Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 9·7-s − 3·9-s − 3·11-s + 3·13-s + 9·17-s − 24·19-s + 6·23-s + 3·25-s − 27-s − 3·29-s − 6·31-s + 48·37-s − 18·41-s − 39·43-s − 27·47-s + 63·49-s + 39·53-s + 9·59-s − 24·61-s + 27·63-s + 39·67-s + 12·73-s + 27·77-s + 63·79-s − 6·81-s − 27·83-s + 66·89-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 3.40·7-s − 9-s − 0.904·11-s + 0.832·13-s + 2.18·17-s − 5.50·19-s + 1.25·23-s + 3/5·25-s − 0.192·27-s − 0.557·29-s − 1.07·31-s + 7.89·37-s − 2.81·41-s − 5.94·43-s − 3.93·47-s + 9·49-s + 5.35·53-s + 1.17·59-s − 3.07·61-s + 3.40·63-s + 4.76·67-s + 1.40·73-s + 3.07·77-s + 7.08·79-s − 2/3·81-s − 2.96·83-s + 6.99·89-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{54} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{54} \cdot 19^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(2^{54} \cdot 19^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(32.6717\) |
| Root analytic conductor: | \(1.10169\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 2^{54} \cdot 19^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(0.2809935314\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(0.2809935314\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 19 | \( 1 + 24 T + 303 T^{2} + 2556 T^{3} + 15843 T^{4} + 76998 T^{5} + 315396 T^{6} + 1211604 T^{7} + 4844823 T^{8} + 20609732 T^{9} + 4844823 p T^{10} + 1211604 p^{2} T^{11} + 315396 p^{3} T^{12} + 76998 p^{4} T^{13} + 15843 p^{5} T^{14} + 2556 p^{6} T^{15} + 303 p^{7} T^{16} + 24 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} \) | |
| good | 3 | \( 1 + p T^{2} + T^{3} + 5 p T^{4} - 7 p T^{5} + 20 T^{6} - 8 p^{2} T^{7} + 5 p^{2} T^{8} - 202 p T^{9} + 47 p T^{10} - 428 p T^{11} + 58 p^{2} T^{12} - 1609 p T^{13} + 2537 p T^{14} - 5041 T^{15} + 7735 p T^{16} - 3310 p T^{17} + 123562 T^{18} - 3310 p^{2} T^{19} + 7735 p^{3} T^{20} - 5041 p^{3} T^{21} + 2537 p^{5} T^{22} - 1609 p^{6} T^{23} + 58 p^{8} T^{24} - 428 p^{8} T^{25} + 47 p^{9} T^{26} - 202 p^{10} T^{27} + 5 p^{12} T^{28} - 8 p^{13} T^{29} + 20 p^{12} T^{30} - 7 p^{14} T^{31} + 5 p^{15} T^{32} + p^{15} T^{33} + p^{17} T^{34} + p^{18} T^{36} \) |
| 5 | \( 1 - 3 T^{2} + 2 p T^{3} + 36 T^{4} - 9 p T^{5} - 88 T^{6} + 111 p T^{7} - 33 T^{8} + 316 T^{9} + 1122 T^{10} + 2709 T^{11} + 614 p T^{12} + 71061 T^{13} - 9531 T^{14} - 215082 T^{15} + 246132 p T^{16} + 499572 T^{17} - 2357956 T^{18} + 499572 p T^{19} + 246132 p^{3} T^{20} - 215082 p^{3} T^{21} - 9531 p^{4} T^{22} + 71061 p^{5} T^{23} + 614 p^{7} T^{24} + 2709 p^{7} T^{25} + 1122 p^{8} T^{26} + 316 p^{9} T^{27} - 33 p^{10} T^{28} + 111 p^{12} T^{29} - 88 p^{12} T^{30} - 9 p^{14} T^{31} + 36 p^{14} T^{32} + 2 p^{16} T^{33} - 3 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 + 9 T + 18 T^{2} + T^{3} + 330 T^{4} + 183 p T^{5} - 849 T^{6} + 3102 T^{7} + 46548 T^{8} - 21628 T^{9} - 206436 T^{10} + 1062246 T^{11} + 1057103 T^{12} - 8668551 T^{13} + 10969482 T^{14} + 