LMFDB - L-function 18-825e9-1.1-c5e9-0-1

Dirichlet series

L(s) = 1

− 2^-s + 81·3^-s − 58·4^-s − 81·6^-s + 57·7^-s + 128·8^-s + 3.64e3·9^-s − 1.08e3·11^-s − 4.69e3·12^-s − 723·13^-s − 57·14^-s + 1.28e3·16^-s + 2.80e3·17^-s − 3.64e3·18^-s − 1.60e3·19^-s + 4.61e3·21^-s + 1.08e3·22^-s + 2.39e3·23^-s + 1.03e4·24^-s + 723·26^-s + 1.20e5·27^-s − 3.30e3·28^-s + 5.96e3·29^-s + 2.15e4·31^-s − 1.44e3·32^-s − 8.82e4·33^-s − 2.80e3·34^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.176·2^-s + 5.19·3^-s − 1.81·4^-s − 0.918·6^-s + 0.439·7^-s + 0.707·8^-s + 15·9^-s − 2.71·11^-s − 9.41·12^-s − 1.18·13^-s − 0.0777·14^-s + 1.25·16^-s + 2.35·17^-s − 2.65·18^-s − 1.01·19^-s + 2.28·21^-s + 0.479·22^-s + 0.942·23^-s + 3.67·24^-s + 0.209·26^-s + 31.7·27^-s − 0.796·28^-s + 1.31·29^-s + 4.03·31^-s − 0.249·32^-s − 14.1·33^-s − 0.415·34^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{9} \cdot 5^{18} \cdot 11^{9}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{9} \cdot 5^{18} \cdot 11^{9}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{9} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$18$
Conductor:	$3^{9} \cdot 5^{18} \cdot 11^{9}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.24316\times 10^{19}$
Root analytic conductor:	$11.5028$
Motivic weight:	$5$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(18,\ 3^{9} \cdot 5^{18} \cdot 11^{9} ,\ ( \ : [5/2]^{9} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(3)$	$\approx$	$1063.225777$
$L(\frac12)$	$\approx$	$1063.225777$
$L(\frac{7}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	3	$ ( 1 - p^{2} T )^{9} $
	5	$ 1 $
	11	$ ( 1 + p^{2} T )^{9} $
good	2	$ 1 + T + 59 T^{2} - 11 T^{3} + 1001 p T^{4} - 753 p^{3} T^{5} + 813 p^{6} T^{6} - 21731 p^{4} T^{7} + 32045 p^{5} T^{8} - 27195 p^{9} T^{9} + 32045 p^{10} T^{10} - 21731 p^{14} T^{11} + 813 p^{21} T^{12} - 753 p^{23} T^{13} + 1001 p^{26} T^{14} - 11 p^{30} T^{15} + 59 p^{35} T^{16} + p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	7	$ 1 - 57 T + 86990 T^{2} - 4695527 T^{3} + 4003143790 T^{4} - 28895610631 p T^{5} + 123148937158413 T^{6} - 5661740312705338 T^{7} + 2757244372640068232 T^{8} - $$11\!\cdots\!18$$ T^{9} + 2757244372640068232 p^{5} T^{10} - 5661740312705338 p^{10} T^{11} + 123148937158413 p^{15} T^{12} - 28895610631 p^{21} T^{13} + 4003143790 p^{25} T^{14} - 4695527 p^{30} T^{15} + 86990 p^{35} T^{16} - 57 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	13	$ 1 + 723 T + 1462252 T^{2} + 1143917061 T^{3} + 1336464049441 T^{4} + 983929350911122 T^{5} + 857593698768315423 T^{6} + $$57\!\cdots\!63$$ T^{7} + $$41\!\cdots\!07$$ T^{8} + $$24\!\cdots\!06$$ T^{9} + $$41\!\cdots\!07$$ p^{5} T^{10} + $$57\!\cdots\!63$$ p^{10} T^{11} + 857593698768315423 p^{15} T^{12} + 983929350911122 p^{20} T^{13} + 1336464049441 p^{25} T^{14} + 1143917061 p^{30} T^{15} + 1462252 p^{35} T^{16} + 723 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	17	$ 1 - 2804 T + 8741378 T^{2} - 12763168902 T^{3} + 22444731823890 T^{4} - 17945122467394308 T^{5} + 23870209519791977019 T^{6} - $$10\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$84\!