Normalized defining polynomial
\( x^{16} - x^{15} + 7 x^{14} + 15 x^{13} - 62 x^{12} + 43 x^{11} - 310 x^{10} - 629 x^{9} - 268 x^{8} - 1921 x^{7} + 1573 x^{6} - 776 x^{5} + 7 x^{4} + 1618 x^{3} - 556 x^{2} - 184 x + 16 \)
Invariants
Degree: | $16$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[8, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(575650281819106455466129\) \(\medspace = 17^{14}\cdot 43^{4}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(30.55\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $17^{7/8}43^{1/2}\approx 78.23066716385114$ | ||
Ramified primes: | \(17\), \(43\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $8$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{11\!\cdots\!04}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!04}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!04}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!04}a^{12}-\frac{75\!\cdots\!35}{29\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!04}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!71}{29\!\cdots\!26}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!81}{58\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!04}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!41}{58\!\cdots\!52}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!04}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!63}a-\frac{45\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!63}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{15\!\cdots\!05}{58\!\cdots\!52}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!15}{29\!\cdots\!26}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!61}{58\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!97}{58\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!33}{58\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!27}{58\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!43}{58\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!55}{58\!\cdots\!52}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!91}{29\!\cdots\!26}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!01}{58\!\cdots\!52}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!79}{58\!\cdots\!52}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!01}{58\!\cdots\!52}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!03}{29\!\cdots\!26}a-\frac{26\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{47\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!35}{58\!\cdots\!52}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!79}{58\!\cdots\!52}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!13}{58\!\cdots\!52}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{74\!\cdots\!29}{58\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!26}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!17}{58\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!26}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!13}{58\!\cdots\!52}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!39}{58\!\cdots\!52}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{91\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!26}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!89}{29\!\cdots\!26}a+\frac{26\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!04}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!04}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!04}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!77}{58\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!04}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!53}{29\!\cdots\!26}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!04}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!04}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!52}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!77}{29\!\cdots\!26}a-\frac{17\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{68\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!04}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!04}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!73}{58\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!04}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!77}{58\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!04}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!30}{14\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!04}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!23}{29\!\cdots\!26}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!04}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!67}{58\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!63}a+\frac{19\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{21\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!26}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!49}{58\!\cdots\!52}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!97}{58\!\cdots\!52}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!17}{58\!\cdots\!52}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!73}{58\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!26}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!26}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!31}{58\!\cdots\!52}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!52}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!26}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!07}{58\!\cdots\!52}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!63}a-\frac{15\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{19\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{80\!\cdots\!25}{58\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!09}{58\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!25}{58\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{92\!\cdots\!59}{58\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!55}{58\!\cdots\!52}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!07}{58\!\cdots\!52}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!75}{58\!\cdots\!52}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!52}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!26}a+\frac{54\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{56\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!04}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!04}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!04}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!04}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!07}{58\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!49}{58\!\cdots\!52}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!04}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!26}a-\frac{69\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{13\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{90\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!04}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!04}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!04}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!61}{58\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{88\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!04}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!26}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!04}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!93}{58\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!63}a-\frac{24\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{41\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!52}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!15}{14\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!63}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!79}{58\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!97}{58\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!73}{58\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!21}{58\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!67}{58\!\cdots\!52}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!05}{29\!\cdots\!26}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!87}{58\!\cdots\!52}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!52}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!43}{58\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!27}{29\!\cdots\!26}a-\frac{53\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{27\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!04}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!04}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!81}{29\!\cdots\!26}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!04}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!23}{29\!\cdots\!26}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!04}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!07}{58\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!25}{58\!\cdots\!52}a^{4}-\frac{89\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!04}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!63}a+\frac{60\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!63}$, $\frac{61\!\cdots\!45}{29\!\cdots\!26}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!65}{29\!\cdots\!26}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!43}{29\!\cdots\!26}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!26}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{66\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!59}{29\!\cdots\!26}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!26}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!33}{29\!\cdots\!26}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!79}{29\!\cdots\!26}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!63}a-\frac{25\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!63}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 549740.860993 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{8}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 549740.860993 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{575650281819106455466129}}\cr\approx \mathstrut & 0.144546673168 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^2:C_8$ (as 16T24):
A solvable group of order 32 |
The 20 conjugacy class representatives for $C_2^2 : C_8$ |
Character table for $C_2^2 : C_8$ |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{17}) \), 4.4.4913.1, 4.2.12427.1, 4.2.211259.1, \(\Q(\zeta_{17})^+\), 8.4.758716206377.1, 8.4.44630365081.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Galois closure: | deg 32 |
Degree 16 sibling: | 16.0.1968033759133442969054057291329.4 |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/3.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/5.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/11.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{8}$ | R | ${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.8.0.1}{8} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.8.0.1}{8} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{8}$ | ${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(17\) | 17.16.14.1 | $x^{16} + 128 x^{15} + 7192 x^{14} + 232064 x^{13} + 4716796 x^{12} + 62185088 x^{11} + 525781480 x^{10} + 2696730752 x^{9} + 7365142088 x^{8} + 8090194432 x^{7} + 4732152320 x^{6} + 1682759680 x^{5} + 456414056 x^{4} + 996830464 x^{3} + 7439529968 x^{2} + 33582546688 x + 66368009604$ | $8$ | $2$ | $14$ | $C_8\times C_2$ | $[\ ]_{8}^{2}$ |
\(43\) | 43.4.0.1 | $x^{4} + 5 x^{2} + 42 x + 3$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |
43.4.0.1 | $x^{4} + 5 x^{2} + 42 x + 3$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | |
43.8.4.1 | $x^{8} + 182 x^{6} + 84 x^{5} + 11555 x^{4} - 6804 x^{3} + 301934 x^{2} - 447636 x + 2755621$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ |