LMFDB - Newform orbit 2442.4.a.n

Show commands: Magma / Pari/GP / SageMath

Newspace parameters

comment:Compute space of new eigenforms

gp:[N,k,chi] = [2442,4,Mod(1,2442)] mf = mfinit([N,k,chi],0) lf = mfeigenbasis(mf)

sage:from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter H = DirichletGroup(2442, base_ring=CyclotomicField(2)) chi = DirichletCharacter(H, H._module([0, 0, 0])) N = Newforms(chi, 4, names="a")

magma://Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code chi := DirichletCharacter("2442.1"); S:= CuspForms(chi, 4); N := Newforms(S);

Level:	$ N $	$=$	$ 2442 = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 37 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 4 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	2442.a (trivial)

Newform invariants

comment:select newform

sage:traces = [12,-24,-36,48,-10] f = next(g for g in N if [g.coefficient(i+1).trace() for i in range(5)] == traces)

gp:f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	yes
Analytic conductor:	$144.082664234$
Analytic rank:	$1$
Dimension:	$12$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{12} - \cdots)$
comment:defining polynomial gp:f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{12} - 2 x^{11} - 849 x^{10} + 1205 x^{9} + 248360 x^{8} - 397682 x^{7} - 29936318 x^{6} + \cdots - 37088275010 $ x^12 - 2x^11 - 849x^10 + 1205x^9 + 248360x^8 - 397682x^7 - 29936318x^6 + 69190668x^5 + 1339839809x^4 - 4379648628x^3 - 15280838921x^2 + 65348896151*x - 37088275010
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{19}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{4}\cdot 5 $
Twist minimal:	yes
Fricke sign:	$-1$
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)$

$q$-expansion

comment:q-expansion

sage:f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp:mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{11}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q - 2 q^{2} - 3 q^{3} + 4 q^{4} + (\beta_1 - 1) q^{5} + 6 q^{6} + (\beta_{3} - 2) q^{7} - 8 q^{8} + 9 q^{9} + ( - 2 \beta_1 + 2) q^{10} + 11 q^{11} - 12 q^{12} + (\beta_{10} + 1) q^{13} + ( - 2 \beta_{3} + 4) q^{14}+ \cdots + 99 q^{99}+O(q^{100}) $ q - 2 * q^2 - 3 * q^3 + 4 * q^4 + (b1 - 1) * q^5 + 6 * q^6 + (b3 - 2) * q^7 - 8 * q^8 + 9 * q^9 + (-2b1 + 2) q^10 + 11 * q^11 - 12 * q^12 + (b10 + 1) * q^13 + (-2b3 + 4) q^14 + (-3b1 + 3) q^15 + 16 * q^16 + (b7 - b4 + b1 - 1) * q^17 - 18 * q^18 + (b8 + b6 - 2b1) q^19 + (4b1 - 4) q^20 + (-3b3 + 6) q^21 - 22 * q^22 + (-b10 + b9 - b7 - b6 + b3 - b2 + 2b1 - 18) q^23 + 24 * q^24 + (b11 + b10 - b9 - b8 - b7 + b6 + b4 + b3 - b1 + 18) * q^25 + (-2b10 - 2) q^26 - 27 * q^27 + (4b3 - 8) q^28 + (-b10 - b8 - b6 + 2b5 + b4 - 2b3 + b2 + 3b1 - 8) q^29 + (6b1 - 6) q^30 + (-2b11 - 2b10 - b8 - b6 - 2b5 + 2b4 + 3b3 + b2 + 3b1 + 2) * q^31 - 32 * q^32 - 33 * q^33 + (-2b7 + 2b4 - 2b1 + 2) q^34 + (-b11 - 2b10 - b9 - 3b6 - 2b5 - 4b3 + 2b2 - 2b1 - 47) * q^35 + 36 * q^36 - 37 * q^37 + (-2b8 - 2b6 + 4b1) q^38 + (-3b10 - 3) q^39 + (-8b1 + 8) q^40 + (-3b10 - b9 + b8 + b6 + b5 - 3b4 - 2b2 + 2b1 + 15) * q^41 + (6b3 - 12) q^42 + (2b11 - b10 + b8 - 2b6 + 2b5 + b4 + b3 - b2 - 9b1 - 36) * q^43 + 44 * q^44 + (9b1 - 9) q^45 + (2b10 - 2b9 + 2b7 + 2b6 - 2b3 + 2b2 - 4b1 + 36) q^46 + (2b10 + b9 - 3b8 + b6 - b5 - 8b3 + 2b2 + b1 - 20) * q^47 - 48 * q^48 + (-b11 + 3b9 + b8 + b7 + 5b6 + 3b5 - 2b4 - 8b3 - 4b2 - 13b1 + 44) q^49 + (-2b11 - 2b10 + 2b9 + 2b8 + 2b7 - 2b6 - 2b4 - 2b3 + 2b1 - 36) q^50 + (-3b7 + 3b4 - 3b1 + 3) q^51 + (4b10 + 4) q^52 + (4b11 + 6b10 - 3b9 + 3b8 + 4b6 - 6b5 + 2b4 - 6b3 + b2 + 8b1 - 34) q^53 + 54 * q^54 + (11b1 - 11) q^55 + (-8b3 + 16) q^56 + (-3b8 - 3b6 + 6b1) q^57 + (2b10 + 2b8 + 2b6 - 4b5 - 2b4 + 4b3 - 2b2 - 6b1 + 16) * q^58 + (-3b10 + 5b9 + 3b8 - b7 + 2b5 + 2b4 - 9b3 - 3b2 - 50) q^59 + (-12b1 + 12) q^60 + (b11 + 5b10 - 3b9 - 6b7 + 3b6 - 6b3 + 2b2 - 2b1 + 60) q^61 + (4b11 + 4b10 + 2b8 + 2b6 + 4b5 - 4b4 - 6b3 - 2b2 - 6b1 - 4) q^62 + (9b3 - 18) q^63 + 64 * q^64 + (-5b11 - 5b10 + 3b9 - 2b8 + 4b7 - 3b6 + 8b5 - 4b4 - 12b3 - 2b2 - 12b1 - 76) q^65 + 66 * q^66 + (2b11 - 2b10 + 3b9 + 2b8 + 4b7 + 3b6 - b5 - 4b4 - 4b3 + 3b2 - 29b1 - 15) * q^67 + (4b7 - 4b4 + 4b1 - 4) q^68 + (3b10 - 3b9 + 3b7 + 3b6 - 3b3 + 3b2 - 6b1 + 54) q^69 + (2b11 + 4b10 + 2b9 + 6b6 + 4b5 + 8b3 - 4b2 + 4b1 + 94) * q^70 + (b11 - b10 + 2b9 + b8 + 6b6 + b5 - 12b3 - 6b2 - 25b1 + 88) q^71 - 72 * q^72 + (-2b10 - 2b9 - b8 + b7 - 9b6 - b5 - 3b4 - 11b3 - b2 - 30b1 - 27) * q^73 + 74 * q^74 + (-3b11 - 3b10 + 3b9 + 3b8 + 3b7 - 3b6 - 3b4 - 3b3 + 3b1 - 54) q^75 + (4b8 + 4b6 - 8b1) q^76 + (11b3 - 22) q^77 + (6b10 + 6) q^78 + (-2b11 + 5b10 - 4b9 - 2b8 - 4b7 - 6b6 - 4b5 + 3b4 - 15b3 + 6b2 - 19b1 + 95) q^79 + (16b1 - 16) q^80 + 81 * q^81 + (6b10 + 2b9 - 2b8 - 2b6 - 2b5 + 6b4 + 4b2 - 4b1 - 30) * q^82 + (5b11 + 7b10 - 11b9 - b8 - 5b7 + b6 - 4b5 + 5b4 + 9b3 + 2b2 + 5b1 - 55) q^83 + (-12b3 + 24) q^84 + (b11 + b10 - b9 + 5b8 + 13b7 - 3b6 - 7b5 - 3b4 - 9b3 - 24b1 + 100) q^85 + (-4b11 + 2b10 - 2b8 + 4b6 - 4b5 - 2b4 - 2b3 + 2b2 + 18b1 + 72) q^86 + (3b10 + 3b8 + 3b6 - 6b5 - 3b4 + 6b3 - 3b2 - 9b1 + 24) * q^87 - 88 * q^88 + (-4b11 - 5b9 - 9b8 + b6 + 6b4 - 4b3 + 2b2 - 19b1 + 138) q^89 + (-18b1 + 18) q^90 + (-7b11 - 4b10 - b9 - 6b8 - 6b7 - 10b6 + 3b4 + 9b3 + b2 - 15b1 + 122) * q^91 + (-4b10 + 4b9 - 4b7 - 4b6 + 4b3 - 4b2 + 8b1 - 72) q^92 + (6b11 + 6b10 + 3b8 + 3b6 + 6b5 - 6b4 - 9b3 - 3b2 - 9b1 - 6) q^93 + (-4b10 - 2b9 + 6b8 - 2b6 + 2b5 + 16b3 - 4b2 - 2b1 + 40) * q^94 + (-4b11 - 7b10 + 2b9 + 2b7 - 7b6 - 2b5 - b4 - 7b3 + 7b2 - 29b1 - 162) q^95 + 96 * q^96 + (-2b11 - 4b10 + 3b9 - 2b8 + 4b7 - 3b6 - 4b5 - 2b4 - 10b3 + 9b2 - 20b1 + 38) q^97 + (2b11 - 6b9 - 2b8 - 2b7 - 10b6 - 6b5 + 4b4 + 16b3 + 8b2 + 26b1 - 88) * q^98 + 99 * q^99
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 12 q - 24 q^{2} - 36 q^{3} + 48 q^{4} - 10 q^{5} + 72 q^{6} - 25 q^{7} - 96 q^{8} + 108 q^{9} + 20 q^{10} + 132 q^{11} - 144 q^{12} + 12 q^{13} + 50 q^{14} + 30 q^{15} + 192 q^{16} - 10 q^{17} - 216 q^{18}+ \cdots + 1188 q^{99}+O(q^{100}) $ 12 * q - 24 * q^2 - 36 * q^3 + 48 * q^4 - 10 * q^5 + 72 * q^6 - 25 * q^7 - 96 * q^8 + 108 * q^9 + 20 * q^10 + 132 * q^11 - 144 * q^12 + 12 * q^13 + 50 * q^14 + 30 * q^15 + 192 * q^16 - 10 * q^17 - 216 * q^18 - 9 * q^19 - 40 * q^20 + 75 * q^21 - 264 * q^22 - 201 * q^23 + 288 * q^24 + 210 * q^25 - 24 * q^26 - 324 * q^27 - 100 * q^28 - 84 * q^29 - 60 * q^30 + 10 * q^31 - 384 * q^32 - 396 * q^33 + 20 * q^34 - 565 * q^35 + 432 * q^36 - 444 * q^37 + 18 * q^38 - 36 * q^39 + 80 * q^40 + 215 * q^41 - 150 * q^42 - 434 * q^43 + 528 * q^44 - 90 * q^45 + 402 * q^46 - 256 * q^47 - 576 * q^48 + 519 * q^49 - 420 * q^50 + 30 * q^51 + 48 * q^52 - 448 * q^53 + 648 * q^54 - 110 * q^55 + 200 * q^56 + 27 * q^57 + 168 * q^58 - 588 * q^59 + 120 * q^60 + 735 * q^61 - 20 * q^62 - 225 * q^63 + 768 * q^64 - 859 * q^65 + 792 * q^66 - 288 * q^67 - 40 * q^68 + 603 * q^69 + 1130 * q^70 + 1019 * q^71 - 864 * q^72 - 309 * q^73 + 888 * q^74 - 630 * q^75 - 36 * q^76 - 275 * q^77 + 72 * q^78 + 1116 * q^79 - 160 * q^80 + 972 * q^81 - 430 * q^82 - 662 * q^83 + 300 * q^84 + 1093 * q^85 + 868 * q^86 + 252 * q^87 - 1056 * q^88 + 1603 * q^89 + 180 * q^90 + 1502 * q^91 - 804 * q^92 - 30 * q^93 + 512 * q^94 - 2017 * q^95 + 1152 * q^96 + 349 * q^97 - 1038 * q^98 + 1188 * q^99

