# Properties

 Label 9.337032380416.16t1294.a.a Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{17} \cdot 137^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Learn more about

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $337032380416= 2^{17} \cdot 137^{3}$ Artin number field: Splitting field of 8.2.45091246208.1 defined by $f= x^{8} - 8 x^{6} - 8 x^{5} + 27 x^{4} + 32 x^{3} - 28 x^{2} - 44 x - 4$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.1096.2t1.b.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.2.45091246208.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 130.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $x^{3} + 4 x + 17$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $10 a^{2} + 3 a + \left(3 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19 + \left(18 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(2 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(10 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(10 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{25} + \left(11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{28} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{30} + \left(10 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{31} + \left(4 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{32} + \left(4 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{34} + \left(2 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{36} + \left(12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{37} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{39} + \left(8 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{40} + \left(14 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{41} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{42} + \left(14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{43} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{45} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{46} + \left(a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{47} + \left(14 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{48} + \left(13 a + 11\right)\cdot 19^{49} + \left(16 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{50} + \left(4 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{51} + \left(17 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{52} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{53} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{54} + \left(11 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{55} + \left(8 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{56} + \left(9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{57} + \left(13 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{58} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{59} + \left(5 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{60} + \left(12 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{61} + \left(14 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{62} + \left(a + 4\right)\cdot 19^{63} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{64} + \left(14 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{65} + \left(8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{66} + \left(2 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{67} + \left(13 a^{2} + a\right)\cdot 19^{68} + \left(17 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{69} + \left(2 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{70} + \left(5 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{71} + \left(9 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{72} + \left(18 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{73} + \left(a + 10\right)\cdot 19^{74} + \left(17 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{75} + \left(5 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{76} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{77} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{78} + \left(17 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{79} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{80} + \left(5 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{81} + \left(5 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{82} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{83} + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{84} + \left(13 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{85} + \left(9 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{86} + \left(9 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{87} + \left(7 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{88} + \left(3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{89} + \left(2 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{90} + \left(6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{91} + \left(18 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{92} + \left(10 a + 10\right)\cdot 19^{93} + \left(5 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{94} + \left(8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{95} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{96} + \left(12 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{97} + \left(6 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{98} + \left(12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{99} + \left(6 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{100} + \left(4 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{101} + \left(4 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{102} + \left(14 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{103} + \left(2 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{104} + \left(7 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{105} + \left(9 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{106} + \left(17 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{107} + \left(15 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{108} + \left(3 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{109} + \left(a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{110} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{111} + \left(18 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{112} + \left(6 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{113} + \left(15 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{114} + \left(3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{115} + \left(7 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{116} + \left(7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{117} + \left(14 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{118} + \left(12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{119} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{120} + \left(6 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{121} + \left(11 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{122} + \left(16 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{123} + \left(15 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{124} + \left(15 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{125} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{126} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{127} + \left(16 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{128} + \left(6 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $4 + 18\cdot 19 + 14\cdot 19^{2} + 2\cdot 19^{3} + 13\cdot 19^{4} + 10\cdot 19^{5} + 10\cdot 19^{6} + 6\cdot 19^{7} + 15\cdot 19^{8} + 13\cdot 19^{9} + 19^{10} + 7\cdot 19^{11} + 19^{13} + 8\cdot 19^{14} + 14\cdot 19^{15} + 15\cdot 19^{16} + 11\cdot 19^{17} + 12\cdot 19^{18} + 9\cdot 19^{19} + 17\cdot 19^{20} + 17\cdot 19^{21} + 2\cdot 19^{22} + 16\cdot 19^{23} + 15\cdot 19^{24} + 7\cdot 19^{25} + 13\cdot 19^{26} + 8\cdot 19^{27} + 10\cdot 19^{28} + 9\cdot 19^{30} + 9\cdot 19^{31} + 10\cdot 19^{32} + 10\cdot 19^{33} + 5\cdot 19^{35} + 6\cdot 19^{36} + 11\cdot 19^{37} + 13\cdot 19^{38} + 7\cdot 19^{39} + 2\cdot 19^{40} + 12\cdot 19^{41} + 16\cdot 19^{42} + 7\cdot 19^{43} + 18\cdot 19^{44} + 10\cdot 19^{45} + 14\cdot 19^{46} + 17\cdot 19^{47} + 6\cdot 19^{48} + 9\cdot 19^{49} + 3\cdot 19^{50} + 13\cdot 19^{51} + 12\cdot 19^{52} + 19^{53} + 7\cdot 19^{54} + 7\cdot 19^{55} + 19^{56} + 19^{57} + 2\cdot 19^{58} + 11\cdot 19^{59} + 19^{60} + 10\cdot 19^{61} + 12\cdot 19^{62} + 10\cdot 19^{63} + 3\cdot 19^{64} + 12\cdot 19^{65} + 18\cdot 19^{66} + 3\cdot 19^{67} + 9\cdot 19^{68} + 11\cdot 19^{69} + 16\cdot 19^{70} + 11\cdot 19^{71} + 7\cdot 19^{72} + 15\cdot 19^{73} + 13\cdot 19^{74} + 10\cdot 19^{75} + 8\cdot 19^{76} + 19^{77} + 14\cdot 19^{78} + 9\cdot 19^{79} + 10\cdot 19^{80} + 13\cdot 19^{81} + 9\cdot 19^{82} + 11\cdot 19^{83} + 6\cdot 19^{84} + 5\cdot 19^{85} + 4\cdot 19^{86} + 18\cdot 19^{88} + 15\cdot 19^{89} + 11\cdot 19^{90} + 13\cdot 19^{91} + 15\cdot 19^{92} + 12\cdot 19^{93} + 12\cdot 19^{94} + 18\cdot 19^{95} + 14\cdot 19^{96} + 9\cdot 19^{97} + 18\cdot 19^{98} + 5\cdot 19^{99} + 9\cdot 19^{100} + 4\cdot 19^{101} + 17\cdot 19^{102} + 3\cdot 19^{103} + 18\cdot 19^{104} + 9\cdot 19^{105} + 14\cdot 19^{106} + 4\cdot 19^{107} + 13\cdot 19^{108} + 4\cdot 19^{109} + 2\cdot 19^{111} + 15\cdot 19^{112} + 15\cdot 19^{113} + 10\cdot 19^{114} + 13\cdot 19^{115} + 5\cdot 19^{116} + 18\cdot 19^{117} + 17\cdot 19^{118} + 7\cdot 19^{119} + 2\cdot 19^{120} + 18\cdot 19^{121} + 19^{122} + 7\cdot 19^{123} + 5\cdot 19^{124} + 8\cdot 19^{125} + 15\cdot 19^{126} + 17\cdot 19^{127} + 3\cdot 19^{128} + 7\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $10 a^{2} + 12 a + 8\cdot 19 + \left(14 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{11} + \left(2 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{13} + \left(11 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(3 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(8 a + 2\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{26} + \left(16 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{27} + \left(18 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{29} + \left(2 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(3 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{31} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{32} + \left(18 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{34} + \left(13 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{35} + \left(16 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{38} + \left(7 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{39} + \left(9 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(7 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{41} + \left(9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{43} + \left(a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{44} + \left(8 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{45} + \left(2 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{46} + \left(5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{47} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{48} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{49} + \left(7 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{50} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{51} + \left(15 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{53} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{54} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{55} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{56} + \left(16 a + 6\right)\cdot 19^{57} + \left(7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{58} + \left(12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{59} + 7\cdot 19^{60} + \left(18 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{61} + \left(16 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{62} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{63} + \left(4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{64} + \left(13 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{65} + \left(15 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{66} + \left(9 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{67} + \left(a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{68} + \left(9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{69} + \left(13 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{70} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{71} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{72} + 16 a^{2}19^{73} + \left(13 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{74} + \left(3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{75} + \left(9 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{76} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{77} + \left(6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{78} + \left(8 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{79} + \left(8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{80} + \left(10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{81} + \left(12 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{82} + \left(15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{83} + \left(12 a + 12\right)\cdot 19^{84} + \left(14 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{85} + \left(7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{86} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{87} + \left(11 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{88} + \left(5 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{89} + \left(10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{90} + \left(13 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 19^{91} + \left(16 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{92} + \left(16 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{93} + \left(12 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{94} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{95} + \left(10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{96} + \left(17 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{97} + \left(16 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{98} + \left(3 a + 13\right)\cdot 19^{99} + \left(7 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{100} + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{101} + \left(3 a + 14\right)\cdot 19^{102} + \left(15 a + 17\right)\cdot 19^{103} + \left(2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{104} + \left(18 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{105} + \left(15 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{106} + \left(9 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{107} + \left(2 a + 15\right)\cdot 19^{108} + \left(5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{109} + \left(9 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{110} + \left(17 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{111} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{112} + 8\cdot 19^{113} + \left(a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{114} + \left(4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{115} + \left(5 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{116} + \left(13 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{117} + \left(a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{118} + \left(16 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{119} + \left(6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{120} + \left(15 