61500783 T^{15} - 162277494 T^{16} - 136496487 T^{17} + 1579921666 T^{18} - 136496487 p T^{19} - 162277494 p^{2} T^{20} + 61500783 p^{3} T^{21} + 10969482 p^{4} T^{22} - 8668551 p^{5} T^{23} + 1057103 p^{6} T^{24} + 1062246 p^{7} T^{25} - 206436 p^{8} T^{26} - 21628 p^{9} T^{27} + 46548 p^{10} T^{28} + 3102 p^{11} T^{29} - 849 p^{12} T^{30} + 183 p^{14} T^{31} + 330 p^{14} T^{32} + p^{15} T^{33} + 18 p^{16} T^{34} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 + 3 T - 21 T^{2} - 80 T^{3} + 3 T^{4} + 147 T^{5} + 3990 T^{6} + 21633 T^{7} - 16347 T^{8} - 247958 T^{9} - 408153 T^{10} - 1269927 T^{11} + 440186 T^{12} + 38184243 T^{13} + 64866777 T^{14} - 125930424 T^{15} + 171735033 T^{16} - 580550037 T^{17} - 11949699002 T^{18} - 580550037 p T^{19} + 171735033 p^{2} T^{20} - 125930424 p^{3} T^{21} + 64866777 p^{4} T^{22} + 38184243 p^{5} T^{23} + 440186 p^{6} T^{24} - 1269927 p^{7} T^{25} - 408153 p^{8} T^{26} - 247958 p^{9} T^{27} - 16347 p^{10} T^{28} + 21633 p^{11} T^{29} + 3990 p^{12} T^{30} + 147 p^{13} T^{31} + 3 p^{14} T^{32} - 80 p^{15} T^{33} - 21 p^{16} T^{34} + 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 - 3 T + 9 T^{2} + 50 T^{3} - 207 T^{4} + 369 T^{5} + 4884 T^{6} - 18969 T^{7} + 3309 p T^{8} + 183748 T^{9} - 64377 p T^{10} + 2111445 T^{11} + 9443324 T^{12} - 29268153 T^{13} + 73547427 T^{14} + 378818838 T^{15} - 676274481 T^{16} + 2437287579 T^{17} + 15906757582 T^{18} + 2437287579 p T^{19} - 676274481 p^{2} T^{20} + 378818838 p^{3} T^{21} + 73547427 p^{4} T^{22} - 29268153 p^{5} T^{23} + 9443324 p^{6} T^{24} + 2111445 p^{7} T^{25} - 64377 p^{9} T^{26} + 183748 p^{9} T^{27} + 3309 p^{11} T^{28} - 18969 p^{11} T^{29} + 4884 p^{12} T^{30} + 369 p^{13} T^{31} - 207 p^{14} T^{32} + 50 p^{15} T^{33} + 9 p^{16} T^{34} - 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 17 | \( 1 - 9 T + 69 T^{2} - 310 T^{3} + 1671 T^{4} - 6699 T^{5} + 37846 T^{6} - 136377 T^{7} + 674709 T^{8} - 2273568 T^{9} + 13488819 T^{10} - 57516471 T^{11} + 332425914 T^{12} - 1308367077 T^{13} + 6264277665 T^{14} - 23134312330 T^{15} + 107313588003 T^{16} - 397795962375 T^{17} + 1833369632910 T^{18} - 397795962375 p T^{19} + 107313588003 p^{2} T^{20} - 23134312330 p^{3} T^{21} + 6264277665 p^{4} T^{22} - 1308367077 p^{5} T^{23} + 332425914 p^{6} T^{24} - 57516471 p^{7} T^{25} + 13488819 p^{8} T^{26} - 2273568 p^{9} T^{27} + 674709 p^{10} T^{28} - 136377 p^{11} T^{29} + 37846 p^{12} T^{30} - 6699 p^{13} T^{31} + 1671 p^{14} T^{32} - 310 p^{15} T^{33} + 69 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 6 T + 63 T^{2} - 521 T^{3} + 3489 T^{4} - 25167 T^{5} + 146432 T^{6} - 916215 T^{7} + 5216871 T^{8} - 28939649 T^{9} + 159403119 T^{10} - 817004430 T^{11} + 4393905460 T^{12} - 21584070276 T^{13} + 108391968261 T^{14} - 533171923833 T^{15} + 2550301645371 T^{16} - 12519561169185 T^{17} + 58570957070570 T^{18} - 12519561169185 p T^{19} + 2550301645371 p^{2} T^{20} - 533171923833 