Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 441*x^19 - 938*x^18 + 74949*x^17 + 303702*x^16 - 5958638*x^15 - 35693127*x^14 + 209014400*x^13 + 1889261640*x^12 - 1478858493*x^11 - 45340006873*x^10 - 78589262157*x^9 + 392624985032*x^8 + 1524423979489*x^7 + 495742766778*x^6 - 5115634476204*x^5 - 7304874384850*x^4 + 1192289177177*x^3 + 7245219154649*x^2 + 2766193463894*x - 330316678789)
gp: K = bnfinit(y^21 - 441*y^19 - 938*y^18 + 74949*y^17 + 303702*y^16 - 5958638*y^15 - 35693127*y^14 + 209014400*y^13 + 1889261640*y^12 - 1478858493*y^11 - 45340006873*y^10 - 78589262157*y^9 + 392624985032*y^8 + 1524423979489*y^7 + 495742766778*y^6 - 5115634476204*y^5 - 7304874384850*y^4 + 1192289177177*y^3 + 7245219154649*y^2 + 2766193463894*y - 330316678789, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 441*x^19 - 938*x^18 + 74949*x^17 + 303702*x^16 - 5958638*x^15 - 35693127*x^14 + 209014400*x^13 + 1889261640*x^12 - 1478858493*x^11 - 45340006873*x^10 - 78589262157*x^9 + 392624985032*x^8 + 1524423979489*x^7 + 495742766778*x^6 - 5115634476204*x^5 - 7304874384850*x^4 + 1192289177177*x^3 + 7245219154649*x^2 + 2766193463894*x - 330316678789);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 441*x^19 - 938*x^18 + 74949*x^17 + 303702*x^16 - 5958638*x^15 - 35693127*x^14 + 209014400*x^13 + 1889261640*x^12 - 1478858493*x^11 - 45340006873*x^10 - 78589262157*x^9 + 392624985032*x^8 + 1524423979489*x^7 + 495742766778*x^6 - 5115634476204*x^5 - 7304874384850*x^4 + 1192289177177*x^3 + 7245219154649*x^2 + 2766193463894*x - 330316678789)
\( x^{21} - 441 x^{19} - 938 x^{18} + 74949 x^{17} + 303702 x^{16} - 5958638 x^{15} - 35693127 x^{14} + \cdots - 330316678789 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(98353367498957471525704156941061377491148627676882129\)
\(\medspace = 7^{38}\cdot 31^{14}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(333.78\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{38/21}31^{2/3}\approx 333.7844912351955$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(31\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(1519=7^{2}\cdot 31\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{1519}(1,·)$, $\chi_{1519}(842,·)$, $\chi_{1519}(459,·)$, $\chi_{1519}(652,·)$, $\chi_{1519}(1493,·)$, $\chi_{1519}(1110,·)$, $\chi_{1519}(1303,·)$, $\chi_{1519}(408,·)$, $\chi_{1519}(25,·)$, $\chi_{1519}(218,·)$, $\chi_{1519}(1059,·)$, $\chi_{1519}(676,·)$, $\chi_{1519}(869,·)$, $\chi_{1519}(1327,·)$, $\chi_{1519}(625,·)$, $\chi_{1519}(242,·)$, $\chi_{1519}(435,·)$, $\chi_{1519}(1276,·)$, $\chi_{1519}(893,·)$, $\chi_{1519}(1086,·)$, $\chi_{1519}(191,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{31}a^{18}+\frac{9}{31}a^{17}-\frac{15}{31}a^{16}+\frac{13}{31}a^{15}+\frac{12}{31}a^{14}-\frac{2}{31}a^{13}+\frac{5}{31}a^{12}+\frac{14}{31}a^{11}-\frac{1}{31}a^{10}-\frac{8}{31}a^{9}+\frac{2}{31}a^{8}-\frac{6}{31}a^{7}-\frac{12}{31}a^{6}+\frac{9}{31}a^{5}+\frac{4}{31}a^{4}+\frac{1}{31}a^{2}+\frac{2}{31}a-\frac{1}{31}$, $\frac{1}{31}a^{19}-\frac{3}{31}a^{17}-\frac{7}{31}a^{16}-\frac{12}{31}a^{15}+\frac{14}{31}a^{14}-\frac{8}{31}a^{13}-\frac{3}{31}a^{11}+\frac{1}{31}a^{10}+\frac{12}{31}a^{9}+\frac{7}{31}a^{8}+\frac{11}{31}a^{7}-\frac{7}{31}a^{6}-\frac{15}{31}a^{5}-\frac{5}{31}a^{4}+\frac{1}{31}a^{3}-\frac{7}{31}a^{2}+\frac{12}{31}a+\frac{9}{31}$, $\frac{1}{18\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{56\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{83\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{85\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a+\frac{44\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!47}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{88\!\cdots\!36}{24\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!92}{24\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!88}{77\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!62}{24\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{60\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!04}{24\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!52}{24\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!72}{24\!\cdots\!87}a-\frac{16\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!87}$, $\frac{27\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!24}{77\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!60}{24\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!48}{24\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{78\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!87}a-\frac{39\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!87}$, $\frac{25\!\cdots\!62}{77\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{93\!\cdots\!42}{77\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!61}{77\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!72}{77\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!55}{77\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!72}{77\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!37}{77\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!86}{77\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!69}{77\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{70\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!86}{77\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!17}{77\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!77}a-\frac{46\!\cdots\!96}{77\!\cdots\!77}$, $\frac{14\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!87}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!07}{24\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!65}{77\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{95\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!16}{24\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{70\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!98}{24\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!18}{24\!\cdots\!87}a-\frac{34\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!87}$, $\frac{56\!\cdots\!56}{24\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!87}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!78}{24\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!74}{77\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!38}{24\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!87}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{43\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!87}a-\frac{10\!\cdots\!60}{24\!\cdots\!87}$, $\frac{17\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!87}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!87}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!87}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!87}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!87}a^{16}+\frac{29\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!87}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!87}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!87}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!87}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!87}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!87}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!87}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!87}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!87}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!87}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!87}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!87}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!87}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!87}a-\frac{14\!\cdots\!32}{24\!