LMFDB - Artin representation 2.1375.20t24.a.c

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	20T24
Conductor:	$1375$$\medspace = 5^{3} \cdot 11 $
Artin stem field:	Galois closure of 20.0.61839639189243316650390625.1
Galois orbit size:	$4$
Smallest permutation container:	20T24
Parity:	odd
Determinant:	1.275.10t1.a.c
Projective image:	$D_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.47265625.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{20} - 6 x^{19} + 11 x^{18} - 21 x^{16} + 13 x^{15} + 55 x^{14} - 217 x^{13} + 434 x^{12} - 360 x^{11} + \cdots + 25 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{10} + 17x^{5} + 5x^{4} + 15x^{3} + 6x^{2} + x + 5 $ x^10 + 17*x^5 + 5*x^4 + 15*x^3 + 6*x^2 + x + 5

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 18 a^{8} + 18 a^{7} + 18 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 11 a + \left(20 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23 + \left(18 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + a^{3} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{9} + 12 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 2 a^{5} + 2 a^{4} + 21 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{9} + 12 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{5} + a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^8 + 18a^7 + 18a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 17a^3 + a^2 + 11a + (20a^9 + 20a^8 + 8a^7 + 12a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 18a + 17)23 + (18a^9 + 20a^8 + 13a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 12a^2 + 3a + 21)23^2 + (9a^9 + 10a^8 + 8a^7 + 5a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 16a + 4)23^3 + (19a^9 + 22a^8 + 10a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 21a^2 + 18a + 5)23^4 + (7a^9 + 14a^8 + 8a^7 + 8a^6 + 2a^5 + a^3 + 6a + 14)23^5 + (3a^9 + 12a^8 + 16a^7 + 11a^6 + 2a^5 + 2a^4 + 21a^3 + 4a^2 + 9a + 5)23^6 + (21a^9 + 12a^8 + 9a^7 + 5a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 16a^2 + 4a + 8)23^7 + (14a^9 + 7a^8 + 12a^7 + 17a^6 + 16a^5 + a^3 + 18a^2 + 6a + 22)23^8 + (10a^8 + 20a^7 + 21a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 7a + 18)*23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 9 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 11 + \left(12 a^{9} + 20 a^{8} + 16 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23 + \left(17 a^{8} + 21 a^{7} + a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{9} + 20 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 21 a^{5} + 18 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 5 a^{6} + 9 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{9} + 11 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 20 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{9} + 22 a^{8} + 10 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^9 + 15a^8 + 2a^7 + 22a^6 + 2a^5 + 5a^4 + 22a^3 + 4a^2 + 10a + 11 + (12a^9 + 20a^8 + 16a^7 + 5a^6 + 21a^5 + 17a^4 + 13a^2 + 12a + 1)23 + (17a^8 + 21a^7 + a^6 + 16a^5 + 11a^4 + 19a^3 + 2a^2 + 10a)23^2 + (17a^9 + 19a^8 + 13a^7 + 10a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 19a^2 + 15a + 18)23^3 + (5a^9 + 13a^8 + 5a^7 + 6a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 5)23^4 + (2a^9 + 20a^8 + 2a^7 + 5a^6 + 21a^5 + 18a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 8a + 7)23^5 + (21a^9 + 5a^8 + 12a^7 + 13a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 18a + 6)23^6 + (20a^9 + 21a^8 + 2a^7 + 5a^6 + 9a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 18a + 18)23^7 + (12a^9 + 11a^8 + 18a^7 + 17a^6 + 3a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 20a^2 + 2a + 19)23^8 + (12a^9 + 22a^8 + 10a^7 + 14a^6 + 16a^5 + 15a^4 + a^3 + 9a^2 + 21a + 12)*23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 13 a^{9} + 20 a^{8} + 21 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 7 + \left(4 a^{9} + 10 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23 + \left(12 a^{9} + 11 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 17 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 19 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{9} + 20 a^{8} + 2 a^{7} + 14 a^{6} + 13 a^{5} + 21 a^{4} + 17 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{9} + 2 a^{8} + 22 a^{7} + a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{9} + a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 14 a^{3} + 13 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 13a^9 + 20a^8 + 21a^6 + 3a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 7a + 7 + (4a^9 + 10a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 6a^5 + 2a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 11a + 9)23 + (12a^9 + 11a^8 + 2a^7 + 21a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 16a + 2)23^2 + (5a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 17a^6 + 15a^5 + 7a^4 + 19a^3 + 16a^2 + 14a + 8)23^3 + (18a^9 + 5a^8 + 15a^7 + 15a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 