\cdots\!96$$ T^{4} + $$62\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$25\!\cdots\!18$$ T^{6} + $$77\!\cdots\!22$$ T^{7} + $$25\!\cdots\!18$$ p^{9} T^{8} + $$62\!\cdots\!40$$ p^{18} T^{9} + $$17\!\cdots\!96$$ p^{27} T^{10} + 21051539881489764 p^{37} T^{11} + 741608121217 p^{45} T^{12} + 870531 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	19	$ 1 - 128950 T + 931518479673 T^{2} - 118566279292598212 T^{3} + $$55\!\cdots\!17$$ T^{4} - $$62\!\cdots\!62$$ T^{5} + $$24\!\cdots\!01$$ T^{6} - $$25\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$24\!\cdots\!01$$ p^{9} T^{8} - $$62\!\cdots\!62$$ p^{18} T^{9} + $$55\!\cdots\!17$$ p^{27} T^{10} - 118566279292598212 p^{36} T^{11} + 931518479673 p^{45} T^{12} - 128950 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	23	$ 1 + 2198844 T + 8784130795521 T^{2} + 12396998084996460760 T^{3} + $$25\!\cdots\!77$$ T^{4} + $$23\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$38\!\cdots\!61$$ T^{6} + $$31\!\cdots\!72$$ T^{7} + $$38\!\cdots\!61$$ p^{9} T^{8} + $$23\!\cdots\!48$$ p^{18} T^{9} + $$25\!\cdots\!77$$ p^{27} T^{10} + 12396998084996460760 p^{36} T^{11} + 8784130795521 p^{45} T^{12} + 2198844 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	29	$ 1 - 6327710 T + 77169838924031 T^{2} - $$36\!\cdots\!96$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!57$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!46$$ T^{5} + $$60\!\cdots\!03$$ T^{6} - $$19\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$60\!\cdots\!03$$ p^{9} T^{8} - $$10\!\cdots\!46$$ p^{18} T^{9} + $$27\!\cdots\!57$$ p^{27} T^{10} - $$36\!\cdots\!96$$ p^{36} T^{11} + 77169838924031 p^{45} T^{12} - 6327710 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	31	$ 1 - 1660376 T + 82831486974541 T^{2} - $$27\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$35\!\cdots\!65$$ T^{4} - $$15\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!45$$ T^{6} - $$51\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!45$$ p^{9} T^{8} - $$15\!\cdots\!84$$ p^{18} T^{9} + $$35\!\cdots\!65$$ p^{27} T^{10} - $$27\!\cdots\!40$$ p^{36} T^{11} + 82831486974541 p^{45} T^{12} - 1660376 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	37	$ 1 - 5058787 T + 516659224187757 T^{2} - $$22\!\cdots\!04$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!44$$ T^{4} - $$54\!\cdots\!16$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!62$$ T^{6} - $$84\!\cdots\!42$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!62$$ p^{9} T^{8} - $$54\!\cdots\!16$$ p^{18} T^{9} + $$14\!\cdots\!44$$ p^{27} T^{10} - $$22\!\cdots\!04$$ p^{36} T^{11} + 516659224187757 p^{45} T^{12} - 5058787 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	41	$ 1 - 14779748 T + 1231265342825987 T^{2} - $$18\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$78\!\cdots\!45$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!64$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!47$$ T^{6} - $$40\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$33\!\cdots\!47$$ p^{9} T^{8} - $$10\!\cdots\!64$$ p^{18} T^{9} + $$78\!\cdots\!45$$ p^{27} T^{10} - $$18\!\cdots\!60$$ p^{36} T^{11} + 1231265342825987 p^{45} T^{12} - 14779748 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	43	$ 1 + 9405075 T + 2440630760951027 T^{2} + $$27\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$28\!\cdots\!48$$ T^{4} + $$32\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!30$$ T^{6} + $$20\!\cdots\!02$$ T^{7} + $$21\!\cdots\!30$$ p^{9} T^{8} + $$32\!\cdots\!96$$ p^{18} T^{9} + $$28\!\cdots\!48$$ p^{27} T^{10} + $$27\!