\cdots\!87}$, $\frac{57\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{44\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{57\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!33}{60\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!47}a-\frac{11\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{11\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!89}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{53\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!47}a-\frac{50\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{70\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!01}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!47}a-\frac{10\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{19\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{97\!\cdots\!12}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{86\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!71}{18\!\cdots\!47}a+\frac{54\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{21\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!48}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{71\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{79\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{58\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!47}a-\frac{95\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{17\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!46}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{21\!\cdots\!94}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!67}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!47}a+\frac{25\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{61\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!02}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!19}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!96}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!30}{60\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!47}a+\frac{18\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{51\!\cdots\!65}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{93\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!80}{60\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!90}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!47}a-\frac{82\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{70\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!00}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!36}{18\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!47}a+\frac{54\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{70\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!60}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{68\!\cdots\!86}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!70}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!64}{18\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!78}{60\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{43\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!47}a-\frac{51\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{10\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!75}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!95}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{49\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{98\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}a-\frac{13\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{31\!\cdots\!44}{18\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{64\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!92}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!40}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!56}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{93\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{85\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!61}{18\!\cdots\!47}a-\frac{16\!\cdots\!53}{60\!\cdots\!37}$, $\frac{23\!\cdots\!15}{60\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!08}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!85}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{78\!\cdots\!18}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!20}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!16}{18\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!30}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!55}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!84}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!26}{18\!\cdots\!47}a-\frac{76\!\cdots\!06}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{31\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!62}{18\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!98}{18\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!41}{18\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!69}{18\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!32}{18\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{81\!\cdots\!53}{60\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!91}{18\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!24}{18\!\cdots\!47}a+\frac{10\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!47}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 17576256199406360000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 17576256199406360000 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{98353367498957471525704156941061377491148627676882129}}\cr\approx \mathstrut & 0.176300248852732 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 441*x^19 - 938*x^18 + 74949*x^17 + 303702*x^16 - 5958638*x^15 - 35693127*x^14 + 209014400*x^13 + 1889261640*x^12 - 1478858493*x^11 - 45340006873*x^10 - 78589262157*x^9 + 392624985032*x^8 + 1524423979489*x^7 + 495742766778*x^6 - 5115634476204*x^5 - 7304874384850*x^4 + 1192289177177*x^3 + 7245219154649*x^2 + 2766193463894*x - 330316678789)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 441*x^19 - 938*x^18 + 74949*x^17 + 303702*x^16 - 5958638*x^15 - 35693127*x^14 + 209014400*x^13 + 1889261640*x^12 - 1478858493*x^11 - 45340006873*x^10 - 78589262157*x^9 + 392624985032*x^8 + 1524423979489*x^7 + 495742766778*x^6 - 5115634476204*x^5 - 7304874384850*x^4 + 1192289177177*x^3 + 7245219154649*x^2 + 2766193463894*x - 330316678789, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 441*x^19 - 938*x^18 + 74949*x^17 + 303702*x^16 - 5958638*x^15 - 35693127*x^14 + 209014400*x^13 + 1889261640*x^12 - 1478858493*x^11 - 45340006873*x^10 - 78589262157*x^9 + 392624985032*x^8 + 1524423979489*x^7 + 495742766778*x^6 - 5115634476204*x^5 - 7304874384850*x^4 + 1192289177177*x^3 + 7245219154649*x^2 + 2766193463894*x - 330316678789);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 441*x^19 - 938*x^18 + 74949*x^17 + 303702*x^16 - 5958638*x^15 - 35693127*x^14 + 209014400*x^13 + 1889261640*x^12 - 1478858493*x^11 - 45340006873*x^10 - 78589262157*x^9 + 392624985032*x^8 + 1524423979489*x^7 + 495742766778*x^6 - 5115634476204*x^5 - 7304874384850*x^4 + 1192289177177*x^3 + 7245219154649*x^2 + 2766193463894*x - 330316678789);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ |
Intermediate fields
| 3.3.47089.2, 7.7.13841287201.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | ${\href{/padicField/3.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/5.7.0.1}{7} }^{3}$ | R | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/17.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | ${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{3}$ | R | $21$ | $21$ | $21$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{3}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| Deg $21$ | $21$ | $1$ | $38$ | |||
|
\(31\)
| 31.3.2.3 | $x^{3} + 155$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |
| 31.3.2.3 | $x^{3} + 155$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 31.3.2.3 | $x^{3} + 155$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 31.3.2.3 | $x^{3} + 155$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 31.3.2.3 | $x^{3} + 155$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 31.3.2.3 | $x^{3} + 155$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 31.3.2.3 | $x^{3} + 155$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ |