LMFDB - L-function 32-168e16-1.1-c4e16-0-2

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 72·3^-s − 12·5^-s + 16·7^-s + 2.70e3·9^-s + 252·11^-s − 864·15^-s − 696·17^-s + 156·19^-s + 1.15e3·21^-s − 672·23^-s − 2.38e3·25^-s + 6.99e4·27^-s + 1.99e3·29^-s + 2.04e3·31^-s + 1.81e4·33^-s − 192·35^-s + 2.54e3·37^-s + 1.30e3·43^-s − 3.24e4·45^-s − 744·47^-s − 2.67e3·49^-s − 5.01e4·51^-s − 1.16e3·53^-s − 3.02e3·55^-s + 1.12e4·57^-s + 8.98e3·59^-s + 816·61^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 8·3^-s − 0.479·5^-s + 0.326·7^-s + 33.3·9^-s + 2.08·11^-s − 3.83·15^-s − 2.40·17^-s + 0.432·19^-s + 2.61·21^-s − 1.27·23^-s − 3.81·25^-s + 96·27^-s + 2.36·29^-s + 2.12·31^-s + 16.6·33^-s − 0.156·35^-s + 1.86·37^-s + 0.705·43^-s − 16·45^-s − 0.336·47^-s − 1.11·49^-s − 19.2·51^-s − 0.414·53^-s − 0.999·55^-s + 3.45·57^-s + 2.58·59^-s + 0.219·61^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{48} \cdot 3^{16} \cdot 7^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(5-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{48} \cdot 3^{16} \cdot 7^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$32$
Conductor:	$2^{48} \cdot 3^{16} \cdot 7^{16}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$6.84318\times 10^{19}$
Root analytic conductor:	$4.16727$
Motivic weight:	$4$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(32,\ 2^{48} \cdot 3^{16} \cdot 7^{16} ,\ ( \ : [2]^{16} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(\frac{5}{2})$	$\approx$	$211.5133499$
$L(\frac12)$	$\approx$	$211.5133499$
$L(3)$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	2	$ 1 $
	3	$ ( 1 - p^{2} T + p^{3} T^{2} )^{8} $
	7	$ 1 - 16 T + 2932 T^{2} + 35488 p T^{3} - 231286 p^{2} T^{4} + 3150704 p^{3} T^{5} + 4158416 p^{4} T^{6} - 70606544 p^{5} T^{7} + 1646085667 p^{6} T^{8} - 70606544 p^{9} T^{9} + 4158416 p^{12} T^{10} + 3150704 p^{15} T^{11} - 231286 p^{18} T^{12} + 35488 p^{21} T^{13} + 2932 p^{24} T^{14} - 16 p^{28} T^{15} + p^{32} T^{16} $
good	5	$ 1 + 12 T + 506 p T^{2} + 29784 T^{3} + 2863939 T^{4} + 18134832 T^{5} + 1837574462 T^{6} - 17910885084 T^{7} + 723465036137 T^{8} - 36811196507112 T^{9} + 75690773751236 p T^{10} - 27845261819611032 T^{11} + 537059425596223022 T^{12} - 2164461634373635056 p T^{13} + $$61\!\cdots\!76$$ T^{14} - $$33\!\cdots\!56$$ p T^{15} + $$46\!\cdots\!26$$ T^{16} - $$33\!\cdots\!56$$ p^{5} T^{17} + $$61\!\cdots\!76$$ p^{8} T^{18} - 2164461634373635056 p^{13} T^{19} + 537059425596223022 p^{16} T^{20} - 27845261819611032 p^{20} T^{21} + 75690773751236 p^{25} T^{22} - 36811196507112 p^{28} T^{23} + 723465036137 p^{32} T^{24} - 17910885084 p^{36} T^{25} + 1837574462 p^{40} T^{26} + 18134832 p^{44} T^{27} + 2863939 p^{48} T^{28} + 29784 p^{52} T^{29} + 506 p^{57} T^{30} + 12 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	11	$ 1 - 252 T - 31478 T^{2} + 14716296 T^{3} + 111863347 T^{4} - 490405138944 T^{5} + 2323988463154 p T^{6} + 11528270308116828 T^{7} - 1189189683580020007 T^{8} - $$19\!\cdots\!36$$ T^{9} + $$31\!\cdots\!04$$ T^{10} + $$23\!\cdots\!36$$ p T^{11} - $$65\!\cdots\!94$$ T^{12} - $$24\!\cdots\!36$$ T^{13} + $$11\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$11\!\cdots\!12$$ T^{15} - $$17\!\cdots\!62$$ T^{16} + $$11\!\cdots\!12$$ p^{4} T^{17} + $$11\!\cdots\!40$$ p^{8} T^{18} - $$24\!\cdots\!36$$ p^{12} T^{19} - $$65\!\cdots\!94$$ p^{16} T^{20} + $$23\!\cdots\!36$$ p^{21} T^{21} + $$31\!\cdots\!04$$ p^{24} T^{22} - $$19\!\cdots\!36$$ p^{28} T^{23} - 1189189683580020007 p^{32} T^{24} + 11528270308116828 p^{36} T^{25} + 2323988463154 p^{41} T^{26} - 490405138944 p^{44} T^{27} + 111863347 p^{48} T^{28} + 14716296 p^{52} T^{29} - 31478 p^{56} T^{30} - 252 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	13	$ 1 - 104708 T^{2} + 6572608966 T^{4} - 322234727673544 T^{6} + 14392534329112264145 T^{8} - $$58\!\cdots\!16$$ T^{10} + $$21\!\cdots\!46$$ T^{12} - $$68\!\cdots\!04$$ T^{14} + $$20\!\cdots\!04$$ T^{16} - $$68\!\cdots\!04$$ p^{8} T^{18} + $$21\!\cdots\!46$$ p^{16} T^{20} - $$58\!\cdots\!16$$ p^{24} T^{22} + 14392534329112264145 p^{32} T^{24} - 322234727673544 p^{40} T^{26} + 6572608966 p^{48} T^{28} - 104708 p^{56} T^{30} + p^{64} T^{32} $
	17	$ 1 + 696 T + 453264 T^{2} + 203087232 T^{3} + 79714351716 T^{4} + 27971947535304 T^{5} + 9018823823814240 T^{6} + 2738127888605704056 T^{7} + 44702686793938869482 p T^{8} + $$18\!\cdots\!16$$ T^{9} + $$38\!\cdots\!80$$ T^{10} + $$50\!\cdots\!48$$ T^{11} - $$50\!\cdots\!32$$ T^{12} - $$68\!\cdots\!76$$ T^{13} - $$35\!\cdots\!56$$ T^{14} - $$76\!\cdots\!16$$ p T^{15} - $$14\!\cdots\!33$$ p^{2} T^{16} - $$76\!\cdots\!16$$ p^{5} T^{17} - $$35\!\cdots\!56$$ p^{8} T^{18} - $$68\!\cdots\!76$$ p^{12} T^{19} - $$50\!\cdots\!32$$ p^{16} T^{20} + $$50\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{21} + $$38\!\cdots\!80$$ p^{24} T^{22} + $$18\!\cdots\!16$$ p^{28} T^{23} + 44702686793938869482 p^{33} T^{24} + 2738127888605704056 p^{36} T^{25} + 9018823823814240 p^{40} T^{26} + 27971947535304 p^{44} T^{27} + 79714351716 p^{48} T^{28} + 203087232 p^{52} T^{29} + 453264 p^{56} T^{30} + 696 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	19	$ 1 - 156 T + 619234 T^{2} - 95335032 T^{3} + 189872482003 T^{4} - 32659896066096 T^{5} + 39775467575369630 T^{6} - 7247960649778662228 T^{7} + $$65\!\cdots\!33$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!40$$ T^{9} + $$88\!\cdots\!96$$ T^{10} - $$84\!\cdots\!56$$ T^{11} + $$10\!\cdots\!58$$ T^{12} + $$28\!