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{12} - 2 x^{11} - 849 x^{10} + 1205 x^{9} + 248360 x^{8} - 397682 x^{7} - 29936318 x^{6} + \cdots - 37088275010 $ x^12 - 2*x^11 - 849*x^10 + 1205*x^9 + 248360*x^8 - 397682*x^7 - 29936318*x^6 + 69190668*x^5 + 1339839809*x^4 - 4379648628*x^3 - 15280838921*x^2 + 65348896151*x - 37088275010 :

$\beta_{1}$	$=$	$ \nu $ v
$\beta_{2}$	$=$	$ ( - 20\!\cdots\!73 \nu^{11} + \cdots - 16\!\cdots\!02 ) / 76\!\cdots\!08 $ (-201974064843533037769130851956273v^11 + 998417052932161338511271766822877v^10 + 171667211126430624525190513391999218v^9 - 662030972998747993082577337985471435v^8 - 50964180170799725533959256465718525391v^7 + 163272111506099851658448865127044770983v^6 + 6341371236027051932077988766341139175409v^5 - 16640456461587562689665441781274548800343v^4 - 306310856245116562048609757095398024334388v^3 + 478224360927497621106246732364218644742048v^2 + 4426023485547730879529144463833213193209641*v - 1663711466978611835307257630815919171865402) / 76466369511990634061160902675737777153408
$\beta_{3}$	$=$	$ ( - 61\!\cdots\!55 \nu^{11} + \cdots - 11\!\cdots\!82 ) / 15\!\cdots\!16 $ (-613930715662166426206919794610055v^11 - 426274946897242313205101905298709v^10 + 517798640891743712189872597834811150v^9 + 661987088325228723327156629492267667v^8 - 148747057552743809884437021628085295481v^7 - 160066778541672470333400599144397400127v^6 + 17374662950461419818810356666783624446839v^5 + 5238274029637497280680213256222874080703v^4 - 743664769799946258500749598653188809457996v^3 + 546866092979573412483809208801216007602992v^2 + 8871738500957623128114227038794132356079471*v - 11024497592066645495287053213099324436763382) / 152932739023981268122321805351475554306816
$\beta_{4}$	$=$	$ ( - 13\!\cdots\!89 \nu^{11} + \cdots - 30\!\cdots\!30 ) / 15\!\cdots\!16 $ (-1335700318204374462019710905695189v^11 - 819820209210704532970688936400767v^10 + 1149742170447834622463474263256095722v^9 + 1251622122642989545008268753902255673v^8 - 341119760950510577343185606428601748459v^7 - 281764292526429983802763357505691479805v^6 + 42072441010045212508317615623882471855653v^5 + 4243513692993909516736011022524555504061v^4 - 1981323307158419463266931642408577233940260v^3 + 1379440815328748297110417862426781680947984v^2 + 25524627108675927819199042235410898346816717*v - 30708487707452955545814791306607265418069730) / 152932739023981268122321805351475554306816
$\beta_{5}$	$=$	$ ( 10\!\cdots\!73 \nu^{11} + \cdots + 47\!\cdots\!26 ) / 76\!\cdots\!08 $ (1025909123213062847193228171032273v^11 + 2694298276332130839587563033958883v^10 - 863097069885780167268669122435515074v^9 - 2731531212982047376009563111569773829v^8 + 245168043776648184052050975819343126847v^7 + 715298902953058303869858933440350610617v^6 - 27986557710892291547509638371699884817809v^5 - 57220823733818639919477212169056423406873v^4 + 1141370494313056877638576212717683598852484v^3 + 806138171882888594637753717274759439513952v^2 - 12102977502167327962090876875430407012357721*v + 4761052115224890574450828879459599997036826) / 76466369511990634061160902675737777153408
$\beta_{6}$	$=$	$ ( - 40\!\cdots\!83 \nu^{11} + \cdots - 24\!\cdots\!90 ) / 19\!\cdots\!52 $ (-407410579903448827198912368952783v^11 - 778782765409301097785000596147825v^10 + 342650716463131989884665432284105234v^9 + 867908243815866811587978511624335447v^8 - 97815417744522497872113753210346158817v^7 - 232432853728515053566607869117454848687v^6 + 11339187603429403628853359868484325938123v^5 + 18517503481121243390791797835909444842579v^4 - 484021700888825361475747587672413545180676v^3 - 257848608038625224477670258053143167106716v^2 + 5808557656551249126455633877509722349857551*v - 2433819738512589579501656414643945192097990) / 19116592377997658515290225668934444288352
$\beta_{7}$	$=$	$ ( - 57\!\cdots\!45 \nu^{11} + \cdots - 72\!\cdots\!34 ) / 21\!\cdots\!88 $ (-570657867979708370494671256543845v^11 - 1050227795068012630667645092407247v^10 + 480626654987119097673257534823496362v^9 + 1150255395689534828915099106804707881v^8 - 137385013693926029263589833838791413851v^7 - 295413523392348258866357425975788857229v^6 + 15945010050968567537559320478377312546005v^5 + 20657871575531196829225783934502107535597v^4 - 680661434249228432099043567317598846562340v^3 - 34918352293368867220442725131107361556752v^2 + 8217492518514022489861683111178749752829021*v - 7206723888764056195929868355823144917842434) / 21847534146283038303188829335925079186688
$\beta_{8}$	$=$	$ ( 87\!\cdots\!71 \nu^{11} + \cdots + 92\!\cdots\!86 ) / 21\!\cdots\!88 $ (870887444922043037512474418090871v^11 + 1712987394208897873869902289761605v^10 - 729845040093220727408137912893548622v^9 - 1870879941111959999710805366544008355v^8 + 206930651656604672836082355451160035977v^7 + 488811310001956165586495799550399592879v^6 - 23684334327939438793316186054831858504647v^5 - 36304950416414819705569954876275338217615v^4 + 984470023787983037632457000733582685915724v^3 + 248442765697735914026440991003519249374000v^2 - 11250682608208549697650066036607060019669983*v + 9277452589138522222359061961113783191625686) / 21847534146283038303188829335925079186688
$\beta_{9}$	$=$	$ ( 92\!\cdots\!61 \nu^{11} + \cdots + 94\!\cdots\!98 ) / 20\!\cdots\!84 $ (92794340017038536358443479778761v^11 + 206512618983239854361734597318523v^10 - 78033362650578709596973794987693746v^9 - 217597683316368084626510497846107549v^8 + 22235381415812268363088408772154440119v^7 + 56756152013299611142738411661392351633v^6 - 2570326103051712282164536213321817741305v^5 - 4325866445626245296043769940733956073905v^4 + 109773097048756148651231773335750851184564v^3 + 40167997310973290046753216295112467210064v^2 - 1367080448124109903888684837934627908069601*v + 948462769693886854482623443354160710691498) / 2066658635459206325977321693938858841984
$\beta_{10}$	$=$	$ ( - 63\!\cdots\!63 \nu^{11} + \cdots - 56\!\cdots\!34 ) / 76\!\cdots\!08 $ (-6340917671773857399414012574375863v^11 - 13032459530268695917227926825739269v^10 + 5331241658316649844347155008511251566v^9 + 13919585482269734818317080670698309507v^8 - 1518273899796893356834421856804031712617v^7 - 3600172531120750453019300981170758809839v^6 + 175037406040178975320466685742912786150535v^5 + 265331060925744439528149317536113395389039v^4 - 7385757860999957636478710547715084533759276v^3 - 1991599123491181234188171342947002324942000v^2 + 87789102126202745456869568244968362688532991*v - 56646322952226978483876056367730080571824534) / 76466369511990634061160902675737777153408
$\beta_{11}$	$=$	$ ( 13\!\cdots\!65 \nu^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!22 ) / 76\!\cdots\!08 $ (13429569608249520332147697217568365v^11 + 26731263669332846694047904922705911v^10 - 11295113695781734930372601905982977450v^9 - 28921323254701418427802567738286443937v^8 + 3220587825281039723874683133886764331699v^7 + 7527689359194575180155619974948277229749v^6 - 372307409216461309834680980772681305337805v^5 - 558963803142808872510848707122487571673285v^4 + 15809273357224060562728064149314346667746820v^3 + 4369857818424808306913762675693916820379520v^2 - 189496123821259419741550578537365823749083301*v + 118730543015318911994108001128825572165675922) / 76466369511990634061160902675737777153408

