Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 33*x^20 - 44*x^19 + 253*x^18 + 660*x^17 + 1177*x^16 + 2992*x^15 - 2266*x^14 - 27214*x^13 - 75812*x^12 - 258772*x^11 - 808192*x^10 - 1679018*x^9 - 2491038*x^8 - 3007114*x^7 - 3012009*x^6 - 2244528*x^5 - 1081113*x^4 - 281710*x^3 - 22011*x^2 + 4268*x + 561)
gp: K = bnfinit(y^22 - 33*y^20 - 44*y^19 + 253*y^18 + 660*y^17 + 1177*y^16 + 2992*y^15 - 2266*y^14 - 27214*y^13 - 75812*y^12 - 258772*y^11 - 808192*y^10 - 1679018*y^9 - 2491038*y^8 - 3007114*y^7 - 3012009*y^6 - 2244528*y^5 - 1081113*y^4 - 281710*y^3 - 22011*y^2 + 4268*y + 561, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 - 33*x^20 - 44*x^19 + 253*x^18 + 660*x^17 + 1177*x^16 + 2992*x^15 - 2266*x^14 - 27214*x^13 - 75812*x^12 - 258772*x^11 - 808192*x^10 - 1679018*x^9 - 2491038*x^8 - 3007114*x^7 - 3012009*x^6 - 2244528*x^5 - 1081113*x^4 - 281710*x^3 - 22011*x^2 + 4268*x + 561);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 33*x^20 - 44*x^19 + 253*x^18 + 660*x^17 + 1177*x^16 + 2992*x^15 - 2266*x^14 - 27214*x^13 - 75812*x^12 - 258772*x^11 - 808192*x^10 - 1679018*x^9 - 2491038*x^8 - 3007114*x^7 - 3012009*x^6 - 2244528*x^5 - 1081113*x^4 - 281710*x^3 - 22011*x^2 + 4268*x + 561)
\( x^{22} - 33 x^{20} - 44 x^{19} + 253 x^{18} + 660 x^{17} + 1177 x^{16} + 2992 x^{15} - 2266 x^{14} + \cdots + 561 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[14, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(6172475179135960522642404800603172634624\)
\(\medspace = 2^{28}\cdot 7^{10}\cdot 11^{22}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(64.37\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(7\), \(11\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{55\!\cdots\!63}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!15}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!65}{55\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!51}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!60}{55\!\cdots\!63}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!33}{55\!\cdots\!63}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!45}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!10}{42\!\cdots\!51}a+\frac{12\!\cdots\!00}{55\!\cdots\!63}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{23\!\cdots\!60}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!82}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{76\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{96\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!91}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!71}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!96}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!95}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!96}{42\!\cdots\!51}a+\frac{16\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{11\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{92\!\cdots\!40}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!96}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!48}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!96}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!54}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!29}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!21}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!90}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{71\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!49}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!54}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!85}{42\!\cdots\!51}a+\frac{92\!\cdots\!65}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{26\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{82\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!26}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!14}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{56\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!34}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!09}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!60}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!48}{42\!\cdots\!51}a+\frac{13\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{55\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{89\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{95\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{86\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!11}a+\frac{37\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!11}$, $\frac{12\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!11}a+\frac{76\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!11}$, $\frac{37\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!60}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!60}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!22}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!07}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!54}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!78}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!51}a+\frac{11\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{28\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{93\!\cdots\!34}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!88}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{77\!\cdots\!96}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!52}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!25}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!06}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!51}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{80\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!14}{42\!\cdots\!51}a+\frac{17\!\cdots\!72}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{33\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!54}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{90\!\cdots\!54}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{76\!\cdots\!59}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!45}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!07}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!52}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!42}{42\!\cdots\!51}a+\frac{12\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{52\!\cdots\!55}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!21}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!72}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{79\!\cdots\!94}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!68}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!51}a+\frac{28\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{34\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!49}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!65}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{92\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!00}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!90}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!33}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{81\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!56}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!14}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!51}a+\frac{23\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{56\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!59}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!09}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!55}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!10}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!57}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!02}{42\!