\cdots\!56$$ p T^{13} + $$10\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$62\!\cdots\!76$$ p T^{15} + $$12\!\cdots\!94$$ T^{16} + $$62\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{17} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{18} + $$28\!\cdots\!56$$ p^{13} T^{19} + $$10\!\cdots\!58$$ p^{16} T^{20} - $$84\!\cdots\!56$$ p^{20} T^{21} + $$88\!\cdots\!96$$ p^{24} T^{22} - $$10\!\cdots\!40$$ p^{28} T^{23} + $$65\!\cdots\!33$$ p^{32} T^{24} - 7247960649778662228 p^{36} T^{25} + 39775467575369630 p^{40} T^{26} - 32659896066096 p^{44} T^{27} + 189872482003 p^{48} T^{28} - 95335032 p^{52} T^{29} + 619234 p^{56} T^{30} - 156 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	23	$ 1 + 672 T - 911592 T^{2} - 586052544 T^{3} + 481025476580 T^{4} + 274983003889440 T^{5} - 152979447775175856 T^{6} - 81859571471822323872 T^{7} + $$24\!\cdots\!26$$ T^{8} + $$15\!\cdots\!96$$ T^{9} - $$12\!\cdots\!32$$ T^{10} - $$15\!\cdots\!80$$ T^{11} - $$14\!\cdots\!60$$ T^{12} + $$23\!\cdots\!24$$ T^{13} - $$42\!\cdots\!48$$ T^{14} + $$58\!\cdots\!92$$ T^{15} + $$20\!\cdots\!67$$ T^{16} + $$58\!\cdots\!92$$ p^{4} T^{17} - $$42\!\cdots\!48$$ p^{8} T^{18} + $$23\!\cdots\!24$$ p^{12} T^{19} - $$14\!\cdots\!60$$ p^{16} T^{20} - $$15\!\cdots\!80$$ p^{20} T^{21} - $$12\!\cdots\!32$$ p^{24} T^{22} + $$15\!\cdots\!96$$ p^{28} T^{23} + $$24\!\cdots\!26$$ p^{32} T^{24} - 81859571471822323872 p^{36} T^{25} - 152979447775175856 p^{40} T^{26} + 274983003889440 p^{44} T^{27} + 481025476580 p^{48} T^{28} - 586052544 p^{52} T^{29} - 911592 p^{56} T^{30} + 672 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	29	$ ( 1 - 996 T + 4213838 T^{2} - 3609120768 T^{3} + 8363947886865 T^{4} - 6193865083726728 T^{5} + 10341896078422702870 T^{6} - $$65\!\cdots\!32$$ T^{7} + $$87\!\cdots\!72$$ T^{8} - $$65\!\cdots\!32$$ p^{4} T^{9} + 10341896078422702870 p^{8} T^{10} - 6193865083726728 p^{12} T^{11} + 8363947886865 p^{16} T^{12} - 3609120768 p^{20} T^{13} + 4213838 p^{24} T^{14} - 996 p^{28} T^{15} + p^{32} T^{16} )^{2} $
	31	$ 1 - 2040 T + 226420 p T^{2} - 11488912800 T^{3} + 25156222611142 T^{4} - 36353393368483752 T^{5} + 61988936555056756568 T^{6} - $$81\!\cdots\!96$$ T^{7} + $$11\!\cdots\!29$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!04$$ T^{9} + $$17\!\cdots\!48$$ T^{10} - $$20\!\cdots\!68$$ T^{11} + $$23\!\cdots\!98$$ T^{12} - $$24\!\cdots\!80$$ T^{13} + $$26\!\cdots\!28$$ T^{14} - $$26\!\cdots\!24$$ T^{15} + $$25\!\cdots\!60$$ T^{16} - $$26\!\cdots\!24$$ p^{4} T^{17} + $$26\!\cdots\!28$$ p^{8} T^{18} - $$24\!\cdots\!80$$ p^{12} T^{19} + $$23\!\cdots\!98$$ p^{16} T^{20} - $$20\!\cdots\!68$$ p^{20} T^{21} + $$17\!\cdots\!48$$ p^{24} T^{22} - $$14\!\cdots\!04$$ p^{28} T^{23} + $$11\!\cdots\!29$$ p^{32} T^{24} - $$81\!\cdots\!96$$ p^{36} T^{25} + 61988936555056756568 p^{40} T^{26} - 36353393368483752 p^{44} T^{27} + 25156222611142 p^{48} T^{28} - 11488912800 p^{52} T^{29} + 226420 p^{57} T^{30} - 2040 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	37	$ 1 - 2548 T - 4973894 T^{2} + 19708529176 T^{3} + 6479536880771 T^{4} - 71525054111346080 T^{5} + 18605991525179796054 T^{6} + $$15\!\cdots\!20$$ T^{7} - $$83\!\cdots\!03$$ T^{8} - $$22\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!24$$ T^{10} + $$28\!\cdots\!60$$ T^{11} - $$79\!\cdots\!22$$ T^{12} - $$39\!\cdots\!52$$ T^{13} + $$79\!\cdots\!40$$ T^{14} + $$31\!\cdots\!80$$ T^{15} - $$23\!\cdots\!78$$ T^{16} + $$31\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{17} + $$79\!\cdots\!40$$ p^{8} T^{18} - $$39\!\cdots\!52$$ p^{12} T^{19} - $$79\!\cdots\!22$$ p^{16} T^{20} + $$28\!\cdots\!60$$ p^{20} T^{21} + $$12\!\cdots\!24$$ p^{24} T^{22} - $$22\!\cdots\!56$$ p^{28} T^{23} - $$83\!\cdots\!03$$ p^{32} T^{24} + $$15\!\cdots\!20$$ p^{36} T^{25} + 18605991525179796054 p^{40} T^{26} - 71525054111346080 p^{44} T^{27} + 6479536880771 p^{48} T^{28} + 19708529176 p^{52} T^{29} - 4973894 p^{56} T^{30} - 2548 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	41	$ 1 - 20354928 T^{2} + 5111147693496 p T^{4} - $$14\!\cdots\!08$$ T^{6} + $$76\!\cdots\!60$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!44$$ T^{10} + $$12\!\cdots\!40$$ T^{12} - $$40\!\cdots\!48$$ T^{14} + $$12\!\cdots\!66$$ T^{16} - $$40\!\cdots\!48$$ p^{8} T^{18} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{16} T^{20} - $$33\!\cdots\!44$$ p^{24} T^{22} + $$76\!\cdots\!60$$ p^{32} T^{24} - $$14\!\cdots\!08$$ p^{40} T^{26} + 5111147693496 p^{49} T^{28} - 20354928 p^{56} T^{30} + p^{64} T^{32} $
	43	$ ( 1 - 652 T + 17634486 T^{2} - 8267901656 T^{3} + 154797723738497 T^{4} - 55563688319057256 T^{5} + $$88\!\cdots\!98$$ T^{6} - $$26\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$35\!\cdots\!56$$ T^{8} - $$26\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{9} + $$88\!\cdots\!98$$ p^{8} T^{10} - 55563688319057256 p^{12} T^{11} + 154797723738497 p^{16} T^{12} - 8267901656 p^{20} T^{13} + 17634486 p^{24} T^{14} - 652 p^{28} T^{15} + p^{32} T^{16} )^{2} $
	47	$ 1 + 744 T + 9098032 T^{2} + 6631658880 T^{3} + 5180503560868 T^{4} + 69054148570779864 T^{5} - 91154849443590388960 T^{6} + $$94\!\cdots\!08$$ T^{7} + $$72\!\cdots\!78$$ T^{8} + $$44\!\cdots\!40$$ T^{9} + $$84\!\cdots\!04$$ T^{10} - $$77\!\cdots\!32$$ T^{11} + $$37\!\cdots\!44$$ T^{12} + $$64\!\cdots\!72$$ T^{13} + $$17\!\cdots\!48$$ T^{14} + $$57\!\cdots\!88$$ T^{15} + $$97\!\cdots\!67$$ T^{16} + $$57\!\cdots\!88$$ p^{4} T^{17} + $$17\!