\cdots\!68$$ T^{8} + $$20\!\cdots\!52$$ T^{9} + $$84\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{10} - $$10\!\cdots\!12$$ p^{10} T^{11} + 23870209519791977019 p^{15} T^{12} - 17945122467394308 p^{20} T^{13} + 22444731823890 p^{25} T^{14} - 12763168902 p^{30} T^{15} + 8741378 p^{35} T^{16} - 2804 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	19	$ 1 + 1601 T + 12851473 T^{2} + 19957709258 T^{3} + 77274340162926 T^{4} + 124222587208756568 T^{5} + $$30\!\cdots\!56$$ T^{6} + $$50\!\cdots\!72$$ T^{7} + $$91\!\cdots\!53$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!25$$ T^{9} + $$91\!\cdots\!53$$ p^{5} T^{10} + $$50\!\cdots\!72$$ p^{10} T^{11} + $$30\!\cdots\!56$$ p^{15} T^{12} + 124222587208756568 p^{20} T^{13} + 77274340162926 p^{25} T^{14} + 19957709258 p^{30} T^{15} + 12851473 p^{35} T^{16} + 1601 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	23	$ 1 - 104 p T + 35251685 T^{2} - 92017693262 T^{3} + 663624861666434 T^{4} - 1662308224986931890 T^{5} + $$82\!\cdots\!28$$ T^{6} - $$18\!\cdots\!64$$ T^{7} + $$72\!\cdots\!49$$ T^{8} - $$14\!\cdots\!86$$ T^{9} + $$72\!\cdots\!49$$ p^{5} T^{10} - $$18\!\cdots\!64$$ p^{10} T^{11} + $$82\!\cdots\!28$$ p^{15} T^{12} - 1662308224986931890 p^{20} T^{13} + 663624861666434 p^{25} T^{14} - 92017693262 p^{30} T^{15} + 35251685 p^{35} T^{16} - 104 p^{41} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	29	$ 1 - 5966 T + 50635824 T^{2} - 458178162542 T^{3} + 84376405149577 p T^{4} - 15209438833794638524 T^{5} + $$88\!\cdots\!75$$ T^{6} - $$42\!\cdots\!26$$ T^{7} + $$21\!\cdots\!59$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!32$$ T^{9} + $$21\!\cdots\!59$$ p^{5} T^{10} - $$42\!\cdots\!26$$ p^{10} T^{11} + $$88\!\cdots\!75$$ p^{15} T^{12} - 15209438833794638524 p^{20} T^{13} + 84376405149577 p^{26} T^{14} - 458178162542 p^{30} T^{15} + 50635824 p^{35} T^{16} - 5966 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	31	$ 1 - 21575 T + 299756334 T^{2} - 2640086113929 T^{3} + 18420316113910379 T^{4} - $$10\!\cdots\!98$$ T^{5} + $$60\!\cdots\!95$$ T^{6} - $$38\!\cdots\!67$$ T^{7} + $$26\!\cdots\!89$$ T^{8} - $$15\!\cdots\!46$$ T^{9} + $$26\!\cdots\!89$$ p^{5} T^{10} - $$38\!\cdots\!67$$ p^{10} T^{11} + $$60\!\cdots\!95$$ p^{15} T^{12} - $$10\!\cdots\!98$$ p^{20} T^{13} + 18420316113910379 p^{25} T^{14} - 2640086113929 p^{30} T^{15} + 299756334 p^{35} T^{16} - 21575 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	37	$ 1 - 10228 T + 342138524 T^{2} - 1773562886782 T^{3} + 43079189695415340 T^{4} - 53010840543137067364 T^{5} + $$32\!\cdots\!91$$ T^{6} + $$71\!\cdots\!04$$ T^{7} + $$22\!\cdots\!72$$ T^{8} + $$80\!\cdots\!20$$ T^{9} + $$22\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{10} + $$71\!\cdots\!04$$ p^{10} T^{11} + $$32\!\cdots\!91$$ p^{15} T^{12} - 53010840543137067364 p^{20} T^{13} + 43079189695415340 p^{25} T^{14} - 1773562886782 p^{30} T^{15} + 342138524 p^{35} T^{16} - 10228 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	41	$ 1 - 13304 T + 774520542 T^{2} - 8961679883518 T^{3} + 286574740069871914 T^{4} - $$28\!