Number field 27.27.7977212169716289044333767743376433611324896529.1

• Label: 27.27.797...529.1
• Degree: $27$
• Signature: $[27, 0]$
• Discriminant: $7.977\times 10^{45}$
• Root discriminant: \(50.13\)
• Ramified primes: $7,19$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_3\times C_9$ (as 27T2)

Normalized defining polynomial

x^27 - x^26 - 42*x^25 + 37*x^24 + 728*x^23 - 564*x^22 - 6817*x^21 + 4664*x^20 + 37948*x^19 - 23103*x^18 - 130429*x^17 + 71289*x^16 + 279661*x^15 - 138143*x^14 - 372684*x^13 + 166778*x^12 + 305327*x^11 - 124486*x^10 - 150120*x^9 + 56020*x^8 + 42107*x^7 - 14253*x^6 - 6122*x^5 + 1790*x^4 + 395*x^3 - 85*x^2 - 10*x + 1

Invariants

Degree:		$27$
Signature:		$[27, 0]$
Discriminant:		\(7977212169716289044333767743376433611324896529\) \(\medspace = 7^{18}\cdot 19^{24}\)
Root discriminant:		\(50.13\)
Ramified primes:		\(7\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$27$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(133=7\cdot 19\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{133}(64,·)$, $\chi_{133}(1,·)$, $\chi_{133}(130,·)$, $\chi_{133}(4,·)$, $\chi_{133}(100,·)$, $\chi_{133}(9,·)$, $\chi_{133}(74,·)$, $\chi_{133}(11,·)$, $\chi_{133}(16,·)$, $\chi_{133}(81,·)$, $\chi_{133}(85,·)$, $\chi_{133}(23,·)$, $\chi_{133}(25,·)$, $\chi_{133}(92,·)$, $\chi_{133}(93,·)$, $\chi_{133}(30,·)$, $\chi_{133}(99,·)$, $\chi_{133}(36,·)$, $\chi_{133}(102,·)$, $\chi_{133}(39,·)$, $\chi_{133}(106,·)$, $\chi_{133}(43,·)$, $\chi_{133}(44,·)$, $\chi_{133}(120,·)$, $\chi_{133}(121,·)$, $\chi_{133}(58,·)$, $\chi_{133}(123,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{113}a^{24}+\frac{27}{113}a^{23}+\frac{32}{113}a^{22}+\frac{6}{113}a^{21}+\frac{12}{113}a^{20}-\frac{18}{113}a^{19}+\frac{34}{113}a^{18}+\frac{41}{113}a^{17}+\frac{27}{113}a^{16}+\frac{41}{113}a^{15}-\frac{22}{113}a^{14}+\frac{32}{113}a^{13}+\frac{48}{113}a^{12}-\frac{33}{113}a^{11}+\frac{12}{113}a^{10}+\frac{18}{113}a^{9}+\frac{25}{113}a^{8}-\frac{7}{113}a^{7}+\frac{48}{113}a^{6}-\frac{34}{113}a^{5}+\frac{27}{113}a^{4}-\frac{15}{113}a^{3}-\frac{48}{113}a^{2}-\frac{24}{113}a-\frac{4}{113}$, $\frac{1}{113}a^{25}-\frac{19}{113}a^{23}+\frac{46}{113}a^{22}-\frac{37}{113}a^{21}-\frac{3}{113}a^{20}-\frac{45}{113}a^{19}+\frac{27}{113}a^{18}+\frac{50}{113}a^{17}-\frac{10}{113}a^{16}+\frac{1}{113}a^{15}-\frac{52}{113}a^{14}-\frac{25}{113}a^{13}+\frac{27}{113}a^{12}-\frac{1}{113}a^{11}+\frac{33}{113}a^{10}-\frac{9}{113}a^{9}-\frac{4}{113}a^{8}+\frac{11}{113}a^{7}+\frac{26}{113}a^{6}+\frac{41}{113}a^{5}+\frac{47}{113}a^{4}+\frac{18}{113}a^{3}+\frac{29}{113}a^{2}-\frac{34}{113}a-\frac{5}{113}$, $\frac{1}{82\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!73}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}a-\frac{25\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$26$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{85\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{99\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{86\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a-\frac{88\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{49\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!04}{72\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!73}a+\frac{16\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{83\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a+\frac{39\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{32\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{91\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!94}{72\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{87\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{88\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{85\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{70\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a+\frac{10\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{41\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{93\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a+\frac{55\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{41\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{93\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a+\frac{13\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{20\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{79\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{56\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a-\frac{76\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{18\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{76\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a+\frac{81\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{31\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{89\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{82\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{73\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a+\frac{31\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{18\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{76\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{96\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{26\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a+\frac{73\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{32\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!23}{72\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{89\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!73}{72\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{96\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{96\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!73}a+\frac{77\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{42\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!27}{72\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a+\frac{21\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{18\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{73\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{64\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{51\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a+\frac{89\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{92\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{63\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{57\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{62\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a+\frac{14\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{54\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!95}{72\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!14}{72\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!73}a+\frac{16\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{58\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!56}{72\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!74}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a-\frac{43\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{99\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{70\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a+\frac{87\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{45\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a+\frac{45\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{16\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{69\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!41}{72\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{72\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a+\frac{47\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{12\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{51\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{81\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{81\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a+\frac{28\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{29\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{57\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{92\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{74\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{80\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a-\frac{16\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{27\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{57\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{77\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{74\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{95\!\cdots\!98}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{82\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}a+\frac{10\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{17\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{74\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!37}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!73}a+\frac{57\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{11\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{85\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!62}{72\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!73}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!58}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!73}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!98}{82\!\cdots\!73}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!87}{82\!\cdots\!73}a+\frac{40\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{29\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!23}{82\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!73}a-\frac{14\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!73}$, $\frac{26\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!73}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!73}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!73}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!73}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!73}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!73}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!73}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!73}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{73\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!73}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!98}{82\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!73}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!73}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!73}a-\frac{10\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!73}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 173879598132270.75 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{27}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 173879598132270.75 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{7977212169716289044333767743376433611324896529}}\cr\approx \mathstrut & 0.130648053453212 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_3\times C_9$ (as 27T2):

An abelian group of order 27

The 27 conjugacy class representatives for $C_3\times C_9$

Character table for $C_3\times C_9$ is not computed

Intermediate fields

3.3.17689.1, 3.3.361.1, 3.3.17689.2, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 9.9.5534900853769.1, 9.9.1998099208210609.1, 9.9.1998099208210609.2, \(\Q(\zeta_{19})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/3.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/5.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/17.9.0.1}{9} }^{3}$	R	${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/29.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{9}$	${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/43.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/47.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/53.9.0.1}{9} }^{3}$	${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(7\)	7.9.6.1	$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$	$3$	$3$	$6$	$C_3^2$	$[\ ]_{3}^{3}$
	7.9.6.1	$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$	$3$	$3$	$6$	$C_3^2$	$[\ ]_{3}^{3}$
	7.9.6.1	$x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 249 x^{6} + 396 x^{5} + 1944 x^{4} + 2631 x^{3} - 2358 x^{2} - 756 x + 11915$	$3$	$3$	$6$	$C_3^2$	$[\ ]_{3}^{3}$
\(19\)		Deg $27$	$9$	$3$	$24$