# Properties

 Label 9.522324376576.16t1294.a.a Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{10} \cdot 17^{3} \cdot 47^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $522324376576= 2^{10} \cdot 17^{3} \cdot 47^{3}$ Artin number field: Splitting field of 8.2.1004924672.1 defined by $f= x^{8} - 4 x^{6} - 4 x^{5} + 7 x^{4} + 8 x^{3} - 2 x^{2} - 6 x - 2$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.799.2t1.a.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.2.1004924672.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 82.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: $x^{3} + 3 x + 51$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $15 a^{2} + 11 a + 15 + \left(44 a^{2} + 8 a + 52\right)\cdot 53 + \left(29 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 53^{2} + \left(12 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 53^{3} + \left(47 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 53^{4} + \left(31 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 53^{5} + \left(45 a^{2} + 47 a + 18\right)\cdot 53^{6} + \left(33 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 53^{7} + \left(45 a^{2} + 49 a + 31\right)\cdot 53^{8} + \left(15 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 53^{9} + \left(17 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 53^{10} + \left(25 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 53^{11} + \left(a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 53^{12} + \left(39 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 53^{13} + \left(52 a^{2} + 11 a + 44\right)\cdot 53^{14} + \left(52 a^{2} + 21 a + 42\right)\cdot 53^{15} + \left(4 a^{2} + 37 a + 51\right)\cdot 53^{16} + \left(48 a^{2} + 50 a + 39\right)\cdot 53^{17} + \left(17 a^{2} + 47 a + 48\right)\cdot 53^{18} + \left(13 a^{2} + 49 a + 51\right)\cdot 53^{19} + \left(12 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 53^{20} + \left(12 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 53^{21} + \left(15 a^{2} + 50\right)\cdot 53^{22} + \left(26 a^{2} + 42\right)\cdot 53^{23} + \left(3 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 53^{24} + \left(42 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 53^{25} + \left(46 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 53^{26} + \left(22 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 53^{27} + \left(11 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 53^{28} + \left(17 a + 48\right)\cdot 53^{29} + \left(42 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 53^{30} + \left(31 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 53^{31} + \left(52 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 53^{32} + \left(25 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 53^{33} + \left(18 a^{2} + 28 a + 37\right)\cdot 53^{34} + \left(8 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 53^{35} + \left(11 a^{2} + 40 a + 51\right)\cdot 53^{36} + \left(12 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 53^{37} + \left(7 a^{2} + 46 a + 36\right)\cdot 53^{38} + \left(5 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 53^{39} + \left(22 a^{2} + 7 a + 50\right)\cdot 53^{40} + \left(40 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 53^{41} + \left(46 a^{2} + 46 a + 37\right)\cdot 53^{42} + \left(44 a^{2} + 34 a + 38\right)\cdot 53^{43} + \left(22 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 53^{44} + \left(51 a^{2} + 43 a + 33\right)\cdot 53^{45} + \left(29 a^{2} + 45 a + 30\right)\cdot 53^{46} + \left(22 a^{2} + 28 a\right)\cdot 53^{47} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 53^{48} + \left(50 a^{2} + 35\right)\cdot 53^{49} + \left(31 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 53^{50} + \left(20 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 53^{51} + \left(4 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 53^{52} + \left(13 a^{2} + 28 a + 52\right)\cdot 53^{53} + \left(15 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 53^{54} + \left(26 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 53^{55} + \left(7 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 53^{56} + \left(5 a + 3\right)\cdot 53^{57} + \left(28 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 53^{58} + \left(38 a^{2} + 52 a + 27\right)\cdot 53^{59} + \left(31 