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{121} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{122} + \left(10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{123} + \left(12 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{124} + \left(6 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{125} + \left(15 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{126} + \left(17 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{127} + \left(18 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{128} + \left(16 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $8 a^{2} + 8 a + 18 + \left(2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19 + \left(14 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(15 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(7 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{16} + \left(13 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{20} + \left(a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(15 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{24} + \left(14 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a + 2\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{34} + \left(5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{35} + \left(16 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(17 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{37} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{38} + 8 a^{2}19^{39} + \left(13 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{41} + \left(5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{42} + \left(14 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{43} + \left(13 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{44} + \left(a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{45} + \left(13 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{46} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{47} + \left(11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{48} + \left(12 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{49} + \left(2 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{50} + \left(17 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{51} + \left(a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{53} + \left(14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{54} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{55} + \left(3 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{56} + \left(13 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{57} + \left(16 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{58} + \left(9 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{60} + \left(16 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{61} + \left(13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{62} + \left(13 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{63} + \left(10 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{64} + \left(6 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{65} + \left(9 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{66} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{67} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{68} + \left(2 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{69} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{70} + \left(16 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{71} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{72} + \left(12 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{73} + \left(18 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{74} + \left(7 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{75} + \left(5 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{76} + \left(8 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{77} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{78} + \left(16 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{79} + \left(3 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{80} + \left(10 a + 9\right)\cdot 19^{81} + \left(14 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{82} + \left(18 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{83} + \left(14 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{84} + \left(6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{85} + \left(6 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{86} + \left(15 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{87} + \left(11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{88} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{89} + \left(15 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{90} + \left(12 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{91} + \left(13 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{92} + \left(16 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{93} + \left(11 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{94} + \left(16 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{95} + \left(8 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{96} + \left(11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{97} + \left(8 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{98} + \left(17 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{99} + \left(13 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{100} + \left(7 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{101} + \left(15 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{102} + \left(3 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{103} + \left(2 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{104} + \left(11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{105} + \left(11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{106} + \left(18 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{107} + \left(14 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{108} + \left(14 a + 16\right)\cdot 19^{109} + \left(16 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{110} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{111} + \left(10 a + 13\right)\cdot 19^{112} + \left(11 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{113} + \left(6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{114} + \left(10 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{115} + \left(4 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{116} + \left(15 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{117} + \left(5 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{118} + \left(5 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{119} + \left(15 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{120} + \left(12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{121} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{122} + 17\cdot 19^{123} + \left(5 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{124} + \left(5 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{125} + \left(9 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{126} + \left(10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{127} + \left(13 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{128} + \left(14 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $2 a^{2} + 8 a + 2 + \left(a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19 + \left(12 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{10} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{11} + \left(12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(5 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(17 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(14 