LMFDB - Artin representation 1.381.14t1.a.b

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	$C_{14}$
Conductor:	$381$$\medspace = 3 \cdot 127 $
Artin field:	Galois closure of 14.0.38502899391974811462791218827.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_{14}$
Parity:	odd
Dirichlet character:	$\chi_{381}(8,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{14} - x^{13} + 55 x^{12} - 8 x^{11} + 2389 x^{10} - 526 x^{9} + 27699 x^{8} + 21346 x^{7} + \cdots + 1256641 $

x^14 - x^13 + 55*x^12 - 8*x^11 + 2389*x^10 - 526*x^9 + 27699*x^8 + 21346*x^7 + 220112*x^6 + 184596*x^5 + 991629*x^4 + 1196220*x^3 + 2970241*x^2 + 1920273*x + 1256641

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 31 }$ to precision 6.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 31 }$: $ x^{7} + x + 28 $ x^7 + x + 28

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 15 + \left(a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31 + \left(19 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ a^6 + 7a^5 + 18a^3 + 22a^2 + 10a + 15 + (a^6 + 24a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 15a^2 + 8a + 29)31 + (19a^6 + 12a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 8a^2 + 8a + 10)31^2 + (7a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 24a + 3)31^3 + (15a^6 + 23a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 27a + 20)31^4 + (5a^6 + 24a^5 + 17a^4 + 27a^3 + 18a^2 + 6a + 26)31^5+O(31^6)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 5 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8 + \left(3 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31 + \left(22 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 5a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 10a + 8 + (3a^6 + 19a^5 + 26a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 21a + 27)31 + (22a^6 + 28a^5 + 27a^4 + 12a^3 + 16a + 19)31^2 + (19a^6 + a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 14a + 15)31^3 + (9a^6 + 29a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 28a + 14)31^4 + (11a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 9a^2 + 23a)31^5+O(31^6)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 8 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 21 + \left(29 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{6} + 19 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 8a^6 + a^5 + 21a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 25a + 21 + (29a^6 + 3a^5 + 26a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 5a + 22)31 + (26a^5 + 13a^4 + 30a^3 + a^2 + 8a + 8)31^2 + (5a^6 + 19a^5 + 29a^4 + 2a^3 + 24a^2 + 8a + 23)31^3 + (26a^6 + 19a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 25a^2 + a + 11)31^4 + (27a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 11a + 10)*31^5+O(31^6)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 8 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 15 + \left(23 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 13\right)\cdot 31 + \left(20 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 8a^6 + 29a^5 + 26a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 28a + 15 + (23a^6 + 22a^5 + 28a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 13)31 + (20a^6 + 17a^5 + a^4 + 16a^3 + 15a + 5)31^2 + (11a^6 + 5a^5 + a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 13)31^3 + (5a^6 + 22a^5 + 13a^4 + a^3 + 21a^2 + 30a + 6)31^4 + (a^6 + a^5 + 26a^4 + 29a^3 + 8a^2 + 6a + 1)*31^5+O(31^6)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 9 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 13 + \left(11 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31 + \left(a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 9a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 16a + 13 + (11a^6 + 24a^5 + 12a^4 + 19a^3 + a^2 + 24a + 29)31 + (a^6 + 20a^5 + 14a^4 + 29a^3 + 9a^2 + 15a + 17)31^2 + (10a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 24a + 27)31^3 + (26a^6 + 18a^5 + 19a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 5a + 11)31^4 + (30a^6 + 19a^5 + 16a^4 + 28a^3 + 2a^2 + 20a + 17)*31^5+O(31^6)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 11 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{2} + 14 a + 22 + \left(20 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31 + \left(30 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{6} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 11a^6 + 26a^5 + 20a^4 + 23a^2 + 14a + 22 + (20a^6 + 30a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 10a + 28)31 + (30a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 18a + 13)31^2 + (4a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 22a^3 + 18a^2 + 11a + 7)31^3 + (a^6 + 28a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 10a + 7)31^4 + (28a^6 + 6a^5 + 18a^4 + a^3 + 28a^2 + 27a + 24)*31^5+O(31^6)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 12 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 14 + \left(25 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31 + \left(29 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 12a^6 + 4a^5 + 14a^4 + a^3 + 5a^2 + 24a + 14 + (25a^6 + 12a^5 + 23a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 24a + 6)31 + (29a^6 + a^5 + 22a^4 + 3a^2 + 27a + 13)31^2 + (12a^6 + 29a^5 + 26a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 6a + 5)31^3 + (29a^6 + 5a^5 + 30a^4 + 28a^3 + 12a^2 + 12a + 18)31^4 + (17a^6 + 17a^5 + 29a^4 + 30a^3 + 15a^2 + 8a + 15)31^5+O(31^6)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 14 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 5 a + 29 + \left(22 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31 + \left(12 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 14a^6 + 25a^5 + 29a^4 + 14a^3 + a^2 + 5a + 29 + (22a^6 + 29a^5 + 10a^4 + a^3 + 3a^2 + 18a + 3)31 + (12a^6 + 24a^5 + 3a^3 + 18a^2 + 13a + 25)31^2 + (27a^6 + 23a^5 + 30a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 23a + 17)31^3 + (22a^6 + 20a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 6a^2 + 20a + 12)31^4 + (5a^6 + 27a^5 + 26a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 18)*31^5+O(31^6)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 18 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 28 + \left(18 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a + 13\right)\cdot 31 + \left(5 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 18a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 10a + 28 + (18a^6 + 4a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 21a + 13)31 + (5a^6 + 30a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 4a + 23)31^2 + (20a^6 + 21a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 19a + 2)31^3 + (23a^6 + 25a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 12a + 22)31^4 + (17a^6 + 24a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 25a + 28)31^5+O(31^6)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 24 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{2} + 8 a + 17 + \left(7 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 5 a^{2} + 17\right)\cdot 31 + \left(20 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 24a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 22a^2 + 8a + 17 + (7a^6 + 22a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 5a^2 + 17)31 + (20a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 16a + 7)31^2 + (7a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 17a^3 + 25a^2 + 26a + 12)31^3 + (25a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 28a + 15)31^4 + (28a^6 + 9a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 29a + 24)*31^5+O(31^6)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 25 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 3 + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a + 16\right)\cdot 31 + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 25a^6 + 20a^5 + 16a^3 + 23a^2 + 2a + 3 + (10a^6 + 4a^5 + 26a^4 + 21a^3 + 27a + 16)31 + (2a^6 + 5a^5 + 27a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 27a + 29)31^2 + (27a^6 + 8a^5 + 28a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 16a + 21)31^3 + (20a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 9a + 24)31^4 + (22a^6 + 3a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 5)*31^5+O(31^6)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 25 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 9 + \left(23 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 29 a\right)\cdot 31 + \left(26 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 25a^6 + 28a^5 + 28a^4 + 30a^3 + 20a^2 + 19a + 9 + (23a^6 + 8a^5 + 12a^4 + 12a^3 + a^2 + 29a)31 + (26a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 28a^3 + 9a^2 + a + 22)31^2 + (27a^6 + a^5 + 16a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 30a + 20)31^3 + (8a^6 + 7a^5 + a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 11a + 14)31^4 + (27a^6 + 4a^5 + 23a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 5)31^5+O(31^6)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 28 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 16 + \left(3 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31 + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 28a^6 + 10a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 19a + 16 + (3a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 28a^2 + 29a + 27)31 + (7a^6 + 7a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 26a^2 + 3a + 22)31^2 + (25a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 9a)31^3 + (15a^6 + 18a^5 + 9a^4 + 8a^3 + a^2 + 19a + 25)31^4 + (7a^6 + 19a^5 + 26a^4 + 19a^3 + 29a^2 + 17a + 1)31^5+O(31^6)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 29 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 8 + \left(15 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31 + \left(17 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})$ 29a^6 + 20a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 25a^2 + 27a + 8 + (15a^6 + 23a^5 + 3a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 25a + 11)31 + (17a^6 + 24a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 7a + 27)31^2 + (9a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 19a^2 + a + 13)31^3 + (6a^6 + 18a^5 + 26a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 29a + 12)31^4 + (27a^6 + 2a^5 + a^4 + 12a^2 + 6a + 5)31^5+O(31^6)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(1,11)(2,12)(3,8)(4,5)(6,10)(7,14)(9,13)$
$(1,6,5,9,3,7,12,11,10,4,13,8,14,2)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$1$
$1$	$2$	$(1,11)(2,12)(3,8)(4,5)(6,10)(7,14)(9,13)$	$-1$	✓
$1$	$7$	$(1,5,3,12,10,13,14)(2,6,9,7,11,4,8)$	$\zeta_{7}^{5}$
$1$	$7$	$(1,3,10,14,5,12,13)(2,9,11,8,6,7,4)$	$\zeta_{7}^{3}$
$1$	$7$	$(1,12,14,3,13,5,10)(2,7,8,9,4,6,11)$	$\zeta_{7}$
$1$	$7$	$(1,10,5,13,3,14,12)(2,11,6,4,9,8,7)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$
$1$	$7$	$(1,13,12,5,14,10,3)(2,4,7,6,8,11,9)$	$\zeta_{7}^{4}$
$1$	$7$	$(1,14,13,10,12,3,5)(2,8,4,11,7,9,6)$	$\zeta_{7}^{2}$
$1$	$14$	$(1,6,5,9,3,7,12,11,10,4,13,8,14,2)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + \zeta_{7} + 1$
$1$	$14$	$(1,9,12,4,14,6,3,11,13,2,5,7,10,8)$	$-\zeta_{7}^{4}$
$1$	$14$	$(1,7,13,6,12,8,5,11,14,9,10,2,3,4)$	$-\zeta_{7}^{2}$
$1$	$14$	$(1,4,3,2,10,9,14,11,5,8,12,6,13,7)$	$-\zeta_{7}^{5}$
$1$	$14$	$(1,8,10,7,5,2,13,11,3,6,14,4,12,9)$	$-\zeta_{7}^{3}$
$1$	$14$	$(1,2,14,8,13,4,10,11,12,7,3,9,5,6)$	$-\zeta_{7}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.381.14t1.a.b
Dimension	$1$
Group	$C_{14}$
Conductor	$381$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( a^{6} + 7 a^{5} + 18 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 15 + \left(a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 21 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 31 + \left(19 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{6} + 23 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) a^6 + 7a^5 + 18a^3 + 22a^2 + 10a + 15 + (a^6 + 24a^5 + 6a^4 + 21a^3 + 15a^2 + 8a + 29)31 + (19a^6 + 12a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 8a^2 + 8a + 10)31^2 + (7a^6 + 12a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 24a + 3)31^3 + (15a^6 + 23a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 27a + 20)31^4 + (5a^6 + 24a^5 + 17a^4 + 27a^3 + 18a^2 + 6a + 26)31^5+O(31^6)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 5 a^{6} + 18 a^{5} + 18 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8 + \left(3 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 20 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 31 + \left(22 a^{6} + 28 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 16 a + 19\right)\cdot 31^{2} + \left(19 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 31^{3} + \left(9 a^{6} + 29 a^{5} + 9 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(11 a^{5} + 30 a^{4} + 25 a^{3} + 9 a^{2} + 23 a\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 5a^6 + 18a^5 + 18a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 10a + 8 + (3a^6 + 19a^5 + 26a^4 + 29a^3 + 20a^2 + 21a + 27)31 + (22a^6 + 28a^5 + 27a^4 + 12a^3 + 16a + 19)31^2 + (19a^6 + a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 14a + 15)31^3 + (9a^6 + 29a^5 + 9a^4 + 4a^3 + 7a^2 + 28a + 14)31^4 + (11a^5 + 30a^4 + 25a^3 + 9a^2 + 23a)31^5+O(31^6)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 8 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 21 + \left(29 a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 31 + \left(26 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 31^{2} + \left(5 a^{6} + 19 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + 24 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{6} + 19 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 25 a^{2} + a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 17 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 8a^6 + a^5 + 21a^4 + 8a^3 + 5a^2 + 25a + 21 + (29a^6 + 3a^5 + 26a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 5a + 22)31 + (26a^5 + 13a^4 + 30a^3 + a^2 + 8a + 8)31^2 + (5a^6 + 19a^5 + 29a^4 + 2a^3 + 24a^2 + 8a + 23)31^3 + (26a^6 + 19a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 25a^2 + a + 11)31^4 + (27a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 17a^3 + 7a^2 + 11a + 10)*31^5+O(31^6)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 28 a + 15 + \left(23 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 13\right)\cdot 31 + \left(20 a^{6} + 17 a^{5} + a^{4} + 16 a^{3} + 15 a + 5\right)\cdot 31^{2} + \left(11 a^{6} + 5 a^{5} + a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(5 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 21 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 31^{4} + \left(a^{6} + a^{5} + 26 a^{4} + 29 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 8a^6 + 29a^5 + 26a^4 + 7a^3 + 4a^2 + 28a + 15 + (23a^6 + 22a^5 + 28a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 13)31 + (20a^6 + 17a^5 + a^4 + 16a^3 + 15a + 5)31^2 + (11a^6 + 5a^5 + a^4 + 6a^3 + 2a^2 + 13)31^3 + (5a^6 + 22a^5 + 13a^4 + a^3 + 21a^2 + 30a + 6)31^4 + (a^6 + a^5 + 26a^4 + 29a^3 + 8a^2 + 6a + 1)*31^5+O(31^6)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 9 a^{6} + 21 a^{5} + 6 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 13 + \left(11 a^{6} + 24 a^{5} + 12 a^{4} + 19 a^{3} + a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 31 + \left(a^{6} + 20 a^{5} + 14 a^{4} + 29 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 31^{2} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 31^{3} + \left(26 a^{6} + 18 a^{5} + 19 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 31^{4} + \left(30 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 28 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 9a^6 + 21a^5 + 6a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 16a + 13 + (11a^6 + 24a^5 + 12a^4 + 19a^3 + a^2 + 24a + 29)31 + (a^6 + 20a^5 + 14a^4 + 29a^3 + 9a^2 + 15a + 17)31^2 + (10a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 24a + 27)31^3 + (26a^6 + 18a^5 + 19a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 5a + 11)31^4 + (30a^6 + 19a^5 + 16a^4 + 28a^3 + 2a^2 + 20a + 17)*31^5+O(31^6)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 11 a^{6} + 26 a^{5} + 20 a^{4} + 23 a^{2} + 14 a + 22 + \left(20 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 31 + \left(30 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 23 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(4 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 22 a^{3} + 18 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 31^{3} + \left(a^{6} + 28 a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + a^{3} + 28 a^{2} + 27 a + 24\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 11a^6 + 26a^5 + 20a^4 + 23a^2 + 14a + 22 + (20a^6 + 30a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 10a + 28)31 + (30a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 23a^2 + 18a + 13)31^2 + (4a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 22a^3 + 18a^2 + 11a + 7)31^3 + (a^6 + 28a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 10a + 7)31^4 + (28a^6 + 6a^5 + 18a^4 + a^3 + 28a^2 + 27a + 24)*31^5+O(31^6)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 4 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 24 a + 14 + \left(25 a^{6} + 12 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 19 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 31 + \left(29 a^{6} + a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 31^{2} + \left(12 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 30 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{3} + \left(29 a^{6} + 5 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{6} + 17 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 12a^6 + 4a^5 + 14a^4 + a^3 + 5a^2 + 24a + 14 + (25a^6 + 12a^5 + 23a^4 + 21a^3 + 19a^2 + 24a + 6)31 + (29a^6 + a^5 + 22a^4 + 3a^2 + 27a + 13)31^2 + (12a^6 + 29a^5 + 26a^4 + 14a^3 + 30a^2 + 6a + 5)31^3 + (29a^6 + 5a^5 + 30a^4 + 28a^3 + 12a^2 + 12a + 18)31^4 + (17a^6 + 17a^5 + 29a^4 + 30a^3 + 15a^2 + 8a + 15)31^5+O(31^6)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 14 a^{6} + 25 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 5 a + 29 + \left(22 a^{6} + 29 a^{5} + 10 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 31 + \left(12 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 31^{3} + \left(22 a^{6} + 20 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(5 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 18\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 14a^6 + 25a^5 + 29a^4 + 14a^3 + a^2 + 5a + 29 + (22a^6 + 29a^5 + 10a^4 + a^3 + 3a^2 + 18a + 3)31 + (12a^6 + 24a^5 + 3a^3 + 18a^2 + 13a + 25)31^2 + (27a^6 + 23a^5 + 30a^4 + 6a^3 + 18a^2 + 23a + 17)31^3 + (22a^6 + 20a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 6a^2 + 20a + 12)31^4 + (5a^6 + 27a^5 + 26a^4 + 6a^3 + 3a^2 + 18)*31^5+O(31^6)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 18 a^{6} + 2 a^{5} + 17 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 28 + \left(18 a^{6} + 4 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 21 a + 13\right)\cdot 31 + \left(5 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 15 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 31^{2} + \left(20 a^{6} + 21 a^{5} + 3 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 31^{3} + \left(23 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 31^{4} + \left(17 a^{6} + 24 a^{5} + 9 a^{4} + 13 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 18a^6 + 2a^5 + 17a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 10a + 28 + (18a^6 + 4a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 21a + 13)31 + (5a^6 + 30a^5 + 7a^4 + 15a^3 + 8a^2 + 4a + 23)31^2 + (20a^6 + 21a^5 + 3a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 19a + 2)31^3 + (23a^6 + 25a^5 + 22a^4 + 15a^3 + 28a^2 + 12a + 22)31^4 + (17a^6 + 24a^5 + 9a^4 + 13a^3 + 10a^2 + 25a + 28)31^5+O(31^6)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 24 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{2} + 8 a + 17 + \left(7 a^{6} + 22 a^{5} + 24 a^{4} + 23 a^{3} + 5 a^{2} + 17\right)\cdot 31 + \left(20 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 31^{2} + \left(7 a^{6} + 6 a^{5} + 26 a^{4} + 17 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 31^{3} + \left(25 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + 17 a^{3} + 11 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 31^{4} + \left(28 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 24a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 22a^2 + 8a + 17 + (7a^6 + 22a^5 + 24a^4 + 23a^3 + 5a^2 + 17)31 + (20a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 16a + 7)31^2 + (7a^6 + 6a^5 + 26a^4 + 17a^3 + 25a^2 + 26a + 12)31^3 + (25a^6 + 18a^5 + 4a^4 + 17a^3 + 11a^2 + 28a + 15)31^4 + (28a^6 + 9a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 29a + 24)*31^5+O(31^6)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 25 a^{6} + 20 a^{5} + 16 a^{3} + 23 a^{2} + 2 a + 3 + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 26 a^{4} + 21 a^{3} + 27 a + 16\right)\cdot 31 + \left(2 a^{6} + 5 a^{5} + 27 a^{4} + 22 a^{3} + 7 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{6} + 8 a^{5} + 28 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 31^{3} + \left(20 a^{5} + 14 a^{4} + 13 a^{3} + 26 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 31^{4} + \left(22 a^{6} + 3 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 16 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 25a^6 + 20a^5 + 16a^3 + 23a^2 + 2a + 3 + (10a^6 + 4a^5 + 26a^4 + 21a^3 + 27a + 16)31 + (2a^6 + 5a^5 + 27a^4 + 22a^3 + 7a^2 + 27a + 29)31^2 + (27a^6 + 8a^5 + 28a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 16a + 21)31^3 + (20a^5 + 14a^4 + 13a^3 + 26a^2 + 9a + 24)31^4 + (22a^6 + 3a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 16a^2 + 5)*31^5+O(31^6)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 25 a^{6} + 28 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 20 a^{2} + 19 a + 9 + \left(23 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 29 a\right)\cdot 31 + \left(26 a^{6} + 12 a^{5} + 13 a^{4} + 28 a^{3} + 9 a^{2} + a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(27 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 31^{3} + \left(8 a^{6} + 7 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 17 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{6} + 4 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 5\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 25a^6 + 28a^5 + 28a^4 + 30a^3 + 20a^2 + 19a + 9 + (23a^6 + 8a^5 + 12a^4 + 12a^3 + a^2 + 29a)31 + (26a^6 + 12a^5 + 13a^4 + 28a^3 + 9a^2 + a + 22)31^2 + (27a^6 + a^5 + 16a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 30a + 20)31^3 + (8a^6 + 7a^5 + a^4 + 2a^3 + 17a^2 + 11a + 14)31^4 + (27a^6 + 4a^5 + 23a^4 + 9a^3 + 9a^2 + 5)31^5+O(31^6)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 28 a^{6} + 10 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 10 a^{2} + 19 a + 16 + \left(3 a^{6} + 17 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 31 + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 26 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 31^{2} + \left(25 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 22 a^{3} + 23 a^{2} + 9 a\right)\cdot 31^{3} + \left(15 a^{6} + 18 a^{5} + 9 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 31^{4} + \left(7 a^{6} + 19 a^{5} + 26 a^{4} + 19 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 28a^6 + 10a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 10a^2 + 19a + 16 + (3a^6 + 17a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 28a^2 + 29a + 27)31 + (7a^6 + 7a^5 + 28a^4 + 26a^3 + 26a^2 + 3a + 22)31^2 + (25a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 22a^3 + 23a^2 + 9a)31^3 + (15a^6 + 18a^5 + 9a^4 + 8a^3 + a^2 + 19a + 25)31^4 + (7a^6 + 19a^5 + 26a^4 + 19a^3 + 29a^2 + 17a + 1)31^5+O(31^6)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 29 a^{6} + 20 a^{5} + 8 a^{4} + 5 a^{3} + 25 a^{2} + 27 a + 8 + \left(15 a^{6} + 23 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 10 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 31 + \left(17 a^{6} + 24 a^{5} + 3 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 31^{2} + \left(9 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + a + 13\right)\cdot 31^{3} + \left(6 a^{6} + 18 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 31^{4} + \left(27 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 12 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 31^{5} +O(31^{6})\) 29a^6 + 20a^5 + 8a^4 + 5a^3 + 25a^2 + 27a + 8 + (15a^6 + 23a^5 + 3a^4 + 26a^3 + 10a^2 + 25a + 11)31 + (17a^6 + 24a^5 + 3a^4 + 11a^3 + 3a^2 + 7a + 27)31^2 + (9a^6 + 22a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 19a^2 + a + 13)31^3 + (6a^6 + 18a^5 + 26a^4 + 14a^3 + 10a^2 + 29a + 12)31^4 + (27a^6 + 2a^5 + a^4 + 12a^2 + 6a + 5)31^5+O(31^6)