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{60} + \left(22 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 53^{61} + \left(19 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 53^{62} + \left(37 a^{2} + 32 a + 50\right)\cdot 53^{63} + \left(19 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 53^{64} + \left(17 a^{2} + 41 a + 34\right)\cdot 53^{65} + \left(10 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 53^{66} + \left(51 a^{2} + 17 a + 51\right)\cdot 53^{67} + \left(25 a^{2} + 50 a + 18\right)\cdot 53^{68} + \left(25 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 53^{69} + \left(38 a^{2} + a + 15\right)\cdot 53^{70} + \left(25 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 53^{71} + \left(34 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 53^{72} + \left(15 a + 20\right)\cdot 53^{73} + \left(51 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 53^{74} + \left(12 a^{2} + 45 a + 48\right)\cdot 53^{75} + \left(4 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 53^{76} + \left(2 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 53^{77} + \left(30 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 53^{78} + \left(48 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 53^{79} + \left(34 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 53^{80} + \left(27 a^{2} + 41\right)\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $9 a^{2} + 33 a + 3 + \left(39 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 53 + \left(43 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 53^{2} + \left(3 a^{2} + 14\right)\cdot 53^{3} + \left(12 a + 46\right)\cdot 53^{4} + \left(51 a^{2} + 36 a + 5\right)\cdot 53^{5} + \left(45 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 53^{6} + \left(17 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 53^{7} + \left(34 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 53^{8} + \left(16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 53^{9} + \left(35 a^{2} + 47 a + 13\right)\cdot 53^{10} + \left(23 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 53^{11} + \left(18 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 53^{12} + \left(52 a^{2} + 7 a + 51\right)\cdot 53^{13} + \left(50 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 53^{14} + \left(48 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 53^{15} + \left(17 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 53^{16} + \left(34 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 53^{17} + \left(37 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 53^{18} + \left(7 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 53^{19} + \left(40 a^{2} + 20 a + 43\right)\cdot 53^{20} + \left(18 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 53^{21} + \left(23 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 53^{22} + \left(9 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 53^{23} + \left(43 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 53^{24} + \left(15 a^{2} + 48 a + 1\right)\cdot 53^{25} + \left(48 a^{2} + a + 5\right)\cdot 53^{26} + \left(5 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 53^{27} + \left(30 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 53^{28} + \left(12 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 53^{29} + \left(38 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 53^{30} + \left(43 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 53^{31} + \left(45 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 53^{32} + \left(41 a^{2} + 36 a + 49\right)\cdot 53^{33} + \left(29 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 53^{34} + \left(34 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 53^{35} + \left(44 a + 30\right)\cdot 53^{36} + \left(40 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 53^{37} + \left(35 a^{2} + 45 a + 40\right)\cdot 53^{38} + \left(2 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 53^{39} + \left(46 a^{2} + 43 a + 45\right)\cdot 53^{40} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 53^{41} + \left(43 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 53^{42} + \left(43 a^{2} + 15 a + 36\right)\cdot 53^{43} + \left(18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 53^{44} + \left(28 a^{2} + 51 a + 40\right)\cdot 53^{45} + \left(47 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 53^{46} + \left(41 a^{2} + 45 a + 39\right)\cdot 53^{47} + \left(33 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 53^{48} + \left(30 a^{2} + 27 a + 49\right)\cdot 53^{49} + \left(20 a^{2} + 49 a + 40\right)\cdot 53^{50} + \left(5 a^{2} + 36 a + 49\right)\cdot 53^{51} + \left(26 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 53^{52} + \left(34 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 53^{53} + \left(39 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 53^{54} + \left(29 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 53^{55} + \left(16 a^{2} + 48 a + 42\right)\cdot 53^{56} + \left(39 a^{2} + 8 a + 28\right)\cdot 53^{57} + \left(47 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 53^{58} + \left(48 a^{2} + 9 a + 47\right)\cdot 53^{59} + \left(3 a^{2} + 45 a + 26\right)\cdot 53^{60} + \left(37 a^{2} + 13 a\right)\cdot 53^{61} + \left(19 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 53^{62} + \left(16 a^{2} + 31 a + 8\right)\cdot 53^{63} + \left(25 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 53^{64} + \left(46 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 53^{65} + \left(47 a^{2} + 41 a\right)\cdot 53^{66} + \left(5 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 53^{67} + \left(37 a^{2} + a + 41\right)\cdot 53^{68} + \left(35 a^{2} + 50 a + 39\right)\cdot 53^{69} + \left(35 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 53^{70} + \left(23 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 53^{71} + \left(51 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 53^{72} + \left(20 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 53^{73} + \left(43 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 53^{74} + \left(14 a^{2} + 27 a + 52\right)\cdot 53^{75} + \left(18 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 53^{76} + \left(35 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 53^{77} + \left(45 a^{2} + 51 a + 13\right)\cdot 53^{78} + 8 a^{2}53^{79} + \left(16 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 53^{80} + \left(39 a^{2} + 51 a + 11\right)\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $10 a^{2} + 46 a + 14 + \left(23 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 53 + \left(25 a^{2} + 52 a + 45\right)\cdot 53^{2} + \left(25 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 53^{3} + \left(34 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 53^{4} + \left(4 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 53^{5} + \left(23 a^{2} + 51 a + 47\right)\cdot 53^{6} + \left(43 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 53^{7} + \left(51 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 53^{8} + \left(18 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 53^{9} + \left(45 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 53^{10} + \left(39 a^{2} + 34 a + 2\right)\cdot 53^{11} + \left(2 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 53^{12} + \left(29 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 53^{13} + \left(6 a^{2} + 47 a + 22\right)\cdot 53^{14} + \left(22 a^{2} + 47 a + 2\right)\cdot 53^{15} + \left(3 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 53^{16} + \left(28 a^{2} + 11 a + 50\right)\cdot 53^{17} + \left(17 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 53^{18} + \left(a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 53^{19} + \left(45 a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 53^{20} + \left(8 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 53^{21} + \left(37 a^{2} + a + 40\right)\cdot 53^{22} + \left(21 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 53^{23} + \left(30 a^{2} + 50 a + 25\right)\cdot 53^{24} + \left(20 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 53^{25} + \left(22 a^{2} + 48 a + 36\right)\cdot 53^{26} + \left(47 a^{2} + a + 4\right)\cdot 53^{27} + \left(52 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 53^{28} + \left(48 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 53^{29} + \left(30 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 53^{30} + \left(36 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 53^{31} + \left(40 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 53^{32} + \left(7 a^{2} + 47 a + 