\cdots\!48$$ p^{8} T^{18} + $$64\!\cdots\!72$$ p^{12} T^{19} + $$37\!\cdots\!44$$ p^{16} T^{20} - $$77\!\cdots\!32$$ p^{20} T^{21} + $$84\!\cdots\!04$$ p^{24} T^{22} + $$44\!\cdots\!40$$ p^{28} T^{23} + $$72\!\cdots\!78$$ p^{32} T^{24} + $$94\!\cdots\!08$$ p^{36} T^{25} - 91154849443590388960 p^{40} T^{26} + 69054148570779864 p^{44} T^{27} + 5180503560868 p^{48} T^{28} + 6631658880 p^{52} T^{29} + 9098032 p^{56} T^{30} + 744 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	53	$ 1 + 1164 T - 28598462 T^{2} - 13728027576 T^{3} + 480050191702003 T^{4} - 200145556489752768 T^{5} - $$51\!\cdots\!82$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$35\!\cdots\!85$$ T^{8} - $$18\!\cdots\!36$$ T^{9} - $$30\!\cdots\!44$$ T^{10} + $$20\!\cdots\!60$$ T^{11} - $$29\!\cdots\!58$$ T^{12} - $$14\!\cdots\!64$$ T^{13} + $$48\!\cdots\!92$$ T^{14} + $$46\!\cdots\!08$$ T^{15} - $$46\!\cdots\!94$$ T^{16} + $$46\!\cdots\!08$$ p^{4} T^{17} + $$48\!\cdots\!92$$ p^{8} T^{18} - $$14\!\cdots\!64$$ p^{12} T^{19} - $$29\!\cdots\!58$$ p^{16} T^{20} + $$20\!\cdots\!60$$ p^{20} T^{21} - $$30\!\cdots\!44$$ p^{24} T^{22} - $$18\!\cdots\!36$$ p^{28} T^{23} + $$35\!\cdots\!85$$ p^{32} T^{24} + $$10\!\cdots\!92$$ p^{36} T^{25} - $$51\!\cdots\!82$$ p^{40} T^{26} - 200145556489752768 p^{44} T^{27} + 480050191702003 p^{48} T^{28} - 13728027576 p^{52} T^{29} - 28598462 p^{56} T^{30} + 1164 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	59	$ 1 - 8988 T + 87819530 T^{2} - 547292640216 T^{3} + 3239521169936499 T^{4} - 15578437724100984864 T^{5} + $$69\!\cdots\!78$$ T^{6} - $$26\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$92\!\cdots\!73$$ T^{8} - $$26\!\cdots\!56$$ T^{9} + $$10\!\cdots\!92$$ p T^{10} - $$53\!\cdots\!56$$ T^{11} - $$32\!\cdots\!90$$ T^{12} + $$30\!\cdots\!32$$ T^{13} - $$15\!\cdots\!28$$ T^{14} + $$65\!\cdots\!84$$ T^{15} - $$23\!\cdots\!94$$ T^{16} + $$65\!\cdots\!84$$ p^{4} T^{17} - $$15\!\cdots\!28$$ p^{8} T^{18} + $$30\!\cdots\!32$$ p^{12} T^{19} - $$32\!\cdots\!90$$ p^{16} T^{20} - $$53\!\cdots\!56$$ p^{20} T^{21} + $$10\!\cdots\!92$$ p^{25} T^{22} - $$26\!\cdots\!56$$ p^{28} T^{23} + $$92\!\cdots\!73$$ p^{32} T^{24} - $$26\!\cdots\!60$$ p^{36} T^{25} + $$69\!\cdots\!78$$ p^{40} T^{26} - 15578437724100984864 p^{44} T^{27} + 3239521169936499 p^{48} T^{28} - 547292640216 p^{52} T^{29} + 87819530 p^{56} T^{30} - 8988 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	61	$ 1 - 816 T + 60239816 T^{2} - 48974577024 T^{3} + 1795982801160228 T^{4} - 1370083995849681552 T^{5} + $$34\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$28\!\cdots\!68$$ T^{7} + $$48\!\cdots\!66$$ T^{8} - $$58\!\cdots\!92$$ T^{9} + $$56\!\cdots\!08$$ T^{10} - $$15\!