17a + 21)23^4 + (15a^9 + 20a^8 + 2a^7 + 14a^6 + 13a^5 + 21a^4 + 17a^3 + 18a^2 + 10a + 4)23^5 + (20a^9 + 10a^8 + 20a^6 + 6a^5 + 21a^3 + 15a^2 + 8a + 9)23^6 + (8a^9 + 2a^8 + 22a^7 + a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 5a + 11)23^7 + (20a^9 + a^8 + a^7 + 5a^6 + 2a^5 + 11a^4 + 14a^3 + 2a^2 + 7a + 13)23^8 + (18a^9 + 13a^8 + 13a^7 + 7a^6 + 15a^5 + a^4 + 14a^3 + 13a^2 + 20a + 18)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 18 a^{9} + 17 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 12 + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23 + \left(11 a^{9} + 13 a^{8} + 5 a^{7} + 17 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(14 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(13 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 15 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{9} + 2 a^{8} + 17 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{9} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^9 + 17a^8 + 19a^7 + 22a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 7a + 12 + (12a^9 + 4a^8 + 16a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 12a^3 + 16a^2 + 17a + 7)23 + (11a^9 + 13a^8 + 5a^7 + 17a^6 + 19a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 19a + 8)23^2 + (14a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 11a^6 + 7a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 6a^2 + 21a + 9)23^3 + (13a^9 + 12a^8 + 5a^7 + 15a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 15a + 9)23^4 + (12a^9 + 5a^8 + 8a^7 + 15a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 12a + 1)23^5 + (12a^9 + 5a^8 + 8a^7 + 9a^6 + 5a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 7a + 4)23^6 + (a^9 + 2a^8 + 17a^7 + 12a^6 + 15a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 4a + 17)23^7 + (22a^9 + 3a^7 + 21a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 17a + 6)23^8 + (10a^9 + 9a^8 + 12a^7 + 13a^6 + a^5 + 5a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 17a + 2)23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 9 a^{9} + 5 a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{5} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 10 + \left(2 a^{9} + 19 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23 + \left(19 a^{9} + 15 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 20 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{9} + 14 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + 11 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{9} + 12 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 14 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{8} + 10 a^{7} + 13 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{9} + 21 a^{8} + 6 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 20 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{9} + 17 a^{8} + 11 a^{7} + 16 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^9 + 5a^8 + 3a^7 + 10a^5 + 19a^3 + 6a^2 + 16a + 10 + (2a^9 + 19a^8 + 18a^7 + 3a^6 + 3a^5 + 21a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 22a + 11)23 + (19a^9 + 15a^8 + 22a^7 + 7a^6 + 8a^5 + 5a^4 + a^3 + 20a^2 + 7a)23^2 + (7a^9 + 14a^8 + 18a^7 + 3a^6 + 11a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 20a^2 + 21a + 4)23^3 + (4a^9 + 12a^8 + 14a^7 + 9a^6 + 14a^4 + 10a^3 + 8a^2 + 10a + 10)23^4 + (15a^8 + 10a^7 + 13a^6 + 13a^5 + 4a^4 + 18a^3 + 6a^2 + 17a + 13)23^5 + (14a^9 + 21a^8 + 6a^7 + 3a^6 + 7a^5 + 4a^3 + 8a^2 + 2a + 21)23^6 + (4a^9 + a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 20a^3 + 11a^2 + 2a + 5)23^7 + (14a^9 + 21a^8 + 9a^7 + 3a^6 + 12a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 20a^2 + 4a + 22)23^8 + (16a^9 + 17a^8 + 11a^7 + 16a^6 + 9a^5 + 19a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 1)*23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 16 a^{8} + 4 a^{7} + 19 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 21 a^{3} + 3 a^{2} + a + 11 + \left(3 a^{9} + 11 a^{8} + 13 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 23 + \left(13 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 12 a^{5} + a^{4} + 11 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{9} + 10 a^{8} + 9 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{9} + 13 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{9} + 17 a^{8} + 7 a^{7} + 11 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(3 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 16a^8 + 4a^7 + 19a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 21a^3 + 3a^2 + a + 11 + (3a^9 + 11a^8 + 13a^7 + 15a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 13a + 15)23 + (13a^9 + 13a^8 + 13a^7 + 16a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 17a + 7)23^2 + (13a^9 + 13a^8 + 3a^7 + 4a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 18a^2 + 9a + 4)23^3 + (7a^9 + 6a^8 + 22a^7 + 11a^6 + 12a^5 + a^4 + 11a^2 + 17)23^4 + (14a^9 + 10a^8 + 9a^7 + 20a^6 + 19a^5 + 2a^4 + 15a + 7)23^5 + (7a^9 + 13a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 11a^3 + 9a^2 + 5a + 18)23^6 + (11a^9 + 2a^8 + 12a^7 + a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 16a^2 + 8a + 1)23^7 + (3a^9 + 17a^8 + 7a^7 + 11a^6 + 14a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 22a + 20)23^8 + (3a^9 + 8a^8 + 19a^7 + 10a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 9a + 2)*23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 13 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 18 + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 21 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 21 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23 + \left(8 a^{9} + a^{8} + 14 a^{7} + 11 a^{6} + 4 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 19 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 19 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 8 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{9} + 8 a^{8} + 18 a^{7} + 22 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{9} + 12 a^{8} + 3 a^{7} + 2 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 3 a^{3} + 21 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{9} + 5 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2}\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 13a^9 + 17a^8 + 8a^7 + 14a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 14a^2 + 7a + 18 + (21a^9 + 5a^8 + 10a^7 + 21a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 21a^2 + 12a + 9)23 + (8a^9 + a^8 + 14a^7 + 11a^6 + 4a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 19a^2 + 19a)23^2 + (13a^9 + 13a^8 + 13a^6 + 3a^5 + 2a^3 + 13a^2 + a + 4)23^3 + (9a^9 + 18a^8 + a^7 + 9a^6 + 4a^5 + 19a^4 + 19a^3 + 6a^2 + 15a)23^4 + (4a^9 + 9a^8 + 12a^6 + 18a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 21a^2 + 6a + 13)23^5 + (14a^9 + 12a^8 + 5a^7 + 8a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 18a + 13)23^6 + (14a^9 + 8a^8 + 18a^7 + 22a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 20a + 12)23^7 + (8a^9 + 12a^8 + 3a^7 + 2a^6 + 20a^5 + 4a^4 + 3a^3 + 21a^2 + 3a + 1)23^8 + (4a^9 + 5a^8 + 12a^7 + 11a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 12a^2)23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 4 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 20 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 10 + \left(6 a^{9} + 16 a^{8} + 7 a^{7} + 8 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23 + \left(14 a^{9} + 21 a^{8} + 2 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{9} + 17 a^{8} + 14 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 14 a^{3} + 18 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{7} + 15 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 16 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{9} + 15 a^{8} + 20 a^{7} + 2 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 4a^9 + 4a^8 + 16a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 20a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 14a + 10 + (6a^9 + 16a^8 + 7a^7 + 8a^6 + 18a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 5a^2 + 3a + 3)23 + (14a^9 + 21a^8 + 2a^7 + 8a^6 + a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 10a^2 + a + 11)23^2 + (12a^9 + 12a^8 + 15a^6 + 9a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 10a + 4)23^3 + (21a^9 + 17a^8 + 14a^7 + 8a^6 + 22a^5 + 14a^3 + 18a^2 + 3a + 14)23^4 + (14a^7 + 15a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 8a + 4)23^5 + (20a^9 + 20a^8 + 13a^7 + 8a^6 + 8a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 11a + 7)23^6 + (2a^9 + 11a^8 + 20a^7 + 21a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 12a + 11)23^7 + (17a^9 + 16a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 16a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 6a^2 + a + 20)23^8 + (15a^9 + 15a^8 + 20a^7 + 2a^6 + 10a^5 + 10a^3 + 7a^2 + 21a + 19)*23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 21 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 5 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 2 + \left(9 a^{9} + 5 a^{8} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23 + \left(11 a^{9} + a^{8} + 3 a^{7} + 7 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(15 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 16 a^{7} + 14 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{9} + 21 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 14 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 22 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{9} + 16 a^{8} + a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 3 a^{6} + 21 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 21a^9 + 20a^8 + 13a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 5a^3 + 14a^2 + 13a + 2 + (9a^9 + 5a^8 + 8a^7 + 5a^6 + 3a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 22a + 19)23 + (11a^9 + a^8 + 3a^7 + 7a^6 + 5a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 14a + 3)23^2 + (15a^9 + a^8 + 10a^7 + 6a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 7)23^3 + (22a^9 + 19a^8 + 16a^7 + 14a^6 + 11a^5 + a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 4a + 5)23^4 + (12a^9 + 21a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 14a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 12a^2 + 16a + 12)23^5 + (19a^9 + 17a^8 + 8a^7 + 4a^6 + 22a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 2a + 2)23^6 + (21a^9 + 16a^8 + a^7 + a^6 + 6a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 5a^2 + 12a + 6)23^7 + (20a^9 + 2a^8 + 3a^7 + 6a^6 + 22a^5 + 16a^4 + 9a^3 + 19a^2 + 22a)23^8 + (21a^9 + 4a^8 + 14a^7 + 3a^6 + 21a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 9a + 13)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 2 a^{9} + 15 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + \left(22 a^{9} + 14 a^{8} + 7 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23 + \left(8 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{9} + 7 a^{8} + 4 a^{6} + 7 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{9} + 18 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(20 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a^{9} + 10 a^{8} + 12 a^{7} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^9 + 15a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 9a + (22a^9 + 14a^8 + 7a^7 + 3a^6 + 5a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 3a + 7)23 + (8a^9 + a^8 + 9a^7 + 16a^6 + 6a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 10a^2 + 14a + 12)23^2 + (17a^9 + 7a^8 + 4a^6 + 7a^5 + 20a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 2a + 21)23^3 + (6a^9 + 18a^8 + 19a^7 + 11a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 17a^2 + 8a + 17)23^4 + (15a^9 + 18a^8 + 8a^7 + 3a^6 + 19a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 15a + 3)23^5 + (20a^9 + 6a^8 + 19a^7 + 5a^6 + 16a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 13a + 7)23^6 + (20a^9 + 7a^8 + 11a^7 + 9a^6 + 22a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 15a + 19)23^7 + (4a^9 + 2a^8 + 15a^7 + a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 4a + 18)23^8 + (12a^9 + 10a^8 + 12a^7 + 12a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 8a^2 + 3a + 17)23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 2 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 17 + \left(17 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 12 a^{6} + 6 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23 + \left(8 a^{9} + 13 a^{8} + 15 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(10 a^{9} + 4 a^{8} + 2 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{9} + 5 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 4 a^{5} + a^{4} + 12 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{9} + 11 a^{7} + 9 a^{6} + 2 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{5} + \left(8 a^{9} + 12 a^{8} + 19 a^{7} + 11 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 2 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(19 a^{8} + 5 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) a^9 + 11a^8 + 14a^7 + 2a^6 + 4a^5 + 18a^3 + 19a^2 + 18a + 17 + (17a^9 + 14a^8 + 9a^7 + 12a^6 + 6a^5 + 11a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 7a + 22)23 + (8a^9 + 13a^8 + 15a^7 + 9a^6 + a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 2a + 5)23^2 + (10a^9 + 4a^8 + 2a^7 + 17a^6 + 12a^5 + 8a^4 + a^3 + 2a^2 + 5a + 7)23^3 + (16a^9 + 5a^8 + 19a^7 + 7a^6 + 4a^5 + a^4 + 12a^3 + 18a^2 + 11a + 5)23^4 + (10a^9 + 11a^7 + 9a^6 + 2a^5 + 11a^4 + 15a^2 + 15a)23^5 + (8a^9 + 12a^8 + 19a^7 + 11a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 20a^2 + 14a + 15)23^6 + (21a^9 + 4a^8 + 9a^6 + 4a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 7a^2 + 16a + 19)23^7 + (6a^9 + 14a^8 + 2a^7 + 2a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 8a^2 + 8a + 2)23^8 + (19a^8 + 5a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 14a + 3)*23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 20 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 19 a + 22 + \left(3 a^{9} + 11 a^{8} + 12 a^{7} + 16 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + 3 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23 + \left(21 a^{9} + 13 a^{8} + 19 a^{7} + 9 a^{6} + 15 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{9} + 9 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 13 a^{5} + 6 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(11 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{4} + \left(6 a^{9} + 18 a^{8} + 8 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 6 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(8 a^{9} + 22 a^{8} + 17 a^{7} + 9 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{9} + 13 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 11a^9 + 20a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 19a + 22 + (3a^9 + 11a^8 + 12a^7 + 16a^6 + a^5 + 12a^4 + 19a^3 + 3a^2 + 22a + 18)23 + (21a^9 + 13a^8 + 19a^7 + 9a^6 + 15a^5 + 2a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 14a + 16)23^2 + (3a^9 + 9a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 13a^5 + 6a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 7a + 15)23^3 + (11a^9 + 15a^8 + 2a^7 + 10a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 12a)23^4 + (6a^9 + 18a^8 + 8a^7 + 15a^6 + 22a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 18a + 14)23^5 + (4a^9 + 7a^8 + 18a^7 + 4a^6 + 11a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 17a + 17)23^6 + (21a^9 + 5a^8 + 15a^7 + 6a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 4a^3 + 2a + 22)23^7 + (8a^9 + 22a^8 + 17a^7 + 9a^6 + 19a^5 + 22a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 13a + 5)23^8 + (a^9 + 13a^8 + 16a^7 + 2a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 11a^2 + 13a + 9)23^9+O(23^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 3 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{5} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9 + \left(4 a^{9} + 14 a^{8} + 11 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23 + \left(12 a^{9} + 15 a^{8} + 19 a^{7} + 10 a^{6} + 11 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 16 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{9} + 2 a^{8} + 20 a^{7} + 18 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{9} + 15 a^{8} + 17 a^{7} + 13 a^{6} + 7 a^{5} + 15 a^{4} + 14 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{9} + 13 a^{8} + 6 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 11 a^{3} + 20 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(3 a^{9} + 7 a^{8} + 18 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{9} + 3 a^{8} + 13 a^{7} + 11 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 10 a^{6} + 8 a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{9} + 8 a^{8} + a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 3a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 17a^5 + 13a^3 + 3a^2 + 3a + 9 + (4a^9 + 14a^8 + 11a^7 + 11a^6 + a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 12a)23 + (12a^9 + 15a^8 + 19a^7 + 10a^6 + 11a^5 + 19a^4 + 21a^3 + 16a^2 + 21a + 12)23^2 + (2a^9 + 2a^8 + 20a^7 + 18a^6 + 17a^5 + 16a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 9a + 19)23^3 + (a^9 + 15a^8 + 17a^7 + 13a^6 + 7a^5 + 15a^4 + 14a^3 + 7a^2 + 20a + 16)23^4 + (5a^9 + 13a^8 + 6a^7 + 7a^6 + 18a^5 + 9a^4 + 11a^3 + 20a^2 + 9)23^5 + (3a^9 + 7a^8 + 18a^7 + 9a^6 + 5a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 22a + 22)23^6 + (6a^9 + 3a^8 + 13a^7 + 11a^6 + 20a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 18a + 5)23^7 + (6a^9 + 15a^8 + 21a^7 + 10a^6 + 8a^5 + 21a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 22a)23^8 + (10a^9 + 8a^8 + a^7 + 20a^6 + 18a^5 + 20a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 2a + 14)*23^9+O(23^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 18 a^{9} + 19 a^{8} + 11 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a^{2} + 22 a + 11 + \left(16 a^{9} + 16 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23 + \left(14 a^{9} + 14 a^{8} + 12 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{9} + 7 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{7} + \left(3 a^{9} + 16 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 10 a^{6} + 10 a^{5} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^9 + 19a^8 + 11a^7 + 2a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 12a^3 + 16a^2 + 22a + 11 + (16a^9 + 16a^8 + 5a^7 + a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 14a + 12)23 + (14a^9 + 14a^8 + 12a^7 + 18a^6 + 21a^5 + 20a^4 + 18a^3 + 20a^2 + 13a + 11)23^2 + (16a^8 + 10a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 14a^2 + 8a + 7)23^3 + (22a^9 + 4a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 20a^5 + 3a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 7a + 12)23^4 + (7a^9 + 16a^8 + 16a^7 + 22a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 19a^3 + 22a^2 + 18)23^5 + (9a^9 + 7a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 22a^3 + a^2 + 6a + 10)23^6 + (11a^9 + 7a^8 + 16a^7 + 17a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 22a^2 + 2a + 15)23^7 + (3a^9 + 16a^8 + 2a^7 + 18a^6 + 21a^5 + 10a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 17a + 22)23^8 + (15a^9 + 13a^8 + 14a^7 + 10a^6 + 10a^5 + 2a^3 + 2a^2 + 17a + 6)23^9+O(23^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 9 a^{9} + 9 a^{8} + 19 a^{7} + 22 a^{6} + a^{5} + a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 16 + \left(11 a^{9} + 12 a^{8} + 7 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23 + \left(22 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 21 a^{6} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{9} + 10 a^{8} + 18 a^{7} + 11 a^{6} + 17 a^{5} + 12 a^{4} + 20 a^{3} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{9} + 19 a^{8} + 5 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 3 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 20 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{9} + 15 a^{8} + 6 a^{7} + 17 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{9} + 18 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{9} + 9 a^{7} + 17 a^{6} + 3 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 7 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 9a^9 + 9a^8 + 19a^7 + 22a^6 + a^5 + a^4 + 5a^3 + 6a^2 + 16 + (11a^9 + 12a^8 + 7a^7 + 16a^6 + 6a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 10a^2 + 21a + 13)23 + (22a^9 + 13a^8 + 18a^7 + 21a^6 + 5a^4 + 19a^3 + a^2 + 16a + 6)23^2 + (3a^9 + 10a^8 + 18a^7 + 11a^6 + 17a^5 + 12a^4 + 20a^3 + 4a + 4)23^3 + (21a^9 + 3a^8 + 21a^7 + 20a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 5a^2 + a + 4)23^4 + (13a^9 + 19a^8 + 5a^7 + 12a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 3a^3 + 16a^2 + 12a + 3)23^5 + (15a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 20a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 10a + 20)23^6 + (3a^9 + 15a^8 + 6a^7 + 17a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 8a^2 + 15a + 7)23^7 + (5a^9 + 18a^8 + 21a^7 + 12a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 15a^2 + 11)23^8 + (4a^9 + 9a^7 + 17a^6 + 3a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 7a^2 + 20a + 4)*23^9+O(23^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 4 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 20 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 11 a^{2} + 5 a + 22 + \left(18 a^{9} + 10 a^{8} + 20 a^{7} + 9 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23 + \left(22 a^{9} + 5 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{9} + 18 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{9} + 11 a^{8} + 11 a^{7} + 22 a^{6} + 9 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 16 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{9} + 7 a^{8} + 5 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(14 a^{9} + 19 a^{8} + 17 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{7} + \left(4 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{9} + 19 a^{7} + 12 a^{6} + 20 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 4a^9 + 16a^8 + 16a^7 + 20a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 11a^2 + 5a + 22 + (18a^9 + 10a^8 + 20a^7 + 9a^6 + 3a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 16a^2 + 14a + 15)23 + (22a^9 + 5a^8 + 4a^7 + 18a^6 + 13a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 13a + 11)23^2 + (21a^9 + 18a^8 + 12a^7 + 20a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 4a^3 + 4a^2 + 3a + 5)23^3 + (5a^9 + 11a^8 + 11a^7 + 22a^6 + 9a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 12a + 1)23^4 + (13a^9 + a^8 + 13a^7 + 16a^6 + 20a^5 + 16a^3 + 3a^2 + 5a + 17)23^5 + (9a^9 + 7a^8 + 5a^7 + 21a^6 + 17a^5 + 20a^4 + a^3 + 6a^2 + 16a + 6)23^6 + (14a^9 + 19a^8 + 17a^7 + 20a^6 + 11a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 22a + 18)23^7 + (4a^9 + 3a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 7a + 19)23^8 + (22a^9 + 19a^7 + 12a^6 + 20a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 15a + 21)23^9+O(23^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 22 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 19 a^{3} + 9 a^{2} + a + 20 + \left(3 a^{9} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 2 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23 + \left(10 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 3 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{9} + 22 a^{8} + 9 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 8 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 8 a^{3} + 22 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{9} + 7 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{9} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 6 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{9} + 15 a^{8} + 7 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 20a^9 + 22a^7 + 11a^6 + 8a^5 + 15a^4 + 19a^3 + 9a^2 + a + 20 + (3a^9 + 6a^7 + 6a^6 + 2a^5 + 6a^4 + 22a^3 + 14a^2 + 19a + 8)23 + (10a^9 + 19a^8 + 20a^7 + 10a^6 + a^5 + 5a^4 + 2a^3 + a^2 + 13a + 17)23^2 + (2a^9 + 18a^8 + 22a^7 + 7a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 3a^2 + 19a + 16)23^3 + (9a^9 + 22a^8 + 9a^7 + 19a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 2a + 22)23^4 + (12a^9 + 5a^8 + 15a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 4a + 15)23^5 + (11a^9 + 15a^8 + 3a^7 + 8a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 8a^3 + 22a^2 + 3)23^6 + (13a^9 + 7a^8 + 11a^7 + 6a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 9a^2 + 12a + 6)23^7 + (11a^9 + 4a^8 + 3a^7 + 6a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 17a + 16)23^8 + (18a^9 + 15a^8 + 7a^7 + 4a^6 + 10a^5 + a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 17a + 12)*23^9+O(23^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 3 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 18 + \left(18 a^{9} + 18 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23 + \left(6 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 15 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{9} + 16 a^{8} + 18 a^{7} + 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 19 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{9} + 14 a^{8} + 19 a^{7} + 21 a^{6} + 19 a^{5} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a^{9} + 4 a^{8} + 12 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{9} + 9 a^{8} + 15 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 20 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{9} + 16 a^{8} + 3 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 22a^9 + 3a^8 + 8a^7 + 3a^6 + 4a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 14a + 18 + (18a^9 + 18a^8 + 15a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 15a + 3)23 + (6a^9 + 4a^8 + 12a^7 + 19a^6 + 12a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 15a^2 + 17a + 12)23^2 + (5a^9 + 16a^8 + 18a^7 + 2a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 5a^3 + 12a^2 + a + 15)23^3 + (3a^8 + 9a^7 + 9a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 14a + 1)23^4 + (20a^9 + 5a^8 + 7a^7 + a^6 + 19a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 5a + 8)23^5 + (22a^9 + 14a^8 + 19a^7 + 21a^6 + 19a^5 + 9a^3 + 5a^2 + 22a + 16)23^6 + (10a^9 + 4a^8 + 12a^7 + 20a^6 + 2a^5 + 16a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 21a + 22)23^7 + (22a^9 + 9a^8 + 15a^7 + 21a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 20a^3 + 18a^2 + 9a + 1)23^8 + (22a^9 + 16a^8 + 3a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 2a + 2)23^9+O(23^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 15 a^{8} + 4 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 20 a + 3 + \left(19 a^{9} + a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23 + \left(22 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 15 a^{5} + a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{9} + 7 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 22 a^{3} + 13 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{9} + 6 a^{8} + 19 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 20 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 19 a^{3} + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(15 a^{9} + 20 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{9} + 2 a^{8} + 15 a^{7} + 16 a^{6} + 8 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 15a^8 + 4a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 9a^2 + 20a + 3 + (19a^9 + a^8 + 10a^7 + 9a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 6a + 2)23 + (22a^8 + 5a^7 + 11a^6 + 15a^5 + a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 10a + 1)23^2 + (2a^9 + 7a^8 + 22a^7 + 15a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 22a^3 + 13a^2 + 6a + 8)23^3 + (5a^9 + 10a^8 + 5a^7 + 16a^5 + 7a^4 + 16a^3 + a^2 + 5a + 18)23^4 + (11a^9 + 6a^8 + 19a^7 + 20a^6 + 9a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 9a^2 + 8a + 22)23^5 + (15a^9 + 16a^8 + 8a^7 + 20a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 19a^3 + 6)23^6 + (12a^9 + 8a^8 + 21a^7 + 6a^6 + 9a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 19a + 1)23^7 + (15a^9 + 20a^8 + 22a^7 + 3a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 11a^3 + a^2 + 9a + 3)23^8 + (a^9 + 2a^8 + 15a^7 + 16a^6 + 8a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 11a^2 + a + 3)*23^9+O(23^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 7 a^{9} + 14 a^{8} + 5 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 19 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 17 + \left(2 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 22 a^{6} + 16 a^{5} + 18 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23 + \left(14 a^{9} + 11 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 18 a^{4} + 19 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(3 a^{9} + 2 a^{8} + 3 a^{7} + 10 a^{6} + 22 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(8 a^{9} + 13 a^{8} + 3 a^{7} + 15 a^{6} + 14 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{9} + 4 a^{8} + 9 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 22 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(21 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 21 a^{5} + 10 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(8 a^{9} + 20 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 7 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{9} + 12 a^{8} + 15 a^{7} + 15 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(16 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 12 a^{5} + 14 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 7a^9 + 14a^8 + 5a^7 + 11a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 19a^3 + 13a^2 + 10a + 17 + (2a^9 + 21a^8 + 16a^7 + 22a^6 + 16a^5 + 18a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 4a + 6)23 + (14a^9 + 11a^8 + 15a^7 + 18a^6 + 18a^4 + 19a^3 + 15a^2 + 2a + 20)23^2 + (3a^9 + 2a^8 + 3a^7 + 10a^6 + 22a^5 + 17a^4 + 12a^3 + a^2 + 2a + 20)23^3 + (8a^9 + 13a^8 + 3a^7 + 15a^6 + 14a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 22a + 16)23^4 + (19a^9 + 4a^8 + 9a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 22a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 18a + 14)23^5 + (21a^9 + 7a^8 + 10a^7 + 4a^6 + 21a^5 + 10a^4 + 18a^3 + 21a + 14)23^6 + (8a^9 + 20a^8 + 6a^7 + 12a^6 + 14a^5 + a^4 + 7a^2 + 16a + 20)23^7 + (5a^9 + 12a^8 + 15a^7 + 15a^6 + 21a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 6a + 22)23^8 + (16a^9 + 21a^8 + 16a^7 + 18a^6 + 12a^5 + 14a^4 + 9a^3 + a^2 + 13a + 20)*23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 20 }$

Cycle notation
$(1,14)(2,8)(3,18)(4,11)(5,7)(6,20)(9,17)(10,13)(12,16)(15,19)$
$(1,16,18,4,10)(2,9,5,19,20)(3,12,14,13,11)(6,15,7,17,8)$
$(2,19,9,20,5)(3,13,12,11,14)$
$(1,17)(2,12)(3,20)(4,15)(5,13)(6,18)(7,10)(8,16)(9,14)(11,19)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 20 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$2$
$1$	$2$	$(1,17)(2,12)(3,20)(4,15)(5,13)(6,18)(7,10)(8,16)(9,14)(11,19)$	$-2$
$5$	$2$	$(1,14)(2,8)(3,18)(4,11)(5,7)(6,20)(9,17)(10,13)(12,16)(15,19)$	$0$
$5$	$2$	$(1,9)(2,16)(3,6)(4,19)(5,10)(7,13)(8,12)(11,15)(14,17)(18,20)$	$0$
$1$	$5$	$(1,18,10,16,4)(2,19,9,20,5)(3,13,12,11,14)(6,7,8,15,17)$	$2 \zeta_{5}^{3}$
$1$	$5$	$(1,10,4,18,16)(2,9,5,19,20)(3,12,14,13,11)(6,8,17,7,15)$	$2 \zeta_{5}$
$1$	$5$	$(1,16,18,4,10)(2,20,19,5,9)(3,11,13,14,12)(6,15,7,17,8)$	$-2 \zeta_{5}^{3} - 2 \zeta_{5}^{2} - 2 \zeta_{5} - 2$
$1$	$5$	$(1,4,16,10,18)(2,5,20,9,19)(3,14,11,12,13)(6,17,15,8,7)$	$2 \zeta_{5}^{2}$
$2$	$5$	$(1,16,18,4,10)(2,9,5,19,20)(3,12,14,13,11)(6,15,7,17,8)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - 1$
$2$	$5$	$(1,18,10,16,4)(2,5,20,9,19)(3,14,11,12,13)(6,7,8,15,17)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2}$
$2$	$5$	$(2,19,9,20,5)(3,13,12,11,14)$	$\zeta_{5}^{3} + 1$
$2$	$5$	$(2,9,5,19,20)(3,12,14,13,11)$	$\zeta_{5} + 1$
$2$	$5$	$(2,20,19,5,9)(3,11,13,14,12)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(2,5,20,9,19)(3,14,11,12,13)$	$\zeta_{5}^{2} + 1$
$2$	$5$	$(1,10,4,18,16)(2,5,20,9,19)(3,14,11,12,13)(6,8,17,7,15)$	$\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(1,4,16,10,18)(2,20,19,5,9)(3,11,13,14,12)(6,17,15,8,7)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5} - 1$
$2$	$5$	$(1,18,10,16,4)(2,9,5,19,20)(3,12,14,13,11)(6,7,8,15,17)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}$
$2$	$5$	$(1,16,18,4,10)(2,19,9,20,5)(3,13,12,11,14)(6,15,7,17,8)$	$-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5} - 1$
$1$	$10$	$(1,8,18,15,10,17,16,6,4,7)(2,3,19,13,9,12,20,11,5,14)$	$2 \zeta_{5}^{3} + 2 \zeta_{5}^{2} + 2 \zeta_{5} + 2$
$1$	$10$	$(1,15,16,7,18,17,4,8,10,6)(2,13,20,14,19,12,5,3,9,11)$	$-2 \zeta_{5}^{2}$
$1$	$10$	$(1,6,10,8,4,17,18,7,16,15)(2,11,9,3,5,12,19,14,20,13)$	$-2 \zeta_{5}^{3}$
$1$	$10$	$(1,7,4,6,16,17,10,15,18,8)(2,14,5,11,20,12,9,13,19,3)$	$-2 \zeta_{5}$
$2$	$10$	$(1,8,18,15,10,17,16,6,4,7)(2,14,5,11,20,12,9,13,19,3)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + 1$
$2$	$10$	$(1,15,16,7,18,17,4,8,10,6)(2,11,9,3,5,12,19,14,20,13)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}^{2}$
$2$	$10$	$(1,17)(2,11,9,3,5,12,19,14,20,13)(4,15)(6,18)(7,10)(8,16)$	$-\zeta_{5}^{3} - 1$
$2$	$10$	$(1,17)(2,3,19,13,9,12,20,11,5,14)(4,15)(6,18)(7,10)(8,16)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5}^{2} + \zeta_{5}$
$2$	$10$	$(1,17)(2,14,5,11,20,12,9,13,19,3)(4,15)(6,18)(7,10)(8,16)$	$-\zeta_{5} - 1$
$2$	$10$	$(1,17)(2,13,20,14,19,12,5,3,9,11)(4,15)(6,18)(7,10)(8,16)$	$-\zeta_{5}^{2} - 1$
$2$	$10$	$(1,7,4,6,16,17,10,15,18,8)(2,13,20,14,19,12,5,3,9,11)$	$-\zeta_{5}^{2} - \zeta_{5}$
$2$	$10$	$(1,6,10,8,4,17,18,7,16,15)(2,14,5,11,20,12,9,13,19,3)$	$-\zeta_{5}^{3} - \zeta_{5}$
$2$	$10$	$(1,15,16,7,18,17,4,8,10,6)(2,3,19,13,9,12,20,11,5,14)$	$\zeta_{5}^{3} + \zeta_{5} + 1$
$2$	$10$	$(1,8,18,15,10,17,16,6,4,7)(2,11,9,3,5,12,19,14,20,13)$	$\zeta_{5}^{2} + \zeta_{5} + 1$
$5$	$10$	$(1,3,18,13,10,12,16,11,4,14)(2,8,19,15,9,17,20,6,5,7)$	$0$
$5$	$10$	$(1,13,16,14,18,12,4,3,10,11)(2,15,20,7,19,17,5,8,9,6)$	$0$
$5$	$10$	$(1,11,10,3,4,12,18,14,16,13)(2,6,9,8,5,17,19,7,20,15)$	$0$
$5$	$10$	$(1,14,4,11,16,12,10,13,18,3)(2,7,5,6,20,17,9,15,19,8)$	$0$
$5$	$10$	$(1,20,18,5,10,2,16,19,4,9)(3,6,13,7,12,8,11,15,14,17)$	$0$
$5$	$10$	$(1,5,16,9,18,2,4,20,10,19)(3,7,11,17,13,8,14,6,12,15)$	$0$
$5$	$10$	$(1,19,10,20,4,2,18,9,16,5)(3,15,12,6,14,8,13,17,11,7)$	$0$
$5$	$10$	$(1,9,4,19,16,2,10,5,18,20)(3,17,14,15,11,8,12,7,13,6)$	$0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 20 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.1375.20t24.a.c
Dimension	$2$
Group	$C_5\times D_{10}$
Conductor	$1375$
Root number	not computed
Indicator	$0$