Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 44*x^20 - 22*x^19 + 660*x^18 + 704*x^17 - 4048*x^16 - 8448*x^15 + 10516*x^14 + 48312*x^13 - 15180*x^12 - 118720*x^11 + 17776*x^10 + 67408*x^9 + 84392*x^8 + 3696*x^7 - 151976*x^6 - 9328*x^5 + 131648*x^4 + 71104*x^3 + 8976*x^2 - 704*x - 48)
gp: K = bnfinit(y^22 - 44*y^20 - 22*y^19 + 660*y^18 + 704*y^17 - 4048*y^16 - 8448*y^15 + 10516*y^14 + 48312*y^13 - 15180*y^12 - 118720*y^11 + 17776*y^10 + 67408*y^9 + 84392*y^8 + 3696*y^7 - 151976*y^6 - 9328*y^5 + 131648*y^4 + 71104*y^3 + 8976*y^2 - 704*y - 48, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 - 44*x^20 - 22*x^19 + 660*x^18 + 704*x^17 - 4048*x^16 - 8448*x^15 + 10516*x^14 + 48312*x^13 - 15180*x^12 - 118720*x^11 + 17776*x^10 + 67408*x^9 + 84392*x^8 + 3696*x^7 - 151976*x^6 - 9328*x^5 + 131648*x^4 + 71104*x^3 + 8976*x^2 - 704*x - 48);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 44*x^20 - 22*x^19 + 660*x^18 + 704*x^17 - 4048*x^16 - 8448*x^15 + 10516*x^14 + 48312*x^13 - 15180*x^12 - 118720*x^11 + 17776*x^10 + 67408*x^9 + 84392*x^8 + 3696*x^7 - 151976*x^6 - 9328*x^5 + 131648*x^4 + 71104*x^3 + 8976*x^2 - 704*x - 48)
\( x^{22} - 44 x^{20} - 22 x^{19} + 660 x^{18} + 704 x^{17} - 4048 x^{16} - 8448 x^{15} + 10516 x^{14} + \cdots - 48 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[14, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(24689900716543842090569619202412690538496\)
\(\medspace = 2^{30}\cdot 7^{10}\cdot 11^{22}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(68.55\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(7\), \(11\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{9}$, $\frac{1}{2}a^{10}$, $\frac{1}{4}a^{11}$, $\frac{1}{4}a^{12}$, $\frac{1}{4}a^{13}$, $\frac{1}{4}a^{14}$, $\frac{1}{4}a^{15}$, $\frac{1}{4}a^{16}$, $\frac{1}{8}a^{17}$, $\frac{1}{8}a^{18}$, $\frac{1}{8}a^{19}$, $\frac{1}{8}a^{20}$, $\frac{1}{34\!\cdots\!80}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!40}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!16}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!90}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!35}a^{14}-\frac{61\!\cdots\!39}{87\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!35}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!07}{87\!\cdots\!70}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{69\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{80\!\cdots\!04}{43\!\cdots\!35}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!35}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!35}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!35}a-\frac{98\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!35}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{15\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!35}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!45}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!63}{87\!\cdots\!70}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!61}{87\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!09}{87\!\cdots\!70}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!51}{87\!\cdots\!70}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!61}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!73}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!89}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{99\!\cdots\!18}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!36}{43\!\cdots\!35}a-\frac{35\!\cdots\!49}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{14\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!50}{87\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!53}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!35}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!17}{87\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!35}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!07}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!11}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!56}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!35}a-\frac{55\!\cdots\!93}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{14\!\cdots\!87}{87\!\cdots\!70}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{76\!\cdots\!17}{69\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!73}{87\!\cdots\!70}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!47}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!47}{87\!\cdots\!70}a^{12}-\frac{88\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!35}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!93}{87\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!82}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!35}a-\frac{13\!\cdots\!02}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{12\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!33}{87\!\cdots\!70}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!21}{87\!\cdots\!70}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!97}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!35}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!23}{87\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!63}{87\!\cdots\!70}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!53}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!49}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!29}{87\!\cdots\!70}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!34}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!35}a-\frac{41\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{19\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!39}{43\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!35}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!17}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!67}{87\!\cdots\!70}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!53}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!35}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{54\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!35}a-\frac{47\!\cdots\!42}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{25\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{96\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!91}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!45}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!73}{87\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!35}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!63}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!69}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!94}{87\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!79}{87\!\cdots\!70}a^{6}-\frac{90\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!01}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!35}a-\frac{70\!\cdots\!07}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{35\!\cdots\!33}{61\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!05}{61\!\cdots\!32}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!06}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!46}{77\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!75}{30\!\cdots\!16}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!58}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!79}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!58}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!60}{77\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!66}{77\!\cdots\!79}a-\frac{55\!\cdots\!09}{77\!\cdots\!79}$, $\frac{35\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!35}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!08}{43\!\cdots\!35}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!07}{87\!\cdots\!70}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!69}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{97\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!35}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!91}{87\!\cdots\!70}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!13}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!79}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!14}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!61}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!35}a-\frac{54\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{15\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!23}{87\!\cdots\!70}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!45}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!35}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!94}{43\!\cdots\!35}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!73}{87\!\cdots\!70}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!13}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!29}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!62}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{85\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!08}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!35}a-\frac{50\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{44\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!51}{87\!\cdots\!70}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!35}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!35}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!45}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!35}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!31}{87\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{37\!\cdots\!81}{87\!\cdots\!70}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!91}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!23}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!24}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!69}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!83}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!47}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!66}{43\!\cdots\!35}a-\frac{11\!\cdots\!59}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{12\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!17}{87\!\cdots\!70}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!13}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{80\!\cdots\!67}{87\!\cdots\!70}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!04}{43\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!87}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!35}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!11}{87\!\cdots\!70}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!27}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!44}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{42\!\cdots\!17}{43\!\cdots\!35}a-\frac{41\!\cdots\!38}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{18\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!70}{87\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!99}{87\!\cdots\!70}a^{16}-\frac{88\!\cdots\!31}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!86}{43\!\cdots\!35}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!35}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!81}{87\!\cdots\!70}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!87}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!81}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!67}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!21}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!63}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!74}{43\!\cdots\!35}a-\frac{28\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{48\!\cdots\!53}{61\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!65}{30\!\cdots\!16}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!79}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!61}{30\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!39}{77\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!40}{77\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!53}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!75}{30\!\cdots\!16}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{95\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!16}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!58}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!79}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!27}{77\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!79}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!58}{77\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!51}{77\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!76}{77\!\cdots\!79}a+\frac{14\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!79}$, $\frac{20\!\cdots\!69}{69\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!08}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!35}{87\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!54}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!97}{69\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!08}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!41}{40\!