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ \beta_1 $ b1
$\nu^{2}$	$=$	$ \beta_{11} + \beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} - \beta_{7} + \beta_{6} + \beta_{4} + \beta_{3} + \beta _1 + 142 $ b11 + b10 - b9 - b8 - b7 + b6 + b4 + b3 + b1 + 142
$\nu^{3}$	$=$	$ - 2 \beta_{11} - \beta_{10} + 2 \beta_{9} - 11 \beta_{8} - 21 \beta_{7} - 6 \beta_{6} + 12 \beta_{4} + \cdots + 72 $ -2b11 - b10 + 2b9 - 11b8 - 21b7 - 6b6 + 12b4 - 10b3 - 2b2 + 265*b1 + 72
$\nu^{4}$	$=$	$ 331 \beta_{11} + 397 \beta_{10} - 321 \beta_{9} - 346 \beta_{8} - 610 \beta_{7} + 384 \beta_{6} + \cdots + 37504 $ 331b11 + 397b10 - 321b9 - 346b8 - 610b7 + 384b6 + 60b5 + 398b4 + 566b3 - 71b2 + 1076*b1 + 37504
$\nu^{5}$	$=$	$ 48 \beta_{11} + 816 \beta_{10} - 941 \beta_{9} - 5480 \beta_{8} - 12262 \beta_{7} - 2171 \beta_{6} + \cdots + 115686 $ 48b11 + 816b10 - 941b9 - 5480b8 - 12262b7 - 2171b6 + 124b5 + 6286b4 - 1332b3 - 481b2 + 85007*b1 + 115686
$\nu^{6}$	$=$	$ 105738 \beta_{11} + 137075 \beta_{10} - 112083 \beta_{9} - 130489 \beta_{8} - 293425 \beta_{7} + \cdots + 11770404 $ 105738b11 + 137075b10 - 112083b9 - 130489b8 - 293425b7 + 125030b6 + 27856b5 + 158628b4 + 267154b3 - 43566b2 + 657604*b1 + 11770404
$\nu^{7}$	$=$	$ 375461 \beta_{11} + 778238 \beta_{10} - 939288 \beta_{9} - 2439061 \beta_{8} - 5877269 \beta_{7} + \cdots + 75643084 $ 375461b11 + 778238b10 - 939288b9 - 2439061b8 - 5877269b7 - 580890b6 - 13432b5 + 2863884b4 + 762802b3 - 134545b2 + 30158737*b1 + 75643084
$\nu^{8}$	$=$	$ 35691474 \beta_{11} + 48166103 \beta_{10} - 42364748 \beta_{9} - 52392630 \beta_{8} - 131360504 \beta_{7} + \cdots + 4073008690 $ 35691474b11 + 48166103b10 - 42364748b9 - 52392630b8 - 131360504b7 + 41005066b6 + 9954800b5 + 64866125b4 + 114437597b3 - 19520384b2 + 336558691*b1 + 4073008690
$\nu^{9}$	$=$	$ 264658682 \beta_{11} + 452050663 \beta_{10} - 540096933 \beta_{9} - 1052925686 \beta_{8} + \cdots + 39969645396 $ 264658682b11 + 452050663b10 - 540096933b9 - 1052925686b8 - 2646661514b7 - 111435894b6 - 28749620b5 + 1259643593b4 + 761886373b3 - 63338408b2 + 11419079422*b1 + 39969645396
$\nu^{10}$	$=$	$ 12830051130 \beta_{11} + 17723520144 \beta_{10} - 16816778042 \beta_{9} - 21766724675 \beta_{8} + \cdots + 1509762156386 $ 12830051130b11 + 17723520144b10 - 16816778042b9 - 21766724675b8 - 57238234267b7 + 13866036812b6 + 3318252884b5 + 27036008817b4 + 47249554895b3 - 7909595964b2 + 159276220829*b1 + 1509762156386
$\nu^{11}$	$=$	$ 141752574614 \beta_{11} + 225184284541 \beta_{10} - 265414235203 \beta_{9} - 450067354347 \beta_{8} + \cdots + 19273746097616 $ 141752574614b11 + 225184284541b10 - 265414235203b9 - 450067354347b8 - 1161331001115b7 - 1262010001b6 - 15804956452b5 + 545985007780b4 + 458592462232b3 - 36815684951b2 + 4514114759801*b1 + 19273746097616

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment:embeddings in the coefficient field

gp:mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

1.1

−17.2673
−15.7225
−14.4099
−8.25233
−4.59085
0.700104
3.90570
4.07363
6.18811
11.7318
14.9649
20.6786

−2.00000

−3.00000

4.00000

−18.2673

6.00000

32.8498

−8.00000

9.00000

36.5346

1.2

−2.00000

−3.00000

4.00000

−16.7225

6.00000

−0.421102

−8.00000

9.00000

33.4451

1.3

−2.00000

−3.00000

4.00000

−15.4099

6.00000

−16.9392

−8.00000

9.00000

30.8197

1.4

−2.00000

−3.00000

4.00000

−9.25233

6.00000

−24.6947

−8.00000

9.00000

18.5047

1.5

−2.00000

−3.00000

4.00000

−5.59085

6.00000

18.8489

−8.00000

9.00000

11.1817

1.6

−2.00000

−3.00000

4.00000

−0.299896

6.00000

−33.3625

−8.00000

9.00000

0.599792

1.7

−2.00000

−3.00000

4.00000

2.90570

6.00000

12.2772

−8.00000

9.00000

−5.81139

1.8

−2.00000

−3.00000

4.00000

3.07363

6.00000

8.18892

−8.00000

9.00000

−6.14725

1.9

−2.00000

−3.00000

4.00000

5.18811

6.00000

6.01889

−8.00000

9.00000

−10.3762

1.10

−2.00000

−3.00000

4.00000

10.7318

6.00000

8.30812

−8.00000

9.00000

−21.4635

1.11

−2.00000

−3.00000

4.00000

13.9649

6.00000

−28.4509

−8.00000

9.00000

−27.9299

1.12

−2.00000

−3.00000

4.00000

19.6786

6.00000

−7.62338

−8.00000

9.00000

−39.3573

Atkin-Lehner signs

$ p $	Sign
$2$	$ +1 $
$3$	$ +1 $
$11$	$ -1 $
$37$	$ +1 $

Inner twists

This newform does not admit any (nontrivial) inner twists.

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	2442.4.a.n	✓	12

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
2442.4.a.n	✓	12	1.a	even	1	1	trivial

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $ T_{5}^{12} + 10 T_{5}^{11} - 805 T_{5}^{10} - 7175 T_{5}^{9} + 221165 T_{5}^{8} + 1530830 T_{5}^{7} + \cdots + 9979078784 $ T5^12 + 10*T5^11 - 805*T5^10 - 7175*T5^9 + 221165*T5^8 + 1530830*T5^7 - 25843082*T5^6 - 104932652*T5^5 + 1240188084*T5^4 + 1072879448*T5^3 - 20139276152*T5^2 + 27173172544*T5 + 9979078784 acting on $S_{4}^{\mathrm{new}}(\Gamma_0(2442))$.

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ (T + 2)^{12} $ (T + 2)^12
$3$	$ (T + 3)^{12} $ (T + 3)^12
$5$	$ T^{12} + \cdots + 9979078784 $ T^12 + 10T^11 - 805T^10 - 7175T^9 + 221165T^8 + 1530830T^7 - 25843082T^6 - 104932652T^5 + 1240188084T^4 + 1072879448T^3 - 20139276152T^2 + 27173172544*T + 9979078784
$7$	$ T^{12} + \cdots + 3967804813312 $ T^12 + 25T^11 - 2005T^10 - 43603T^9 + 1351792T^8 + 20605486T^7 - 440159756T^6 - 2813348612T^5 + 65737649680T^4 - 41122722040T^3 - 2646195317344T^2 + 8320399059424*T + 3967804813312
$11$	$ (T - 11)^{12} $ (T - 11)^12
$13$	$ T^{12} + \cdots - 72\!\cdots\!48 $ T^12 - 12T^11 - 15075T^10 + 224003T^9 + 86892080T^8 - 1424609552T^7 - 241838068144T^6 + 4190754177776T^5 + 326641509263872T^4 - 5907869313227904T^3 - 171452945977156096T^2 + 3251451441073983488*T - 728039154554421248
$17$	$ T^{12} + \cdots + 10\!\cdots\!04 $ T^12 + 10T^11 - 31289T^10 - 500719T^9 + 293759465T^8 + 6346366346T^7 - 937001968806T^6 - 22488914901784T^5 + 882864517276664T^4 + 22289827859028608T^3 - 78126523835206144T^2 - 2274394992072841216*T + 10706602209720815104
$19$	$ T^{12} + \cdots - 30\!\cdots\!00 $ T^12 + 9T^11 - 39705T^10 - 1454263T^9 + 530208708T^8 + 30634293402T^7 - 2567744122328T^6 - 211988177972280T^5 + 1539787370230272T^4 + 428309475762226528T^3 + 9613851911642090880T^2 + 43033447297707715200*T - 301887857260307200000
$23$	$ T^{12} + \cdots - 24\!\cdots\!08 $ T^12 + 201T^11 - 49077T^10 - 11006383T^9 + 544566756T^8 + 194195790018T^7 + 3129072124468T^6 - 1165848712719080T^5 - 58470416422255024T^4 + 848077256452794752T^3 + 91894516881891177984T^2 + 1068305660964647017984*T - 2450020822139805867008
$29$	$ T^{12} + \cdots - 29\!\cdots\!00 $ T^12 + 84T^11 - 175485T^10 - 16549337T^9 + 11169996026T^8 + 1198596289150T^7 - 306023489209928T^6 - 38210574546970016T^5 + 3006599935038370048T^4 + 489236471762770181888T^3 + 2457893719657169323008T^2 - 1268345504557096010199040*T - 29127350488752890702643200
$31$	$ T^{12} + \cdots - 71\!\cdots\!04 $ T^12 - 10T^11 - 267419T^10 - 7142607T^9 + 26057730202T^8 + 1864712063788T^7 - 1123234675139172T^6 - 132868120529569020T^5 + 17850162533465591384T^4 + 3302220338762087537840T^3 + 27028630193749765206624T^2 - 17041451195260083477822080*T - 714785849148246940452431104
$37$	$ (T + 37)^{12} $ (T + 37)^12
$41$	$ T^{12} + \cdots + 12\!\cdots\!32 $ T^12 - 215T^11 - 405707T^10 + 129287723T^9 + 46272368414T^8 - 22525694882280T^7 - 187422658523516T^6 + 1299731377618918156T^5 - 170421566790045028616T^4 - 14836722565853687339504T^3 + 5215342174836999789965984T^2 - 442528774298991611765337088*T + 12872521112637276974538303232
$43$	$ T^{12} + \cdots + 23\!\cdots\!92 $ T^12 + 434T^11 - 376867T^10 - 171633977T^9 + 36527356038T^8 + 19896391909198T^7 - 276489279244244T^6 - 601676185921545960T^5 - 9879480781188097936T^4 + 5198675139374378709792T^3 - 82343386607445306661824T^2 - 8795731515738867003498624*T + 235560547830377151616488192
$47$	$ T^{12} + \cdots + 10\!\cdots\!40 $ T^12 + 256T^11 - 543771T^10 - 105717473T^9 + 99901976463T^8 + 15181924845280T^7 - 8285041164830134T^6 - 912120833553845920T^5 + 326358333576606976720T^4 + 20756587916970112818624T^3 - 5270061264783115709410144T^2 - 79450483570777620730107392*T + 10065338931848340738954346240
$53$	$ T^{12} + \cdots - 10\!\cdots\!40 $ T^12 + 448T^11 - 933745T^10 - 429268647T^9 + 256481159716T^8 + 137311915570134T^7 - 20287367182019760T^6 - 17138941661086773592T^5 - 695150811547886759264T^4 + 693201093265306278713120T^3 + 76656580535360553985770752T^2 - 7004508938532681033042932096*T - 1013464097115393693213142653440
$59$	$ T^{12} + \cdots + 23\!\cdots\!00 $ T^12 + 588T^11 - 980268T^10 - 505625276T^9 + 369611779876T^8 + 156765751616296T^7 - 66897954301898656T^6 - 21616655053699262880T^5 + 6036126373278792728192T^4 + 1285374106728170656393216T^3 - 241844573305058973525407744T^2 - 23745989064406127107267153920*T + 2345264903613553032351255347200
$61$	$ T^{12} + \cdots + 27\!\cdots\!00 $ T^12 - 735T^11 - 1295050T^10 + 772951373T^9 + 652816957666T^8 - 274851790706584T^7 - 150375629080213760T^6 + 38983821930049472192T^5 + 14521616728869334099456T^4 - 2141263921925142957448704T^3 - 473632598594331683438370816T^2 + 18703543059652550319963873280*T + 2711495972737093829482766950400
$67$	$ T^{12} + \cdots - 44\!\cdots\!24 $ T^12 + 288T^11 - 1653417T^10 - 258865429T^9 + 964556217776T^8 + 23883827624704T^7 - 266316638231381584T^6 + 25799408898653249104T^5 + 34581722693758317704448T^4 - 7284247314219224820533760T^3 - 1429517128048025737978332160T^2 + 556389960345806409480927249408*T - 44935935881886240687177341108224
$71$	$ T^{12} + \cdots - 99\!\cdots\!68 $ T^12 - 1019T^11 - 1619339T^10 + 1485612400T^9 + 960147382797T^8 - 654695238004730T^7 - 272051287771372238T^6 + 80051669796800724992T^5 + 34500686755629268659712T^4 + 2518601562900418868077216T^3 - 222248503428998119872120928T^2 - 32720729250623530464364663296*T - 994522460316463575737421191168
$73$	$ T^{12} + \cdots + 47\!\cdots\!56 $ T^12 + 309T^11 - 2678064T^10 - 1209570057T^9 + 2465301426040T^8 + 1595581599723420T^7 - 773527301481254576T^6 - 834091825004860401040T^5 - 70463617749793867010944T^4 + 132123806741107923508888640T^3 + 54963898182542627838393912576T^2 + 8566462055992015031982204841472*T + 477704424656814761384747439405056
$79$	$ T^{12} + \cdots - 69\!\cdots\!00 $ T^12 - 1116T^11 - 2241627T^10 + 2774918877T^9 + 1384904115589T^8 - 2216672163956524T^7 - 104313591157888920T^6 + 660203660211717494544T^5 - 96682911719731613616960T^4 - 58400838235451890515795264T^3 + 13611038811336693202436949120T^2 - 12053158139450285289918656000*T - 69900332610490366935592813216000
$83$	$ T^{12} + \cdots - 86\!\cdots\!48 $ T^12 + 662T^11 - 2151123T^10 - 1268470515T^9 + 1131665212463T^8 + 712258036088536T^7 - 73180639294333412T^6 - 78132019075191882272T^5 - 4242587273619015303424T^4 + 1884059637864012399925248T^3 + 148239231751918567137959680T^2 - 10780105247089612854753540096*T - 867645860153594013287162728448
$89$	$ T^{12} + \cdots - 74\!\cdots\!00 $ T^12 - 1603T^11 - 2390706T^10 + 4988372045T^9 + 427912899758T^8 - 4059479656175252T^7 + 1004827289530498932T^6 + 1084173102926623811320T^5 - 429190140986930875225976T^4 - 51726773358895086463906656T^3 + 29961083274727966649514615600T^2 - 1078584102960991816232088457200*T - 740460880719517193539875072000
$97$	$ T^{12} + \cdots - 32\!\cdots\!64 $ T^12 - 349T^11 - 2946882T^10 - 63255641T^9 + 2583540841342T^8 + 436489742201984T^7 - 834403408937916576T^6 - 168591850874282963680T^5 + 95922159581517613906368T^4 + 11571780962924791930879232T^3 - 3866765028835063816081413120T^2 + 236477030134758526263891093248*T - 3241755911870947177711734270464
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 2442 = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 37 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 4 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	2442.a (trivial)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q - 2 q^{2} - 3 q^{3} + 4 q^{4} + (\beta_1 - 1) q^{5} + 6 q^{6} + (\beta_{3} - 2) q^{7} - 8 q^{8} + 9 q^{9} + ( - 2 \beta_1 + 2) q^{10} + 11 q^{11} - 12 q^{12} + (\beta_{10} + 1) q^{13} + ( - 2 \beta_{3} + 4) q^{14}+ \cdots + 99 q^{99}+O(q^{100}) \) q - 2 * q^2 - 3 * q^3 + 4 * q^4 + (b1 - 1) * q^5 + 6 * q^6 + (b3 - 2) * q^7 - 8 * q^8 + 9 * q^9 + (-2b1 + 2) q^10 + 11 * q^11 - 12 * q^12 + (b10 + 1) * q^13 + (-2b3 + 4) q^14 + (-3b1 + 3) q^15 + 16 * q^16 + (b7 - b4 + b1 - 1) * q^17 - 18 * q^18 + (b8 + b6 - 2b1) q^19 + (4b1 - 4) q^20 + (-3b3 + 6) q^21 - 22 * q^22 + (-b10 + b9 - b7 - b6 + b3 - b2 + 2b1 - 18) q^23 + 24 * q^24 + (b11 + b10 - b9 - b8 - b7 + b6 + b4 + b3 - b1 + 18) * q^25 + (-2b10 - 2) q^26 - 27 * q^27 + (4b3 - 8) q^28 + (-b10 - b8 - b6 + 2b5 + b4 - 2b3 + b2 + 3b1 - 8) q^29 + (6b1 - 6) q^30 + (-2b11 - 2b10 - b8 - b6 - 2b5 + 2b4 + 3b3 + b2 + 3b1 + 2) * q^31 - 32 * q^32 - 33 * q^33 + (-2b7 + 2b4 - 2b1 + 2) q^34 + (-b11 - 2b10 - b9 - 3b6 - 2b5 - 4b3 + 2b2 - 2b1 - 47) * q^35 + 36 * q^36 - 37 * q^37 + (-2b8 - 2b6 + 4b1) q^38 + (-3b10 - 3) q^39 + (-8b1 + 8) q^40 + (-3b10 - b9 + b8 + b6 + b5 - 3b4 - 2b2 + 2b1 + 15) * q^41 + (6b3 - 12) q^42 + (2b11 - b10 + b8 - 2b6 + 2b5 + b4 + b3 - b2 - 9b1 - 36) * q^43 + 44 * q^44 + (9b1 - 9) q^45 + (2b10 - 2b9 + 2b7 + 2b6 - 2b3 + 2b2 - 4b1 + 36) q^46 + (2b10 + b9 - 3b8 + b6 - b5 - 8b3 + 2b2 + b1 - 20) * q^47 - 48 * q^48 + (-b11 + 3b9 + b8 + b7 + 5b6 + 3b5 - 2b4 - 8b3 - 4b2 - 13b1 + 44) q^49 + (-2b11 - 2b10 + 2b9 + 2b8 + 2b7 - 2b6 - 2b4 - 2b3 + 2b1 - 36) q^50 + (-3b7 + 3b4 - 3b1 + 3) q^51 + (4b10 + 4) q^52 + (4b11 + 6b10 - 3b9 + 3b8 + 4b6 - 6b5 + 2b4 - 6b3 + b2 + 8b1 - 34) q^53 + 54 * q^54 + (11b1 - 11) q^55 + (-8b3 + 16) q^56 + (-3b8 - 3b6 + 6b1) q^57 + (2b10 + 2b8 + 2b6 - 4b5 - 2b4 + 4b3 - 2b2 - 6b1 + 16) * q^58 + (-3b10 + 5b9 + 3b8 - b7 + 2b5 + 2b4 - 9b3 - 3b2 - 50) q^59 + (-12b1 + 12) q^60 + (b11 + 5b10 - 3b9 - 6b7 + 3b6 - 6b3 + 2b2 - 2b1 + 60) q^61 + (4b11 + 4b10 + 2b8 + 2b6 + 4b5 - 4b4 - 6b3 - 2b2 - 6b1 - 4) q^62 + (9b3 - 18) q^63 + 64 * q^64 + (-5b11 - 5b10 + 3b9 - 2b8 + 4b7 - 3b6 + 8b5 - 4b4 - 12b3 - 2b2 - 12b1 - 76) q^65 + 66 * q^66 + (2b11 - 2b10 + 3b9 + 2b8 + 4b7 + 3b6 - b5 - 4b4 - 4b3 + 3b2 - 29b1 - 15) * q^67 + (4b7 - 4b4 + 4b1 - 4) q^68 + (3b10 - 3b9 + 3b7 + 3b6 - 3b3 + 3b2 - 6b1 + 54) q^69 + (2b11 + 4b10 + 2b9 + 6b6 + 4b5 + 8b3 - 4b2 + 4b1 + 94) * q^70 + (b11 - b10 + 2b9 + b8 + 6b6 + b5 - 12b3 - 6b2 - 25b1 + 88) q^71 - 72 * q^72 + (-2b10 - 2b9 - b8 + b7 - 9b6 - b5 - 3b4 - 11b3 - b2 - 30b1 - 27) * q^73 + 74 * q^74 + (-3b11 - 3b10 + 3b9 + 3b8 + 3b7 - 3b6 - 3b4 - 3b3 + 3b1 - 54) q^75 + (4b8 + 4b6 - 8b1) q^76 + (11b3 - 22) q^77 + (6b10 + 6) q^78 + (-2b11 + 5b10 - 4b9 - 2b8 - 4b7 - 6b6 - 4b5 + 3b4 - 15b3 + 6b2 - 19b1 + 95) q^79 + (16b1 - 16) q^80 + 81 * q^81 + (6b10 + 2b9 - 2b8 - 2b6 - 2b5 + 6b4 + 4b2 - 4b1 - 30) * q^82 + (5b11 + 7b10 - 11b9 - b8 - 5b7 + b6 - 4b5 + 5b4 + 9b3 + 2b2 + 5b1 - 55) q^83 + (-12b3 + 24) q^84 + (b11 + b10 - b9 + 5b8 + 13b7 - 3b6 - 7b5 - 3b4 - 9b3 - 24b1 + 100) q^85 + (-4b11 + 2b10 - 2b8 + 4b6 - 4b5 - 2b4 - 2b3 + 2b2 + 18b1 + 72) q^86 + (3b10 + 3b8 + 3b6 - 6b5 - 3b4 + 6b3 - 3b2 - 9b1 + 24) * q^87 - 88 * q^88 + (-4b11 - 5b9 - 9b8 + b6 + 6b4 - 4b3 + 2b2 - 19b1 + 138) q^89 + (-18b1 + 18) q^90 + (-7b11 - 4b10 - b9 - 6b8 - 6b7 - 10b6 + 3b4 + 9b3 + b2 - 15b1 + 122) * q^91 + (-4b10 + 4b9 - 4b7 - 4b6 + 4b3 - 4b2 + 8b1 - 72) q^92 + (6b11 + 6b10 + 3b8 + 3b6 + 6b5 - 6b4 - 9b3 - 3b2 - 9b1 - 6) q^93 + (-4b10 - 2b9 + 6b8 - 2b6 + 2b5 + 16b3 - 4b2 - 2b1 + 40) * q^94 + (-4b11 - 7b10 + 2b9 + 2b7 - 7b6 - 2b5 - b4 - 7b3 + 7b2 - 29b1 - 162) q^95 + 96 * q^96 + (-2b11 - 4b10 + 3b9 - 2b8 + 4b7 - 3b6 - 4b5 - 2b4 - 10b3 + 9b2 - 20b1 + 38) q^97 + (2b11 - 6b9 - 2b8 - 2b7 - 10b6 - 6b5 + 4b4 + 16b3 + 8b2 + 26b1 - 88) * q^98 + 99 * q^99
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 12 q - 24 q^{2} - 36 q^{3} + 48 q^{4} - 10 q^{5} + 72 q^{6} - 25 q^{7} - 96 q^{8} + 108 q^{9} + 20 q^{10} + 132 q^{11} - 144 q^{12} + 12 q^{13} + 50 q^{14} + 30 q^{15} + 192 q^{16} - 10 q^{17} - 216 q^{18}+ \cdots + 1188 q^{99}+O(q^{100}) \) 12 * q - 24 * q^2 - 36 * q^3 + 48 * q^4 - 10 * q^5 + 72 * q^6 - 25 * q^7 - 96 * q^8 + 108 * q^9 + 20 * q^10 + 132 * q^11 - 144 * q^12 + 12 * q^13 + 50 * q^14 + 30 * q^15 + 192 * q^16 - 10 * q^17 - 216 * q^18 - 9 * q^19 - 40 * q^20 + 75 * q^21 - 264 * q^22 - 201 * q^23 + 288 * q^24 + 210 * q^25 - 24 * q^26 - 324 * q^27 - 100 * q^28 - 84 * q^29 - 60 * q^30 + 10 * q^31 - 384 * q^32 - 396 * q^33 + 20 * q^34 - 565 * q^35 + 432 * q^36 - 444 * q^37 + 18 * q^38 - 36 * q^39 + 80 * q^40 + 215 * q^41 - 150 * q^42 - 434 * q^43 + 528 * q^44 - 90 * q^45 + 402 * q^46 - 256 * q^47 - 576 * q^48 + 519 * q^49 - 420 * q^50 + 30 * q^51 + 48 * q^52 - 448 * q^53 + 648 * q^54 - 110 * q^55 + 200 * q^56 + 27 * q^57 + 168 * q^58 - 588 * q^59 + 120 * q^60 + 735 * q^61 - 20 * q^62 - 225 * q^63 + 768 * q^64 - 859 * q^65 + 792 * q^66 - 288 * q^67 - 40 * q^68 + 603 * q^69 + 1130 * q^70 + 1019 * q^71 - 864 * q^72 - 309 * q^73 + 888 * q^74 - 630 * q^75 - 36 * q^76 - 275 * q^77 + 72 * q^78 + 1116 * q^79 - 160 * q^80 + 972 * q^81 - 430 * q^82 - 662 * q^83 + 300 * q^84 + 1093 * q^85 + 868 * q^86 + 252 * q^87 - 1056 * q^88 + 1603 * q^89 + 180 * q^90 + 1502 * q^91 - 804 * q^92 - 30 * q^93 + 512 * q^94 - 2017 * q^95 + 1152 * q^96 + 349 * q^97 - 1038 * q^98 + 1188 * q^99

