Abelian variety isogeny class 3.16.ag_g_br over $\F_{2^{4}}$

• Label: 3.16.ag_g_br
• Base field: $\F_{2^{4}}$
• Dimension: $3$
• $p$-rank: $3$
• Ordinary: yes
• Supersingular: no
• Simple: no
• Geometrically simple: no
• Primitive: yes
• Principally polarizable: yes
• Contains a Jacobian: yes

Invariants

Base field:	$\F_{2^{4}}$
Dimension:	$3$
L-polynomial:	$( 1 - 5 x + 16 x^{2} )( 1 - x - 15 x^{2} - 16 x^{3} + 256 x^{4} )$
	$1 - 6 x + 6 x^{2} + 43 x^{3} + 96 x^{4} - 1536 x^{5} + 4096 x^{6}$
Frobenius angles:	$\pm0.126773578992$, $\pm0.285098958592$, $\pm0.793440245659$
Angle rank:	$2$ (numerical)
Cyclic group of points:	no
Non-cyclic primes:	$3, 5$

This isogeny class is not simple, primitive, ordinary, and not supersingular. It is principally polarizable and contains a Jacobian.

Newton polygon

This isogeny class is ordinary.

$p$-rank:	$3$
Slopes:	$[0, 0, 0, 1, 1, 1]$

Point counts

Point counts of the abelian variety

$r$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$A(\F_{q^r})$	$2700$	$15384600$	$69087330000$	$285418945350000$	$1152124171115017500$

Point counts of the curve

$r$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$C(\F_{q^r})$	$11$	$233$	$4118$	$66449$	$1047851$	$16784150$	$268427891$	$4294954529$	$68720531918$	$1099512844553$

Jacobians and polarizations

This isogeny class is principally polarizable and contains the Jacobians of 92 hyperelliptic curves, but it is unknown how many Jacobians of non-hyperelliptic curves it contains:

• $y^2+(a^2 x^4+a x) y=x^3+(a^2+a+1) x^2+(a^3+a+1) x+1$
• $y^2+(a^2 x^4+a x) y=(a^2+1) x^3+(a+1) x^2+(a^2+1) x+a^3+a^2+a$
• $y^2+(a^3 x^4+a x) y=(a+1) x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^3+a) x+a^2+a+1$
• $y^2+(a^3 x^4+a x) y=(a^2+1) x^3+a^3 x^2+a^2 x+a^2+1$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+x^3+(a+1) x^2+a^2 x+a^3+a^2+a$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+a x^3+a^2 x^2+a^2 x+1$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+a x^3+(a^2+a+1) x^2+(a^2+1) x+1$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+a x^3+(a^3+a+1) x^2+a^3+a^2+a$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+a x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^3+a) x+a^3+a^2+a$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+1) x^3+a^3 x^2+1$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a) x^3+(a^3+1) x+a^3+1$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a) x^3+(a+1) x^2+(a^3+a^2+a+1) x+a$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a) x^3+a^3 x^2+(a^3+a+1) x+a^3+1$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+a x+a$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a) x^3+(a^3+a+1) x^2+(a^3+a^2+a+1) x+a^3+1$
• $y^2+(a x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2+a) x^3+a^2 x^2+(a^3+a+1) x+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+(a^2+a+1) x^2+a x+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+(a^2+a+1) x^2+(a+1) x+a+1$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^2+a) x^3+(a^2+a+1) x^2+a^3 x+a^3+a^2+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^2+a) x^3+(a^3+a+1) x^2+x+a$
• and

• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^3+a^2+a) x^3+(a^3+a^2) x$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+a^3 x^2+(a^3+a^2+a+1) x$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+x^3+(a+1) x^2+a^3 x+a^3+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+x^3+a^2 x^2+(a^2+a) x+a^3+a^2$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a+1) x^3+x+a+1$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a+1) x^3+(a^2+a+1) x^2+(a^3+a+1) x+a^2+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^2+1) x^3+a^3 x^2+(a^3+a^2+1) x+a^3+a+1$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^2+a) x^3+a^3 x^2+(a^2+1) x+a^3+a+1$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^2+a) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+(a^3+a^2+a) x+a^3+a^2+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^2+a+1) x^3+(a^3+a+1) x^2+(a^3+a^2+a+1) x+a+1$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^2+a+1) x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^3+a^2) x+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^3+1) x^3+(a^2+a+1) x^2+(a^3+1) x+a^2+a$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^3+a^2) x^3+a^2 x^2+(a+1) x$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^3+a^2+a) x^3+(a+1) x^2+x+a^3+a^2$
• $y^2+((a^3+1) x^4+a x^3+a x) y=a x^8+(a^3+a^2+a+1) x^3+a^2 x^2+(a^3+1) x+a^2+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+(a^3+a^2) x^2+a^3 x+a^3$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^3+a) x+a^3+a$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=(a^3+1) x^3+(a+1) x$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=(a^3+a^2+a) x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^2+a+1) x+a^3+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=(a^3+a^2+a) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+a x+a^3+a$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+x^3+(a^2+a+1) x^2+a x+a^2+a$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+a x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^2+a) x+a^2+a+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+a^2 x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^3+a^2) x+a^3$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^2+a) x^3+(a+1) x^2+a^2+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^2+a) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+(a^3+1) x+a^3+a+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^2+a+1) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+(a^3+a^2+a+1) x+a^3$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+a^3 x^3+a^2 x^2+(a^3+a^2) x$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+a^3 x^3+a^3 x^2+a^2 x+a$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^3+a) x^3+(a^3+a^2+a) x+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^3+a) x^3+(a^3+a^2) x^2+x+a^2+a+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^3+a^2) x^3+(a^2+a+1) x^2+a^3 x+a^2+a$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^3+a^2) x^3+(a^3+a+1) x^2+(a^2+1) x$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^3+a^2+1) x^3+(a+1) x^2+(a^2+1) x+a^3+a+1$
• $y^2+(x^4+a x^3+a x) y=a^3 x^8+(a^3+a^2+a+1) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+a x+a^3+a^2+a$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+(a+1) x^2+(a^2+a+1) x+a^2+a+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+(a+1) x^2+(a^3+a^2+1) x+a^3+a^2+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^2+1) x^3+a^3 x$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^3+1) x^3+(a+1) x^2+(a^3+a^2) x+a^2+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^3+1) x^3+(a^3+a+1) x^2+(a^3+a) x+a^3+a^2+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a+1) x^2+a^3 x+a^3$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+x^3+(a^3+a+1) x^2+(a^3+a^2) x+a^3+a^2+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+1) x^3+a x+a^2+a+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+1) x^3+(a+1) x^2+(a^2+a+1) x+a^3+a^2+a$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a) x^3+a^3 x^2+(a^3+a+1) x+a+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a) x^3+(a^3+a+1) x^2+a^3+a^2+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a+1) x^3+(a+1) x^2+(a^3+1) x+a^2+a$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+a^3 x^3+a^2 x^2+(a^2+1) x+a^3+a^2+a+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+a^3 x^3+(a^2+a+1) x^2+a^2 x+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+1) x^3+a^2 x^2+a^3 x+a^3+a^2+a+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a) x^3+a^2 x+a^3+a^2+a$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2) x^3+(a^3+a^2) x^2+x+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+(a^2+a) x+a^3+a+1$
• $y^2+((a^2+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2+a+1) x^3+(a^3+a+1) x^2+x+a^2+a$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+a^3 x^2+x+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=a^2 x^3+a^3 x^2+(a^3+a^2) x+a^3+a^2$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^2+1) x^3+a^3 x^2+(a+1) x+a^2+a$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^2+1) x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+(a^3+a^2+1) x+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=(a^2+a) x^3+(a^2+a+1) x$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a+1) x^2+(a^3+a+1) x$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+1) x^3+(a+1) x^2+(a^3+1) x+a^3+a^2+a+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+1) x^3+(a^3+a+1) x^2+(a^2+a) x+a^2+a$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a) x^3+(a^3+a^2) x^2+(a^3+a^2+1) x+a^2+a+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^2+a+1) x^3+a^2 x^2+(a^3+a^2) x$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+a^3 x^3+(a^2+a+1) x^2+(a^2+a+1) x+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+a^3 x^3+(a^3+a^2+a+1) x^2+(a^3+a+1) x+a^3+a^2$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+1) x^3+(a+1) x^2+(a^3+a) x+a^3+a^2+a+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a+1) x^3+a^2 x^2+(a^3+a^2+a) x+a^3+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2) x^3+(a^3+a^2+1) x+a^3+a^2$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2) x^3+a^3 x^2+(a^3+a^2+a+1) x+a^2+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2+1) x^3+a^2 x^2+(a^2+1) x+a^2+a+1$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2+1) x^3+(a^3+a^2) x^2+(a+1) x+a$
• $y^2+((a^3+a^2+a+1) x^4+a x^3+a x) y=x^8+(a^3+a^2+a) x^3+a^3 x^2+(a^3+a^2+a) x+a^2+1$

where $a$ is a root of the Conway polynomial.

Decomposition and endomorphism algebra

All geometric endomorphisms are defined over $\F_{2^{12}}$.

Endomorphism algebra over $\F_{2^{4}}$

The isogeny class factors as 1.16.af $\times$ 2.16.ab_ap and its endomorphism algebra is a direct product of the endomorphism algebras for each isotypic factor. The endomorphism algebra for each factor is:

• 1.16.af : \(\Q(\sqrt{-39}) \).
• 2.16.ab_ap : \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-7})\).

Endomorphism algebra over $\overline{\F}_{2^{4}}$

The base change of $A$ to $\F_{2^{12}}$ is 1.4096.abv^2 $\times$ 1.4096.el. The endomorphism algebra for each factor is:

• 1.4096.abv^2 : $\mathrm{M}_{2}($\(\Q(\sqrt{-7}) \)$)$
• 1.4096.el : \(\Q(\sqrt{-39}) \).

Base change

This is a primitive isogeny class.

Twists

Below are some of the twists of this isogeny class.

Twist	Extension degree	Common base change
3.16.ae_ae_ed	$2$	(not in LMFDB)
3.16.e_ae_aed	$2$	(not in LMFDB)
3.16.g_g_abr	$2$	(not in LMFDB)
3.16.ad_bn_adx	$3$	(not in LMFDB)