\cdots\!51}a+\frac{33\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{12\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!03}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!21}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!15}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!25}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{75\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!82}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!51}a+\frac{69\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{71\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{57\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!38}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!46}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!71}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!55}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!91}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!54}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!94}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{84\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!29}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!50}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!51}a+\frac{53\!\cdots\!50}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{17\!\cdots\!25}{42\!\cdots\!51}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!51}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!51}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!53}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!78}{42\!\cdots\!51}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!54}{42\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!40}{42\!\cdots\!51}a^{15}+\frac{31\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!68}{42\!\cdots\!51}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!51}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!84}{42\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!12}{42\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!90}{42\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!58}{42\!\cdots\!51}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!93}{42\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!20}{42\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!59}{42\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!51}a-\frac{58\!\cdots\!18}{42\!\cdots\!51}$, $\frac{34\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!94}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{91\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{80\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!38}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!65}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!44}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{97\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!29}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!92}{42\!\cdots\!51}a+\frac{21\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{60\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!35}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!52}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!94}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!57}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!57}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!10}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{94\!\cdots\!82}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!56}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!30}{42\!\cdots\!51}a+\frac{96\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!63}$, $\frac{17\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!40}{55\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{57\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!63}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!51}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{90\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!63}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!63}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!63}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!14}{55\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!04}{55\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!63}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!28}{55\!\cdots\!63}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!07}{42\!\cdots\!51}a+\frac{27\!\cdots\!04}{55\!\cdots\!63}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 10182928874900 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{14}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 10182928874900 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{6172475179135960522642404800603172634624}}\cr\approx \mathstrut & 1.65482644030311 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 33*x^20 - 44*x^19 + 253*x^18 + 660*x^17 + 1177*x^16 + 2992*x^15 - 2266*x^14 - 27214*x^13 - 75812*x^12 - 258772*x^11 - 808192*x^10 - 1679018*x^9 - 2491038*x^8 - 3007114*x^7 - 3012009*x^6 - 2244528*x^5 - 1081113*x^4 - 281710*x^3 - 22011*x^2 + 4268*x + 561)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^22 - 33*x^20 - 44*x^19 + 253*x^18 + 660*x^17 + 1177*x^16 + 2992*x^15 - 2266*x^14 - 27214*x^13 - 75812*x^12 - 258772*x^11 - 808192*x^10 - 1679018*x^9 - 2491038*x^8 - 3007114*x^7 - 3012009*x^6 - 2244528*x^5 - 1081113*x^4 - 281710*x^3 - 22011*x^2 + 4268*x + 561, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 - 33*x^20 - 44*x^19 + 253*x^18 + 660*x^17 + 1177*x^16 + 2992*x^15 - 2266*x^14 - 27214*x^13 - 75812*x^12 - 258772*x^11 - 808192*x^10 - 1679018*x^9 - 2491038*x^8 - 3007114*x^7 - 3012009*x^6 - 2244528*x^5 - 1081113*x^4 - 281710*x^3 - 22011*x^2 + 4268*x + 561);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 33*x^20 - 44*x^19 + 253*x^18 + 660*x^17 + 1177*x^16 + 2992*x^15 - 2266*x^14 - 27214*x^13 - 75812*x^12 - 258772*x^11 - 808192*x^10 - 1679018*x^9 - 2491038*x^8 - 3007114*x^7 - 3012009*x^6 - 2244528*x^5 - 1081113*x^4 - 281710*x^3 - 22011*x^2 + 4268*x + 561);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^{10}.F_{11}$ (as 22T34):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 112640 |
| The 44 conjugacy class representatives for $C_2^{10}.F_{11}$ |
| Character table for $C_2^{10}.F_{11}$ |
Intermediate fields
| 11.11.4910318845910094848.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 22 sibling: | data not computed |
| Degree 44 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/3.1.0.1}{1} }^{2}$ | $20{,}\,{\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }$ | R | R | ${\href{/padicField/13.5.0.1}{5} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/13.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/23.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/37.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{9}$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }$ | $20{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $22$ | $22$ | $1$ | $28$ | |||
|
\(7\)
| $\Q_{7}$ | $x + 4$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{7}$ | $x + 4$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 7.10.5.1 | $x^{10} + 2401 x^{2} - 67228$ | $2$ | $5$ | $5$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{2}^{5}$ | |
| 7.10.5.1 | $x^{10} + 2401 x^{2} - 67228$ | $2$ | $5$ | $5$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{2}^{5}$ | |
|
\(11\)
| 11.11.11.6 | $x^{11} + 11 x + 11$ | $11$ | $1$ | $11$ | $F_{11}$ | $[11/10]_{10}$ |
| 11.11.11.6 | $x^{11} + 11 x + 11$ | $11$ | $1$ | $11$ | $F_{11}$ | $[11/10]_{10}$ |