p^{3} T^{21} + 108391968261 p^{4} T^{22} - 21584070276 p^{5} T^{23} + 4393905460 p^{6} T^{24} - 817004430 p^{7} T^{25} + 159403119 p^{8} T^{26} - 28939649 p^{9} T^{27} + 5216871 p^{10} T^{28} - 916215 p^{11} T^{29} + 146432 p^{12} T^{30} - 25167 p^{13} T^{31} + 3489 p^{14} T^{32} - 521 p^{15} T^{33} + 63 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 + 3 T - 9 T^{2} + 102 T^{3} - 60 T^{4} + 6465 T^{5} + 39343 T^{6} - 130914 T^{7} + 92337 T^{8} + 5320531 T^{9} + 26679957 T^{10} + 149903901 T^{11} + 323197857 T^{12} - 2577713868 T^{13} + 26889964800 T^{14} + 158939604356 T^{15} + 363889979655 T^{16} + 2325810059844 T^{17} - 9489506403618 T^{18} + 2325810059844 p T^{19} + 363889979655 p^{2} T^{20} + 158939604356 p^{3} T^{21} + 26889964800 p^{4} T^{22} - 2577713868 p^{5} T^{23} + 323197857 p^{6} T^{24} + 149903901 p^{7} T^{25} + 26679957 p^{8} T^{26} + 5320531 p^{9} T^{27} + 92337 p^{10} T^{28} - 130914 p^{11} T^{29} + 39343 p^{12} T^{30} + 6465 p^{13} T^{31} - 60 p^{14} T^{32} + 102 p^{15} T^{33} - 9 p^{16} T^{34} + 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 + 6 T - 153 T^{2} - 624 T^{3} + 13635 T^{4} + 28194 T^{5} - 868647 T^{6} - 507633 T^{7} + 42628365 T^{8} - 14656965 T^{9} - 55317105 p T^{10} + 1458325659 T^{11} + 60807763239 T^{12} - 58335944583 T^{13} - 2026286823024 T^{14} + 1408000131375 T^{15} + 65389921527240 T^{16} - 15917776247055 T^{17} - 2056279390794754 T^{18} - 15917776247055 p T^{19} + 65389921527240 p^{2} T^{20} + 1408000131375 p^{3} T^{21} - 2026286823024 p^{4} T^{22} - 58335944583 p^{5} T^{23} + 60807763239 p^{6} T^{24} + 1458325659 p^{7} T^{25} - 55317105 p^{9} T^{26} - 14656965 p^{9} T^{27} + 42628365 p^{10} T^{28} - 507633 p^{11} T^{29} - 868647 p^{12} T^{30} + 28194 p^{13} T^{31} + 13635 p^{14} T^{32} - 624 p^{15} T^{33} - 153 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( ( 1 - 24 T + 372 T^{2} - 4065 T^{3} + 38085 T^{4} - 314670 T^{5} + 2456499 T^{6} - 17544471 T^{7} + 118070031 T^{8} - 734507188 T^{9} + 118070031 p T^{10} - 17544471 p^{2} T^{11} + 2456499 p^{3} T^{12} - 314670 p^{4} T^{13} + 38085 p^{5} T^{14} - 4065 p^{6} T^{15} + 372 p^{7} T^{16} - 24 p^{8} T^{17} + p^{9} T^{18} )^{2} \) | |
| 41 | \( 1 + 18 T + 30 T^{2} - 889 T^{3} + 3180 T^{4} + 89040 T^{5} - 314181 T^{6} - 6037890 T^{7} + 26085150 T^{8} + 334534280 T^{9} - 1725927150 T^{10} - 13304521182 T^{11} + 126306660725 T^{12} + 597477928368 T^{13} - 6230770670412 T^{14} - 15524454967311 T^{15} + 310004425011858 T^{16} + 239130687828366 T^{17} - 13342910862962978 T^{18} + 239130687828366 p T^{19} + 310004425011858 p^{2} T^{20} - 15524454967311 p^{3} T^{21} - 6230770670412 p^{4} T^{22} + 597477928368 p^{5} T^{23} + 126306660725 p^{6} T^{24} - 13304521182 p^{7} T^{25} - 1725927150 p^{8} T^{26} + 334534280 p^{9} T^{27} + 26085150 p^{10} T^{28} - 6037890 p^{11} T^{29} - 314181 p^{12} T^{30} + 89040 p^{13} T^{31} + 3180 p^{14} T^{32} - 889 p^{15} T^{33} + 30 