\cdots\!88$$ T^{5} + $$66\!\cdots\!03$$ T^{6} - $$58\!\cdots\!84$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!64$$ T^{8} - $$80\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$10\!\cdots\!64$$ p^{5} T^{10} - $$58\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{11} + $$66\!\cdots\!03$$ p^{15} T^{12} - $$28\!\cdots\!88$$ p^{20} T^{13} + 286574740069871914 p^{25} T^{14} - 8961679883518 p^{30} T^{15} + 774520542 p^{35} T^{16} - 13304 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	43	$ 1 - 13829 T + 1007459350 T^{2} - 12514774475459 T^{3} + 485496776664396771 T^{4} - $$53\!\cdots\!78$$ T^{5} + $$14\!\cdots\!99$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!13$$ T^{7} + $$30\!\cdots\!29$$ T^{8} - $$24\!\cdots\!30$$ T^{9} + $$30\!\cdots\!29$$ p^{5} T^{10} - $$14\!\cdots\!13$$ p^{10} T^{11} + $$14\!\cdots\!99$$ p^{15} T^{12} - $$53\!\cdots\!78$$ p^{20} T^{13} + 485496776664396771 p^{25} T^{14} - 12514774475459 p^{30} T^{15} + 1007459350 p^{35} T^{16} - 13829 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	47	$ 1 - 13998 T + 1205232710 T^{2} - 13274958912068 T^{3} + 719508279987808858 T^{4} - $$65\!\cdots\!90$$ T^{5} + $$28\!\cdots\!13$$ T^{6} - $$21\!\cdots\!48$$ T^{7} + $$83\!\cdots\!76$$ T^{8} - $$56\!\cdots\!64$$ T^{9} + $$83\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{10} - $$21\!\cdots\!48$$ p^{10} T^{11} + $$28\!\cdots\!13$$ p^{15} T^{12} - $$65\!\cdots\!90$$ p^{20} T^{13} + 719508279987808858 p^{25} T^{14} - 13274958912068 p^{30} T^{15} + 1205232710 p^{35} T^{16} - 13998 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	53	$ 1 - 44166 T + 2964779929 T^{2} - 87188141140712 T^{3} + 3403427266005613816 T^{4} - $$73\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!32$$ T^{6} - $$37\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$10\!\cdots\!34$$ T^{8} - $$15\!\cdots\!52$$ T^{9} + $$10\!\cdots\!34$$ p^{5} T^{10} - $$37\!\cdots\!40$$ p^{10} T^{11} + $$21\!\cdots\!32$$ p^{15} T^{12} - $$73\!\cdots\!52$$ p^{20} T^{13} + 3403427266005613816 p^{25} T^{14} - 87188141140712 p^{30} T^{15} + 2964779929 p^{35} T^{16} - 44166 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	59	$ 1 - 11626 T + 2850942718 T^{2} - 33809265359684 T^{3} + 4084641425986968422 T^{4} - $$40\!\cdots\!22$$ T^{5} + $$38\!\cdots\!09$$ T^{6} - $$29\!\cdots\!12$$ T^{7} + $$29\!\cdots\!40$$ T^{8} - $$19\!\cdots\!92$$ T^{9} + $$29\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{10} - $$29\!\cdots\!12$$ p^{10} T^{11} + $$38\!\cdots\!09$$ p^{15} T^{12} - $$40\!\cdots\!22$$ p^{20} T^{13} + 4084641425986968422 p^{25} T^{14} - 33809265359684 p^{30} T^{15} + 2850942718 p^{35} T^{16} - 11626 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	61	$ 1 - 49481 T + 4609993897 T^{2} - 171638702043048 T^{3} + 8883884187287210928 T^{4} - $$29\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!68$$ T^{6} - $$38\!\cdots\!88$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!18$$ T^{8} - $$38\!\cdots\!30$$ T^{9} + $$12\!\cdots\!18$$ p^{5} T^{10} - $$38\!\cdots\!88$$ p^{10} T^{11} + $$11\!\cdots\!68$$ p^{15} T^{12} - $$29\!\cdots\!80$$ p^{20} T^{13} + 8883884187287210928 p^{25} T^{14} - 171638702043048 p^{30} T^{15} + 4609993897 p^{35} T^{16} - 49481 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	67	$ 1 + 26567 T + 6847580423 T^{2} + 176605220883648 T^{3} + 23485476893685848128 T^{4} + $$57\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$55\!\cdots\!60$$ T^{6} + $$12\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$97\!\cdots\!06$$ T^{8} + $$19\!\cdots\!02$$ T^{9} + $$97\!\cdots\!06$$ p^{5} T^{10} + $$12\!\cdots\!28$$ p^{10} T^{11} + $$55\!\cdots\!60$$ p^{15} T^{12} + $$57\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{13} + 23485476893685848128 p^{25} T^{14} + 176605220883648 p^{30} T^{15} + 6847580423 p^{35} T^{16} + 26567 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	71	$ 1 - 78454 T + 9994813401 T^{2} - 661066751932506 T^{3} + 52322480337735347866 T^{4} - $$28\!\cdots\!22$$ T^{5} + $$17\!\cdots\!28$$ T^{6} - $$82\!\cdots\!52$$ T^{7} + $$42\!\cdots\!17$$ T^{8} - $$17\!\cdots\!36$$ T^{9} + $$42\!\cdots\!17$$ p^{5} T^{10} - $$82\!\cdots\!52$$ p^{10} T^{11} + $$17\!\cdots\!28$$ p^{15} T^{12} - $$28\!\cdots\!22$$ p^{20} T^{13} + 52322480337735347866 p^{25} T^{14} - 661066751932506 p^{30} T^{15} + 9994813401 p^{35} T^{16} - 78454 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	73	$ 1 - 100086 T + 17738649209 T^{2} - 1276648484234752 T^{3} + $$12\!\cdots\!48$$ T^{4} - $$73\!\cdots\!80$$ T^{5} + $$54\!\cdots\!60$$ T^{6} - $$25\!\cdots\!28$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!02$$ T^{8} - $$62\!\cdots\!32$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!02$$ p^{5} T^{10} - $$25\!\cdots\!28$$ p^{10} T^{11} + $$54\!\cdots\!60$$ p^{15} T^{12} - $$73\!\cdots\!80$$ p^{20} T^{13} + $$12\!\cdots\!48$$ p^{25} T^{14} - 1276648484234752 p^{30} T^{15} + 17738649209 p^{35} T^{16} - 100086 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	79	$ 1 + 8478 T + 12280336668 T^{2} + 26375638319276 T^{3} + 83075363415546786864 T^{4} + $$36\!\cdots\!74$$ T^{5} + $$41\!\cdots\!29$$ T^{6} - $$73\!\cdots\!04$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!96$$ T^{8} - $$86\!\cdots\!04$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!96$$ p^{5} T^{10} - $$73\!\cdots\!04$$ p^{10} T^{11} + $$41\!\cdots\!29$$ p^{15} T^{12} + $$36\!\cdots\!74$$ p^{20} T^{13} + 83075363415546786864 p^{25} T^{14} + 26375638319276 p^{30} T^{15} + 12280336668 p^{35} T^{16} + 8478 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	83	$ 1 - 157476 T + 29773766160 T^{2} - 3204691473919578 T^{3} + $$38\!\cdots\!89$$ T^{4} - $$32\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$30\!\cdots\!65$$ T^{6} - $$21\!\cdots\!42$$ T^{7} + $$16\!\cdots\!91$$ T^{8} - $$10\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$16\!\cdots\!91$$ p^{5} T^{10} - $$21\!\cdots\!42$$ p^{10} T^{11} + $$30\!\cdots\!65$$ p^{15} T^{12} - $$32\!\cdots\!08$$ p^{20} T^{13} + $$38\!\cdots\!89$$ p^{25} T^{14} - 3204691473919578 p^{30} T^{15} + 29773766160 p^{35} T^{16} - 157476 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	89	$ 1 + 65548 T + 34227705138 T^{2} + 2624626620125446 T^{3} + $$55\!