\cdots\!48$$ T^{11} + $$68\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$40\!\cdots\!44$$ T^{13} + $$94\!\cdots\!76$$ T^{14} - $$79\!\cdots\!64$$ T^{15} + $$13\!\cdots\!51$$ T^{16} - $$79\!\cdots\!64$$ p^{4} T^{17} + $$94\!\cdots\!76$$ p^{8} T^{18} - $$40\!\cdots\!44$$ p^{12} T^{19} + $$68\!\cdots\!84$$ p^{16} T^{20} - $$15\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{21} + $$56\!\cdots\!08$$ p^{24} T^{22} - $$58\!\cdots\!92$$ p^{28} T^{23} + $$48\!\cdots\!66$$ p^{32} T^{24} - $$28\!\cdots\!68$$ p^{36} T^{25} + $$34\!\cdots\!68$$ p^{40} T^{26} - 1370083995849681552 p^{44} T^{27} + 1795982801160228 p^{48} T^{28} - 48974577024 p^{52} T^{29} + 60239816 p^{56} T^{30} - 816 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	67	$ 1 - 3044 T - 86080494 T^{2} + 386493692904 T^{3} + 3521773712374995 T^{4} - 22398626546471486272 T^{5} - $$89\!\cdots\!82$$ T^{6} + $$86\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!65$$ T^{8} - $$25\!\cdots\!96$$ T^{9} + $$14\!\cdots\!40$$ T^{10} + $$58\!\cdots\!16$$ T^{11} - $$14\!\cdots\!10$$ T^{12} - $$93\!\cdots\!28$$ T^{13} + $$51\!\cdots\!28$$ T^{14} + $$71\!\cdots\!96$$ T^{15} - $$12\!\cdots\!42$$ T^{16} + $$71\!\cdots\!96$$ p^{4} T^{17} + $$51\!\cdots\!28$$ p^{8} T^{18} - $$93\!\cdots\!28$$ p^{12} T^{19} - $$14\!\cdots\!10$$ p^{16} T^{20} + $$58\!\cdots\!16$$ p^{20} T^{21} + $$14\!\cdots\!40$$ p^{24} T^{22} - $$25\!\cdots\!96$$ p^{28} T^{23} + $$12\!\cdots\!65$$ p^{32} T^{24} + $$86\!\cdots\!44$$ p^{36} T^{25} - $$89\!\cdots\!82$$ p^{40} T^{26} - 22398626546471486272 p^{44} T^{27} + 3521773712374995 p^{48} T^{28} + 386493692904 p^{52} T^{29} - 86080494 p^{56} T^{30} - 3044 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	71	$ ( 1 + 2232 T + 94965856 T^{2} + 155189823720 T^{3} + 4663088219374012 T^{4} + 6842902689678610296 T^{5} + $$16\!\cdots\!32$$ T^{6} + $$25\!\cdots\!44$$ T^{7} + $$48\!\cdots\!38$$ T^{8} + $$25\!\cdots\!44$$ p^{4} T^{9} + $$16\!\cdots\!32$$ p^{8} T^{10} + 6842902689678610296 p^{12} T^{11} + 4663088219374012 p^{16} T^{12} + 155189823720 p^{20} T^{13} + 94965856 p^{24} T^{14} + 2232 p^{28} T^{15} + p^{32} T^{16} )^{2} $
	73	$ 1 + 15828 T + 208297626 T^{2} + 1975161843144 T^{3} + 16220282115436899 T^{4} + $$11\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$72\!\cdots\!34$$ T^{6} + $$40\!\cdots\!16$$ T^{7} + $$19\!\cdots\!25$$ T^{8} + $$76\!\cdots\!92$$ T^{9} + $$19\!\cdots\!08$$ T^{10} - $$17\!\cdots\!72$$ T^{11} - $$70\!\cdots\!78$$ T^{12} - $$65\!\cdots\!04$$ T^{13} - $$45\!\cdots\!76$$ T^{14} - $$27\!\cdots\!68$$ T^{15} - $$15\!\cdots\!98$$ T^{16} - $$27\!\cdots\!68$$ p^{4} T^{17} - $$45\!\cdots\!76$$ p^{8} T^{18} - $$65\!\cdots\!04$$ p^{12} T^{19} - $$70\!\cdots\!78$$ p^{16} T^{20} - $$17\!\cdots\!72$$ p^{20} T^{21} + $$19\!