Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2-s + 9·3-s − 101·4-s + 9·6-s + 181·7-s + 139·8-s − 869·9-s + 172·11-s − 909·12-s − 389·13-s + 181·14-s + 4.83e3·16-s + 4.33e3·17-s − 869·18-s + 5.15e3·19-s + 1.62e3·21-s + 172·22-s + 3.14e3·23-s + 1.25e3·24-s − 389·26-s − 8.25e3·27-s − 1.82e4·28-s + 1.52e4·29-s + 1.88e4·31-s − 2.10e4·32-s + 1.54e3·33-s + 4.33e3·34-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.176·2-s + 0.577·3-s − 3.15·4-s + 0.102·6-s + 1.39·7-s + 0.767·8-s − 3.57·9-s + 0.428·11-s − 1.82·12-s − 0.638·13-s + 0.246·14-s + 4.72·16-s + 3.63·17-s − 0.632·18-s + 3.27·19-s + 0.806·21-s + 0.0757·22-s + 1.23·23-s + 0.443·24-s − 0.112·26-s − 2.17·27-s − 4.40·28-s + 3.35·29-s + 3.52·31-s − 3.64·32-s + 0.247·33-s + 0.643·34-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{30} \cdot 17^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{30} \cdot 17^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(30\) |
| Conductor: | \(5^{30} \cdot 17^{15}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.18597\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.25609\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((30,\ 5^{30} \cdot 17^{15} ,\ ( \ : [5/2]^{15} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(14.91046332\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(14.91046332\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 5 | \( 1 \) |
| 17 | \( ( 1 - p^{2} T )^{15} \) | |
| good | 2 | \( 1 - T + 51 p T^{2} - 171 p T^{3} + 5949 T^{4} - 28741 T^{5} + 18593 p^{4} T^{6} - 349181 p^{2} T^{7} + 422387 p^{5} T^{8} - 1796963 p^{5} T^{9} + 495789 p^{10} T^{10} - 17744383 p^{7} T^{11} + 68975981 p^{8} T^{12} - 293809989 p^{8} T^{13} + 151331435 p^{12} T^{14} - 2255519533 p^{10} T^{15} + 151331435 p^{17} T^{16} - 293809989 p^{18} T^{17} + 68975981 p^{23} T^{18} - 17744383 p^{27} T^{19} + 495789 p^{35} T^{20} - 1796963 p^{35} T^{21} + 422387 p^{40} T^{22} - 349181 p^{42} T^{23} + 18593 p^{49} T^{24} - 28741 p^{50} T^{25} + 5949 p^{55} T^{26} - 171 p^{61} T^{27} + 51 p^{66} T^{28} - p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) |
| 3 | \( 1 - p^{2} T + 950 T^{2} - 2705 p T^{3} + 454943 T^{4} - 3275720 T^{5} + 51713635 p T^{6} - 822433385 T^{7} + 46448252120 T^{8} - 146946612689 T^{9} + 12857924121647 T^{10} - 4227125299462 p T^{11} + 343698263148817 p^{2} T^{12} + 52095683956879 p^{4} T^{13} + 2800198152298732 p^{5} T^{14} + 7966768851476305 p^{5} T^{15} + 2800198152298732 p^{10} T^{16} + 52095683956879 p^{14} T^{17} + 343698263148817 p^{17} T^{18} - 4227125299462 p^{21} T^{19} + 12857924121647 p^{25} T^{20} - 146946612689 p^{30} T^{21} + 46448252120 p^{35} T^{22} - 822433385 p^{40} T^{23} + 51713635 p^{46} T^{24} - 3275720 p^{50} T^{25} + 454943 p^{55} T^{26} - 2705 p^{61} T^{27} + 950 p^{65} T^{28} - p^{72} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 7 | \( 1 - 181 T + 1990 p^{2} T^{2} - 17481255 T^{3} + 5138056365 T^{4} - 123642601494 p T^{5} + 27156789469587 p T^{6} - 4309210124951297 p T^{7} + 5538746428409762632 T^{8} - \)\(83\!\cdots\!67\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( T^{10} - \)\(19\!\cdots\!78\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!75\)\( T^{12} - \)\(40\!\cdots\!35\)\( T^{13} + \)\(55\!\cdots\!88\)\( T^{14} - \)\(72\!\cdots\!39\)\( T^{15} + \)\(55\!\cdots\!88\)\( p^{5} T^{16} - \)\(40\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{17} + \)\(29\!\cdots\!75\)\( p^{15} T^{18} - \)\(19\!\cdots\!78\)\( p^{20} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( p^{25} T^{20} - \)\(83\!\cdots\!67\)\( p^{30} T^{21} + 5538746428409762632 p^{35} T^{22} - 4309210124951297 p^{41} T^{23} + 27156789469587 p^{46} T^{24} - 123642601494 p^{51} T^{25} + 5138056365 p^{55} T^{26} - 17481255 p^{60} T^{27} + 1990 p^{67} T^{28} - 181 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 11 | \( 1 - 172 T + 65649 p T^{2} - 83929008 T^{3} + 312624014979 T^{4} - 31280624682552 T^{5} + 101210810822854985 T^{6} - 9055188728316903368 T^{7} + \)\(27\!\cdots\!21\)\( T^{8} - \)\(22\!\cdots\!16\)\( T^{9} + \)\(62\!\cdots\!83\)\( T^{10} - \)\(50\!\cdots\!92\)\( T^{11} + \)\(12\!\cdots\!95\)\( T^{12} - \)\(95\!\cdots\!76\)\( T^{13} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( T^{14} - \)\(14\!\cdots\!36\)\( p T^{15} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{16} - \)\(95\!\cdots\!76\)\( p^{10} T^{17} + \)\(12\!\cdots\!95\)\( p^{15} T^{18} - \)\(50\!\cdots\!92\)\( p^{20} T^{19} + \)\(62\!\cdots\!83\)\( p^{25} T^{20} - \)\(22\!\cdots\!16\)\( p^{30} T^{21} + \)\(27\!\cdots\!21\)\( p^{35} T^{22} - 9055188728316903368 p^{40} T^{23} + 101210810822854985 p^{45} T^{24} - 31280624682552 p^{50} T^{25} + 312624014979 p^{55} T^{26} - 83929008 p^{60} T^{27} + 65649 p^{66} T^{28} - 172 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 13 | \( 1 + 389 T + 17864 p^{2} T^{2} + 1284437083 T^{3} + 4729629700411 T^{4} + 2143909579656016 T^{5} + 5058931072228547461 T^{6} + \)\(23\!\cdots\!65\)\( T^{7} + \)\(31\!\cdots\!30\)\( p T^{8} + \)\(19\!\cdots\!61\)\( T^{9} + \)\(26\!\cdots\!87\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!75\)\( T^{12} + \)\(60\!\cdots\!01\)\( T^{13} + \)\(62\!\cdots\!26\)\( T^{14} + \)\(24\!\cdots\!97\)\( T^{15} + \)\(62\!\cdots\!26\)\( p^{5} T^{16} + \)\(60\!\cdots\!01\)\( p^{10} T^{17} + \)\(14\!\cdots\!75\)\( p^{15} T^{18} + \)\(11\!\cdots\!54\)\( p^{20} T^{19} + \)\(26\!\cdots\!87\)\( p^{25} T^{20} + \)\(19\!\cdots\!61\)\( p^{30} T^{21} + \)\(31\!\cdots\!30\)\( p^{36} T^{22} + \)\(23\!\cdots\!65\)\( p^{40} T^{23} + 5058931072228547461 p^{45} T^{24} + 2143909579656016 p^{50} T^{25} + 4729629700411 p^{55} T^{26} + 1284437083 p^{60} T^{27} + 17864 p^{67} T^{28} + 389 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 19 | \( 1 - 5150 T + 32439433 T^{2} - 115655829028 T^{3} + 436928629904981 T^{4} - 1230719176150603658 T^{5} + \)\(35\!\cdots\!65\)\( T^{6} - \)\(84\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!87\)\( p T^{8} - \)\(43\!\cdots\!94\)\( T^{9} + \)\(91\!\cdots\!13\)\( T^{10} - \)\(17\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(32\!\cdots\!45\)\( T^{12} - \)\(56\!\cdots\!18\)\( T^{13} + \)\(97\!\cdots\!89\)\( T^{14} - \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{15} + \)\(97\!\cdots\!89\)\( p^{5} T^{16} - \)\(56\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{17} + \)\(32\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{18} - \)\(17\!\cdots\!72\)\( p^{20} T^{19} + \)\(91\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{20} - \)\(43\!\cdots\!94\)\( p^{30} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!87\)\( p^{36} T^{22} - \)\(84\!\cdots\!04\)\( p^{40} T^{23} + \)\(35\!\cdots\!65\)\( p^{45} T^{24} - 1230719176150603658 p^{50} T^{25} + 436928629904981 p^{55} T^{26} - 115655829028 p^{60} T^{27} + 32439433 p^{65} T^{28} - 5150 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 23 | \( 1 - 3140 T + 1653745 p T^{2} - 104607677836 T^{3} + 33559340811413 p T^{4} - 1858432431841493952 T^{5} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(24\!\cdots\!56\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( T^{8} - \)\(25\!\cdots\!64\)\( T^{9} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( T^{12} - \)\(17\!\cdots\!12\)\( T^{13} + \)\(73\!\cdots\!37\)\( T^{14} - \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{15} + \)\(73\!\cdots\!37\)\( p^{5} T^{16} - \)\(17\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!95\)\( p^{15} T^{18} - \)\(22\!\cdots\!24\)\( p^{20} T^{19} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( p^{25} T^{20} - \)\(25\!\cdots\!64\)\( p^{30} T^{21} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( p^{35} T^{22} - \)\(24\!\cdots\!56\)\( p^{40} T^{23} + \)\(11\!\cdots\!93\)\( p^{45} T^{24} - 1858432431841493952 p^{50} T^{25} + 33559340811413 p^{56} T^{26} - 104607677836 p^{60} T^{27} + 1653745 p^{66} T^{28} - 3140 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 29 | \( 1 - 15214 T + 265933035 T^{2} - 2804105914140 T^{3} + 29287993434327289 T^{4} - \)\(23\!\cdots\!94\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!31\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(79\!\cdots\!17\)\( T^{8} - \)\(44\!\cdots\!18\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!19\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!44\)\( T^{11} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( T^{12} - \)\(26\!\cdots\!34\)\( T^{13} + \)\(12\!\cdots\!71\)\( T^{14} - \)\(53\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(12\!\cdots\!71\)\( p^{5} T^{16} - \)\(26\!\cdots\!34\)\( p^{10} T^{17} + \)\(57\!\cdots\!89\)\( p^{15} T^{18} - \)\(11\!\cdots\!44\)\( p^{20} T^{19} + \)\(24\!\cdots\!19\)\( p^{25} T^{20} - \)\(44\!\cdots\!18\)\( p^{30} T^{21} + \)\(79\!\cdots\!17\)\( p^{35} T^{22} - \)\(12\!\cdots\!24\)\( p^{40} T^{23} + \)\(18\!\cdots\!31\)\( p^{45} T^{24} - \)\(23\!\cdots\!94\)\( p^{50} T^{25} + 29287993434327289 p^{55} T^{26} - 2804105914140 p^{60} T^{27} + 265933035 p^{65} T^{28} - 15214 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 31 | \( 1 - 18873 T + 401945514 T^{2} - 5180709711767 T^{3} + 67370413433850267 T^{4} - \)\(68\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(68\!\cdots\!45\)\( T^{6} - \)\(59\!\cdots\!25\)\( T^{7} + \)\(49\!\cdots\!52\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!21\)\( T^{9} + \)\(27\!\cdots\!67\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!34\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!61\)\( T^{12} - \)\(71\!\cdots\!41\)\( T^{13} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( T^{14} - \)\(22\!\cdots\!13\)\( T^{15} + \)\(41\!\cdots\!88\)\( p^{5} T^{16} - \)\(71\!\cdots\!41\)\( p^{10} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{18} - \)\(18\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{19} + \)\(27\!\cdots\!67\)\( p^{25} T^{20} - \)\(37\!\cdots\!21\)\( p^{30} T^{21} + \)\(49\!\cdots\!52\)\( p^{35} T^{22} - \)\(59\!\cdots\!25\)\( p^{40} T^{23} + \)\(68\!\cdots\!45\)\( p^{45} T^{24} - \)\(68\!\cdots\!40\)\( p^{50} T^{25} + 67370413433850267 p^{55} T^{26} - 5180709711767 p^{60} T^{27} + 401945514 p^{65} T^{28} - 18873 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 37 | \( 1 - 12122 T + 570114791 T^{2} - 6188077693716 T^{3} + 170456788836895021 T^{4} - 45683324525887470278 p T^{5} + \)\(34\!\cdots\!83\)\( T^{6} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(53\!\cdots\!29\)\( T^{8} - \)\(44\!\cdots\!74\)\( T^{9} + \)\(65\!\cdots\!59\)\( T^{10} - \)\(50\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(64\!\cdots\!45\)\( T^{12} - \)\(46\!\cdots\!42\)\( T^{13} + \)\(53\!\cdots\!19\)\( T^{14} - \)\(35\!\cdots\!64\)\( T^{15} + \)\(53\!\cdots\!19\)\( p^{5} T^{16} - \)\(46\!\cdots\!42\)\( p^{10} T^{17} + \)\(64\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{18} - \)\(50\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{19} + \)\(65\!\cdots\!59\)\( p^{25} T^{20} - \)\(44\!\cdots\!74\)\( p^{30} T^{21} + \)\(53\!\cdots\!29\)\( p^{35} T^{22} - \)\(31\!\cdots\!32\)\( p^{40} T^{23} + \)\(34\!\cdots\!83\)\( p^{45} T^{24} - 45683324525887470278 p^{51} T^{25} + 170456788836895021 p^{55} T^{26} - 6188077693716 p^{60} T^{27} + 570114791 p^{65} T^{28} - 12122 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 41 | \( 1 + 2336 T + 944253051 T^{2} + 3752457655112 T^{3} + 439719807802530525 T^{4} + \)\(24\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!03\)\( T^{6} + \)\(97\!\cdots\!12\)\( T^{7} + \)\(32\!\cdots\!01\)\( T^{8} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(62\!\cdots\!55\)\( T^{10} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( T^{12} + \)\(79\!\cdots\!56\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( T^{14} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!75\)\( p^{5} T^{16} + \)\(79\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( p^{15} T^{18} + \)\(51\!\cdots\!88\)\( p^{20} T^{19} + \)\(62\!\cdots\!55\)\( p^{25} T^{20} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{21} + \)\(32\!\cdots\!01\)\( p^{35} T^{22} + \)\(97\!\cdots\!12\)\( p^{40} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!03\)\( p^{45} T^{24} + \)\(24\!\cdots\!76\)\( p^{50} T^{25} + 439719807802530525 p^{55} T^{26} + 3752457655112 p^{60} T^{27} + 944253051 p^{65} T^{28} + 2336 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 43 | \( 1 + 660 T + 906853325 T^{2} - 1536047391112 T^{3} + 425475311649048777 T^{4} - \)\(18\!\cdots\!80\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!73\)\( T^{6} - \)\(96\!\cdots\!44\)\( T^{7} + \)\(35\!\cdots\!61\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!12\)\( T^{9} + \)\(78\!\cdots\!69\)\( T^{10} - \)\(74\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!85\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!29\)\( T^{14} - \)\(22\!\cdots\!16\)\( T^{15} + \)\(26\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{10} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!85\)\( p^{15} T^{18} - \)\(74\!\cdots\!28\)\( p^{20} T^{19} + \)\(78\!\cdots\!69\)\( p^{25} T^{20} - \)\(31\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{21} + \)\(35\!\cdots\!61\)\( p^{35} T^{22} - \)\(96\!\cdots\!44\)\( p^{40} T^{23} + \)\(13\!\cdots\!73\)\( p^{45} T^{24} - \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{50} T^{25} + 425475311649048777 p^{55} T^{26} - 1536047391112 p^{60} T^{27} + 906853325 p^{65} T^{28} + 660 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 47 | \( 1 - 11494 T + 2051846709 T^{2} - 8971670024980 T^{3} + 1862706080229991573 T^{4} + \)\(41\!\cdots\!58\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( T^{6} + \)\(87\!\cdots\!88\)\( T^{7} + \)\(48\!\cdots\!69\)\( T^{8} + \)\(58\!\cdots\!62\)\( T^{9} + \)\(18\!\cdots\!21\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!88\)\( T^{11} + \)\(61\!\cdots\!89\)\( T^{12} + \)\(80\!\cdots\!02\)\( T^{13} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( T^{14} + \)\(20\!\cdots\!28\)\( T^{15} + \)\(16\!\cdots\!45\)\( p^{5} T^{16} + \)\(80\!\cdots\!02\)\( p^{10} T^{17} + \)\(61\!\cdots\!89\)\( p^{15} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!88\)\( p^{20} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!21\)\( p^{25} T^{20} + \)\(58\!\cdots\!62\)\( p^{30} T^{21} + \)\(48\!\cdots\!69\)\( p^{35} T^{22} + \)\(87\!\cdots\!88\)\( p^{40} T^{23} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( p^{45} T^{24} + \)\(41\!\cdots\!58\)\( p^{50} T^{25} + 1862706080229991573 p^{55} T^{26} - 8971670024980 p^{60} T^{27} + 2051846709 p^{65} T^{28} - 11494 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 53 | \( 1 + 76605 T + 6159796988 T^{2} + 297816986399043 T^{3} + 14166950757638205799 T^{4} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!37\)\( T^{6} + \)\(53\!\cdots\!97\)\( T^{7} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( T^{8} + \)\(40\!\cdots\!65\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( T^{10} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( T^{11} + \)\(60\!\cdots\!59\)\( T^{12} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{13} + \)\(29\!\cdots\!62\)\( T^{14} + \)\(59\!\cdots\!05\)\( T^{15} + \)\(29\!\cdots\!62\)\( p^{5} T^{16} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{10} T^{17} + \)\(60\!\cdots\!59\)\( p^{15} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!70\)\( p^{20} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!19\)\( p^{25} T^{20} + \)\(40\!\cdots\!65\)\( p^{30} T^{21} + \)\(15\!\cdots\!58\)\( p^{35} T^{22} + \)\(53\!\cdots\!97\)\( p^{40} T^{23} + \)\(18\!\cdots\!37\)\( p^{45} T^{24} + \)\(51\!\cdots\!68\)\( p^{50} T^{25} + 14166950757638205799 p^{55} T^{26} + 297816986399043 p^{60} T^{27} + 6159796988 p^{65} T^{28} + 76605 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 59 | \( 1 - 7268 T + 4666533657 T^{2} + 24280462244176 T^{3} + 10569694564669699453 T^{4} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!65\)\( T^{6} + \)\(38\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!57\)\( T^{8} + \)\(57\!\cdots\!04\)\( T^{9} + \)\(26\!\cdots\!17\)\( T^{10} + \)\(64\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(25\!\cdots\!73\)\( T^{12} + \)\(60\!\cdots\!84\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!69\)\( T^{14} + \)\(47\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(21\!\cdots\!69\)\( p^{5} T^{16} + \)\(60\!\cdots\!84\)\( p^{10} T^{17} + \)\(25\!\cdots\!73\)\( p^{15} T^{18} + \)\(64\!\cdots\!72\)\( p^{20} T^{19} + \)\(26\!\cdots\!17\)\( p^{25} T^{20} + \)\(57\!\cdots\!04\)\( p^{30} T^{21} + \)\(23\!\cdots\!57\)\( p^{35} T^{22} + \)\(38\!\cdots\!64\)\( p^{40} T^{23} + \)\(17\!\cdots\!65\)\( p^{45} T^{24} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{50} T^{25} + 10569694564669699453 p^{55} T^{26} + 24280462244176 p^{60} T^{27} + 4666533657 p^{65} T^{28} - 7268 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 61 | \( 1 - 137458 T + 15135418199 T^{2} - 1139638307440948 T^{3} + 75755967175746121269 T^{4} - \)\(41\!\cdots\!58\)\( T^{5} + \)\(20\!\cdots\!35\)\( T^{6} - \)\(91\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(37\!\cdots\!93\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!42\)\( T^{9} + \)\(51\!\cdots\!23\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(55\!\cdots\!61\)\( T^{12} - \)\(16\!\cdots\!78\)\( T^{13} + \)\(51\!\cdots\!91\)\( T^{14} - \)\(14\!\cdots\!32\)\( T^{15} + \)\(51\!\cdots\!91\)\( p^{5} T^{16} - \)\(16\!\cdots\!78\)\( p^{10} T^{17} + \)\(55\!\cdots\!61\)\( p^{15} T^{18} - \)\(16\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{19} + \)\(51\!\cdots\!23\)\( p^{25} T^{20} - \)\(14\!\cdots\!42\)\( p^{30} T^{21} + \)\(37\!\cdots\!93\)\( p^{35} T^{22} - \)\(91\!\cdots\!76\)\( p^{40} T^{23} + \)\(20\!\cdots\!35\)\( p^{45} T^{24} - \)\(41\!\cdots\!58\)\( p^{50} T^{25} + 75755967175746121269 p^{55} T^{26} - 1139638307440948 p^{60} T^{27} + 15135418199 p^{65} T^{28} - 137458 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 67 | \( 1 + 5036 T + 6223205501 T^{2} - 47793624283784 T^{3} + 19317314018852488081 T^{4} - \)\(46\!\cdots\!56\)\( T^{5} + \)\(42\!\cdots\!01\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(86\!\cdots\!29\)\( T^{8} - \)\(37\!\cdots\!36\)\( T^{9} + \)\(17\!\cdots\!13\)\( T^{10} - \)\(65\!\cdots\!84\)\( T^{11} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( T^{12} - \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{13} + \)\(45\!\cdots\!21\)\( T^{14} - \)\(14\!\cdots\!36\)\( T^{15} + \)\(45\!\cdots\!21\)\( p^{5} T^{16} - \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{10} T^{17} + \)\(30\!\cdots\!41\)\( p^{15} T^{18} - \)\(65\!\cdots\!84\)\( p^{20} T^{19} + \)\(17\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{20} - \)\(37\!\cdots\!36\)\( p^{30} T^{21} + \)\(86\!\cdots\!29\)\( p^{35} T^{22} - \)\(16\!\cdots\!76\)\( p^{40} T^{23} + \)\(42\!\cdots\!01\)\( p^{45} T^{24} - \)\(46\!\cdots\!56\)\( p^{50} T^{25} + 19317314018852488081 p^{55} T^{26} - 47793624283784 p^{60} T^{27} + 6223205501 p^{65} T^{28} + 5036 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 71 | \( 1 - 180961 T + 27496225402 T^{2} - 2769249282723371 T^{3} + \)\(24\!\cdots\!65\)\( T^{4} - \)\(18\!\cdots\!98\)\( T^{5} + \)\(12\!\cdots\!29\)\( T^{6} - \)\(69\!\cdots\!87\)\( T^{7} + \)\(38\!\cdots\!28\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!63\)\( T^{9} + \)\(87\!\cdots\!53\)\( T^{10} - \)\(37\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!23\)\( T^{12} - \)\(62\!\cdots\!59\)\( T^{13} + \)\(26\!\cdots\!24\)\( T^{14} - \)\(10\!\cdots\!51\)\( T^{15} + \)\(26\!\cdots\!24\)\( p^{5} T^{16} - \)\(62\!\cdots\!59\)\( p^{10} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!23\)\( p^{15} T^{18} - \)\(37\!\cdots\!98\)\( p^{20} T^{19} + \)\(87\!\cdots\!53\)\( p^{25} T^{20} - \)\(18\!\cdots\!63\)\( p^{30} T^{21} + \)\(38\!\cdots\!28\)\( p^{35} T^{22} - \)\(69\!\cdots\!87\)\( p^{40} T^{23} + \)\(12\!\cdots\!29\)\( p^{45} T^{24} - \)\(18\!\cdots\!98\)\( p^{50} T^{25} + \)\(24\!\cdots\!65\)\( p^{55} T^{26} - 2769249282723371 p^{60} T^{27} + 27496225402 p^{65} T^{28} - 180961 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 73 | \( 1 + 176062 T + 29095837811 T^{2} + 2984592283155988 T^{3} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( T^{4} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!27\)\( T^{6} + \)\(93\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(57\!\cdots\!17\)\( T^{8} + \)\(30\!\cdots\!02\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( T^{10} + \)\(81\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(42\!\cdots\!41\)\( T^{12} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( T^{13} + \)\(93\!\cdots\!71\)\( T^{14} + \)\(41\!\cdots\!60\)\( T^{15} + \)\(93\!\cdots\!71\)\( p^{5} T^{16} + \)\(19\!\cdots\!98\)\( p^{10} T^{17} + \)\(42\!\cdots\!41\)\( p^{15} T^{18} + \)\(81\!\cdots\!80\)\( p^{20} T^{19} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( p^{25} T^{20} + \)\(30\!\cdots\!02\)\( p^{30} T^{21} + \)\(57\!\cdots\!17\)\( p^{35} T^{22} + \)\(93\!\cdots\!52\)\( p^{40} T^{23} + \)\(15\!\cdots\!27\)\( p^{45} T^{24} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( p^{50} T^{25} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( p^{55} T^{26} + 2984592283155988 p^{60} T^{27} + 29095837811 p^{65} T^{28} + 176062 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 79 | \( 1 - 127813 T + 32966111716 T^{2} - 3456187558455021 T^{3} + \)\(52\!\cdots\!43\)\( T^{4} - \)\(47\!\cdots\!82\)\( T^{5} + \)\(55\!\cdots\!95\)\( T^{6} - \)\(44\!\cdots\!29\)\( T^{7} + \)\(42\!\cdots\!02\)\( T^{8} - \)\(30\!\cdots\!27\)\( T^{9} + \)\(24\!\cdots\!05\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!46\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!83\)\( T^{12} - \)\(66\!\cdots\!43\)\( T^{13} + \)\(43\!\cdots\!98\)\( T^{14} - \)\(22\!\cdots\!13\)\( T^{15} + \)\(43\!\cdots\!98\)\( p^{5} T^{16} - \)\(66\!\cdots\!43\)\( p^{10} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!83\)\( p^{15} T^{18} - \)\(15\!\cdots\!46\)\( p^{20} T^{19} + \)\(24\!\cdots\!05\)\( p^{25} T^{20} - \)\(30\!\cdots\!27\)\( p^{30} T^{21} + \)\(42\!\cdots\!02\)\( p^{35} T^{22} - \)\(44\!\cdots\!29\)\( p^{40} T^{23} + \)\(55\!\cdots\!95\)\( p^{45} T^{24} - \)\(47\!\cdots\!82\)\( p^{50} T^{25} + \)\(52\!\cdots\!43\)\( p^{55} T^{26} - 3456187558455021 p^{60} T^{27} + 32966111716 p^{65} T^{28} - 127813 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 83 | \( 1 + 318176 T + 84722835181 T^{2} + 15854295530467424 T^{3} + \)\(25\!\cdots\!73\)\( T^{4} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!85\)\( T^{6} + \)\(49\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!01\)\( T^{8} + \)\(48\!\cdots\!88\)\( T^{9} + \)\(42\!\cdots\!93\)\( T^{10} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( T^{12} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( T^{14} + \)\(85\!\cdots\!24\)\( T^{15} + \)\(13\!\cdots\!05\)\( p^{5} T^{16} + \)\(19\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{17} + \)\(26\!\cdots\!73\)\( p^{15} T^{18} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{19} + \)\(42\!\cdots\!93\)\( p^{25} T^{20} + \)\(48\!\cdots\!88\)\( p^{30} T^{21} + \)\(51\!\cdots\!01\)\( p^{35} T^{22} + \)\(49\!\cdots\!64\)\( p^{40} T^{23} + \)\(44\!\cdots\!85\)\( p^{45} T^{24} + \)\(35\!\cdots\!68\)\( p^{50} T^{25} + \)\(25\!\cdots\!73\)\( p^{55} T^{26} + 15854295530467424 p^{60} T^{27} + 84722835181 p^{65} T^{28} + 318176 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 89 | \( 1 - 97682 T + 59068386983 T^{2} - 4531707589892220 T^{3} + \)\(16\!\cdots\!29\)\( T^{4} - \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{5} + \)\(29\!\cdots\!59\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!92\)\( T^{7} + \)\(39\!\cdots\!77\)\( T^{8} - \)\(18\!\cdots\!38\)\( T^{9} + \)\(40\!\cdots\!55\)\( T^{10} - \)\(16\!\cdots\!04\)\( T^{11} + \)\(37\!\cdots\!77\)\( p T^{12} - \)\(12\!\cdots\!22\)\( T^{13} + \)\(22\!\cdots\!83\)\( T^{14} - \)\(76\!\cdots\!68\)\( T^{15} + \)\(22\!\cdots\!83\)\( p^{5} T^{16} - \)\(12\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{17} + \)\(37\!\cdots\!77\)\( p^{16} T^{18} - \)\(16\!\cdots\!04\)\( p^{20} T^{19} + \)\(40\!\cdots\!55\)\( p^{25} T^{20} - \)\(18\!\cdots\!38\)\( p^{30} T^{21} + \)\(39\!\cdots\!77\)\( p^{35} T^{22} - \)\(16\!\cdots\!92\)\( p^{40} T^{23} + \)\(29\!\cdots\!59\)\( p^{45} T^{24} - \)\(10\!\cdots\!58\)\( p^{50} T^{25} + \)\(16\!\cdots\!29\)\( p^{55} T^{26} - 4531707589892220 p^{60} T^{27} + 59068386983 p^{65} T^{28} - 97682 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
| 97 | \( 1 - 381812 T + 137384160743 T^{2} - 32199170055525480 T^{3} + \)\(70\!\cdots\!65\)\( T^{4} - \)\(12\!\cdots\!88\)\( T^{5} + \)\(19\!\cdots\!71\)\( T^{6} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(37\!\cdots\!93\)\( T^{8} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!79\)\( T^{10} - \)\(53\!\cdots\!64\)\( T^{11} + \)\(55\!\cdots\!13\)\( T^{12} - \)\(52\!\cdots\!80\)\( T^{13} + \)\(51\!\cdots\!31\)\( T^{14} - \)\(47\!\cdots\!12\)\( T^{15} + \)\(51\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{16} - \)\(52\!\cdots\!80\)\( p^{10} T^{17} + \)\(55\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{18} - \)\(53\!\cdots\!64\)\( p^{20} T^{19} + \)\(50\!\cdots\!79\)\( p^{25} T^{20} - \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{30} T^{21} + \)\(37\!\cdots\!93\)\( p^{35} T^{22} - \)\(27\!\cdots\!80\)\( p^{40} T^{23} + \)\(19\!\cdots\!71\)\( p^{45} T^{24} - \)\(12\!\cdots\!88\)\( p^{50} T^{25} + \)\(70\!\cdots\!65\)\( p^{55} T^{26} - 32199170055525480 p^{60} T^{27} + 137384160743 p^{65} T^{28} - 381812 p^{70} T^{29} + p^{75} T^{30} \) | |
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\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.38437675744282948905722054579, −2.34434992444352881707524162725, −2.13951368141901098299294824823, −1.94057548228081944374294029740, −1.84350803787925251589800236619, −1.81737222392312812068033423979, −1.79918528000547288981641364867, −1.71539487240716288210148644536, −1.45142597956838967545585996155, −1.41753216457441764127193433744, −1.40802095231109804110856492305, −1.30057051318700974399016752344, −1.17601384784683099778978410711, −1.07159649754796867997677804315, −0.880703920505742347225237955176, −0.77558708485308337862081449495, −0.74707583086374621641794246030, −0.66247451803709218126215074361, −0.66089549987938288718555915104, −0.62059849381506631564339664167, −0.56737795819027163885289626845, −0.55009253419496124850172671656, −0.46581306405515790945868026174, −0.096772160224282656511523839306, −0.091829490078459383539433307759, 0.091829490078459383539433307759, 0.096772160224282656511523839306, 0.46581306405515790945868026174, 0.55009253419496124850172671656, 0.56737795819027163885289626845, 0.62059849381506631564339664167, 0.66089549987938288718555915104, 0.66247451803709218126215074361, 0.74707583086374621641794246030, 0.77558708485308337862081449495, 0.880703920505742347225237955176, 1.07159649754796867997677804315, 1.17601384784683099778978410711, 1.30057051318700974399016752344, 1.40802095231109804110856492305, 1.41753216457441764127193433744, 1.45142597956838967545585996155, 1.71539487240716288210148644536, 1.79918528000547288981641364867, 1.81737222392312812068033423979, 1.84350803787925251589800236619, 1.94057548228081944374294029740, 2.13951368141901098299294824823, 2.34434992444352881707524162725, 2.38437675744282948905722054579
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.