\cdots\!24$$ p^{36} T^{11} + 2440630760951027 p^{45} T^{12} + 9405075 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	47	$ 1 + 133415721 T + 11879377207819783 T^{2} + $$15\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$37\!\cdots\!12$$ T^{4} + $$15\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$61\!\cdots\!10$$ T^{6} + $$21\!\cdots\!54$$ T^{7} + $$61\!\cdots\!10$$ p^{9} T^{8} + $$15\!\cdots\!96$$ p^{18} T^{9} + $$37\!\cdots\!12$$ p^{27} T^{10} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{37} T^{11} + 11879377207819783 p^{45} T^{12} + 133415721 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	53	$ 1 - 43962424 T + 16195850712298279 T^{2} - $$48\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!25$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!36$$ T^{5} + $$52\!\cdots\!15$$ T^{6} - $$84\!\cdots\!24$$ T^{7} + $$52\!\cdots\!15$$ p^{9} T^{8} - $$24\!\cdots\!36$$ p^{18} T^{9} + $$11\!\cdots\!25$$ p^{27} T^{10} - $$48\!\cdots\!60$$ p^{36} T^{11} + 16195850712298279 p^{45} T^{12} - 43962424 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	59	$ 1 + 22370274 T + 251316951725651 p T^{2} + $$13\!\cdots\!12$$ T^{3} + $$79\!\cdots\!65$$ T^{4} - $$97\!\cdots\!82$$ T^{5} - $$25\!\cdots\!59$$ T^{6} - $$13\!\cdots\!76$$ T^{7} - $$25\!\cdots\!59$$ p^{9} T^{8} - $$97\!\cdots\!82$$ p^{18} T^{9} + $$79\!\cdots\!65$$ p^{27} T^{10} + $$13\!\cdots\!12$$ p^{36} T^{11} + 251316951725651 p^{46} T^{12} + 22370274 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	61	$ 1 - 23851748 T + 32245546204052015 T^{2} - $$40\!\cdots\!88$$ T^{3} + $$58\!\cdots\!01$$ T^{4} + $$38\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$73\!\cdots\!95$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$73\!\cdots\!95$$ p^{9} T^{8} + $$38\!\cdots\!00$$ p^{18} T^{9} + $$58\!\cdots\!01$$ p^{27} T^{10} - $$40\!\cdots\!88$$ p^{36} T^{11} + 32245546204052015 p^{45} T^{12} - 23851748 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	67	$ 1 + 12058786 T + 74157677501641385 T^{2} - $$16\!\cdots\!68$$ T^{3} + $$25\!\cdots\!89$$ T^{4} + $$25\!\cdots\!86$$ T^{5} + $$81\!\cdots\!61$$ T^{6} + $$43\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$81\!\cdots\!61$$ p^{9} T^{8} + $$25\!\cdots\!86$$ p^{18} T^{9} + $$25\!\cdots\!89$$ p^{27} T^{10} - $$16\!\cdots\!68$$ p^{36} T^{11} + 74157677501641385 p^{45} T^{12} + 12058786 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	71	$ 1 + 864303791 T + 550539503798348447 T^{2} + $$24\!\cdots\!72$$ T^{3} + $$90\!\cdots\!04$$ T^{4} + $$27\!\cdots\!40$$ T^{5} + $$72\!\cdots\!38$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!14$$ T^{7} + $$72\!\cdots\!38$$ p^{9} T^{8} + $$27\!\cdots\!40$$ p^{18} T^{9} + $$90\!\cdots\!04$$ p^{27} T^{10} + $$24\!\cdots\!72$$ p^{36} T^{11} + 550539503798348447 p^{45} T^{12} + 864303791 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	73	$ 1 - 670491202 T + 446754288562229859 T^{2} - $$17\!\cdots\!68$$ T^{3} + $$70\!\cdots\!93$$ T^{4} - $$20\!\cdots\!90$$ T^{5} + $$62\!\cdots\!83$$ T^{6} - $$15\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$62\!\cdots\!83$$ p^{9} T^{8} - $$20\!\cdots\!90$$ p^{18} T^{9} + $$70\!\cdots\!93$$ p^{27} T^{10} - $$17\!\cdots\!68$$ p^{36} T^{11} + 446754288562229859 p^{45} T^{12} - 670491202 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	79	$ 1 + 1019547572 T + 921853887734368185 T^{2} + $$57\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$33\!\cdots\!53$$ T^{4} + $$15\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$65\!\cdots\!21$$ T^{6} + $$23\!\cdots\!36$$ T^{7} + $$65\!\cdots\!21$$ p^{9} T^{8} + $$15\!\cdots\!32$$ p^{18} T^{9} + $$33\!\cdots\!53$$ p^{27} T^{10} + $$57\!\cdots\!92$$ p^{36} T^{11} + 921853887734368185 p^{45} T^{12} + 1019547572 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	83	$ 1 + 1345041700 T + 972355041454952553 T^{2} + $$51\!