\cdots\!08$$ p^{24} T^{22} + $$76\!\cdots\!92$$ p^{28} T^{23} + $$19\!\cdots\!25$$ p^{32} T^{24} + $$40\!\cdots\!16$$ p^{36} T^{25} + $$72\!\cdots\!34$$ p^{40} T^{26} + $$11\!\cdots\!32$$ p^{44} T^{27} + 16220282115436899 p^{48} T^{28} + 1975161843144 p^{52} T^{29} + 208297626 p^{56} T^{30} + 15828 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	79	$ 1 + 11144 T - 56967444 T^{2} - 661684236480 T^{3} + 3954368470028646 T^{4} + 19403510201688211096 T^{5} - $$20\!\cdots\!04$$ T^{6} - $$26\!\cdots\!92$$ T^{7} + $$52\!\cdots\!09$$ T^{8} + $$13\!\cdots\!00$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!16$$ T^{10} - $$89\!\cdots\!28$$ T^{11} - $$16\!\cdots\!46$$ T^{12} + $$27\!\cdots\!44$$ T^{13} + $$59\!\cdots\!08$$ T^{14} - $$61\!\cdots\!24$$ T^{15} - $$20\!\cdots\!76$$ T^{16} - $$61\!\cdots\!24$$ p^{4} T^{17} + $$59\!\cdots\!08$$ p^{8} T^{18} + $$27\!\cdots\!44$$ p^{12} T^{19} - $$16\!\cdots\!46$$ p^{16} T^{20} - $$89\!\cdots\!28$$ p^{20} T^{21} + $$15\!\cdots\!16$$ p^{24} T^{22} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{28} T^{23} + $$52\!\cdots\!09$$ p^{32} T^{24} - $$26\!\cdots\!92$$ p^{36} T^{25} - $$20\!\cdots\!04$$ p^{40} T^{26} + 19403510201688211096 p^{44} T^{27} + 3954368470028646 p^{48} T^{28} - 661684236480 p^{52} T^{29} - 56967444 p^{56} T^{30} + 11144 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	83	$ 1 - 361401972 T^{2} + 68047505239555302 T^{4} - $$88\!\cdots\!16$$ T^{6} + $$88\!\cdots\!29$$ T^{8} - $$72\!\cdots\!52$$ T^{10} + $$50\!\cdots\!78$$ T^{12} - $$29\!\cdots\!28$$ T^{14} + $$15\!\cdots\!12$$ T^{16} - $$29\!\cdots\!28$$ p^{8} T^{18} + $$50\!\cdots\!78$$ p^{16} T^{20} - $$72\!\cdots\!52$$ p^{24} T^{22} + $$88\!\cdots\!29$$ p^{32} T^{24} - $$88\!\cdots\!16$$ p^{40} T^{26} + 68047505239555302 p^{48} T^{28} - 361401972 p^{56} T^{30} + p^{64} T^{32} $
	89	$ 1 - 22248 T + 544484208 T^{2} - 8442961153920 T^{3} + 125868950553239460 T^{4} - $$14\!\cdots\!28$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!22$$ T^{8} - $$84\!\cdots\!72$$ T^{9} + $$63\!\cdots\!36$$ T^{10} - $$37\!\cdots\!52$$ T^{11} + $$31\!\cdots\!44$$ T^{12} - $$22\!\cdots\!40$$ T^{13} + $$23\!\cdots\!24$$ T^{14} - $$18\!\cdots\!28$$ T^{15} + $$17\!\cdots\!79$$ T^{16} - $$18\!\cdots\!28$$ p^{4} T^{17} + $$23\!\cdots\!24$$ p^{8} T^{18} - $$22\!\cdots\!40$$ p^{12} T^{19} + $$31\!\cdots\!44$$ p^{16} T^{20} - $$37\!\cdots\!52$$ p^{20} T^{21} + $$63\!\cdots\!36$$ p^{24} T^{22} - $$84\!\cdots\!72$$ p^{28} T^{23} + $$12\!\cdots\!22$$ p^{32} T^{24} - $$14\!\cdots\!12$$ p^{36} T^{25} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{40} T^{26} - $$14\!\cdots\!28$$ p^{44} T^{27} + 125868950553239460 p^{48} T^{28} - 8442961153920 p^{52} T^{29} + 544484208 p^{56} T^{30} - 22248 p^{60} T^{31} + p^{64} T^{32} $