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 + 39 T + 681 T^{2} + 6746 T^{3} + 35325 T^{4} - 24393 T^{5} - 2265968 T^{6} - 21794619 T^{7} - 100340493 T^{8} + 124133798 T^{9} + 6409370193 T^{10} + 1357314327 p T^{11} + 281257031768 T^{12} + 283898874303 T^{13} - 6881685478113 T^{14} - 54970237071742 T^{15} - 126477212630157 T^{16} + 1158932726851887 T^{17} + 13290592520694326 T^{18} + 1158932726851887 p T^{19} - 126477212630157 p^{2} T^{20} - 54970237071742 p^{3} T^{21} - 6881685478113 p^{4} T^{22} + 283898874303 p^{5} T^{23} + 281257031768 p^{6} T^{24} + 1357314327 p^{8} T^{25} + 6409370193 p^{8} T^{26} + 124133798 p^{9} T^{27} - 100340493 p^{10} T^{28} - 21794619 p^{11} T^{29} - 2265968 p^{12} T^{30} - 24393 p^{13} T^{31} + 35325 p^{14} T^{32} + 6746 p^{15} T^{33} + 681 p^{16} T^{34} + 39 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + 27 T + 279 T^{2} + 1544 T^{3} + 8301 T^{4} + 60963 T^{5} + 366808 T^{6} + 1698699 T^{7} + 6230025 T^{8} - 11976966 T^{9} - 892430949 T^{10} - 10849447005 T^{11} - 60381528024 T^{12} - 242182037373 T^{13} - 709441894821 T^{14} + 8649928684304 T^{15} + 109485588248313 T^{16} + 456196771818591 T^{17} + 1530229172814918 T^{18} + 456196771818591 p T^{19} + 109485588248313 p^{2} T^{20} + 8649928684304 p^{3} T^{21} - 709441894821 p^{4} T^{22} - 242182037373 p^{5} T^{23} - 60381528024 p^{6} T^{24} - 10849447005 p^{7} T^{25} - 892430949 p^{8} T^{26} - 11976966 p^{9} T^{27} + 6230025 p^{10} T^{28} + 1698699 p^{11} T^{29} + 366808 p^{12} T^{30} + 60963 p^{13} T^{31} + 8301 p^{14} T^{32} + 1544 p^{15} T^{33} + 279 p^{16} T^{34} + 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 - 39 T + 681 T^{2} - 6044 T^{3} + 2883 T^{4} + 714891 T^{5} - 10648932 T^{6} + 73574541 T^{7} + 16422411 T^{8} - 6472034876 T^{9} + 78267390561 T^{10} - 452966066589 T^{11} - 232817871004 T^{12} + 33002164468929 T^{13} - 6707312097063 p T^{14} + 1893755086600860 T^{15} + 480827758479867 T^{16} - 112999833289147713 T^{17} + 1160092619329201198 T^{18} - 112999833289147713 p T^{19} + 480827758479867 p^{2} T^{20} + 1893755086600860 p^{3} T^{21} - 6707312097063 p^{5} T^{22} + 33002164468929 p^{5} T^{23} - 232817871004 p^{6} T^{24} - 452966066589 p^{7} T^{25} + 78267390561 p^{8} T^{26} - 6472034876 p^{9} T^{27} + 16422411 p^{10} T^{28} + 73574541 p^{11} T^{29} - 10648932 p^{12} T^{30} + 714891 p^{13} T^{31} + 2883 p^{14} T^{32} - 6044 p^{15} T^{33} + 681 p^{16} T^{34} - 39 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 - 9 T + 153 T^{2} - 3428 T^{3} + 35607 T^{4} - 435159 T^{5} + 6456366 T^{6} - 62676447 T^{7} + 667674207 T^{8} - 7862462762 T^{9} + 71374908669 T^{10} - 11489548965 p T^{11} + 6923294016218 T^{12} - 57948694676319 T^{13} + 503949098442141 T^{14} - 4590784747814196 T^{15} + 35544696329664195 T^{16} - 283921633929906297 T^{17} + 2359385016858772054 T^{18} - 283921633929906297 p T^{19} + 35544696329664195 p^{2} T^{20} - 4590784747814196 p^{3} T^{21} + 503949098442141 p^{4} T^{22} - 