15\right)\cdot 53^{33} + \left(a^{2} + 37 a + 7\right)\cdot 53^{34} + \left(47 a^{2} + 14 a + 46\right)\cdot 53^{35} + \left(42 a^{2} + 34 a + 47\right)\cdot 53^{36} + \left(12 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 53^{37} + \left(13 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 53^{38} + \left(36 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 53^{39} + \left(46 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 53^{40} + \left(45 a^{2} + 8 a + 32\right)\cdot 53^{41} + \left(29 a^{2} + 44 a + 24\right)\cdot 53^{42} + \left(18 a^{2} + 46 a + 5\right)\cdot 53^{43} + \left(48 a^{2} + 33 a + 38\right)\cdot 53^{44} + \left(42 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 53^{45} + \left(30 a^{2} + 13 a + 36\right)\cdot 53^{46} + \left(7 a^{2} + 21 a + 50\right)\cdot 53^{47} + \left(18 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 53^{48} + \left(30 a^{2} + 46 a + 14\right)\cdot 53^{49} + \left(25 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 53^{50} + \left(43 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 53^{51} + \left(15 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 53^{52} + \left(22 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 53^{53} + \left(24 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 53^{54} + \left(11 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 53^{55} + \left(3 a + 5\right)\cdot 53^{56} + \left(44 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 53^{57} + \left(43 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 53^{58} + \left(22 a^{2} + 39 a + 39\right)\cdot 53^{59} + \left(11 a^{2} + 42 a + 23\right)\cdot 53^{60} + \left(31 a^{2} + 27 a + 52\right)\cdot 53^{61} + \left(16 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 53^{62} + \left(7 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 53^{63} + \left(41 a^{2} + 44 a\right)\cdot 53^{64} + \left(42 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 53^{65} + \left(30 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 53^{66} + \left(8 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 53^{67} + \left(50 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 53^{68} + \left(22 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 53^{69} + \left(52 a^{2} + a + 42\right)\cdot 53^{70} + \left(46 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 53^{71} + \left(13 a^{2} + 31 a + 14\right)\cdot 53^{72} + \left(26 a^{2} + 45 a + 16\right)\cdot 53^{73} + \left(36 a^{2} + 40 a + 46\right)\cdot 53^{74} + \left(31 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 53^{75} + \left(52 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 53^{76} + \left(29 a^{2} + 33 a + 47\right)\cdot 53^{77} + \left(21 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 53^{78} + \left(24 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 53^{79} + \left(11 a^{2} + 20 a + 51\right)\cdot 53^{80} + \left(12 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $29 a^{2} + 9 a + 43 + \left(22 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 53 + \left(32 a^{2} + 51 a + 12\right)\cdot 53^{2} + \left(36 a^{2} + 42 a + 27\right)\cdot 53^{3} + \left(5 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 53^{4} + \left(23 a^{2} + 51 a + 3\right)\cdot 53^{5} + \left(14 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 53^{6} + \left(a^{2} + 28 a + 45\right)\cdot 53^{7} + \left(26 a^{2} + 28 a + 44\right)\cdot 53^{8} + \left(20 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 53^{9} + \left(43 a + 49\right)\cdot 53^{10} + \left(4 a^{2} + 26 a\right)\cdot 53^{11} + \left(33 a^{2} + 43 a + 17\right)\cdot 53^{12} + \left(14 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 53^{13} + \left(2 a^{2} + 9 a + 49\right)\cdot 53^{14} + \left(4 a^{2} + 24 a + 50\right)\cdot 53^{15} + \left(30 a^{2} + 4 a + 48\right)\cdot 53^{16} + \left(23 a^{2} + 30 a + 43\right)\cdot 53^{17} + \left(50 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 53^{18} + \left(31 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 53^{19} + \left(19 a + 17\right)\cdot 53^{20} + \left(22 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 53^{21} + \left(14 a^{2} + 38 a + 48\right)\cdot 53^{22} + \left(17 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 53^{23} + \left(6 a^{2} + 44 a + 