# Properties

 Label 7.525346636864.8t36.c.a Dimension 7 Group $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor $2^{6} \cdot 7^{4} \cdot 43^{4}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $7$ Group: $C_2^3:(C_7: C_3)$ Conductor: $525346636864= 2^{6} \cdot 7^{4} \cdot 43^{4}$ Artin number field: Splitting field of 8.0.525346636864.5 defined by $f= x^{8} - 2 x^{7} + 14 x^{6} - 38 x^{5} + 100 x^{4} - 198 x^{3} + 338 x^{2} - 322 x + 139$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: $C_2^3:(C_7: C_3)$ Parity: Even Determinant: 1.1.1t1.a.a Projective image: $F_8:C_3$ Projective field: Galois closure of 8.0.525346636864.5

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 63.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $x^{3} + 2 x + 9$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $9 a^{2} + 3 a + 7 + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11 + 4 a^{2}11^{2} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{21} + 5 a\cdot 11^{22} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{33} + 7 a^{2}11^{34} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{43} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{46} + 2 a\cdot 11^{47} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{48} + \left(8 a + 1\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{2} + 3\right)\cdot 11^{50} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{52} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{54} + \left(7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{55} + \left(5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{56} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{57} + \left(5 a + 9\right)\cdot 11^{58} + \left(9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{59} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{60} + \left(8 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{61} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $3 a^{2} + 9 a + 3 + \left(8 a + 10\right)\cdot 11 + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(a + 2\right)\cdot 11^{35} + 4\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a + 6\right)\cdot 11^{43} + \left(8 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{45} + 9 a\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{47} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{48} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{49} + \left(7 a + 10\right)\cdot 11^{50} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{51} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{52} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{53} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{54} + \left(3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{55} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{57} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{58} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{59} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{60} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{61} + \left(7 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $4 + 10\cdot 11 + 11^{2} + 11^{3} + 9\cdot 11^{4} + 4\cdot 11^{5} + 3\cdot 11^{6} + 9\cdot 11^{7} + 7\cdot 11^{8} + 10\cdot 11^{9} + 10\cdot 11^{10} + 8\cdot 11^{11} + 11^{12} + 5\cdot 11^{13} + 3\cdot 11^{14} + 4\cdot 11^{15} + 6\cdot 11^{16} + 7\cdot 11^{17} + 5\cdot 11^{18} + 2\cdot 11^{19} + 5\cdot 11^{20} + 7\cdot 11^{21} + 9\cdot 11^{22} + 4\cdot 11^{24} + 6\cdot 11^{25} + 7\cdot 11^{26} + 3\cdot 11^{27} + 10\cdot 11^{28} + 2\cdot 11^{29} + 9\cdot 11^{32} + 3\cdot 11^{33} + 10\cdot 11^{34} + 10\cdot 11^{35} + 5\cdot 11^{36} + 9\cdot 11^{37} + 5\cdot 11^{38} + 9\cdot 11^{39} + 3\cdot 11^{40} + 2\cdot 11^{41} + 4\cdot 11^{42} + 10\cdot 11^{43} + 4\cdot 11^{44} + 4\cdot 11^{45} + 3\cdot 11^{46} + 9\cdot 11^{48} + 4\cdot 11^{49} + 11^{50} + 9\cdot 11^{51} + 11^{52} + 2\cdot 11^{53} + 5\cdot 11^{54} + 3\cdot 11^{55} + 4\cdot 11^{56} + 9\cdot 11^{57} + 8\cdot 11^{58} + 9\cdot 11^{59} + 7\cdot 11^{60} + 3\cdot 11^{61} + 8\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $5 a^{2} + 2 a + 2 + 3\cdot 11 + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{14} + 5\cdot 11^{15} + \left(7 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a + 8\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{42} + \left(4 a + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{47} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{48} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{49} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(a + 8\right)\cdot 11^{52} + 10 a\cdot 11^{53} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{55} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{56} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{57} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{58} + \left(9 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{59} + \left(3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{60} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{61} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $3 a^{2} + 3 + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{14} + 8\cdot 11^{15} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{31} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(8 a + 3\right)\cdot 11^{40} + \left(10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{43} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{48} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{51} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{52} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{55} + \left(7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{56} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{57} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{58} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{59} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{60} + \left(2 a + 9\right)\cdot 11^{61} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $5 + 2\cdot 11 + 9\cdot 11^{2} + 10\cdot 11^{3} + 11^{4} + 10\cdot 11^{6} + 8\cdot 11^{7} + 7\cdot 11^{8} + 7\cdot 11^{9} + 9\cdot 11^{10} + 11^{11} + 4\cdot 11^{12} + 2\cdot 11^{13} + 6\cdot 11^{14} + 7\cdot 11^{15} + 5\cdot 11^{16} + 6\cdot 11^{17} + 4\cdot 11^{18} + 4\cdot 11^{19} + 4\cdot 11^{20} + 6\cdot 11^{21} + 3\cdot 11^{22} + 6\cdot 11^{23} + 10\cdot 11^{24} + 8\cdot 11^{25} + 6\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 8\cdot 11^{28} + 6\cdot 11^{29} + 11^{30} + 4\cdot 11^{31} + 6\cdot 11^{33} + 4\cdot 11^{35} + 2\cdot 11^{37} + 9\cdot 11^{38} + 9\cdot 11^{40} + 6\cdot 11^{41} + 5\cdot 11^{44} + 7\cdot 11^{45} + 5\cdot 11^{46} + 7\cdot 11^{47} + 10\cdot 11^{48} + 5\cdot 11^{49} + 8\cdot 11^{50} + 3\cdot 11^{51} + 9\cdot 11^{52} + 11^{53} + 9\cdot 11^{54} + 11^{55} + 7\cdot 11^{56} + 4\cdot 11^{57} + 11^{59} + 9\cdot 11^{60} + 4\cdot 11^{61} + 10\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $6 a^{2} + 10 a + 3 + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{20} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{21} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a + 9\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{36} + 8 a\cdot 11^{37} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{38} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{45} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{48} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{49} + \left(8 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{50} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{51} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{52} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{54} + \left(4 a + 2\right)\cdot 11^{55} + \left(2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{56} + \left(7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{57} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{58} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{59} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{60} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $7 a^{2} + 9 a + 8 + 8\cdot 11 + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{10} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{20} + 9 a\cdot 11^{21} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(4 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{40} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{43} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{44} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{46} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{51} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{52} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{53} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{54} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{55} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{56} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{57} + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{58} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{59} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 11^{60} + \left(2 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{61} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{62} +O\left(11^{ 63 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,8)(2,6)(3,7)(4,5)$ $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ $(1,3,6,7,8,4)(2,5)$ $(1,7,6,5,4,8,2)$ $(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $7$ $7$ $2$ $(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$ $-1$ $28$ $3$ $(1,6,8)(3,7,4)$ $1$ $28$ $3$ $(1,8,6)(3,4,7)$ $1$ $28$ $6$ $(1,3,6,7,8,4)(2,5)$ $-1$ $28$ $6$ $(1,4,8,7,6,3)(2,5)$ $-1$ $24$ $7$ $(1,7,6,5,4,8,2)$ $0$ $24$ $7$ $(1,5,2,6,8,7,4)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.