57948694676319 p^{5} T^{23} + 6923294016218 p^{6} T^{24} - 11489548965 p^{8} T^{25} + 71374908669 p^{8} T^{26} - 7862462762 p^{9} T^{27} + 667674207 p^{10} T^{28} - 62676447 p^{11} T^{29} + 6456366 p^{12} T^{30} - 435159 p^{13} T^{31} + 35607 p^{14} T^{32} - 3428 p^{15} T^{33} + 153 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 + 24 T + 387 T^{2} + 3387 T^{3} + 21543 T^{4} + 53955 T^{5} + 360082 T^{6} + 2040987 T^{7} + 22508181 T^{8} - 435096617 T^{9} - 5271678003 T^{10} - 48022602174 T^{11} - 44085876310 T^{12} - 109491953970 T^{13} - 4780312365 T^{14} - 112499261045245 T^{15} - 32437046111433 T^{16} + 5071011515448513 T^{17} + 102929295810954890 T^{18} + 5071011515448513 p T^{19} - 32437046111433 p^{2} T^{20} - 112499261045245 p^{3} T^{21} - 4780312365 p^{4} T^{22} - 109491953970 p^{5} T^{23} - 44085876310 p^{6} T^{24} - 48022602174 p^{7} T^{25} - 5271678003 p^{8} T^{26} - 435096617 p^{9} T^{27} + 22508181 p^{10} T^{28} + 2040987 p^{11} T^{29} + 360082 p^{12} T^{30} + 53955 p^{13} T^{31} + 21543 p^{14} T^{32} + 3387 p^{15} T^{33} + 387 p^{16} T^{34} + 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 39 T + 879 T^{2} - 14184 T^{3} + 176361 T^{4} - 1779015 T^{5} + 14963476 T^{6} - 110237067 T^{7} + 785299557 T^{8} - 5957715166 T^{9} + 47124057879 T^{10} - 308244385623 T^{11} + 777399711932 T^{12} + 16152577092549 T^{13} - 330460606334937 T^{14} + 3845905295588176 T^{15} - 34983398640393975 T^{16} + 282643997445521769 T^{17} - 2257587241861311274 T^{18} + 282643997445521769 p T^{19} - 34983398640393975 p^{2} T^{20} + 3845905295588176 p^{3} T^{21} - 330460606334937 p^{4} T^{22} + 16152577092549 p^{5} T^{23} + 777399711932 p^{6} T^{24} - 308244385623 p^{7} T^{25} + 47124057879 p^{8} T^{26} - 5957715166 p^{9} T^{27} + 785299557 p^{10} T^{28} - 110237067 p^{11} T^{29} + 14963476 p^{12} T^{30} - 1779015 p^{13} T^{31} + 176361 p^{14} T^{32} - 14184 p^{15} T^{33} + 879 p^{16} T^{34} - 39 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - 45 T^{2} - 621 T^{3} + 8055 T^{4} + 107439 T^{5} - 142034 T^{6} - 5564727 T^{7} - 26031669 T^{8} + 901398733 T^{9} + 2048023347 T^{10} - 11075694504 T^{11} - 284100865566 T^{12} + 2899020543900 T^{13} + 32745517431435 T^{14} - 89379221111905 T^{15} - 11525771578395 p T^{16} - 532007534700897 T^{17} + 253828258633404402 T^{18} - 532007534700897 p T^{19} - 11525771578395 p^{3} T^{20} - 89379221111905 p^{3} T^{21} + 32745517431435 p^{4} T^{22} + 2899020543900 p^{5} T^{23} - 284100865566 p^{6} T^{24} - 11075694504 p^{7} T^{25} + 2048023347 p^{8} T^{26} + 901398733 p^{9} T^{27} - 26031669 p^{10} T^{28} - 5564727 p^{11} T^{29} - 142034 p^{12} T^{30} + 107439 p^{13} T^{31} + 8055 p^{14} T^{32} - 621 p^{15} T^{33} - 45 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 12 T + 186 T^{2} - 3302 T^{3} + 34539 T^{4} - 429288 T^{5} + 4759826 T^{6} - 45658554 T^{7} + 494450331 T^{8} - 4624937608 T^{9} + 42246728232 T^{10} - 421638324138 T^{11} + 