\cdots\!55$$ T^{4} + $$46\!\cdots\!60$$ T^{5} + $$56\!\cdots\!81$$ T^{6} + $$48\!\cdots\!90$$ T^{7} + $$41\!\cdots\!81$$ T^{8} + $$33\!\cdots\!68$$ T^{9} + $$41\!\cdots\!81$$ p^{5} T^{10} + $$48\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{11} + $$56\!\cdots\!81$$ p^{15} T^{12} + $$46\!\cdots\!60$$ p^{20} T^{13} + $$55\!\cdots\!55$$ p^{25} T^{14} + 2624626620125446 p^{30} T^{15} + 34227705138 p^{35} T^{16} + 65548 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
	97	$ 1 + 116757 T + 43988130361 T^{2} + 5079516869456032 T^{3} + $$93\!\cdots\!38$$ T^{4} + $$10\!\cdots\!18$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!30$$ T^{6} + $$13\!\cdots\!76$$ T^{7} + $$15\!\cdots\!87$$ T^{8} + $$12\!\cdots\!63$$ T^{9} + $$15\!\cdots\!87$$ p^{5} T^{10} + $$13\!\cdots\!76$$ p^{10} T^{11} + $$13\!\cdots\!30$$ p^{15} T^{12} + $$10\!\cdots\!18$$ p^{20} T^{13} + $$93\!\cdots\!38$$ p^{25} T^{14} + 5079516869456032 p^{30} T^{15} + 43988130361 p^{35} T^{16} + 116757 p^{40} T^{17} + p^{45} T^{18} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{18} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−3.12465748537970654380809234637, −3.02541371265508746510821935859, −3.02509457878926683147929785115, −2.93393513021399588822127548601, −2.80391247567174423185540641461, −2.68047964634945141536406107424, −2.46430470292177580876184550188, −2.46227655960143822983296687420, −2.43779496716993539424347763022, −2.30054803885194442706689196453, −2.06957901733881829143027855366, −1.85759322402050939944182706613, −1.84254307207695384405165342142, −1.80121942258648731382952959501, −1.53800312597966911769800395298, −1.46825893025117791109804199805, −1.31465515438004407487149419357, −0.899651680860863418024391609277, −0.855302903431712837654789115444, −0.816441402364673517388750810299, −0.74013548805860653409634626621, −0.58679449981948552951240592414, −0.51280603265305702085901559612, −0.42741806365140591765657038175, −0.34951052005703742207162657627, 0.34951052005703742207162657627, 0.42741806365140591765657038175, 0.51280603265305702085901559612, 0.58679449981948552951240592414, 0.74013548805860653409634626621, 0.816441402364673517388750810299, 0.855302903431712837654789115444, 0.899651680860863418024391609277, 1.31465515438004407487149419357, 1.46825893025117791109804199805, 1.53800312597966911769800395298, 1.80121942258648731382952959501, 1.84254307207695384405165342142, 1.85759322402050939944182706613, 2.06957901733881829143027855366, 2.30054803885194442706689196453, 2.43779496716993539424347763022, 2.46227655960143822983296687420, 2.46430470292177580876184550188, 2.68047964634945141536406107424, 2.80391247567174423185540641461, 2.93393513021399588822127548601, 3.02509457878926683147929785115, 3.02541371265508746510821935859, 3.12465748537970654380809234637

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(3)\)	\(\approx\)	\(1063.225777\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(1063.225777\)
\(L(\frac{7}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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