\cdots\!78}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!08}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!45}{87\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!09}{87\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!25}{87\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!98}{87\!\cdots\!27}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!70}{87\!\cdots\!27}a^{3}+\frac{69\!\cdots\!37}{87\!\cdots\!27}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!86}{87\!\cdots\!27}a-\frac{31\!\cdots\!73}{87\!\cdots\!27}$, $\frac{75\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{72\!\cdots\!67}{87\!\cdots\!70}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!08}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!36}{43\!\cdots\!35}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!90}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!51}{43\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!35}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!96}{87\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!51}{87\!\cdots\!70}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!12}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!61}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!44}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!35}a-\frac{11\!\cdots\!08}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{62\!\cdots\!31}{43\!\cdots\!35}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!80}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{67\!\cdots\!25}{69\!\cdots\!16}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!45}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!36}{43\!\cdots\!35}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!13}{87\!\cdots\!70}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!19}{43\!\cdots\!35}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!89}{87\!\cdots\!70}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!09}{87\!\cdots\!70}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!35}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!53}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!84}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!01}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!08}{43\!\cdots\!35}a-\frac{10\!\cdots\!47}{43\!\cdots\!35}$, $\frac{50\!\cdots\!93}{87\!\cdots\!70}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{87\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!45}{87\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!97}{87\!\cdots\!70}a^{16}-\frac{98\!\cdots\!03}{40\!\cdots\!80}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!61}{87\!\cdots\!70}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!07}{87\!\cdots\!70}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!27}{87\!\cdots\!70}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!35}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!82}{87\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!35}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!21}{87\!\cdots\!70}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!22}{43\!\cdots\!35}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!56}{43\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!79}{43\!\cdots\!35}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!52}{43\!\cdots\!35}a-\frac{36\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!35}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 16857324277000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{14}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 16857324277000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{24689900716543842090569619202412690538496}}\cr\approx \mathstrut & 1.36974078229615 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - 44*x^20 - 22*x^19 + 660*x^18 + 704*x^17 - 4048*x^16 - 8448*x^15 + 10516*x^14 + 48312*x^13 - 15180*x^12 - 118720*x^11 + 17776*x^10 + 67408*x^9 + 84392*x^8 + 3696*x^7 - 151976*x^6 - 9328*x^5 + 131648*x^4 + 71104*x^3 + 8976*x^2 - 704*x - 48)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^22 - 44*x^20 - 22*x^19 + 660*x^18 + 704*x^17 - 4048*x^16 - 8448*x^15 + 10516*x^14 + 48312*x^13 - 15180*x^12 - 118720*x^11 + 17776*x^10 + 67408*x^9 + 84392*x^8 + 3696*x^7 - 151976*x^6 - 9328*x^5 + 131648*x^4 + 71104*x^3 + 8976*x^2 - 704*x - 48, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 - 44*x^20 - 22*x^19 + 660*x^18 + 704*x^17 - 4048*x^16 - 8448*x^15 + 10516*x^14 + 48312*x^13 - 15180*x^12 - 118720*x^11 + 17776*x^10 + 67408*x^9 + 84392*x^8 + 3696*x^7 - 151976*x^6 - 9328*x^5 + 131648*x^4 + 71104*x^3 + 8976*x^2 - 704*x - 48);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - 44*x^20 - 22*x^19 + 660*x^18 + 704*x^17 - 4048*x^16 - 8448*x^15 + 10516*x^14 + 48312*x^13 - 15180*x^12 - 118720*x^11 + 17776*x^10 + 67408*x^9 + 84392*x^8 + 3696*x^7 - 151976*x^6 - 9328*x^5 + 131648*x^4 + 71104*x^3 + 8976*x^2 - 704*x - 48);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2^{10}.F_{11}$ (as 22T34):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 112640 |
| The 44 conjugacy class representatives for $C_2^{10}.F_{11}$ |
| Character table for $C_2^{10}.F_{11}$ |
Intermediate fields
| 11.11.4910318845910094848.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 22 sibling: | data not computed |
| Degree 44 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/3.1.0.1}{1} }^{2}$ | $20{,}\,{\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }$ | R | R | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/13.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/17.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/17.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/19.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/37.5.0.1}{5} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{9}$ | $20{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/53.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/53.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }$ | $20{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $22$ | $22$ | $1$ | $30$ | |||
|
\(7\)
| $\Q_{7}$ | $x + 4$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{7}$ | $x + 4$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 7.10.5.1 | $x^{10} + 2401 x^{2} - 67228$ | $2$ | $5$ | $5$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{2}^{5}$ | |
| 7.10.5.1 | $x^{10} + 2401 x^{2} - 67228$ | $2$ | $5$ | $5$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{2}^{5}$ | |
|
\(11\)
| 11.11.11.6 | $x^{11} + 11 x + 11$ | $11$ | $1$ | $11$ | $F_{11}$ | $[11/10]_{10}$ |
| 11.11.11.6 | $x^{11} + 11 x + 11$ | $11$ | $1$ | $11$ | $F_{11}$ | $[11/10]_{10}$ |