3691092516500 T^{12} - 33783782700360 T^{13} + 315031494382992 T^{14} - 2692711292635926 T^{15} + 24747896333881893 T^{16} - 217225352227674588 T^{17} + 1797664215868482648 T^{18} - 217225352227674588 p T^{19} + 24747896333881893 p^{2} T^{20} - 2692711292635926 p^{3} T^{21} + 315031494382992 p^{4} T^{22} - 33783782700360 p^{5} T^{23} + 3691092516500 p^{6} T^{24} - 421638324138 p^{7} T^{25} + 42246728232 p^{8} T^{26} - 4624937608 p^{9} T^{27} + 494450331 p^{10} T^{28} - 45658554 p^{11} T^{29} + 4759826 p^{12} T^{30} - 429288 p^{13} T^{31} + 34539 p^{14} T^{32} - 3302 p^{15} T^{33} + 186 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 - 63 T + 1947 T^{2} - 38014 T^{3} + 502458 T^{4} - 4291053 T^{5} + 14631069 T^{6} + 198030810 T^{7} - 4041750633 T^{8} + 37913461915 T^{9} - 195452371545 T^{10} + 128943571815 T^{11} + 5454882245819 T^{12} - 11941822367268 T^{13} - 502488166472310 T^{14} + 5182178224340562 T^{15} + 11624775179494011 T^{16} - 820749267421291002 T^{17} + 10252168049260425310 T^{18} - 820749267421291002 p T^{19} + 11624775179494011 p^{2} T^{20} + 5182178224340562 p^{3} T^{21} - 502488166472310 p^{4} T^{22} - 11941822367268 p^{5} T^{23} + 5454882245819 p^{6} T^{24} + 128943571815 p^{7} T^{25} - 195452371545 p^{8} T^{26} + 37913461915 p^{9} T^{27} - 4041750633 p^{10} T^{28} + 198030810 p^{11} T^{29} + 14631069 p^{12} T^{30} - 4291053 p^{13} T^{31} + 502458 p^{14} T^{32} - 38014 p^{15} T^{33} + 1947 p^{16} T^{34} - 63 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 + 27 T - 117 T^{2} - 7152 T^{3} + 29901 T^{4} + 1330479 T^{5} - 9177290 T^{6} - 215184585 T^{7} + 1716546915 T^{8} + 26287689838 T^{9} - 274158073047 T^{10} - 2621667524097 T^{11} + 37713983940930 T^{12} + 221542527250431 T^{13} - 4324442887817265 T^{14} - 13565212500334288 T^{15} + 436219229138057601 T^{16} + 398828818330111731 T^{17} - 38896626997655359962 T^{18} + 398828818330111731 p T^{19} + 436219229138057601 p^{2} T^{20} - 13565212500334288 p^{3} T^{21} - 4324442887817265 p^{4} T^{22} + 221542527250431 p^{5} T^{23} + 37713983940930 p^{6} T^{24} - 2621667524097 p^{7} T^{25} - 274158073047 p^{8} T^{26} + 26287689838 p^{9} T^{27} + 1716546915 p^{10} T^{28} - 215184585 p^{11} T^{29} - 9177290 p^{12} T^{30} + 1330479 p^{13} T^{31} + 29901 p^{14} T^{32} - 7152 p^{15} T^{33} - 117 p^{16} T^{34} + 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 66 T + 1929 T^{2} - 30906 T^{3} + 239682 T^{4} + 817737 T^{5} - 48461684 T^{6} + 717972315 T^{7} - 6742066179 T^{8} + 39886676564 T^{9} + 30892352232 T^{10} - 5352092366283 T^{11} + 95764599027498 T^{12} - 1072651228103553 T^{13} + 7605920967585135 T^{14} - 15562374984908414 T^{15} - 449228520099916368 T^{16} + 8279078905909654830 T^{17} - 91465579492565936940 T^{18} + 8279078905909654830 p T^{19} - 449228520099916368 p^{2} T^{20} - 15562374984908414 p^{3} T^{21} + 7605920967585135 p^{4} T^{22} - 1072651228103553 p^{5} T^{23} + 95764599027498 p^{6} T^{24} - 5352092366283 p^{7} T^{25} + 30892352232 p^{8} T^{26} + 39886676564 p^{9} T^{27} - 6742066179 p^{10} T^{28} + 717972315 p^{11} T^{29} - 48461684 p^{12} T^{30} + 817737 p^{13} T^{31} + 239682 p^{14} T^{32} - 30906 p^{15} T^{33} + 1929 p^{16} T^{34} - 66 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 81 T + 3459 T^{2} + 101482 T^{3} + 2273181 T^{4} + 40963317 T^{5} + 609775194 T^{6} + 7560428415 T^{7} + 77179214181 T^{8} + 616733370644 T^{9} + 3167193001575 T^{10} - 3947990987187 T^{11} - 337739264250946 T^{12} - 4901858827084137 T^{13} - 47173489458451761 T^{14} - 323943123108451794 T^{15} - 1291326285014136471 T^{16} + 2669927172134475099 T^{17} + 84190933720872624166 T^{18} + 2669927172134475099 p T^{19} - 1291326285014136471 p^{2} T^{20} - 323943123108451794 p^{3} T^{21} - 47173489458451761 p^{4} T^{22} - 4901858827084137 p^{5} T^{23} - 337739264250946 p^{6} T^{24} - 3947990987187 p^{7} T^{25} + 3167193001575 p^{8} T^{26} + 616733370644 p^{9} T^{27} + 77179214181 p^{10} T^{28} + 7560428415 p^{11} T^{29} + 609775194 p^{12} T^{30} + 40963317 p^{13} T^{31} + 2273181 p^{14} T^{32} + 101482 p^{15} T^{33} + 3459 p^{16} T^{34} + 81 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.75912547457339179776851696070, −3.56628656621423052426002200406, −3.44968831373221540804239051968, −3.39858401494494514830007841116, −3.19149306349551424214783691661, −3.08702550628367489958613550584, −2.99604443740712320033709385261, −2.97806416554225155812430028397, −2.96820061878876403292732372585, −2.84547585782123847168460057565, −2.76649636234264983119842624828, −2.56462963698716817125191847413, −2.46576717986573955984763322331, −2.39999167962025643455153672871, −2.33129441049299183802323487833, −2.21447272415464024713506889897, −1.99627053718054019083212032871, −1.87278509695380874164908666677, −1.86160714341743249053584247660, −1.80952881321719043387375687441, −1.25530962086410037380652469051, −1.18901377397244049402022751811, −0.987136856693142804152141755579, −0.70689692895179432355080240479, −0.24553369200181018045907184809, 0.24553369200181018045907184809, 0.70689692895179432355080240479, 0.987136856693142804152141755579, 1.18901377397244049402022751811, 1.25530962086410037380652469051, 1.80952881321719043387375687441, 1.86160714341743249053584247660, 1.87278509695380874164908666677, 1.99627053718054019083212032871, 2.21447272415464024713506889897, 2.33129441049299183802323487833, 2.39999167962025643455153672871, 2.46576717986573955984763322331, 2.56462963698716817125191847413, 2.76649636234264983119842624828, 2.84547585782123847168460057565, 2.96820061878876403292732372585, 2.97806416554225155812430028397, 2.99604443740712320033709385261, 3.08702550628367489958613550584, 3.19149306349551424214783691661, 3.39858401494494514830007841116, 3.44968831373221540804239051968, 3.56628656621423052426002200406, 3.75912547457339179776851696070
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.