\cdots\!24$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!13$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!96$$ T^{5} + $$71\!\cdots\!85$$ T^{6} + $$31\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$71\!\cdots\!85$$ p^{9} T^{8} + $$14\!\cdots\!96$$ p^{18} T^{9} + $$27\!\cdots\!13$$ p^{27} T^{10} + $$51\!\cdots\!24$$ p^{36} T^{11} + 972355041454952553 p^{45} T^{12} + 1345041700 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	89	$ 1 - 1409158546 T + 2328320179174890963 T^{2} - $$24\!\cdots\!84$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!01$$ T^{4} - $$19\!\cdots\!90$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!15$$ T^{6} - $$86\!\cdots\!80$$ T^{7} + $$13\!\cdots\!15$$ p^{9} T^{8} - $$19\!\cdots\!90$$ p^{18} T^{9} + $$23\!\cdots\!01$$ p^{27} T^{10} - $$24\!\cdots\!84$$ p^{36} T^{11} + 2328320179174890963 p^{45} T^{12} - 1409158546 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
	97	$ 1 - 320206906 T + 1544304231459250411 T^{2} + $$87\!\cdots\!92$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!69$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!62$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!15$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!15$$ p^{9} T^{8} + $$14\!\cdots\!62$$ p^{18} T^{9} + $$11\!\cdots\!69$$ p^{27} T^{10} + $$87\!\cdots\!92$$ p^{36} T^{11} + 1544304231459250411 p^{45} T^{12} - 320206906 p^{54} T^{13} + p^{63} T^{14} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{14} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−4.93080535678196584369151897101, −4.89361077721631549331823791398, −4.82958869235707139845591414762, −4.61558458993928525711181355470, −4.29330338138925256306848111555, −4.19997785431618932916601146637, −4.02988630012757607064710794012, −4.02726282499298762892637985530, −3.65963355172214707444827945521, −3.54227124432324091289546281913, −3.37004361973436265509490251480, −3.16838297667394621656005310768, −2.81139988661790345231320382059, −2.72336944380752326968360650836, −2.62441303640563966304326121304, −2.42393077355455098959891392874, −2.39101970471462830707125356064, −2.15988341476817239348555501837, −2.00410422293429755484992919432, −1.62186397027378756611550895400, −1.47549472449350956807436582882, −1.39786717804152108589145033049, −1.38281066450342178661232696605, −0.909801047092264806400518312888, −0.73044132105071408208733846015, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.73044132105071408208733846015, 0.909801047092264806400518312888, 1.38281066450342178661232696605, 1.39786717804152108589145033049, 1.47549472449350956807436582882, 1.62186397027378756611550895400, 2.00410422293429755484992919432, 2.15988341476817239348555501837, 2.39101970471462830707125356064, 2.42393077355455098959891392874, 2.62441303640563966304326121304, 2.72336944380752326968360650836, 2.81139988661790345231320382059, 3.16838297667394621656005310768, 3.37004361973436265509490251480, 3.54227124432324091289546281913, 3.65963355172214707444827945521, 4.02726282499298762892637985530, 4.02988630012757607064710794012, 4.19997785431618932916601146637, 4.29330338138925256306848111555, 4.61558458993928525711181355470, 4.82958869235707139845591414762, 4.89361077721631549331823791398, 4.93080535678196584369151897101

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

\(L(5)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{11}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

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L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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