Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 92*x^19 + 320*x^18 + 3272*x^17 - 9934*x^16 - 56698*x^15 + 153364*x^14 + 503792*x^13 - 1226011*x^12 - 2281327*x^11 + 4808330*x^10 + 5496701*x^9 - 8919502*x^8 - 7230861*x^7 + 7111669*x^6 + 4936501*x^5 - 2093106*x^4 - 1493691*x^3 + 73346*x^2 + 122402*x + 12691)
gp: K = bnfinit(y^21 - 4*y^20 - 92*y^19 + 320*y^18 + 3272*y^17 - 9934*y^16 - 56698*y^15 + 153364*y^14 + 503792*y^13 - 1226011*y^12 - 2281327*y^11 + 4808330*y^10 + 5496701*y^9 - 8919502*y^8 - 7230861*y^7 + 7111669*y^6 + 4936501*y^5 - 2093106*y^4 - 1493691*y^3 + 73346*y^2 + 122402*y + 12691, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 4*x^20 - 92*x^19 + 320*x^18 + 3272*x^17 - 9934*x^16 - 56698*x^15 + 153364*x^14 + 503792*x^13 - 1226011*x^12 - 2281327*x^11 + 4808330*x^10 + 5496701*x^9 - 8919502*x^8 - 7230861*x^7 + 7111669*x^6 + 4936501*x^5 - 2093106*x^4 - 1493691*x^3 + 73346*x^2 + 122402*x + 12691);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 92*x^19 + 320*x^18 + 3272*x^17 - 9934*x^16 - 56698*x^15 + 153364*x^14 + 503792*x^13 - 1226011*x^12 - 2281327*x^11 + 4808330*x^10 + 5496701*x^9 - 8919502*x^8 - 7230861*x^7 + 7111669*x^6 + 4936501*x^5 - 2093106*x^4 - 1493691*x^3 + 73346*x^2 + 122402*x + 12691)
\( x^{21} - 4 x^{20} - 92 x^{19} + 320 x^{18} + 3272 x^{17} - 9934 x^{16} - 56698 x^{15} + 153364 x^{14} + \cdots + 12691 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(201828556349525896653055169768510327187913320529\)
\(\medspace = 19^{14}\cdot 43^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(178.90\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $19^{2/3}43^{6/7}\approx 178.90324570144705$ | ||
| Ramified primes: |
\(19\), \(43\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(817=19\cdot 43\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{817}(704,·)$, $\chi_{817}(1,·)$, $\chi_{817}(514,·)$, $\chi_{817}(391,·)$, $\chi_{817}(520,·)$, $\chi_{817}(11,·)$, $\chi_{817}(140,·)$, $\chi_{817}(64,·)$, $\chi_{817}(216,·)$, $\chi_{817}(723,·)$, $\chi_{817}(790,·)$, $\chi_{817}(87,·)$, $\chi_{817}(600,·)$, $\chi_{817}(729,·)$, $\chi_{817}(666,·)$, $\chi_{817}(742,·)$, $\chi_{817}(102,·)$, $\chi_{817}(809,·)$, $\chi_{817}(752,·)$, $\chi_{817}(305,·)$, $\chi_{817}(121,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{8}-\frac{1}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{9}-\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{4}$, $\frac{1}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{5}$, $\frac{1}{7}a^{12}-\frac{1}{7}a^{6}$, $\frac{1}{7}a^{13}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{49}a^{14}-\frac{2}{49}a^{8}+\frac{1}{49}a^{2}$, $\frac{1}{49}a^{15}-\frac{2}{49}a^{9}+\frac{1}{49}a^{3}$, $\frac{1}{49}a^{16}-\frac{2}{49}a^{10}+\frac{1}{49}a^{4}$, $\frac{1}{49}a^{17}-\frac{2}{49}a^{11}+\frac{1}{49}a^{5}$, $\frac{1}{49}a^{18}-\frac{2}{49}a^{12}+\frac{1}{49}a^{6}$, $\frac{1}{12691}a^{19}+\frac{27}{12691}a^{18}+\frac{3}{1813}a^{17}+\frac{71}{12691}a^{16}+\frac{3}{343}a^{15}+\frac{17}{1813}a^{14}-\frac{247}{12691}a^{13}+\frac{758}{12691}a^{12}+\frac{123}{1813}a^{11}+\frac{397}{12691}a^{10}-\frac{390}{12691}a^{9}-\frac{17}{1813}a^{8}-\frac{587}{12691}a^{7}+\frac{1077}{12691}a^{6}+\frac{18}{259}a^{5}-\frac{2036}{12691}a^{4}+\frac{426}{12691}a^{3}-\frac{6}{259}a^{2}-\frac{22}{259}a$, $\frac{1}{98\!\cdots\!59}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!74}{98\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!42}{98\!\cdots\!59}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!12}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!61}{98\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{96\!\cdots\!08}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!30}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!46}{98\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!88}{98\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!90}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{52\!\cdots\!57}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!18}{98\!\cdots\!59}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!07}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!88}{98\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!14}{98\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!91}a-\frac{16\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!49}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $7$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{22\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!96}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!22}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!73}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!95}{37\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!56}{26\!\cdots\!07}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{88\!\cdots\!45}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!91}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!22}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!89}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!82}{14\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!69}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{81\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!91}a+\frac{29\!\cdots\!44}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{18\!\cdots\!14}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!54}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!96}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!76}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!70}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!63}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!86}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!95}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!34}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!52}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!91}a+\frac{87\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{25\!\cdots\!28}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!62}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{76\!\cdots\!16}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!79}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!45}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!72}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!72}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!79}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!60}{98\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!61}{98\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{45\!\cdots\!59}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!35}{98\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!91}a+\frac{99\!\cdots\!84}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{32\!\cdots\!38}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!66}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!05}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!62}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!61}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!20}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!39}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{45\!\cdots\!68}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!46}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!24}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!47}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!20}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!90}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!13}a+\frac{11\!\cdots\!99}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{20\!\cdots\!63}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!72}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!67}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!30}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!60}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!20}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!43}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!33}{26\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!38}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{71\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{40\!\cdots\!52}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!04}{26\!\cdots\!07}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!91}a+\frac{81\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{18\!\cdots\!14}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!54}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!96}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!76}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!70}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!63}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!86}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!95}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!34}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!52}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!91}a+\frac{10\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{55\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!91}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!56}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!13}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!39}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!10}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!22}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!91}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!92}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!86}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!56}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{98\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!91}a+\frac{53\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{19\!\cdots\!48}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!58}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!63}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!45}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!80}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!08}{98\!\cdots\!59}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!79}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!97}{98\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!43}{98\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{75\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!91}a-\frac{56\!\cdots\!26}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{81\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!22}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!24}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!85}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!30}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!03}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!82}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!86}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!13}a+\frac{15\!\cdots\!77}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{30\!\cdots\!05}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!75}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!49}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!67}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!14}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!24}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!39}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!74}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!66}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!91}a+\frac{15\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{13\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!60}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!54}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!88}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!95}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!76}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!60}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!96}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!68}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!73}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!91}a+\frac{75\!\cdots\!72}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{16\!\cdots\!57}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!91}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!12}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!53}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!94}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!91}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!53}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!64}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!66}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!74}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!74}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!12}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!91}a+\frac{10\!\cdots\!88}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{72\!\cdots\!55}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!71}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!98}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!89}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!16}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!08}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!33}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!19}{98\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!80}{98\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!51}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!13}a-\frac{37\!\cdots\!83}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{91\!\cdots\!54}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!56}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!64}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!91}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!79}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!91}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!34}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{94\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{74\!\cdots\!96}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!91}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!91}a+\frac{17\!\cdots\!02}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{52\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!14}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!03}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!85}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{72\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!10}{26\!\cdots\!07}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!07}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!91}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!34}{98\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{83\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!91}a+\frac{17\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{60\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!16}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!99}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{94\!\cdots\!42}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!78}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!39}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!70}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!41}{98\!\cdots\!59}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!46}{98\!\cdots\!59}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!77}{98\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!04}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!91}a+\frac{56\!\cdots\!36}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{17\!\cdots\!22}{14\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!22}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!88}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!12}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!64}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!10}{14\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!44}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!76}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!35}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!84}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!06}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!38}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!13}a+\frac{79\!\cdots\!48}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{11\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!58}{14\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!30}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!26}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!42}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!36}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!30}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!91}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!28}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!07}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!41}{98\!\cdots\!59}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!85}{98\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!91}a+\frac{46\!\cdots\!03}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{21\!\cdots\!30}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!97}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!10}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!92}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!07}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!75}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!32}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!20}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!57}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!38}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!69}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!05}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!95}{98\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!43}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!66}{98\!\cdots\!59}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!20}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!50}{14\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!91}a-\frac{34\!\cdots\!56}{77\!\cdots\!49}$, $\frac{64\!\cdots\!67}{98\!\cdots\!59}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!59}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!68}{98\!\cdots\!59}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!48}{98\!\cdots\!59}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!59}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!82}{98\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!29}{98\!\cdots\!59}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!42}{98\!\cdots\!59}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{84\!\cdots\!53}{98\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!94}{98\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!41}{98\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!59}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!64}{98\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!00}{98\!\cdots\!59}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!40}{98\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!02}{98\!\cdots\!59}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!50}{98\!\cdots\!59}a^{3}-\frac{97\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!91}a+\frac{45\!\cdots\!05}{77\!\cdots\!49}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1907344761740974800 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1907344761740974800 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{201828556349525896653055169768510327187913320529}}\cr\approx \mathstrut & 4.45182216412996 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 92*x^19 + 320*x^18 + 3272*x^17 - 9934*x^16 - 56698*x^15 + 153364*x^14 + 503792*x^13 - 1226011*x^12 - 2281327*x^11 + 4808330*x^10 + 5496701*x^9 - 8919502*x^8 - 7230861*x^7 + 7111669*x^6 + 4936501*x^5 - 2093106*x^4 - 1493691*x^3 + 73346*x^2 + 122402*x + 12691)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 4*x^20 - 92*x^19 + 320*x^18 + 3272*x^17 - 9934*x^16 - 56698*x^15 + 153364*x^14 + 503792*x^13 - 1226011*x^12 - 2281327*x^11 + 4808330*x^10 + 5496701*x^9 - 8919502*x^8 - 7230861*x^7 + 7111669*x^6 + 4936501*x^5 - 2093106*x^4 - 1493691*x^3 + 73346*x^2 + 122402*x + 12691, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 4*x^20 - 92*x^19 + 320*x^18 + 3272*x^17 - 9934*x^16 - 56698*x^15 + 153364*x^14 + 503792*x^13 - 1226011*x^12 - 2281327*x^11 + 4808330*x^10 + 5496701*x^9 - 8919502*x^8 - 7230861*x^7 + 7111669*x^6 + 4936501*x^5 - 2093106*x^4 - 1493691*x^3 + 73346*x^2 + 122402*x + 12691);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 4*x^20 - 92*x^19 + 320*x^18 + 3272*x^17 - 9934*x^16 - 56698*x^15 + 153364*x^14 + 503792*x^13 - 1226011*x^12 - 2281327*x^11 + 4808330*x^10 + 5496701*x^9 - 8919502*x^8 - 7230861*x^7 + 7111669*x^6 + 4936501*x^5 - 2093106*x^4 - 1493691*x^3 + 73346*x^2 + 122402*x + 12691);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ |
Intermediate fields
| 3.3.361.1, 7.7.6321363049.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }^{21}$ | ${\href{/padicField/11.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | R | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{21}$ | $21$ | R | $21$ | $21$ | $21$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(19\)
| 19.21.14.1 | $x^{21} + 665 x^{19} + 133 x^{18} + 189525 x^{17} + 75810 x^{16} + 30015724 x^{15} + 18004926 x^{14} + 2854360880 x^{13} + 2280784282 x^{12} + 163179244662 x^{11} + 162598273530 x^{10} + 5210978665336 x^{9} + 6188148874764 x^{8} + 72937993331237 x^{7} + 98630901083988 x^{6} + 59730852033657 x^{5} + 22142096831645 x^{4} + 33717594518929 x^{3} + 88285859998562 x^{2} + 401490107587136 x + 1274669621345000$ | $3$ | $7$ | $14$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{3}^{7}$ |
|
\(43\)
| 43.21.18.1 | $x^{21} + 7 x^{19} + 280 x^{18} + 21 x^{17} + 1680 x^{16} + 33635 x^{15} + 4329 x^{14} + 168035 x^{13} + 2244095 x^{12} - 61299 x^{11} + 8968113 x^{10} + 90417607 x^{9} + 87127383 x^{8} + 268576228 x^{7} + 2166585785 x^{6} - 1927520658 x^{5} + 4325254703 x^{4} + 28203001190 x^{3} + 11393688901 x^{2} + 28637768474 x + 164611638870$ | $7$ | $3$ | $18$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{7}^{3}$ |