Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 6*x^19 + 16*x^18 - 38*x^17 + 39*x^16 + 174*x^15 - 462*x^14 + 4*x^13 + 742*x^12 - 320*x^11 - 110*x^10 - 298*x^9 - 79*x^8 + 782*x^7 - 620*x^6 - 144*x^5 + 551*x^4 - 146*x^3 - 106*x^2 + 18*x + 1)
gp: K = bnfinit(y^20 - 6*y^19 + 16*y^18 - 38*y^17 + 39*y^16 + 174*y^15 - 462*y^14 + 4*y^13 + 742*y^12 - 320*y^11 - 110*y^10 - 298*y^9 - 79*y^8 + 782*y^7 - 620*y^6 - 144*y^5 + 551*y^4 - 146*y^3 - 106*y^2 + 18*y + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - 6*x^19 + 16*x^18 - 38*x^17 + 39*x^16 + 174*x^15 - 462*x^14 + 4*x^13 + 742*x^12 - 320*x^11 - 110*x^10 - 298*x^9 - 79*x^8 + 782*x^7 - 620*x^6 - 144*x^5 + 551*x^4 - 146*x^3 - 106*x^2 + 18*x + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 6*x^19 + 16*x^18 - 38*x^17 + 39*x^16 + 174*x^15 - 462*x^14 + 4*x^13 + 742*x^12 - 320*x^11 - 110*x^10 - 298*x^9 - 79*x^8 + 782*x^7 - 620*x^6 - 144*x^5 + 551*x^4 - 146*x^3 - 106*x^2 + 18*x + 1)
\( x^{20} - 6 x^{19} + 16 x^{18} - 38 x^{17} + 39 x^{16} + 174 x^{15} - 462 x^{14} + 4 x^{13} + 742 x^{12} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[12, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(397047656661540462827405312\)
\(\medspace = 2^{30}\cdot 13^{4}\cdot 19\cdot 47\cdot 347^{4}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(21.38\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(13\), \(19\), \(47\), \(347\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{893}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{82\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!43}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!43}a+\frac{13\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!43}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $15$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{29\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{93\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!43}a+\frac{15\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{39\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{89\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!43}a-\frac{34\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{28\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{46\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!43}a+\frac{32\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{30\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!43}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{93\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!43}a+\frac{14\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{18\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!43}a+\frac{13\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{56\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{66\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{97\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!43}a+\frac{14\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{17\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!43}a-\frac{19\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{11\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{57\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{83\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!43}a+\frac{44\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{29\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{93\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{74\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{91\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!43}a+\frac{15\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{13\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{70\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!43}a+\frac{48\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{44\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{86\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!43}a+\frac{12\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{15\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{97\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!43}a+\frac{13\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{83\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!43}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!43}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!43}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!43}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!43}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!43}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!43}a-\frac{39\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{67\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!43}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!43}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!43}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!43}a+\frac{33\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!43}$, $\frac{47\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!43}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!43}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!43}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{88\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!43}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!43}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!43}a^{11}+\frac{89\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!43}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!43}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!43}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!43}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!43}a+\frac{50\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!43}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 976310.162479 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{12}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 976310.162479 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{397047656661540462827405312}}\cr\approx \mathstrut & 0.156392498196 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 6*x^19 + 16*x^18 - 38*x^17 + 39*x^16 + 174*x^15 - 462*x^14 + 4*x^13 + 742*x^12 - 320*x^11 - 110*x^10 - 298*x^9 - 79*x^8 + 782*x^7 - 620*x^6 - 144*x^5 + 551*x^4 - 146*x^3 - 106*x^2 + 18*x + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^20 - 6*x^19 + 16*x^18 - 38*x^17 + 39*x^16 + 174*x^15 - 462*x^14 + 4*x^13 + 742*x^12 - 320*x^11 - 110*x^10 - 298*x^9 - 79*x^8 + 782*x^7 - 620*x^6 - 144*x^5 + 551*x^4 - 146*x^3 - 106*x^2 + 18*x + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - 6*x^19 + 16*x^18 - 38*x^17 + 39*x^16 + 174*x^15 - 462*x^14 + 4*x^13 + 742*x^12 - 320*x^11 - 110*x^10 - 298*x^9 - 79*x^8 + 782*x^7 - 620*x^6 - 144*x^5 + 551*x^4 - 146*x^3 - 106*x^2 + 18*x + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 6*x^19 + 16*x^18 - 38*x^17 + 39*x^16 + 174*x^15 - 462*x^14 + 4*x^13 + 742*x^12 - 320*x^11 - 110*x^10 - 298*x^9 - 79*x^8 + 782*x^7 - 620*x^6 - 144*x^5 + 551*x^4 - 146*x^3 - 106*x^2 + 18*x + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^9.C_2^5.S_5$ (as 20T992):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 1966080 |
| The 280 conjugacy class representatives for $C_2^9.C_2^5.S_5$ |
| Character table for $C_2^9.C_2^5.S_5$ |
Intermediate fields
| 5.3.4511.1, 10.6.20837499904.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 20 siblings: | data not computed |
| Degree 40 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/3.5.0.1}{5} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/5.5.0.1}{5} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{2}$ | R | $16{,}\,{\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }$ | R | ${\href{/padicField/23.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/41.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/43.5.0.1}{5} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/53.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $20$ | $4$ | $5$ | $30$ | |||
|
\(13\)
| 13.4.0.1 | $x^{4} + 3 x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |
| 13.8.0.1 | $x^{8} + 8 x^{4} + 12 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2$ | $1$ | $8$ | $0$ | $C_8$ | $[\ ]^{8}$ | |
| 13.8.4.1 | $x^{8} + 520 x^{7} + 101458 x^{6} + 8810644 x^{5} + 288610205 x^{4} + 142111548 x^{3} + 982314112 x^{2} + 3617879976 x + 920156436$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ | |
|
\(19\)
| 19.2.0.1 | $x^{2} + 18 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |
| 19.2.1.1 | $x^{2} + 38$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 19.4.0.1 | $x^{4} + 2 x^{2} + 11 x + 2$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
| 19.6.0.1 | $x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 19.6.0.1 | $x^{6} + 17 x^{3} + 17 x^{2} + 6 x + 2$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
|
\(47\)
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{47}$ | $x + 42$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 47.2.0.1 | $x^{2} + 45 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 47.2.0.1 | $x^{2} + 45 x + 5$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| 47.2.1.1 | $x^{2} + 235$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | |
| 47.12.0.1 | $x^{12} + 46 x^{7} + 40 x^{6} + 35 x^{5} + 12 x^{4} + 46 x^{3} + 14 x^{2} + 9 x + 5$ | $1$ | $12$ | $0$ | $C_{12}$ | $[\ ]^{12}$ | |
|
\(347\)
| $\Q_{347}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{347}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
| Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
| Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
| Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
| Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ |