LMFDB - Artin representation 2.133563.14t8.a.a

Basic invariants

Dimension:	$2$
Group:	$C_7 \wr C_2$
Conductor:	$133563$$\medspace = 3 \cdot 211^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 14.0.192993869976848307.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_7 \wr C_2$
Parity:	odd
Determinant:	1.633.14t1.a.a
Projective image:	$D_7$
Projective stem field:	Galois closure of 7.1.2382640370084547.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{14} - 6 x^{13} + 19 x^{12} - 36 x^{11} + 34 x^{10} + 7 x^{9} - 24 x^{8} - 225 x^{7} + 1029 x^{6} + \cdots + 67 $

x^14 - 6*x^13 + 19*x^12 - 36*x^11 + 34*x^10 + 7*x^9 - 24*x^8 - 225*x^7 + 1029*x^6 - 2242*x^5 + 3040*x^4 - 2658*x^3 + 1454*x^2 - 459*x + 67

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{7} + 6x + 17 $ x^7 + 6*x + 17

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 8 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8 + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 9\right)\cdot 19 + \left(4 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 8a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 6a + 8 + (11a^6 + 3a^5 + 10a^3 + 3a^2 + 9)19 + (4a^6 + a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 16a + 9)19^2 + (14a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 13a + 5)19^3 + (12a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 10a + 14)19^4 + (8a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 3a + 11)19^5 + (2a^6 + 18a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 17a + 15)19^6 + (7a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 2a^2 + 15a + 18)19^7 + (a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 18a + 12)19^8 + (10a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 9a + 12)19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 18 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 8 + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{2} + 11\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{6} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{6} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 18a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 2a + 8 + (4a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 13a^2 + 11)19 + (16a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 16a + 9)19^2 + (12a^6 + 3a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 17a + 6)19^3 + (6a^6 + 17a^5 + 17a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 5a + 18)19^4 + (3a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 15a + 16)19^5 + (4a^5 + 7a^4 + 16a^2 + 11a + 3)19^6 + (13a^6 + 8a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 6a)19^7 + (4a^6 + 14a^5 + 14a^4 + a^3 + 18a^2 + 10a + 11)19^8 + (17a^6 + 15a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 17 + \left(15 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{6} + 15 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ a^6 + 10a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 7a + 17 + (15a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 14a + 7)19 + (12a^6 + 3a^5 + 17a^4 + a^3 + 8a^2 + 5a + 17)19^2 + (4a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 9a + 16)19^3 + (a^6 + 15a^2 + 13a + 15)19^4 + (7a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 14a + 16)19^5 + (2a^6 + 4a^5 + 4a^4 + 18a^2 + 15a + 1)19^6 + (3a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 12)19^7 + (6a^6 + 3a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 17)19^8 + (5a^6 + 14a^5 + 4a^3 + 11a^2 + 18a + 14)*19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 4 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 15 + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 4a^6 + 13a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 15 + (5a^6 + 8a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 2a + 6)19 + (9a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 16a + 17)19^2 + (18a^6 + 3a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 5a + 2)19^3 + (2a^6 + 4a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 5a + 10)19^4 + (14a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 15a + 15)19^5 + (8a^6 + a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 1)19^6 + (5a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 11a + 2)19^7 + (8a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 15a + 5)19^8 + (17a^6 + a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 6a + 15)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 8 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + a + 15 + \left(2 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 19 + \left(7 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{6} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 8a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 12a^2 + a + 15 + (2a^6 + 6a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 9a + 10)19 + (7a^6 + 15a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 8a + 4)19^2 + (5a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 12a + 11)19^3 + (18a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 9)19^4 + (11a^6 + 14a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 8a + 7)19^5 + (12a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 16a + 10)19^6 + (8a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 9a + 13)19^7 + (14a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 17a + 8)19^8 + (3a^6 + a^5 + 12a^4 + 6a^2 + 6a + 1)*19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 8 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a + 15 + \left(7 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{6} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 8a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 5a + 15 + (7a^6 + 6a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 18a + 14)19 + (11a^6 + 9a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 17a + 4)19^2 + (a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 15a)19^3 + (9a^6 + 7a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 2a)19^4 + (10a^6 + 16a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 17a + 8)19^5 + (13a^6 + 17a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 16a + 12)19^6 + (11a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 6a + 15)19^7 + (5a^6 + 17a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 14)19^8 + (13a^6 + 13a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 4a + 9)19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 11 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{2} + 7 a + 13 + \left(4 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 11a^6 + 9a^5 + 15a^4 + 11a^2 + 7a + 13 + (4a^6 + 13a^5 + 17a^3 + 11a^2 + 4a + 11)19 + (11a^6 + 15a^5 + 12a^3 + 7a^2 + 2a + 16)19^2 + (8a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 10a)19^3 + (16a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 18a + 17)19^4 + (4a^6 + 16a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 10a^2 + a + 13)19^5 + (10a^5 + 10a^3 + 2a^2 + 8a + 9)19^6 + (8a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 11a + 12)19^7 + (2a^6 + 18a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 3a + 15)19^8 + (18a^6 + 18a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 6a + 18)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 13 + \left(12 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19 + \left(14 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 2a + 13 + (12a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 10a + 6)19 + (14a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 7a + 4)19^2 + (18a^6 + 16a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 2a + 15)19^3 + (6a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 12a + 11)19^4 + (15a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 15a + 13)19^5 + (9a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 4a + 12)19^6 + (4a^6 + 8a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 2a^2 + 5a + 2)19^7 + (14a^6 + 12a^5 + 9a^4 + 2a^3 + a^2 + 9a + 3)19^8 + (18a^6 + 2a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 7a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 12 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + a + 3 + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 12a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 2a^3 + a^2 + a + 3 + (9a^6 + 7a^5 + a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 4a + 7)19 + (11a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 10a + 5)19^2 + (17a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 14a + 6)19^3 + (4a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 12a + 3)19^4 + (4a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 5a + 3)19^5 + (6a^6 + 6a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 18a + 18)19^6 + (2a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 6a + 18)19^7 + (3a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 8a + 1)19^8 + (9a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 4a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 13 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + \left(a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + a^{2} + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 13a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 4a + (a^6 + 3a^5 + 16a^4 + a^2 + 7)19 + (12a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 15a + 8)19^2 + (7a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 6a + 17)19^3 + (13a^6 + 11a^5 + a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 12a + 8)19^4 + (a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 12a + 14)19^5 + (14a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 8a + 9)19^6 + (11a^6 + a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 15a + 18)19^7 + (7a^6 + 14a^5 + a^4 + 8a^3 + 15a^2 + a + 16)19^8 + (a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 16a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 15 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 1 + \left(17 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19 + \left(13 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 15a^6 + 8a^5 + a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 16a + 1 + (17a^6 + 7a^5 + 4a^3 + 13a^2 + 2a + 9)19 + (13a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 4a + 11)19^2 + (2a^6 + 17a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 10a)19^3 + (4a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 2a + 8)19^4 + (14a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 4a^2 + 16a + 10)19^5 + (11a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 14a^3 + a^2 + 2a + 14)19^6 + (17a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 15a^2 + a + 15)19^7 + (3a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 15a + 9)19^8 + (4a^6 + 16a^5 + 11a^4 + a^3 + 9a^2 + 7a + 1)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 16 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 17 + \left(a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 16a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 5a + 17 + (a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 18a + 13)19 + (6a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 13a + 3)19^2 + (11a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 15a + 7)19^3 + (7a^6 + 5a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 15a^2 + a + 17)19^4 + (15a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 8a + 10)19^5 + (4a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 11a)19^6 + (a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 5a + 13)19^7 + (3a^6 + 18a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 3a + 2)19^8 + (9a^6 + 13a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 17a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 17 a^{6} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7 + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 17a^6 + 14a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 6a + 7 + (17a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 2a + 14)19 + (16a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 4a)19^2 + (15a^6 + 3a^5 + a^4 + 17a^3 + a^2 + 18a + 11)19^3 + (18a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 14a + 1)19^4 + (6a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 12a + 9)19^5 + (6a^6 + 11a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 16a + 13)19^6 + (11a^6 + 14a^5 + 7a^4 + a^3 + 4a^2 + 13a + 13)19^7 + (6a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 10a + 11)19^8 + (2a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 2a^2 + a + 5)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 17 a^{6} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 7 + \left(2 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19 + \left(4 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})$ 17a^6 + 14a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 14a + 7 + (2a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 8a + 2)19 + (4a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 2a^2 + 14a)19^2 + (9a^6 + 10a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 17a + 12)19^3 + (10a^6 + 11a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 18a + 15)19^4 + (2a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 3a^2 + 4a + 18)19^5 + (2a^6 + 16a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 3a^2 + 2a + 7)19^6 + (8a^6 + a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 12a + 13)19^7 + (13a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 17a)19^8 + (4a^6 + a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 5a + 9)*19^9+O(19^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(3,14,9,5,13,10,6)$
$(1,8,2,7,12,4,11)(3,14,9,5,13,10,6)$
$(1,5,12,3,8,13,4,14,2,10,11,9,7,6)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$2$
$7$	$2$	$(1,14)(2,5)(3,11)(4,6)(7,13)(8,9)(10,12)$	$0$	✓
$1$	$7$	$(1,12,8,4,2,11,7)(3,13,14,10,9,6,5)$	$2 \zeta_{7}^{4}$
$1$	$7$	$(1,8,2,7,12,4,11)(3,14,9,5,13,10,6)$	$2 \zeta_{7}$
$1$	$7$	$(1,4,7,8,11,12,2)(3,10,5,14,6,13,9)$	$2 \zeta_{7}^{5}$
$1$	$7$	$(1,2,12,11,8,7,4)(3,9,13,6,14,5,10)$	$2 \zeta_{7}^{2}$
$1$	$7$	$(1,11,4,12,7,2,8)(3,6,10,13,5,9,14)$	$-2 \zeta_{7}^{5} - 2 \zeta_{7}^{4} - 2 \zeta_{7}^{3} - 2 \zeta_{7}^{2} - 2 \zeta_{7} - 2$
$1$	$7$	$(1,7,11,2,4,8,12)(3,5,6,9,10,14,13)$	$2 \zeta_{7}^{3}$
$2$	$7$	$(3,14,9,5,13,10,6)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{3}$
$2$	$7$	$(3,9,13,6,14,5,10)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$
$2$	$7$	$(3,5,6,9,10,14,13)$	$\zeta_{7}^{2} + \zeta_{7}$
$2$	$7$	$(3,13,14,10,9,6,5)$	$-\zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$
$2$	$7$	$(3,10,5,14,6,13,9)$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}$
$2$	$7$	$(3,6,10,13,5,9,14)$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{2}$
$2$	$7$	$(1,8,2,7,12,4,11)(3,9,13,6,14,5,10)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$
$2$	$7$	$(1,2,12,11,8,7,4)(3,13,14,10,9,6,5)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}$
$2$	$7$	$(1,7,11,2,4,8,12)(3,6,10,13,5,9,14)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4}$
$2$	$7$	$(1,12,8,4,2,11,7)(3,14,9,5,13,10,6)$	$\zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2}$
$2$	$7$	$(1,4,7,8,11,12,2)(3,5,6,9,10,14,13)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7} - 1$
$2$	$7$	$(1,11,4,12,7,2,8)(3,10,5,14,6,13,9)$	$\zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}$
$2$	$7$	$(1,12,8,4,2,11,7)(3,10,5,14,6,13,9)$	$\zeta_{7}^{2} + 1$
$2$	$7$	$(1,8,2,7,12,4,11)(3,5,6,9,10,14,13)$	$\zeta_{7}^{4} + 1$
$2$	$7$	$(1,4,7,8,11,12,2)(3,14,9,5,13,10,6)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7}$
$2$	$7$	$(1,2,12,11,8,7,4)(3,6,10,13,5,9,14)$	$\zeta_{7} + 1$
$2$	$7$	$(1,11,4,12,7,2,8)(3,13,14,10,9,6,5)$	$\zeta_{7}^{3} + 1$
$2$	$7$	$(1,7,11,2,4,8,12)(3,9,13,6,14,5,10)$	$\zeta_{7}^{5} + 1$
$2$	$7$	$(1,7,11,2,4,8,12)(3,13,14,10,9,6,5)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - 1$
$2$	$7$	$(1,11,4,12,7,2,8)(3,14,9,5,13,10,6)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{2}$
$2$	$7$	$(1,2,12,11,8,7,4)(3,10,5,14,6,13,9)$	$\zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3}$
$7$	$14$	$(1,5,12,3,8,13,4,14,2,10,11,9,7,6)$	$0$
$7$	$14$	$(1,3,4,10,7,5,8,14,11,6,12,13,2,9)$	$0$
$7$	$14$	$(1,13,11,5,4,9,12,14,7,3,2,6,8,10)$	$0$
$7$	$14$	$(1,10,8,6,2,3,7,14,12,9,4,5,11,13)$	$0$
$7$	$14$	$(1,9,2,13,12,6,11,14,8,5,7,10,4,3)$	$0$
$7$	$14$	$(1,6,7,9,11,10,2,14,4,13,8,3,12,5)$	$0$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2.133563.14t8.a.a
Dimension	$2$
Group	$C_7 \wr C_2$
Conductor	$133563$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 8 a^{5} + 15 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 8 + \left(11 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 9\right)\cdot 19 + \left(4 a^{6} + a^{5} + 17 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{6} + 13 a^{5} + 16 a^{4} + 4 a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 18 a^{5} + 12 a^{4} + 2 a^{3} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 13 a^{3} + 9 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 8a^5 + 15a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 6a + 8 + (11a^6 + 3a^5 + 10a^3 + 3a^2 + 9)19 + (4a^6 + a^5 + 17a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 16a + 9)19^2 + (14a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 13a + 5)19^3 + (12a^6 + 13a^5 + 16a^4 + 4a^3 + 18a^2 + 10a + 14)19^4 + (8a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 3a + 11)19^5 + (2a^6 + 18a^5 + 12a^4 + 2a^3 + 17a + 15)19^6 + (7a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 2a^2 + 15a + 18)19^7 + (a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 13a^3 + 9a^2 + 18a + 12)19^8 + (10a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 9a + 12)19^9+O(19^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 18 a^{5} + 13 a^{4} + 2 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 8 + \left(4 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{2} + 11\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{6} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{6} + 5 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{6} + 8 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{6} + 14 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 18 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{6} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 18a^5 + 13a^4 + 2a^3 + 13a^2 + 2a + 8 + (4a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 13a^2 + 11)19 + (16a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 16a + 9)19^2 + (12a^6 + 3a^4 + 3a^3 + 6a^2 + 17a + 6)19^3 + (6a^6 + 17a^5 + 17a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 5a + 18)19^4 + (3a^6 + 5a^5 + 10a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 15a + 16)19^5 + (4a^5 + 7a^4 + 16a^2 + 11a + 3)19^6 + (13a^6 + 8a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 6a)19^7 + (4a^6 + 14a^5 + 14a^4 + a^3 + 18a^2 + 10a + 11)19^8 + (17a^6 + 15a^4 + 9a^3 + 9a^2 + a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( a^{6} + 10 a^{5} + 14 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 17 + \left(15 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{5} + 13 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{6} + 15 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 4 a^{4} + 18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(3 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{6} + 3 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) a^6 + 10a^5 + 14a^3 + 2a^2 + 7a + 17 + (15a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 14a + 7)19 + (12a^6 + 3a^5 + 17a^4 + a^3 + 8a^2 + 5a + 17)19^2 + (4a^5 + 13a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 9a + 16)19^3 + (a^6 + 15a^2 + 13a + 15)19^4 + (7a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 14a + 16)19^5 + (2a^6 + 4a^5 + 4a^4 + 18a^2 + 15a + 1)19^6 + (3a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 11a^2 + 10a + 12)19^7 + (6a^6 + 3a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 17)19^8 + (5a^6 + 14a^5 + 4a^3 + 11a^2 + 18a + 14)*19^9+O(19^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 4 a^{6} + 13 a^{5} + 4 a^{4} + 12 a^{3} + 17 a^{2} + 15 + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19 + \left(9 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + 3 a^{5} + 17 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 14 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(8 a^{6} + a^{5} + 7 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 6 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(8 a^{6} + 10 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a^{6} + a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 4a^6 + 13a^5 + 4a^4 + 12a^3 + 17a^2 + 15 + (5a^6 + 8a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 2a + 6)19 + (9a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 10a^2 + 16a + 17)19^2 + (18a^6 + 3a^5 + 17a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 5a + 2)19^3 + (2a^6 + 4a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 5a + 10)19^4 + (14a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 14a^2 + 15a + 15)19^5 + (8a^6 + a^5 + 7a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 1)19^6 + (5a^6 + 12a^5 + 6a^4 + 16a^3 + 11a + 2)19^7 + (8a^6 + 10a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 15a + 5)19^8 + (17a^6 + a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 4a^2 + 6a + 15)19^9+O(19^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 3 a^{5} + 4 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + a + 15 + \left(2 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 19 + \left(7 a^{6} + 15 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(5 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 6 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{6} + 14 a^{4} + 17 a^{3} + 17 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(12 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 13 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 8a^6 + 3a^5 + 4a^4 + 16a^3 + 12a^2 + a + 15 + (2a^6 + 6a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 9a + 10)19 + (7a^6 + 15a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 8a + 4)19^2 + (5a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 2a^2 + 12a + 11)19^3 + (18a^6 + 6a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 9)19^4 + (11a^6 + 14a^4 + 17a^3 + 17a^2 + 8a + 7)19^5 + (12a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 16a + 10)19^6 + (8a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 9a + 13)19^7 + (14a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 13a^3 + 3a^2 + 17a + 8)19^8 + (3a^6 + a^5 + 12a^4 + 6a^2 + 6a + 1)*19^9+O(19^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a + 15 + \left(7 a^{6} + 6 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 9 a^{5} + 16 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(a^{5} + 10 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{6} + 16 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{6} + 17 a^{5} + 13 a^{4} + 15 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 2 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{6} + 17 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{6} + 13 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 8a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 7a^3 + 5a + 15 + (7a^6 + 6a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 18a + 14)19 + (11a^6 + 9a^5 + 16a^4 + 5a^3 + 5a^2 + 17a + 4)19^2 + (a^5 + 10a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 15a)19^3 + (9a^6 + 7a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 2a)19^4 + (10a^6 + 16a^4 + 7a^3 + 6a^2 + 17a + 8)19^5 + (13a^6 + 17a^5 + 13a^4 + 15a^3 + 13a^2 + 16a + 12)19^6 + (11a^6 + 2a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 4a^2 + 6a + 15)19^7 + (5a^6 + 17a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 2a^2 + 14)19^8 + (13a^6 + 13a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 12a^2 + 4a + 9)19^9+O(19^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 11 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{2} + 7 a + 13 + \left(4 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 14 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{6} + 16 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{5} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + 18 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 11a^6 + 9a^5 + 15a^4 + 11a^2 + 7a + 13 + (4a^6 + 13a^5 + 17a^3 + 11a^2 + 4a + 11)19 + (11a^6 + 15a^5 + 12a^3 + 7a^2 + 2a + 16)19^2 + (8a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 10a)19^3 + (16a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 14a^3 + 15a^2 + 18a + 17)19^4 + (4a^6 + 16a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 10a^2 + a + 13)19^5 + (10a^5 + 10a^3 + 2a^2 + 8a + 9)19^6 + (8a^6 + 18a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 11a + 12)19^7 + (2a^6 + 18a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 13a^2 + 3a + 15)19^8 + (18a^6 + 18a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 2a^2 + 6a + 18)19^9+O(19^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 13 + \left(12 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19 + \left(14 a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 13 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{6} + 16 a^{5} + 13 a^{4} + 10 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{6} + 8 a^{5} + 7 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{6} + 12 a^{5} + 9 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{6} + 2 a^{5} + 13 a^{4} + 3 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 12a^3 + 4a^2 + 2a + 13 + (12a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 4a^3 + 11a^2 + 10a + 6)19 + (14a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 13a^3 + 16a^2 + 7a + 4)19^2 + (18a^6 + 16a^5 + 13a^4 + 10a^3 + 13a^2 + 2a + 15)19^3 + (6a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 12a + 11)19^4 + (15a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 15a + 13)19^5 + (9a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 9a^2 + 4a + 12)19^6 + (4a^6 + 8a^5 + 7a^4 + 17a^3 + 2a^2 + 5a + 2)19^7 + (14a^6 + 12a^5 + 9a^4 + 2a^3 + a^2 + 9a + 3)19^8 + (18a^6 + 2a^5 + 13a^4 + 3a^3 + 14a^2 + 7a + 11)19^9+O(19^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + a + 3 + \left(9 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19 + \left(11 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 18 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{4} + 13 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{6} + 11 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 6 a^{5} + 13 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 15 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 12a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 2a^3 + a^2 + a + 3 + (9a^6 + 7a^5 + a^4 + 9a^3 + 8a^2 + 4a + 7)19 + (11a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 18a^3 + 10a + 5)19^2 + (17a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 14a + 6)19^3 + (4a^6 + 15a^5 + 12a^4 + 13a^3 + 17a^2 + 12a + 3)19^4 + (4a^6 + 11a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 6a^2 + 5a + 3)19^5 + (6a^6 + 6a^5 + 13a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 18a + 18)19^6 + (2a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 6a^2 + 6a + 18)19^7 + (3a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 8a + 1)19^8 + (9a^6 + 15a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 4a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 13 a^{6} + 16 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + \left(a^{6} + 3 a^{5} + 16 a^{4} + a^{2} + 7\right)\cdot 19 + \left(12 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{6} + 11 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{6} + 14 a^{5} + a^{4} + 8 a^{3} + 15 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{6} + 7 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 13a^6 + 16a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 9a^2 + 4a + (a^6 + 3a^5 + 16a^4 + a^2 + 7)19 + (12a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 15a + 8)19^2 + (7a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 6a + 17)19^3 + (13a^6 + 11a^5 + a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 12a + 8)19^4 + (a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 12a + 14)19^5 + (14a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 8a + 9)19^6 + (11a^6 + a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 15a + 18)19^7 + (7a^6 + 14a^5 + a^4 + 8a^3 + 15a^2 + a + 16)19^8 + (a^6 + 7a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 16a + 2)*19^9+O(19^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 15 a^{6} + 8 a^{5} + a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 16 a + 1 + \left(17 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19 + \left(13 a^{6} + 16 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{6} + 17 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{6} + 11 a^{5} + 10 a^{4} + 4 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(11 a^{6} + 2 a^{5} + 3 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(17 a^{6} + 17 a^{5} + 3 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + 16 a^{5} + 11 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 15a^6 + 8a^5 + a^4 + 10a^3 + 2a^2 + 16a + 1 + (17a^6 + 7a^5 + 4a^3 + 13a^2 + 2a + 9)19 + (13a^6 + 16a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 4a + 11)19^2 + (2a^6 + 17a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 9a^2 + 10a)19^3 + (4a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 9a^3 + 7a^2 + 2a + 8)19^4 + (14a^6 + 11a^5 + 10a^4 + 4a^2 + 16a + 10)19^5 + (11a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 14a^3 + a^2 + 2a + 14)19^6 + (17a^6 + 17a^5 + 3a^4 + 15a^3 + 15a^2 + a + 15)19^7 + (3a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 15a + 9)19^8 + (4a^6 + 16a^5 + 11a^4 + a^3 + 9a^2 + 7a + 1)19^9+O(19^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 16 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 17 + \left(a^{6} + 10 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19 + \left(6 a^{6} + 7 a^{5} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 18 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{6} + 14 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a\right)\cdot 19^{6} + \left(a^{6} + 12 a^{5} + 15 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{6} + 18 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(9 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 16a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 17a^2 + 5a + 17 + (a^6 + 10a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 18a + 13)19 + (6a^6 + 7a^5 + 12a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 13a + 3)19^2 + (11a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 13a^2 + 15a + 7)19^3 + (7a^6 + 5a^5 + 18a^4 + 9a^3 + 15a^2 + a + 17)19^4 + (15a^6 + 14a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 8a + 10)19^5 + (4a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 11a)19^6 + (a^6 + 12a^5 + 15a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 5a + 13)19^7 + (3a^6 + 18a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 12a^2 + 3a + 2)19^8 + (9a^6 + 13a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 17a + 16)19^9+O(19^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 17 a^{6} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 7 + \left(17 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19 + \left(16 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 17 a^{3} + a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{6} + 5 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{6} + 14 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 5 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(2 a^{5} + 15 a^{4} + 17 a^{3} + 2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 17a^6 + 14a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 6a + 7 + (17a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 2a + 14)19 + (16a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 2a^2 + 4a)19^2 + (15a^6 + 3a^5 + a^4 + 17a^3 + a^2 + 18a + 11)19^3 + (18a^6 + 5a^5 + 9a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 14a + 1)19^4 + (6a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 12a + 9)19^5 + (6a^6 + 11a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 16a + 13)19^6 + (11a^6 + 14a^5 + 7a^4 + a^3 + 4a^2 + 13a + 13)19^7 + (6a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 5a^3 + 13a^2 + 10a + 11)19^8 + (2a^5 + 15a^4 + 17a^3 + 2a^2 + a + 5)*19^9+O(19^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 17 a^{6} + 14 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 7 + \left(2 a^{6} + 11 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19 + \left(4 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{6} + 10 a^{5} + 16 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(10 a^{6} + 11 a^{5} + 6 a^{4} + 2 a^{3} + 15 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{6} + 16 a^{5} + 16 a^{4} + 3 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{6} + a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{6} + a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{9} +O(19^{10})\) 17a^6 + 14a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 14a + 7 + (2a^6 + 11a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 5a^2 + 8a + 2)19 + (4a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 2a^2 + 14a)19^2 + (9a^6 + 10a^5 + 16a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 17a + 12)19^3 + (10a^6 + 11a^5 + 6a^4 + 2a^3 + 15a^2 + 18a + 15)19^4 + (2a^6 + 16a^5 + 16a^4 + 3a^2 + 4a + 18)19^5 + (2a^6 + 16a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 3a^2 + 2a + 7)19^6 + (8a^6 + a^4 + 11a^3 + 10a^2 + 12a + 13)19^7 + (13a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 5a^3 + 9a^2 + 17a)19^8 + (4a^6 + a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 10a^2 + 5a + 9)*19^9+O(19^10)