# Properties

 Label 6.41e3_257e4.12t111.1c1 Dimension 6 Group $V_4^2:(S_3\times C_2)$ Conductor $41^{3} \cdot 257^{4}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $6$ Group: $V_4^2:(S_3\times C_2)$ Conductor: $300665822507321= 41^{3} \cdot 257^{4}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} - 8 x^{6} + 6 x^{5} + 17 x^{4} - 13 x^{3} + x^{2} + 17 x - 10$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 12T111 Parity: Even Determinant: 1.41.2t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 36.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $x^{3} + 2 x + 18$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $21 a^{2} + 3 a + 8 + \left(9 a^{2} + 1\right)\cdot 23 + \left(11 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{10} + \left(10 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(12 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{13} + \left(13 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{14} + \left(15 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{16} + \left(6 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{17} + \left(9 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{18} + \left(10 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{20} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{21} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(21 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{23} + \left(18 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(a + 12\right)\cdot 23^{25} + \left(14 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(6 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{30} + \left(6 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{31} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{32} + \left(10 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{33} + \left(18 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{34} + \left(4 a + 11\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $13 a^{2} + 6 a + 5 + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23 + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a + 11\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(17 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{10} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{11} + \left(a^{2} + 18\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{13} + \left(19 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{14} + \left(12 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{17} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{19} + \left(17 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{20} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{21} + \left(12 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(20 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{23} + \left(21 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(16 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{28} + \left(10 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(16 a + 20\right)\cdot 23^{30} + \left(4 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{31} + \left(6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{32} + \left(13 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{33} + \left(22 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{34} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $18 + 8\cdot 23 + 17\cdot 23^{2} + 5\cdot 23^{3} + 22\cdot 23^{4} + 15\cdot 23^{5} + 22\cdot 23^{7} + 15\cdot 23^{8} + 8\cdot 23^{9} + 18\cdot 23^{10} + 7\cdot 23^{11} + 3\cdot 23^{12} + 12\cdot 23^{13} + 5\cdot 23^{14} + 18\cdot 23^{15} + 18\cdot 23^{16} + 23^{17} + 8\cdot 23^{18} + 10\cdot 23^{19} + 7\cdot 23^{20} + 13\cdot 23^{21} + 17\cdot 23^{22} + 14\cdot 23^{23} + 16\cdot 23^{24} + 11\cdot 23^{25} + 23^{26} + 12\cdot 23^{27} + 23^{28} + 13\cdot 23^{29} + 6\cdot 23^{30} + 19\cdot 23^{31} + 7\cdot 23^{32} + 6\cdot 23^{33} + 17\cdot 23^{34} + 12\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $6 a^{2} + 21 a + 20 + \left(17 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23 + \left(6 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(15 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{9} + \left(3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{10} + \left(17 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(22 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(12 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{14} + \left(11 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{15} + \left(5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{16} + \left(6 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(11 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{20} + \left(21 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{22} + \left(19 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(7 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{25} + \left(a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{27} + \left(17 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{29} + \left(12 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{30} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{32} + \left(7 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{33} + \left(3 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 23^{34} + \left(4 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $12 a^{2} + 14 a + 19 + \left(7 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23 + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{10} + \left(8 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(9 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{12} + \left(17 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{14} + \left(17 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(20 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{16} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{17} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{18} + \left(6 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{19} + \left(13 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{20} + \left(14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{22} + \left(3 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{23} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{26} + \left(22 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{27} + \left(20 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{28} + \left(18 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{30} + \left(12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{31} + \left(13 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{32} + \left(22 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{33} + \left(4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(13 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $15 a^{2} + 20 a + 9 + \left(11 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23 + \left(12 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(9 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{11} + \left(21 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(2 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{13} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{14} + \left(4 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{15} + \left(6 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{16} + \left(12 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(5 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{18} + \left(20 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{19} + \left(21 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{20} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{21} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{22} + \left(17 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{24} + \left(6 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{25} + \left(9 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{26} + \left(10 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{27} + \left(22 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(4 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{29} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{30} + \left(9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{31} + \left(2 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{32} + \left(18 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{33} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{34} + \left(8 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $7 + 6\cdot 23 + 23^{2} + 2\cdot 23^{3} + 13\cdot 23^{4} + 12\cdot 23^{5} + 14\cdot 23^{6} + 16\cdot 23^{7} + 5\cdot 23^{8} + 15\cdot 23^{9} + 22\cdot 23^{10} + 15\cdot 23^{11} + 11\cdot 23^{12} + 16\cdot 23^{13} + 6\cdot 23^{14} + 21\cdot 23^{15} + 5\cdot 23^{16} + 3\cdot 23^{17} + 7\cdot 23^{18} + 4\cdot 23^{19} + 10\cdot 23^{20} + 7\cdot 23^{21} + 23^{22} + 19\cdot 23^{23} + 19\cdot 23^{24} + 21\cdot 23^{25} + 13\cdot 23^{26} + 14\cdot 23^{27} + 16\cdot 23^{28} + 2\cdot 23^{29} + 11\cdot 23^{30} + 13\cdot 23^{31} + 18\cdot 23^{32} + 17\cdot 23^{33} + 4\cdot 23^{34} + 8\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $2 a^{2} + 5 a + 7 + \left(17 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23 + \left(3 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a + 22\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{11} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{13} + \left(10 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{14} + \left(7 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(11 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{16} + \left(4 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{17} + \left(3 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{18} + \left(19 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{19} + \left(12 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{21} + \left(15 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{22} + \left(2 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(15 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{25} + \left(12 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{27} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{28} + \left(a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{29} + \left(6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{30} + \left(5 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{31} + \left(11 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{32} + \left(20 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{33} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{34} + \left(10 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{35} +O\left(23^{ 36 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(2,7,5)(3,8,6)$ $(5,7)(6,8)$ $(3,8)(4,6)$ $(1,2)(3,8)(4,6)(5,7)$ $(3,4)(6,8)$ $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ $(1,7)(2,5)(3,8)(4,6)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $6$ $3$ $2$ $(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$ $-2$ $4$ $2$ $(1,8)(2,6)(3,5)(4,7)$ $0$ $6$ $2$ $(1,2)(3,8)(4,6)(5,7)$ $-2$ $6$ $2$ $(1,5)(2,7)$ $2$ $12$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ $0$ $12$ $2$ $(1,2)(3,4)$ $-2$ $32$ $3$ $(2,5,7)(3,4,6)$ $0$ $12$ $4$ $(1,8,5,3)(2,4,7,6)$ $0$ $12$ $4$ $(1,3,5,8)(2,4,7,6)$ $0$ $12$ $4$ $(1,5,2,7)(3,6,4,8)$ $2$ $24$ $4$ $(1,3,7,8)(2,4,5,6)$ $0$ $24$ $4$ $(3,6,4,8)(5,7)$ $0$ $32$ $6$ $(1,8)(2,4,5,6,7,3)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.