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Newform invariants

$q$-expansion

Embeddings

Atkin-Lehner signs

Inner twists

Twists

Hecke kernels

Hecke characteristic polynomials

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	2442.4.a.n

Level	$2442$
Weight	$4$
Character orbit	2442.a
Self dual	yes
Analytic conductor	$144.083$
Analytic rank	$1$
Dimension	$12$
CM	no
Inner twists	$1$

Self dual:	yes
Analytic conductor:	\(144.082664234\)
Analytic rank:	\(1\)
Dimension:	\(12\)
Coefficient field:	\(\mathbb{Q}[x]/(x^{12} - \cdots)\)
comment:defining polynomial gp:f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	\( x^{12} - 2 x^{11} - 849 x^{10} + 1205 x^{9} + 248360 x^{8} - 397682 x^{7} - 29936318 x^{6} + \cdots - 37088275010 \) x^12 - 2x^11 - 849x^10 + 1205x^9 + 248360x^8 - 397682x^7 - 29936318x^6 + 69190668x^5 + 1339839809x^4 - 4379648628x^3 - 15280838921x^2 + 65348896151*x - 37088275010
Coefficient ring:	\(\Z[a_1, \ldots, a_{19}]\)
Coefficient ring index:	\( 2^{4}\cdot 5 \)
Twist minimal:	yes
Fricke sign:	\(-1\)
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)$

\(\beta_{1}\)	\(=\)	\( \nu \) v
\(\beta_{2}\)	\(=\)	\( ( - 20\!\cdots\!73 \nu^{11} + \cdots - 16\!\cdots\!02 ) / 76\!\cdots\!08 \) (-201974064843533037769130851956273v^11 + 998417052932161338511271766822877v^10 + 171667211126430624525190513391999218v^9 - 662030972998747993082577337985471435v^8 - 50964180170799725533959256465718525391v^7 + 163272111506099851658448865127044770983v^6 + 6341371236027051932077988766341139175409v^5 - 16640456461587562689665441781274548800343v^4 - 306310856245116562048609757095398024334388v^3 + 478224360927497621106246732364218644742048v^2 + 4426023485547730879529144463833213193209641*v - 1663711466978611835307257630815919171865402) / 76466369511990634061160902675737777153408
\(\beta_{3}\)	\(=\)	\( ( - 61\!\cdots\!55 \nu^{11} + \cdots - 11\!\cdots\!82 ) / 15\!\cdots\!16 \) (-613930715662166426206919794610055v^11 - 426274946897242313205101905298709v^10 + 517798640891743712189872597834811150v^9 + 661987088325228723327156629492267667v^8 - 148747057552743809884437021628085295481v^7 - 160066778541672470333400599144397400127v^6 + 17374662950461419818810356666783624446839v^5 + 5238274029637497280680213256222874080703v^4 - 743664769799946258500749598653188809457996v^3 + 546866092979573412483809208801216007602992v^2 + 8871738500957623128114227038794132356079471*v - 11024497592066645495287053213099324436763382) / 152932739023981268122321805351475554306816
\(\beta_{4}\)	\(=\)	\( ( - 13\!\cdots\!89 \nu^{11} + \cdots - 30\!\cdots\!30 ) / 15\!\cdots\!16 \) (-1335700318204374462019710905695189v^11 - 819820209210704532970688936400767v^10 + 1149742170447834622463474263256095722v^9 + 1251622122642989545008268753902255673v^8 - 341119760950510577343185606428601748459v^7 - 281764292526429983802763357505691479805v^6 + 42072441010045212508317615623882471855653v^5 + 4243513692993909516736011022524555504061v^4 - 1981323307158419463266931642408577233940260v^3 + 1379440815328748297110417862426781680947984v^2 + 25524627108675927819199042235410898346816717*v - 30708487707452955545814791306607265418069730) / 152932739023981268122321805351475554306816
\(\beta_{5}\)	\(=\)	\( ( 10\!\cdots\!73 \nu^{11} + \cdots + 47\!\cdots\!26 ) / 76\!\cdots\!08 \) (1025909123213062847193228171032273v^11 + 2694298276332130839587563033958883v^10 - 863097069885780167268669122435515074v^9 - 2731531212982047376009563111569773829v^8 + 245168043776648184052050975819343126847v^7 + 715298902953058303869858933440350610617v^6 - 27986557710892291547509638371699884817809v^5 - 57220823733818639919477212169056423406873v^4 + 1141370494313056877638576212717683598852484v^3 + 806138171882888594637753717274759439513952v^2 - 12102977502167327962090876875430407012357721*v + 4761052115224890574450828879459599997036826) / 76466369511990634061160902675737777153408
\(\beta_{6}\)	\(=\)	\( ( - 40\!\cdots\!83 \nu^{11} + \cdots - 24\!\cdots\!90 ) / 19\!\cdots\!52 \) (-407410579903448827198912368952783v^11 - 778782765409301097785000596147825v^10 + 342650716463131989884665432284105234v^9 + 867908243815866811587978511624335447v^8 - 97815417744522497872113753210346158817v^7 - 232432853728515053566607869117454848687v^6 + 11339187603429403628853359868484325938123v^5 + 18517503481121243390791797835909444842579v^4 - 484021700888825361475747587672413545180676v^3 - 257848608038625224477670258053143167106716v^2 + 5808557656551249126455633877509722349857551*v - 2433819738512589579501656414643945192097990) / 19116592377997658515290225668934444288352
\(\beta_{7}\)	\(=\)	\( ( - 57\!\cdots\!45 \nu^{11} + \cdots - 72\!\cdots\!34 ) / 21\!\cdots\!88 \) (-570657867979708370494671256543845v^11 - 1050227795068012630667645092407247v^10 + 480626654987119097673257534823496362v^9 + 1150255395689534828915099106804707881v^8 - 137385013693926029263589833838791413851v^7 - 295413523392348258866357425975788857229v^6 + 15945010050968567537559320478377312546005v^5 + 20657871575531196829225783934502107535597v^4 - 680661434249228432099043567317598846562340v^3 - 34918352293368867220442725131107361556752v^2 + 8217492518514022489861683111178749752829021*v - 7206723888764056195929868355823144917842434) / 21847534146283038303188829335925079186688
\(\beta_{8}\)	\(=\)	\( ( 87\!\cdots\!71 \nu^{11} + \cdots + 92\!\cdots\!86 ) / 21\!\cdots\!88 \) (870887444922043037512474418090871v^11 + 1712987394208897873869902289761605v^10 - 729845040093220727408137912893548622v^9 - 1870879941111959999710805366544008355v^8 + 206930651656604672836082355451160035977v^7 + 488811310001956165586495799550399592879v^6 - 23684334327939438793316186054831858504647v^5 - 36304950416414819705569954876275338217615v^4 + 984470023787983037632457000733582685915724v^3 + 248442765697735914026440991003519249374000v^2 - 11250682608208549697650066036607060019669983*v + 9277452589138522222359061961113783191625686) / 21847534146283038303188829335925079186688
\(\beta_{9}\)	\(=\)	\( ( 92\!\cdots\!61 \nu^{11} + \cdots + 94\!\cdots\!98 ) / 20\!\cdots\!84 \) (92794340017038536358443479778761v^11 + 206512618983239854361734597318523v^10 - 78033362650578709596973794987693746v^9 - 217597683316368084626510497846107549v^8 + 22235381415812268363088408772154440119v^7 + 56756152013299611142738411661392351633v^6 - 2570326103051712282164536213321817741305v^5 - 4325866445626245296043769940733956073905v^4 + 109773097048756148651231773335750851184564v^3 + 40167997310973290046753216295112467210064v^2 - 1367080448124109903888684837934627908069601*v + 948462769693886854482623443354160710691498) / 2066658635459206325977321693938858841984
\(\beta_{10}\)	\(=\)	\( ( - 63\!\cdots\!63 \nu^{11} + \cdots - 56\!\cdots\!34 ) / 76\!\cdots\!08 \) (-6340917671773857399414012574375863v^11 - 13032459530268695917227926825739269v^10 + 5331241658316649844347155008511251566v^9 + 13919585482269734818317080670698309507v^8 - 1518273899796893356834421856804031712617v^7 - 3600172531120750453019300981170758809839v^6 + 175037406040178975320466685742912786150535v^5 + 265331060925744439528149317536113395389039v^4 - 7385757860999957636478710547715084533759276v^3 - 1991599123491181234188171342947002324942000v^2 + 87789102126202745456869568244968362688532991*v - 56646322952226978483876056367730080571824534) / 76466369511990634061160902675737777153408
\(\beta_{11}\)	\(=\)	\( ( 13\!\cdots\!65 \nu^{11} + \cdots + 11\!\cdots\!22 ) / 76\!\cdots\!08 \) (13429569608249520332147697217568365v^11 + 26731263669332846694047904922705911v^10 - 11295113695781734930372601905982977450v^9 - 28921323254701418427802567738286443937v^8 + 3220587825281039723874683133886764331699v^7 + 7527689359194575180155619974948277229749v^6 - 372307409216461309834680980772681305337805v^5 - 558963803142808872510848707122487571673285v^4 + 15809273357224060562728064149314346667746820v^3 + 4369857818424808306913762675693916820379520v^2 - 189496123821259419741550578537365823749083301*v + 118730543015318911994108001128825572165675922) / 76466369511990634061160902675737777153408

\(\nu\)	\(=\)	\( \beta_1 \) b1
\(\nu^{2}\)	\(=\)	\( \beta_{11} + \beta_{10} - \beta_{9} - \beta_{8} - \beta_{7} + \beta_{6} + \beta_{4} + \beta_{3} + \beta _1 + 142 \) b11 + b10 - b9 - b8 - b7 + b6 + b4 + b3 + b1 + 142
\(\nu^{3}\)	\(=\)	\( - 2 \beta_{11} - \beta_{10} + 2 \beta_{9} - 11 \beta_{8} - 21 \beta_{7} - 6 \beta_{6} + 12 \beta_{4} + \cdots + 72 \) -2b11 - b10 + 2b9 - 11b8 - 21b7 - 6b6 + 12b4 - 10b3 - 2b2 + 265*b1 + 72
\(\nu^{4}\)	\(=\)	\( 331 \beta_{11} + 397 \beta_{10} - 321 \beta_{9} - 346 \beta_{8} - 610 \beta_{7} + 384 \beta_{6} + \cdots + 37504 \) 331b11 + 397b10 - 321b9 - 346b8 - 610b7 + 384b6 + 60b5 + 398b4 + 566b3 - 71b2 + 1076*b1 + 37504
\(\nu^{5}\)	\(=\)	\( 48 \beta_{11} + 816 \beta_{10} - 941 \beta_{9} - 5480 \beta_{8} - 12262 \beta_{7} - 2171 \beta_{6} + \cdots + 115686 \) 48b11 + 816b10 - 941b9 - 5480b8 - 12262b7 - 2171b6 + 124b5 + 6286b4 - 1332b3 - 481b2 + 85007*b1 + 115686
\(\nu^{6}\)	\(=\)	\( 105738 \beta_{11} + 137075 \beta_{10} - 112083 \beta_{9} - 130489 \beta_{8} - 293425 \beta_{7} + \cdots + 11770404 \) 105738b11 + 137075b10 - 112083b9 - 130489b8 - 293425b7 + 125030b6 + 27856b5 + 158628b4 + 267154b3 - 43566b2 + 657604*b1 + 11770404
\(\nu^{7}\)	\(=\)	\( 375461 \beta_{11} + 778238 \beta_{10} - 939288 \beta_{9} - 2439061 \beta_{8} - 5877269 \beta_{7} + \cdots + 75643084 \) 375461b11 + 778238b10 - 939288b9 - 2439061b8 - 5877269b7 - 580890b6 - 13432b5 + 2863884b4 + 762802b3 - 134545b2 + 30158737*b1 + 75643084
\(\nu^{8}\)	\(=\)	\( 35691474 \beta_{11} + 48166103 \beta_{10} - 42364748 \beta_{9} - 52392630 \beta_{8} - 131360504 \beta_{7} + \cdots + 4073008690 \) 35691474b11 + 48166103b10 - 42364748b9 - 52392630b8 - 131360504b7 + 41005066b6 + 9954800b5 + 64866125b4 + 114437597b3 - 19520384b2 + 336558691*b1 + 4073008690
\(\nu^{9}\)	\(=\)	\( 264658682 \beta_{11} + 452050663 \beta_{10} - 540096933 \beta_{9} - 1052925686 \beta_{8} + \cdots + 39969645396 \) 264658682b11 + 452050663b10 - 540096933b9 - 1052925686b8 - 2646661514b7 - 111435894b6 - 28749620b5 + 1259643593b4 + 761886373b3 - 63338408b2 + 11419079422*b1 + 39969645396
\(\nu^{10}\)	\(=\)	\( 12830051130 \beta_{11} + 17723520144 \beta_{10} - 16816778042 \beta_{9} - 21766724675 \beta_{8} + \cdots + 1509762156386 \) 12830051130b11 + 17723520144b10 - 16816778042b9 - 21766724675b8 - 57238234267b7 + 13866036812b6 + 3318252884b5 + 27036008817b4 + 47249554895b3 - 7909595964b2 + 159276220829*b1 + 1509762156386
\(\nu^{11}\)	\(=\)	\( 141752574614 \beta_{11} + 225184284541 \beta_{10} - 265414235203 \beta_{9} - 450067354347 \beta_{8} + \cdots + 19273746097616 \) 141752574614b11 + 225184284541b10 - 265414235203b9 - 450067354347b8 - 1161331001115b7 - 1262010001b6 - 15804956452b5 + 545985007780b4 + 458592462232b3 - 36815684951b2 + 4514114759801*b1 + 19273746097616

\(n\):		e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings:		e.g. 1-3 or 1.12
Significant digits:
Format:

$p$	$F_p(T)$
$2$	\( (T + 2)^{12} \) (T + 2)^12
$3$	\( (T + 3)^{12} \) (T + 3)^12
$5$	\( T^{12} + \cdots + 9979078784 \) T^12 + 10T^11 - 805T^10 - 7175T^9 + 221165T^8 + 1530830T^7 - 25843082T^6 - 104932652T^5 + 1240188084T^4 + 1072879448T^3 - 20139276152T^2 + 27173172544*T + 9979078784
$7$	\( T^{12} + \cdots + 3967804813312 \) T^12 + 25T^11 - 2005T^10 - 43603T^9 + 1351792T^8 + 20605486T^7 - 440159756T^6 - 2813348612T^5 + 65737649680T^4 - 41122722040T^3 - 2646195317344T^2 + 8320399059424*T + 3967804813312
$11$	\( (T - 11)^{12} \) (T - 11)^12
$13$	\( T^{12} + \cdots - 72\!\cdots\!48 \) T^12 - 12T^11 - 15075T^10 + 224003T^9 + 86892080T^8 - 1424609552T^7 - 241838068144T^6 + 4190754177776T^5 + 326641509263872T^4 - 5907869313227904T^3 - 171452945977156096T^2 + 3251451441073983488*T - 728039154554421248
$17$	\( T^{12} + \cdots + 10\!\cdots\!04 \) T^12 + 10T^11 - 31289T^10 - 500719T^9 + 293759465T^8 + 6346366346T^7 - 937001968806T^6 - 22488914901784T^5 + 882864517276664T^4 + 22289827859028608T^3 - 78126523835206144T^2 - 2274394992072841216*T + 10706602209720815104
$19$	\( T^{12} + \cdots - 30\!\cdots\!00 \) T^12 + 9T^11 - 39705T^10 - 1454263T^9 + 530208708T^8 + 30634293402T^7 - 2567744122328T^6 - 211988177972280T^5 + 1539787370230272T^4 + 428309475762226528T^3 + 9613851911642090880T^2 + 43033447297707715200*T - 301887857260307200000
$23$	\( T^{12} + \cdots - 24\!\cdots\!08 \) T^12 + 201T^11 - 49077T^10 - 11006383T^9 + 544566756T^8 + 194195790018T^7 + 3129072124468T^6 - 1165848712719080T^5 - 58470416422255024T^4 + 848077256452794752T^3 + 91894516881891177984T^2 + 1068305660964647017984*T - 2450020822139805867008
$29$	\( T^{12} + \cdots - 29\!\cdots\!00 \) T^12 + 84T^11 - 175485T^10 - 16549337T^9 + 11169996026T^8 + 1198596289150T^7 - 306023489209928T^6 - 38210574546970016T^5 + 3006599935038370048T^4 + 489236471762770181888T^3 + 2457893719657169323008T^2 - 1268345504557096010199040*T - 29127350488752890702643200
$31$	\( T^{12} + \cdots - 71\!\cdots\!04 \) T^12 - 10T^11 - 267419T^10 - 7142607T^9 + 26057730202T^8 + 1864712063788T^7 - 1123234675139172T^6 - 132868120529569020T^5 + 17850162533465591384T^4 + 3302220338762087537840T^3 + 27028630193749765206624T^2 - 17041451195260083477822080*T - 714785849148246940452431104
$37$	\( (T + 37)^{12} \) (T + 37)^12
$41$	\( T^{12} + \cdots + 12\!\cdots\!32 \) T^12 - 215T^11 - 405707T^10 + 129287723T^9 + 46272368414T^8 - 22525694882280T^7 - 187422658523516T^6 + 1299731377618918156T^5 - 170421566790045028616T^4 - 14836722565853687339504T^3 + 5215342174836999789965984T^2 - 442528774298991611765337088*T + 12872521112637276974538303232
$43$	\( T^{12} + \cdots + 23\!\cdots\!92 \) T^12 + 434T^11 - 376867T^10 - 171633977T^9 + 36527356038T^8 + 19896391909198T^7 - 276489279244244T^6 - 601676185921545960T^5 - 9879480781188097936T^4 + 5198675139374378709792T^3 - 82343386607445306661824T^2 - 8795731515738867003498624*T + 235560547830377151616488192
$47$	\( T^{12} + \cdots + 10\!\cdots\!40 \) T^12 + 256T^11 - 543771T^10 - 105717473T^9 + 99901976463T^8 + 15181924845280T^7 - 8285041164830134T^6 - 912120833553845920T^5 + 326358333576606976720T^4 + 20756587916970112818624T^3 - 5270061264783115709410144T^2 - 79450483570777620730107392*T + 10065338931848340738954346240
$53$	\( T^{12} + \cdots - 10\!\cdots\!40 \) T^12 + 448T^11 - 933745T^10 - 429268647T^9 + 256481159716T^8 + 137311915570134T^7 - 20287367182019760T^6 - 17138941661086773592T^5 - 695150811547886759264T^4 + 693201093265306278713120T^3 + 76656580535360553985770752T^2 - 7004508938532681033042932096*T - 1013464097115393693213142653440
$59$	\( T^{12} + \cdots + 23\!\cdots\!00 \) T^12 + 588T^11 - 980268T^10 - 505625276T^9 + 369611779876T^8 + 156765751616296T^7 - 66897954301898656T^6 - 21616655053699262880T^5 + 6036126373278792728192T^4 + 1285374106728170656393216T^3 - 241844573305058973525407744T^2 - 23745989064406127107267153920*T + 2345264903613553032351255347200
$61$	\( T^{12} + \cdots + 27\!\cdots\!00 \) T^12 - 735T^11 - 1295050T^10 + 772951373T^9 + 652816957666T^8 - 274851790706584T^7 - 150375629080213760T^6 + 38983821930049472192T^5 + 14521616728869334099456T^4 - 2141263921925142957448704T^3 - 473632598594331683438370816T^2 + 18703543059652550319963873280*T + 2711495972737093829482766950400
$67$	\( T^{12} + \cdots - 44\!\cdots\!24 \) T^12 + 288T^11 - 1653417T^10 - 258865429T^9 + 964556217776T^8 + 23883827624704T^7 - 266316638231381584T^6 + 25799408898653249104T^5 + 34581722693758317704448T^4 - 7284247314219224820533760T^3 - 1429517128048025737978332160T^2 + 556389960345806409480927249408*T - 44935935881886240687177341108224
$71$	\( T^{12} + \cdots - 99\!\cdots\!68 \) T^12 - 1019T^11 - 1619339T^10 + 1485612400T^9 + 960147382797T^8 - 654695238004730T^7 - 272051287771372238T^6 + 80051669796800724992T^5 + 34500686755629268659712T^4 + 2518601562900418868077216T^3 - 222248503428998119872120928T^2 - 32720729250623530464364663296*T - 994522460316463575737421191168
$73$	\( T^{12} + \cdots + 47\!\cdots\!56 \) T^12 + 309T^11 - 2678064T^10 - 1209570057T^9 + 2465301426040T^8 + 1595581599723420T^7 - 773527301481254576T^6 - 834091825004860401040T^5 - 70463617749793867010944T^4 + 132123806741107923508888640T^3 + 54963898182542627838393912576T^2 + 8566462055992015031982204841472*T + 477704424656814761384747439405056
$79$	\( T^{12} + \cdots - 69\!\cdots\!00 \) T^12 - 1116T^11 - 2241627T^10 + 2774918877T^9 + 1384904115589T^8 - 2216672163956524T^7 - 104313591157888920T^6 + 660203660211717494544T^5 - 96682911719731613616960T^4 - 58400838235451890515795264T^3 + 13611038811336693202436949120T^2 - 12053158139450285289918656000*T - 69900332610490366935592813216000
$83$	\( T^{12} + \cdots - 86\!\cdots\!48 \) T^12 + 662T^11 - 2151123T^10 - 1268470515T^9 + 1131665212463T^8 + 712258036088536T^7 - 73180639294333412T^6 - 78132019075191882272T^5 - 4242587273619015303424T^4 + 1884059637864012399925248T^3 + 148239231751918567137959680T^2 - 10780105247089612854753540096*T - 867645860153594013287162728448
$89$	\( T^{12} + \cdots - 74\!\cdots\!00 \) T^12 - 1603T^11 - 2390706T^10 + 4988372045T^9 + 427912899758T^8 - 4059479656175252T^7 + 1004827289530498932T^6 + 1084173102926623811320T^5 - 429190140986930875225976T^4 - 51726773358895086463906656T^3 + 29961083274727966649514615600T^2 - 1078584102960991816232088457200*T - 740460880719517193539875072000
$97$	\( T^{12} + \cdots - 32\!\cdots\!64 \) T^12 - 349T^11 - 2946882T^10 - 63255641T^9 + 2583540841342T^8 + 436489742201984T^7 - 834403408937916576T^6 - 168591850874282963680T^5 + 95922159581517613906368T^4 + 11571780962924791930879232T^3 - 3866765028835063816081413120T^2 + 236477030134758526263891093248*T - 3241755911870947177711734270464
show more
show less

\( p \)	Sign
\(2\)	\( +1 \)
\(3\)	\( +1 \)
\(11\)	\( -1 \)
\(37\)	\( +1 \)