Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - x^20 - 192*x^19 + 277*x^18 + 14834*x^17 - 26598*x^16 - 597785*x^15 + 1210958*x^14 + 13738816*x^13 - 29260009*x^12 - 186891957*x^11 + 392209615*x^10 + 1521281881*x^9 - 2924408106*x^8 - 7272568707*x^7 + 11518541404*x^6 + 19001737751*x^5 - 20453992557*x^4 - 21439276738*x^3 + 9354769810*x^2 + 732657661*x - 357231187)
gp: K = bnfinit(y^21 - y^20 - 192*y^19 + 277*y^18 + 14834*y^17 - 26598*y^16 - 597785*y^15 + 1210958*y^14 + 13738816*y^13 - 29260009*y^12 - 186891957*y^11 + 392209615*y^10 + 1521281881*y^9 - 2924408106*y^8 - 7272568707*y^7 + 11518541404*y^6 + 19001737751*y^5 - 20453992557*y^4 - 21439276738*y^3 + 9354769810*y^2 + 732657661*y - 357231187, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - x^20 - 192*x^19 + 277*x^18 + 14834*x^17 - 26598*x^16 - 597785*x^15 + 1210958*x^14 + 13738816*x^13 - 29260009*x^12 - 186891957*x^11 + 392209615*x^10 + 1521281881*x^9 - 2924408106*x^8 - 7272568707*x^7 + 11518541404*x^6 + 19001737751*x^5 - 20453992557*x^4 - 21439276738*x^3 + 9354769810*x^2 + 732657661*x - 357231187);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - x^20 - 192*x^19 + 277*x^18 + 14834*x^17 - 26598*x^16 - 597785*x^15 + 1210958*x^14 + 13738816*x^13 - 29260009*x^12 - 186891957*x^11 + 392209615*x^10 + 1521281881*x^9 - 2924408106*x^8 - 7272568707*x^7 + 11518541404*x^6 + 19001737751*x^5 - 20453992557*x^4 - 21439276738*x^3 + 9354769810*x^2 + 732657661*x - 357231187)
\( x^{21} - x^{20} - 192 x^{19} + 277 x^{18} + 14834 x^{17} - 26598 x^{16} - 597785 x^{15} + \cdots - 357231187 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(1838975925801931725577355822978754285318753465289\)
\(\medspace = 13^{14}\cdot 43^{20}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(198.75\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $13^{2/3}43^{20/21}\approx 198.75274933826643$ | ||
| Ramified primes: |
\(13\), \(43\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $21$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(559=13\cdot 43\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{559}(1,·)$, $\chi_{559}(68,·)$, $\chi_{559}(391,·)$, $\chi_{559}(74,·)$, $\chi_{559}(139,·)$, $\chi_{559}(146,·)$, $\chi_{559}(274,·)$, $\chi_{559}(152,·)$, $\chi_{559}(380,·)$, $\chi_{559}(282,·)$, $\chi_{559}(224,·)$, $\chi_{559}(425,·)$, $\chi_{559}(170,·)$, $\chi_{559}(365,·)$, $\chi_{559}(178,·)$, $\chi_{559}(183,·)$, $\chi_{559}(185,·)$, $\chi_{559}(315,·)$, $\chi_{559}(508,·)$, $\chi_{559}(445,·)$, $\chi_{559}(126,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{509}a^{19}-\frac{235}{509}a^{18}-\frac{137}{509}a^{17}+\frac{226}{509}a^{16}+\frac{146}{509}a^{15}+\frac{27}{509}a^{14}-\frac{117}{509}a^{13}-\frac{80}{509}a^{12}+\frac{27}{509}a^{11}+\frac{249}{509}a^{10}-\frac{141}{509}a^{9}+\frac{134}{509}a^{8}+\frac{62}{509}a^{7}+\frac{106}{509}a^{6}-\frac{235}{509}a^{5}+\frac{49}{509}a^{4}-\frac{131}{509}a^{3}-\frac{217}{509}a^{2}-\frac{143}{509}a-\frac{214}{509}$, $\frac{1}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!98}{55\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!10}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!38}{55\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{89\!\cdots\!76}{55\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!02}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!49}{55\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!41}a-\frac{21\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!41}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{10\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!26}{32\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!95}{32\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!19}{32\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!62}{32\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!75}{32\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!22}{32\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!44}{32\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!74}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!29}a-\frac{11\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{32\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{46\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!53}{32\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{48\!\cdots\!35}{32\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!14}{32\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!14}{32\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!29}a+\frac{10\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{33\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!72}{32\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!55}{32\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!82}{32\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!90}{32\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!80}{32\!\cdots\!29}a+\frac{35\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{58\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!67}{32\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{29\!\cdots\!38}{32\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{81\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!01}{32\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{73\!\cdots\!34}{32\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{99\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!29}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!68}{32\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!23}{32\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!29}a^{6}-\frac{66\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!56}{32\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!13}{32\!\cdots\!29}a+\frac{34\!\cdots\!41}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{96\!\cdots\!89}{32\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!87}{32\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!84}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!83}{32\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!30}{32\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!29}a+\frac{26\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{50\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{95\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!27}{32\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{92\!\cdots\!02}{32\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!73}{32\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{65\!\cdots\!69}{32\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!97}{32\!\cdots\!29}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!37}{32\!\cdots\!29}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!98}{32\!\cdots\!29}a-\frac{12\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!29}$, $\frac{18\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!65}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!72}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!44}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!22}{55\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!52}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!94}{55\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!98}{55\!\cdots\!41}a+\frac{82\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{21\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!74}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!56}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!93}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{81\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!51}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!22}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!29}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}a-\frac{32\!\cdots\!29}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{11\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!22}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!14}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!72}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!05}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!28}{55\!\cdots\!41}a+\frac{16\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{29\!\cdots\!21}{55\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!65}{55\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!20}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{95\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!56}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!95}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!71}{55\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!50}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!05}{55\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!60}{55\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!41}a-\frac{21\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{72\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!22}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{93\!\cdots\!38}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!09}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!86}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!50}{55\!\cdots\!41}a+\frac{97\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{59\!\cdots\!09}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!55}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!05}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!09}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{87\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!40}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{99\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!15}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!25}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!96}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!25}{55\!\cdots\!41}a+\frac{45\!\cdots\!10}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{30\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!35}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!00}{55\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!34}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!95}{55\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!51}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!59}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!74}{55\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!94}{55\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!41}a-\frac{19\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{67\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!83}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!80}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!04}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!78}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!38}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!06}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!22}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!34}{55\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!14}{55\!\cdots\!41}a+\frac{75\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{18\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!06}{55\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!56}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!75}{55\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!58}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!72}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!77}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!44}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!55}{55\!\cdots\!41}a+\frac{94\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{81\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!99}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!25}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!68}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!71}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!10}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!82}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!48}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!00}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!44}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!07}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!08}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!41}a-\frac{14\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{20\!\cdots\!98}{55\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!50}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!29}{55\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!42}{55\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!91}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!32}{55\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!05}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!46}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{97\!\cdots\!00}{55\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!88}{55\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!69}{55\!\cdots\!41}a+\frac{35\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{55\!\cdots\!49}{55\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!07}{55\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!51}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!00}{55\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!17}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!06}{55\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{98\!\cdots\!65}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!78}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!74}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!70}{55\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!56}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!41}a+\frac{80\!\cdots\!74}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{31\!\cdots\!14}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!18}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!81}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!10}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!72}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!39}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!94}{55\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{41\!\cdots\!09}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!84}{55\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!16}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!95}{55\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!01}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!34}{55\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!26}{55\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!91}{55\!\cdots\!41}a-\frac{11\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!41}$, $\frac{52\!\cdots\!64}{55\!\cdots\!41}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!37}{55\!\cdots\!41}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!40}{55\!\cdots\!41}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!36}{55\!\cdots\!41}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!50}{55\!\cdots\!41}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!24}{55\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!97}{55\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!44}{55\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!62}{55\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!06}{55\!\cdots\!41}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!30}{55\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!92}{55\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!41}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!12}{55\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{96\!\cdots\!13}{55\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!51}{55\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!66}{55\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!28}{55\!\cdots\!41}a+\frac{69\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!41}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 47107157976503970 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 47107157976503970 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{1838975925801931725577355822978754285318753465289}}\cr\approx \mathstrut & 0.109274807385827 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - x^20 - 192*x^19 + 277*x^18 + 14834*x^17 - 26598*x^16 - 597785*x^15 + 1210958*x^14 + 13738816*x^13 - 29260009*x^12 - 186891957*x^11 + 392209615*x^10 + 1521281881*x^9 - 2924408106*x^8 - 7272568707*x^7 + 11518541404*x^6 + 19001737751*x^5 - 20453992557*x^4 - 21439276738*x^3 + 9354769810*x^2 + 732657661*x - 357231187)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - x^20 - 192*x^19 + 277*x^18 + 14834*x^17 - 26598*x^16 - 597785*x^15 + 1210958*x^14 + 13738816*x^13 - 29260009*x^12 - 186891957*x^11 + 392209615*x^10 + 1521281881*x^9 - 2924408106*x^8 - 7272568707*x^7 + 11518541404*x^6 + 19001737751*x^5 - 20453992557*x^4 - 21439276738*x^3 + 9354769810*x^2 + 732657661*x - 357231187, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - x^20 - 192*x^19 + 277*x^18 + 14834*x^17 - 26598*x^16 - 597785*x^15 + 1210958*x^14 + 13738816*x^13 - 29260009*x^12 - 186891957*x^11 + 392209615*x^10 + 1521281881*x^9 - 2924408106*x^8 - 7272568707*x^7 + 11518541404*x^6 + 19001737751*x^5 - 20453992557*x^4 - 21439276738*x^3 + 9354769810*x^2 + 732657661*x - 357231187);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - x^20 - 192*x^19 + 277*x^18 + 14834*x^17 - 26598*x^16 - 597785*x^15 + 1210958*x^14 + 13738816*x^13 - 29260009*x^12 - 186891957*x^11 + 392209615*x^10 + 1521281881*x^9 - 2924408106*x^8 - 7272568707*x^7 + 11518541404*x^6 + 19001737751*x^5 - 20453992557*x^4 - 21439276738*x^3 + 9354769810*x^2 + 732657661*x - 357231187);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 21 |
| The 21 conjugacy class representatives for $C_{21}$ |
| Character table for $C_{21}$ |
Intermediate fields
| 3.3.312481.1, 7.7.6321363049.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/7.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | R | $21$ | ${\href{/padicField/19.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | R | ${\href{/padicField/47.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(13\)
| 13.21.14.3 | $x^{21} - 13182 x^{12} + 43441281 x^{3} + 7592570557$ | $3$ | $7$ | $14$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{3}^{7}$ |
|
\(43\)
| 43.21.20.8 | $x^{21} + 301$ | $21$ | $1$ | $20$ | $C_{21}$ | $[\ ]_{21}$ |