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{25} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(6 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{28} + \left(4 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(12 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{32} + \left(14 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{34} + \left(3 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{35} + \left(8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{37} + \left(9 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{38} + \left(8 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{40} + \left(11 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{41} + \left(10 a + 16\right)\cdot 19^{42} + \left(a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{43} + \left(14 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{44} + \left(8 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{45} + \left(4 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{46} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{48} + \left(3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{49} + \left(18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{50} + \left(16 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{51} + \left(9 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{52} + \left(13 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{53} + \left(5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{54} + \left(18 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{55} + \left(15 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{56} + \left(5 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{57} + \left(3 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{58} + \left(11 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{59} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{60} + \left(13 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{61} + \left(18 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{62} + \left(15 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{63} + \left(17 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{64} + 5 a\cdot 19^{65} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{66} + \left(12 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{67} + \left(15 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{68} + \left(4 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{69} + \left(11 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{70} + \left(13 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{71} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{72} + \left(10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{73} + \left(2 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{74} + \left(7 a + 13\right)\cdot 19^{75} + \left(15 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{76} + \left(18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{77} + \left(15 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{78} + \left(a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{79} + \left(7 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{80} + \left(5 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{81} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{82} + \left(8 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{83} + \left(14 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{84} + \left(13 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{85} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{86} + \left(18 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{87} + \left(14 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{88} + \left(17 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{89} + \left(18 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{90} + \left(17 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{91} + \left(8 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{92} + \left(4 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{93} + \left(14 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{94} + \left(2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{95} + \left(3 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{96} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{97} + \left(3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{98} + \left(2 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{99} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{100} + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{101} + \left(9 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{102} + \left(5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{103} + \left(11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{104} + \left(16 a^{2} + a\right)\cdot 19^{105} + \left(12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{106} + \left(2 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{107} + \left(14 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{108} + \left(14 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{109} + \left(14 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{110} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{111} + \left(15 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{112} + \left(16 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{113} + \left(15 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{114} + \left(5 a + 2\right)\cdot 19^{115} + \left(9 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{116} + \left(9 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{117} + \left(10 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{118} + \left(14 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{119} + \left(11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{120} + \left(17 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{121} + \left(7 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{122} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{123} + a\cdot 19^{124} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{125} + \left(9 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{126} + \left(11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{127} + \left(14 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{128} + \left(4 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $9 a^{2} + 3 a + 8 + \left(15 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19 + \left(11 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{7} + \left(12 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a + 15\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{20} + \left(3 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{22} + \left(12 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(7 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{25} + \left(14 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(14 a + 7\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{28} + \left(14 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{30} + \left(14 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{32} + \left(10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{34} + \left(10 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{35} + \left(13 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{37} + \left(17 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{38} + \left(a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{39} + \left(a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{40} + \left(4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{41} + \left(13 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{42} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{43} + \left(10 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{44} + \left(8 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{45} + \left(a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{46} + \left(10 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{47} + \left(16 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{48} + \left(2 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{49} + \left(17 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{50} + \left(3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{51} + \left(7 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{52} + \left(13 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{53} + \left(17 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(7 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{55} + \left(18 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{56} + \left(18 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{57} + \left(17 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{58} + \left(16 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{59} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{60} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{61} + \left(5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{62} + \left(8 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{63} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{64} + \left(11 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{65} + \left(8 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{66} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{67} + \left(12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{68} + \left(11 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{69} + \left(16 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{70} + \left(7 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{71} + \left(7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{72} + \left(15 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{73} + \left(16 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{74} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{75} + \left(17 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{76} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{77} + \left(15 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{78} + \left(7 a + 10\right)\cdot 19^{79} + \left(8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{80} + \left(13 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{81} + \left(18 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{82} + \left(10 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{83} + \left(8 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{84} + \left(17 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{85} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{86} + \left(4 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{87} + \left(11 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{88} + \left(15 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{89} + \left(3 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{90} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{91} + \left(15 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{92} + \left(16 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{93} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{94} + \left(18 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{95} + \left(6 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{96} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{97} + \left(7 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{98} + \left(18 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{99} + \left(2 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{100} + \left(4 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{101} + \left(13 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{102} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{103} + \left(5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{104} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{105} + \left(13 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{106} + \left(16 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{107} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{108} + \left(3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{109} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{110} + \left(6 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{111} + \left(3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{112} + \left(10 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{113} + \left(15 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{114} + \left(7 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{115} + \left(5 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{116} + \left(13 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{117} + \left(2 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{118} + \left(18 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{119} + \left(10 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{120} + \left(7 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{121} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{122} + \left(12 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{123} + \left(13 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{124} + \left(10 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{125} + \left(14 a + 1\right)\cdot 19^{126} + \left(16 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{127} + \left(9 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{128} + \left(18 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $10 + 15\cdot 19 + 10\cdot 19^{2} + 2\cdot 19^{3} + 17\cdot 19^{4} + 5\cdot 19^{5} + 15\cdot 19^{6} + 19^{7} + 9\cdot 19^{8} + 14\cdot 19^{9} + 4\cdot 19^{10} + 5\cdot 19^{11} + 3\cdot 19^{12} + 7\cdot 19^{13} + 13\cdot 19^{15} + 14\cdot 19^{16} + 10\cdot 19^{17} + 18\cdot 19^{18} + 6\cdot 19^{19} + 11\cdot 19^{20} + 15\cdot 19^{21} + 6\cdot 19^{22} + 4\cdot 19^{23} + 11\cdot 19^{24} + 10\cdot 19^{25} + 5\cdot 19^{26} + 2\cdot 19^{27} + 16\cdot 19^{28} + 12\cdot 19^{29} + 8\cdot 19^{30} + 10\cdot 19^{31} + 19^{32} + 19^{33} + 14\cdot 19^{34} + 8\cdot 19^{35} + 19^{36} + 18\cdot 19^{37} + 8\cdot 19^{38} + 10\cdot 19^{39} + 18\cdot 19^{40} + 2\cdot 19^{41} + 11\cdot 19^{42} + 9\cdot 19^{43} + 10\cdot 19^{44} + 14\cdot 19^{45} + 17\cdot 19^{46} + 7\cdot 19^{47} + 8\cdot 19^{48} + 10\cdot 19^{49} + 5\cdot 19^{50} + 13\cdot 19^{51} + 4\cdot 19^{52} + 3\cdot 19^{53} + 17\cdot 19^{54} + 11\cdot 19^{55} + 14\cdot 19^{56} + 10\cdot 19^{57} + 4\cdot 19^{58} + 7\cdot 19^{59} + 5\cdot 19^{60} + 8\cdot 19^{61} + 6\cdot 19^{62} + 8\cdot 19^{63} + 16\cdot 19^{64} + 4\cdot 19^{65} + 3\cdot 19^{66} + 2\cdot 19^{67} + 15\cdot 19^{68} + 7\cdot 19^{69} + 14\cdot 19^{70} + 16\cdot 19^{71} + 8\cdot 19^{72} + 12\cdot 19^{73} + 19^{74} + 18\cdot 19^{75} + 3\cdot 19^{76} + 12\cdot 19^{77} + 7\cdot 19^{78} + 12\cdot 19^{79} + 16\cdot 19^{80} + 10\cdot 19^{81} + 19^{82} + 4\cdot 19^{83} + 15\cdot 19^{84} + 18\cdot 19^{85} + 13\cdot 19^{86} + 16\cdot 19^{87} + 3\cdot 19^{88} + 19^{89} + 12\cdot 19^{90} + 4\cdot 19^{91} + 5\cdot 19^{92} + 6\cdot 19^{94} + 11\cdot 19^{96} + 19^{97} + 7\cdot 19^{98} + 10\cdot 19^{100} + 11\cdot 19^{101} + 11\cdot 19^{102} + 19^{103} + 18\cdot 19^{105} + 14\cdot 19^{106} + 6\cdot 19^{107} + 15\cdot 19^{108} + 14\cdot 19^{109} + 16\cdot 19^{111} + 17\cdot 19^{112} + 6\cdot 19^{113} + 7\cdot 19^{114} + 17\cdot 19^{115} + 12\cdot 19^{116} + 14\cdot 19^{117} + 4\cdot 19^{118} + 5\cdot 19^{119} + 12\cdot 19^{120} + 17\cdot 19^{121} + 11\cdot 19^{122} + 8\cdot 19^{123} + 19^{124} + 5\cdot 19^{125} + 18\cdot 19^{126} + 4\cdot 19^{127} + 10\cdot 19^{128} + 10\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $18 a^{2} + 4 a + 15 + \left(14 a^{2} + 14\right)\cdot 19 + \left(5 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{11} + \left(14 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{20} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(17 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{24} + \left(8 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{25} + \left(2 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(13 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a + 14\right)\cdot 19^{29} + \left(5 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{31} + \left(4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a + 16\right)\cdot 19^{33} + \left(11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(2 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{36} + \left(17 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a + 16\right)\cdot 19^{38} + \left(6 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{39} + \left(a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{40} + \left(16 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{42} + \left(10 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{44} + \left(6 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{45} + \left(11 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{46} + \left(12 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{47} + \left(17 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{48} + \left(11 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{50} + \left(12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{51} + \left(5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{52} + \left(15 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{53} + \left(6 a + 6\right)\cdot 19^{54} + \left(17 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{55} + \left(8 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{56} + \left(9 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{57} + \left(17 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(15 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{59} + \left(12 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{60} + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{61} + \left(6 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{62} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{63} + \left(6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{64} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{65} + \left(13 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{66} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{67} + \left(4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{68} + \left(11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{69} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{70} + \left(11 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{71} + \left(5 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{72} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{73} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{74} + \left(17 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{75} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{76} + \left(9 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{77} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{78} + \left(12 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{79} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{80} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{81} + \left(a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{82} + \left(13 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{83} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{84} + \left(10 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{85} + \left(a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{86} + \left(2 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{87} + 6\cdot 19^{88} + \left(10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{89} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{90} + \left(18 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{91} + \left(2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{92} + \left(a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{93} + \left(a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{94} + a\cdot 19^{95} + \left(17 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{96} + \left(7 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{97} + \left(14 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{98} + \left(5 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{99} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{100} + \left(5 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{101} + \left(14 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{102} + \left(4 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{103} + \left(14 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{104} + \left(12 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{105} + \left(12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{106} + \left(10 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{107} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{108} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{109} + \left(8 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{110} + \left(14 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{111} + \left(11 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{112} + \left(11 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{113} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{114} + \left(11 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{115} + \left(6 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{116} + \left(17 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{117} + \left(2 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{118} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{119} + \left(3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{120} + \left(16 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{121} + \left(14 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{122} + \left(10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{123} + \left(9 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{124} + \left(15 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{125} + \left(12 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{126} + \left(10 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{127} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{128} + \left(14 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{129} +O\left(19^{ 130 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,2,3,8)$ $(1,2)$ $(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(1,3)(2,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,3)(2,8)(4,6)(5,7)$ $1$ $12$ $2$ $(1,2)$ $3$ $24$ $2$ $(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,2)(4,5)$ $1$ $36$ $2$ $(1,2)(4,6)(5,7)$ $-1$ $16$ $3$ $(1,3,8)$ $0$ $64$ $3$ $(1,3,8)(4,6,7)$ $0$ $12$ $4$ $(1,2,3,8)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,2,3,8)(4,5,6,7)$ $1$ $36$ $4$ $(1,3)(2,8)(4,5,6,7)$ $1$ $72$ $4$ $(1,6,3,4)(2,7,8,5)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,2)(4,5,6,7)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,5,2,4)(3,6)(7,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,8,3)(4,6)(5,7)$ $0$ $96$ $6$ $(1,3,8)(4,5)$ $0$ $192$ $6$ $(1,6,3,7,8,4)(2,5)$ $0$ $144$ $8$ $(1,5,2,6,3,7,8,4)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,3,8)(4,5,6,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.