18\right)\cdot 53^{24} + \left(48 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 53^{25} + \left(10 a^{2} + 42 a + 36\right)\cdot 53^{26} + \left(24 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 53^{27} + \left(11 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 53^{28} + \left(40 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 53^{29} + \left(25 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 53^{30} + \left(30 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 53^{31} + \left(7 a^{2} + 19 a + 51\right)\cdot 53^{32} + \left(38 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 53^{33} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 53^{34} + \left(10 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 53^{35} + \left(41 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 53^{36} + \left(52 a + 45\right)\cdot 53^{37} + \left(10 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 53^{38} + \left(45 a^{2} + a + 48\right)\cdot 53^{39} + \left(37 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 53^{40} + \left(7 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 53^{41} + \left(16 a^{2} + 50 a + 29\right)\cdot 53^{42} + \left(17 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 53^{43} + \left(11 a^{2} + 52 a + 43\right)\cdot 53^{44} + \left(26 a^{2} + 10 a + 35\right)\cdot 53^{45} + \left(28 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 53^{46} + \left(41 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 53^{47} + \left(10 a^{2} + 48 a + 14\right)\cdot 53^{48} + \left(25 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 53^{49} + 50 a\cdot 53^{50} + \left(27 a^{2} + 49 a + 40\right)\cdot 53^{51} + \left(22 a^{2} + 10 a + 50\right)\cdot 53^{52} + \left(5 a^{2} + 36\right)\cdot 53^{53} + \left(51 a^{2} + 44 a + 52\right)\cdot 53^{54} + \left(49 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 53^{55} + \left(28 a^{2} + 48 a + 14\right)\cdot 53^{56} + \left(13 a^{2} + 38 a + 30\right)\cdot 53^{57} + \left(30 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 53^{58} + \left(18 a^{2} + 44 a + 40\right)\cdot 53^{59} + \left(17 a^{2} + 39 a\right)\cdot 53^{60} + \left(46 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 53^{61} + \left(13 a^{2} + 5 a + 46\right)\cdot 53^{62} + \left(52 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 53^{63} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 53^{64} + \left(42 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 53^{65} + \left(47 a^{2} + 16 a\right)\cdot 53^{66} + \left(48 a^{2} + 43 a + 47\right)\cdot 53^{67} + \left(42 a^{2} + 52\right)\cdot 53^{68} + \left(44 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 53^{69} + \left(31 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 53^{70} + \left(3 a^{2} + 33 a + 47\right)\cdot 53^{71} + \left(20 a^{2} + 52 a + 26\right)\cdot 53^{72} + \left(31 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 53^{73} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 53^{74} + \left(25 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 53^{75} + \left(30 a^{2} + 46 a + 39\right)\cdot 53^{76} + \left(15 a^{2} + 50 a\right)\cdot 53^{77} + \left(30 a^{2} + 20 a + 36\right)\cdot 53^{78} + \left(48 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 53^{79} + \left(a^{2} + 16 a + 51\right)\cdot 53^{80} + \left(39 a^{2} + a + 10\right)\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $45 + 2\cdot 53 + 52\cdot 53^{2} + 31\cdot 53^{3} + 20\cdot 53^{4} + 23\cdot 53^{5} + 6\cdot 53^{6} + 31\cdot 53^{7} + 21\cdot 53^{8} + 28\cdot 53^{9} + 13\cdot 53^{10} + 21\cdot 53^{11} + 41\cdot 53^{12} + 52\cdot 53^{13} + 23\cdot 53^{14} + 30\cdot 53^{15} + 33\cdot 53^{16} + 9\cdot 53^{17} + 14\cdot 53^{18} + 30\cdot 53^{19} + 3\cdot 53^{20} + 23\cdot 53^{21} + 46\cdot 53^{22} + 28\cdot 53^{23} + 35\cdot 53^{24} + 36\cdot 53^{25} + 9\cdot 53^{26} + 39\cdot 53^{27} + 4\cdot 53^{28} + 15\cdot 53^{29} + 10\cdot 53^{30} + 30\cdot 53^{31} + 50\cdot 53^{32} + 49\cdot 53^{33} + 51\cdot 53^{34} + 14\cdot 53^{35} + 19\cdot 53^{36} + 28\cdot 53^{37} + 40\cdot 53^{38} + 18\cdot 53^{39} + 34\cdot 53^{40} + 43\cdot 53^{41} + 8\cdot 53^{42} + 47\cdot 53^{43} + 42\cdot 53^{44} + 49\cdot 53^{45} + 34\cdot 53^{46} + 27\cdot 53^{47} + 20\cdot 53^{48} + 36\cdot 53^{49} + 42\cdot 53^{51} + 35\cdot 53^{52} + 27\cdot 53^{53} + 42\cdot 53^{54} + 22\cdot 53^{55} + 25\cdot 53^{56} + 43\cdot 53^{57} + 2\cdot 53^{58} + 44\cdot 53^{59} + 48\cdot 53^{60} + 8\cdot 53^{61} + 50\cdot 53^{62} + 20\cdot 53^{63} + 31\cdot 53^{64} + 20\cdot 53^{66} + 46\cdot 53^{67} + 45\cdot 53^{68} + 41\cdot 53^{69} + 25\cdot 53^{70} + 39\cdot 53^{71} + 39\cdot 53^{72} + 49\cdot 53^{73} + 31\cdot 53^{74} + 37\cdot 53^{75} + 11\cdot 53^{76} + 38\cdot 53^{77} + 20\cdot 53^{78} + 52\cdot 53^{79} + 15\cdot 53^{80} + 42\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $11 a^{2} + 49 a + 16 + \left(11 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 53 + \left(19 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 53^{2} + \left(29 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 53^{3} + \left(13 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 53^{4} + \left(22 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 53^{5} + \left(13 a^{2} + 28\right)\cdot 53^{6} + \left(32 a^{2} + 51\right)\cdot 53^{7} + \left(32 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 53^{8} + \left(46 a^{2} + 15 a + 33\right)\cdot 53^{9} + \left(17 a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 53^{10} + \left(2 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 53^{11} + \left(10 a^{2} + 42 a + 30\right)\cdot 53^{12} + \left(4 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 53^{13} + \left(20 a^{2} + 13 a + 49\right)\cdot 53^{14} + \left(7 a^{2} + 49 a + 25\right)\cdot 53^{15} + \left(46 a^{2} + 21 a + 48\right)\cdot 53^{16} + \left(52 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 53^{17} + \left(10 a^{2} + 11 a + 46\right)\cdot 53^{18} + \left(7 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 53^{19} + \left(20 a^{2} + 25 a + 49\right)\cdot 53^{20} + \left(38 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 53^{21} + \left(19 a^{2} + 50 a + 5\right)\cdot 53^{22} + \left(16 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 53^{23} + \left(21 a^{2} + 50 a + 7\right)\cdot 53^{24} + \left(26 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 53^{25} + \left(2 a^{2} + 6 a + 49\right)\cdot 53^{26} + \left(5 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 53^{27} + \left(5 a^{2} + 45 a + 32\right)\cdot 53^{28} + \left(14 a^{2} + 48 a + 50\right)\cdot 53^{29} + \left(20 a^{2} + 12 a\right)\cdot 53^{30} + \left(17 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 53^{31} + \left(49 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 53^{32} + \left(13 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 53^{33} + \left(47 a^{2} + 13 a + 46\right)\cdot 53^{34} + \left(36 a^{2} + 50 a + 25\right)\cdot 53^{35} + \left(47 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 53^{36} + \left(19 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 53^{37} + \left(38 a^{2} + 46 a + 1\right)\cdot 53^{38} + \left(39 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 53^{39} + \left(32 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 53^{40} + \left(2 a^{2} + 12 a + 51\right)\cdot 53^{41} + \left(3 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 53^{42} + \left(28 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 53^{43} + \left(3 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 53^{44} + \left(a^{2} + 45 a + 47\right)\cdot 53^{45} + \left(42 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 53^{46} + \left(32 a^{2} + 44 a + 48\right)\cdot 53^{47} + \left(13 a^{2} + 6 a + 52\right)\cdot 53^{48} + \left(43 a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 53^{49} + \left(7 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 53^{50} + \left(27 a^{2} + 45 a + 37\right)\cdot 53^{51} + \left(40 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 53^{52} + \left(13 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 53^{53} + \left(9 a^{2} + 20 a + 47\right)\cdot 53^{54} + \left(2 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 53^{55} + \left(8 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 53^{56} + \left(29 a^{2} + 22 a\right)\cdot 53^{57} + \left(29 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 53^{58} + \left(34 a^{2} + 9\right)\cdot 53^{59} + \left(16 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 53^{60} + \left(16 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 53^{61} + \left(10 a^{2} + 38 a + 17\right)\cdot 53^{62} + \left(42 a^{2} + 18 a + 50\right)\cdot 53^{63} + \left(17 a^{2} + 49 a + 6\right)\cdot 53^{64} + \left(48 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 53^{65} + \left(43 a + 28\right)\cdot 53^{66} + \left(15 a^{2} + 29 a + 43\right)\cdot 53^{67} + \left(2 a + 7\right)\cdot 53^{68} + \left(48 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 53^{69} + \left(35 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 53^{70} + \left(46 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 53^{71} + \left(19 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 53^{72} + \left(11 a^{2} + 37 a + 39\right)\cdot 53^{73} + \left(17 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 53^{74} + \left(26 a + 33\right)\cdot 53^{75} + \left(43 a^{2} + 14 a + 45\right)\cdot 53^{76} + \left(51 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 53^{77} + \left(47 a^{2} + 45 a + 8\right)\cdot 53^{78} + \left(31 a^{2} + a + 20\right)\cdot 53^{79} + \left(23 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 53^{80} + \left(47 a^{2} + 29 a + 49\right)\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $18 + 38\cdot 53 + 14\cdot 53^{2} + 52\cdot 53^{3} + 24\cdot 53^{4} + 16\cdot 53^{5} + 49\cdot 53^{6} + 38\cdot 53^{7} + 29\cdot 53^{8} + 20\cdot 53^{9} + 44\cdot 53^{10} + 18\cdot 53^{11} + 21\cdot 53^{12} + 3\cdot 53^{13} + 24\cdot 53^{14} + 19\cdot 53^{15} + 25\cdot 53^{16} + 17\cdot 53^{17} + 31\cdot 53^{18} + 15\cdot 53^{19} + 25\cdot 53^{20} + 47\cdot 53^{21} + 49\cdot 53^{22} + 25\cdot 53^{23} + 52\cdot 53^{24} + 26\cdot 53^{25} + 25\cdot 53^{26} + 5\cdot 53^{27} + 39\cdot 53^{28} + 38\cdot 53^{29} + 12\cdot 53^{30} + 49\cdot 53^{31} + 6\cdot 53^{32} + 53^{33} + 38\cdot 53^{34} + 37\cdot 53^{35} + 7\cdot 53^{36} + 50\cdot 53^{37} + 13\cdot 53^{38} + 45\cdot 53^{39} + 42\cdot 53^{40} + 19\cdot 53^{41} + 52\cdot 53^{42} + 41\cdot 53^{43} + 16\cdot 53^{44} + 24\cdot 53^{45} + 22\cdot 53^{46} + 52\cdot 53^{47} + 28\cdot 53^{48} + 33\cdot 53^{49} + 27\cdot 53^{50} + 49\cdot 53^{51} + 15\cdot 53^{52} + 27\cdot 53^{53} + 19\cdot 53^{54} + 49\cdot 53^{55} + 38\cdot 53^{56} + 14\cdot 53^{57} + 28\cdot 53^{58} + 19\cdot 53^{59} + 50\cdot 53^{60} + 29\cdot 53^{61} + 9\cdot 53^{62} + 49\cdot 53^{63} + 32\cdot 53^{64} + 17\cdot 53^{65} + 26\cdot 53^{66} + 12\cdot 53^{67} + 31\cdot 53^{68} + 42\cdot 53^{69} + 28\cdot 53^{70} + 31\cdot 53^{71} + 40\cdot 53^{72} + 2\cdot 53^{73} + 27\cdot 53^{74} + 8\cdot 53^{75} + 15\cdot 53^{76} + 38\cdot 53^{77} + 49\cdot 53^{78} + 24\cdot 53^{79} + 21\cdot 53^{80} + 30\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $32 a^{2} + 11 a + 5 + \left(18 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 53 + \left(8 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 53^{2} + \left(51 a^{2} + 47 a + 14\right)\cdot 53^{3} + \left(4 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 53^{4} + \left(26 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 53^{5} + \left(16 a^{2} + 34\right)\cdot 53^{6} + \left(30 a^{2} + 41 a + 47\right)\cdot 53^{7} + \left(21 a^{2} + 50 a + 50\right)\cdot 53^{8} + \left(40 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 53^{9} + \left(42 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 53^{10} + \left(10 a^{2} + 47 a + 50\right)\cdot 53^{11} + \left(40 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 53^{12} + \left(19 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 53^{13} + \left(26 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 53^{14} + \left(23 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 53^{15} + \left(3 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 53^{16} + \left(25 a^{2} + 42 a + 44\right)\cdot 53^{17} + \left(24 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 53^{18} + \left(44 a^{2} + 15 a + 48\right)\cdot 53^{19} + \left(40 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 53^{20} + \left(5 a^{2} + 51 a + 48\right)\cdot 53^{21} + \left(49 a^{2} + 10\right)\cdot 53^{22} + \left(14 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 53^{23} + \left(a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 53^{24} + \left(6 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 53^{25} + \left(28 a^{2} + 51 a + 47\right)\cdot 53^{26} + \left(16 a + 16\right)\cdot 53^{27} + \left(48 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 53^{28} + \left(42 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 53^{29} + \left(a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 53^{30} + \left(52 a^{2} + 31 a + 52\right)\cdot 53^{31} + \left(15 a^{2} + 52 a + 11\right)\cdot 53^{32} + \left(31 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 53^{33} + \left(4 a^{2} + a + 14\right)\cdot 53^{34} + \left(22 a^{2} + 41 a + 49\right)\cdot 53^{35} + \left(15 a^{2} + 30 a + 45\right)\cdot 53^{36} + \left(20 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 53^{37} + \left(a^{2} + 23 a + 33\right)\cdot 53^{38} + \left(30 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 53^{39} + \left(26 a^{2} + 49 a + 21\right)\cdot 53^{40} + \left(4 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 53^{41} + \left(20 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 53^{42} + \left(6 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 53^{43} + \left(a^{2} + 35 a + 49\right)\cdot 53^{44} + \left(9 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 53^{45} + \left(33 a^{2} + 51 a + 41\right)\cdot 53^{46} + \left(12 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 53^{47} + \left(21 a^{2} + 39 a + 15\right)\cdot 53^{48} + \left(32 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 53^{49} + \left(19 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 53^{50} + \left(35 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 53^{51} + \left(49 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 53^{52} + \left(16 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 53^{53} + \left(19 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 53^{54} + \left(39 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 53^{55} + \left(44 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 53^{56} + \left(32 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 53^{57} + \left(32 a^{2} + 34 a + 38\right)\cdot 53^{58} + \left(48 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 53^{59} + \left(24 a^{2} + 36 a + 50\right)\cdot 53^{60} + \left(5 a^{2} + 15 a\right)\cdot 53^{61} + \left(26 a^{2} + 3 a + 49\right)\cdot 53^{62} + \left(3 a^{2} + 47 a + 25\right)\cdot 53^{63} + \left(47 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 53^{64} + \left(14 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 53^{65} + \left(21 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 53^{66} + \left(29 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 53^{67} + \left(2 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 53^{68} + \left(35 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 53^{69} + \left(17 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 53^{70} + \left(12 a^{2} + 51 a + 49\right)\cdot 53^{71} + \left(19 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 53^{72} + \left(15 a^{2} + 23 a + 47\right)\cdot 53^{73} + \left(52 a^{2} + 49 a + 24\right)\cdot 53^{74} + \left(20 a^{2} + 48 a + 21\right)\cdot 53^{75} + \left(10 a^{2} + 7 a + 33\right)\cdot 53^{76} + \left(24 a^{2} + 16 a + 35\right)\cdot 53^{77} + \left(36 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 53^{78} + \left(49 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 53^{79} + \left(17 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 53^{80} + \left(46 a^{2} + 9 a + 47\right)\cdot 53^{81} +O\left(53^{ 82 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$ $(1,2,4,5)$ $(1,2)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(3,7)(6,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,4)(2,5)(3,7)(6,8)$ $1$ $12$ $2$ $(1,2)$ $3$ $24$ $2$ $(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,2)(3,8)$ $1$ $36$ $2$ $(1,2)(3,7)(6,8)$ $-1$ $16$ $3$ $(2,5,4)$ $0$ $64$ $3$ $(2,5,4)(6,8,7)$ $0$ $12$ $4$ $(3,6,7,8)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,2,4,5)(3,6,7,8)$ $1$ $36$ $4$ $(1,2,4,5)(3,7)(6,8)$ $1$ $72$ $4$ $(1,3,4,7)(2,6,5,8)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,2)(3,6,7,8)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,3,2,8)(4,6)(5,7)$ $1$ $48$ $6$ $(2,4,5)(3,7)(6,8)$ $0$ $96$ $6$ $(2,5,4)(3,6)$ $0$ $192$ $6$ $(1,3)(2,8,5,7,4,6)$ $0$ $144$ $8$ $(1,3,2,6,4,7,5,8)$ $-1$ $96$ $12$ $(2,5,4)(3,6,7,8)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.