	97	$ 1 - 56289828 T^{2} + 17384906247297894 T^{4} - $$69\!\cdots\!72$$ T^{6} + $$22\!\cdots\!69$$ T^{8} - $$68\!\cdots\!68$$ T^{10} + $$22\!\cdots\!54$$ T^{12} - $$81\!\cdots\!28$$ T^{14} + $$21\!\cdots\!32$$ T^{16} - $$81\!\cdots\!28$$ p^{8} T^{18} + $$22\!\cdots\!54$$ p^{16} T^{20} - $$68\!\cdots\!68$$ p^{24} T^{22} + $$22\!\cdots\!69$$ p^{32} T^{24} - $$69\!\cdots\!72$$ p^{40} T^{26} + 17384906247297894 p^{48} T^{28} - 56289828 p^{56} T^{30} + p^{64} T^{32} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.81498906905571633824674317056, −2.71534618304072716130187794713, −2.63767731761618719929530078065, −2.58251947366455477852658871316, −2.56889132681482065911994958235, −2.51663400213398915854708348169, −2.47593045567219915131292688348, −2.38719745009839555820164519604, −2.09817635205998430295287734001, −2.09600043405722416587430999676, −1.84438053117337826381640429455, −1.81245326713951590004634409636, −1.78787567165727187670501218754, −1.65090562868208899888535606639, −1.61778932233103900751698729143, −1.39869573961007482503828275686, −1.35023636161265517435825395916, −1.14487413421500624369653396448, −1.10700219816260350096355673630, −0.966404377502566225986928652557, −0.851331520765713587966704446881, −0.54913524275158024788519508297, −0.46272026775826011658574062688, −0.14563209883005433748567464434, −0.14436491747587054788269989191, 0.14436491747587054788269989191, 0.14563209883005433748567464434, 0.46272026775826011658574062688, 0.54913524275158024788519508297, 0.851331520765713587966704446881, 0.966404377502566225986928652557, 1.10700219816260350096355673630, 1.14487413421500624369653396448, 1.35023636161265517435825395916, 1.39869573961007482503828275686, 1.61778932233103900751698729143, 1.65090562868208899888535606639, 1.78787567165727187670501218754, 1.81245326713951590004634409636, 1.84438053117337826381640429455, 2.09600043405722416587430999676, 2.09817635205998430295287734001, 2.38719745009839555820164519604, 2.47593045567219915131292688348, 2.51663400213398915854708348169, 2.56889132681482065911994958235, 2.58251947366455477852658871316, 2.63767731761618719929530078065, 2.71534618304072716130187794713, 2.81498906905571633824674317056

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(\frac{5}{2})\)	\(\approx\)	\(211.5133499\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(211.5133499\)
\(L(3)\)		not available
\(L(1)\)		not available

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L-functions

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Varieties

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Origins of factors

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