Canonical model in $\mathbb{P}^{ 4 }$ defined by 3 equations
| $ 0 $ | $=$ | $ x^{2} - 2 x y + y^{2} + y z $ |
| $=$ | $7 x^{2} - x y - 7 x z - x w - 2 x t - 7 y^{2} - 3 y z - y w + z t - 2 w t - t^{2}$ |
| $=$ | $5 x^{2} + 6 x y - 8 x z + x w + x t + 5 y^{2} + 5 y z - y w + y t + 4 z^{2} - z w + w^{2} + t^{2}$ |
![Copy content]()
![Toggle raw display]()
Singular plane model Singular plane model
| $ 0 $ | $=$ | $ 12 x^{6} + 3 x^{5} y - 12 x^{5} z + 3 x^{4} y^{2} - 6 x^{4} y z + x^{4} z^{2} - 9 x^{3} y^{2} z + \cdots + 4 z^{6} $ |
![Copy content]()
![Toggle raw display]()
This modular curve has no real points, and therefore no rational points.
Maps to other modular curves
$j$-invariant map
of degree 144 from the canonical model of this modular curve to the modular curve
$X(1)$
:
| $\displaystyle j$ |
$=$ |
$\displaystyle \frac{1}{2^{20}}\cdot\frac{3004701757795908515627845774457161866945756688200469101009965320xzw^{16}-42887301667477663695030982255641492927300619908266841250844340760xzw^{15}t-249589387214982348044112549864473108328497944670657597888102509184xzw^{14}t^{2}+305070875224196379362231797776633101953708115493623272883546383616xzw^{13}t^{3}+3136357047319665285012644091956418548244612951088307707763023026176xzw^{12}t^{4}+5335860847462822749705897412792413117274251972197202374253294397312xzw^{11}t^{5}-2688901586191112696087330357365787186758924745319549928241887382656xzw^{10}t^{6}-14592152914367707500718350965975389921179278452269963638659183655936xzw^{9}t^{7}-18102158052749798478259100143664994726051032236750350826936450796160xzw^{8}t^{8}-8814206638885891368751968944284690429143508412266895314375245861952xzw^{7}t^{9}+2057437715834911808605122803544832232706248805680920453996180128064xzw^{6}t^{10}+3926405722982240749615213423760983341134466460314198653486437154336xzw^{5}t^{11}+2740065960683395923132993188145934361172606385720500110336583117184xzw^{4}t^{12}+1045498636894138782225767142589393078925438373342444668207695427560xzw^{3}t^{13}+244435413467818589890648101537871768509237353849903322098497754432xzw^{2}t^{14}+38455068684950742876362430376657342844643202331725706810272104112xzwt^{15}+2014284693627349350011992679596538778716758268737271622009148184xzt^{16}+793517534421987766307066607771879258874459914899438940739707031xw^{17}+15312826594833301884260297346096405119440287939847567090129221646xw^{16}t-17177478493713804003649829137368658297864251102657669262541016057xw^{15}t^{2}-392935976034726004933301913616951674509041347892519972165903954192xw^{14}t^{3}-896738876713770145335948468356156473707062786564454589153476707616xw^{13}t^{4}+838508357659472675090815823347271314800035553626693152668698203984xw^{12}t^{5}+5916688241707954518644832622104754674415678790206466996666399836768xw^{11}t^{6}+7671324218986707829379868915742833784203390460141720445007399965328xw^{10}t^{7}+2995255940236859620591981289476753946600812571757635670103841643024xw^{9}t^{8}-6366305683446239396078721955063359509290457200657023077194406710984xw^{8}t^{9}-9706558288201719614718809417590287505149966089746228180182446366608xw^{7}t^{10}-6034575778742423102045232699134542704813856476178866182669630627100xw^{6}t^{11}-2598797223129565752680090891194377910055285261891925082555987372964xw^{5}t^{12}-422731066034492940663065263805724650128028083122875002863758028081xw^{4}t^{13}+24387568132337597824737433954052516892428058676953863970860416367xw^{3}t^{14}-5061202955333644605036561379551919981570684877205591903854141350xw^{2}t^{15}+7893386643301257792368296753269349426018470980596864620805317735xwt^{16}+2283915910951587520248637665083879250798052679439619611829205229xt^{17}-2254587922490556919152366052953900224577181646776325033821229616yzw^{16}+6514176419749873325060734540407496454661131602208048470474620784yzw^{15}t+122371409102539686639918409406747790153017004333859983111672434944yzw^{14}t^{2}+219723710845229220469499136563490031931394700495026995369051450880yzw^{13}t^{3}-886093371506584452589669750521173405383096545421953026830244159488yzw^{12}t^{4}-2634914542430731647102499478473194924814983840916642659895681592064yzw^{11}t^{5}-2177272340016876335195980878773483528938880675463847321184856466688yzw^{10}t^{6}+2132388764917017642981114592862137393821806150331287665073952083968yzw^{9}t^{7}+7109056827553185912362367635429893043937169215808064106016052176128yzw^{8}t^{8}+4980778342763868171071533038533044086158964078117331091244393022080yzw^{7}t^{9}+1993330889413176864972974709034308961074113196650525762277571837952yzw^{6}t^{10}-177660546994277413035743526382671668515902450920011717660998798016yzw^{5}t^{11}-560211922030087697814209856746154246733309770190670986150878593664yzw^{4}t^{12}-327030286960688686359211444517919591315737843247859289492519881616yzw^{3}t^{13}-116012734902536521695246695316384896523473531522553857947552490496yzw^{2}t^{14}-3806756101019941901385357112196351661722698904472813914894474080yzwt^{15}+2406794656110361439262479741514885441806382617507853202892027504yzt^{16}+957844344096314691933898090202378264186064161326305776195652969yw^{17}-1068924141754380856951135060569992670439085425050753384379429248yw^{16}t-59369090984106803974122417345061363940207924590150341118815335961yw^{15}t^{2}-102067846862567660947133538685949347580064826202826749532539228112yw^{14}t^{3}+568524511633494208374639838165949278679399952112968241076085403872yw^{13}t^{4}+1629262593405553781101544892557554837873816988943569968822078985904yw^{12}t^{5}+189251714390130209921320900192778488330122709451997513998967265344yw^{11}t^{6}-2775838659693508203388538159151360958054505719485618210812123833968yw^{10}t^{7}-6527436026615110437966149446249300432446139626173694710102807293200yw^{9}t^{8}-2808293249910538635770321229059673745583700075372848411818590286872yw^{8}t^{9}+1437529820167236271110812386692983824965239589317904191313356814816yw^{7}t^{10}+1424067882101717478818369401464771956272449895979912186218382689452yw^{6}t^{11}+1670836033147164922847503816638203112680702053749054671099317066332yw^{5}t^{12}+652876245212729148257610564688645754255942308751623681332747640881yw^{4}t^{13}+29029595158066500902905896590788990880197702761426455900691639183yw^{3}t^{14}+20112780674911452501397507400540438432932439291203881860672072070yw^{2}t^{15}+13612994381078022666287233640791545791353094535329855094741116589ywt^{16}+1955800821787432057232961623908742548794886142975120069293562349yt^{17}-239604486107922068257122298912001958382834768469283441721358656z^{3}w^{15}-4390350824194160139398650515867523030797237700141730519933498368z^{3}w^{14}t+600007933242297285347079965251490938312026922990089218125400064z^{3}w^{13}t^{2}+70050527928192300560146190247660684882632851625006928696951205888z^{3}w^{12}t^{3}+218529108849819686791437680552195214370194234694274652642426187776z^{3}w^{11}t^{4}-76147559314913974830956450181140177390913438309261247179394388992z^{3}w^{10}t^{5}-512610701211918816843902227644906590204884459056291879216972525568z^{3}w^{9}t^{6}-634837755664997344594466740340517215931542135081829133003057999872z^{3}w^{8}t^{7}-860245199177626171051642705833150252674603663764032885626809353216z^{3}w^{7}t^{8}+235338836637125879173689858902153992036409424353910467769020217856z^{3}w^{6}t^{9}+295036513896594705652832931225435634029626696443508804558512112128z^{3}w^{5}t^{10}+9548983046188576836382190104816196101649312340463955492483188992z^{3}w^{4}t^{11}+108241373483111543351120255875897592629668721198275236745911580416z^{3}w^{3}t^{12}+39685223176529187250336935389695840419133621198587285989748503616z^{3}w^{2}t^{13}-5381827672712233971463715882978563315231629000975198454686707648z^{3}wt^{14}-1869225365572990397003621747837777953208739826434858232538727488z^{3}t^{15}-1264957055468559742363302066951371525116191516049878168502040916z^{2}w^{16}+15283921637653369019375648949648088777191426241553334630195955676z^{2}w^{15}t+100386069736551376605352757500942472780971272836239863195849482816z^{2}w^{14}t^{2}-77364363895787506209842680429317716159676120186546229906345458816z^{2}w^{13}t^{3}-1246536271115520893997064710993410192006523668968317483571290533888z^{2}w^{12}t^{4}-1948712294935492900713287192227258156042477291755996047250831101376z^{2}w^{11}t^{5}+438843475513348021451888683740393112754268816225341884644343260224z^{2}w^{10}t^{6}+5723484439131314149986458955146757322295405425621272123746175434240z^{2}w^{9}t^{7}+7272561716848927726353334115552827434618940611273954811096639951680z^{2}w^{8}t^{8}+3234980032918081728209281503139683423135732205629012072255651830304z^{2}w^{7}t^{9}-477794207843980104070636616929966593092087013606119804903240778080z^{2}w^{6}t^{10}-1542230692529767296761482258722008860552248493690810643207914191056z^{2}w^{5}t^{11}-1037523815915199589274813949348746031688248503418363472803812458944z^{2}w^{4}t^{12}-444423249253080397132229373779911617341179742376223881664760911252z^{2}w^{3}t^{13}-111747411694424893668257316200510588679105762859196050531899237072z^{2}w^{2}t^{14}-7269343694651812595261502506087092094749352729805615874830526280z^{2}wt^{15}+1044407892444850779982396016838333650459810724541886161270294708z^{2}t^{16}+266107697940675825563436765146113707898542504483063356068505481zw^{17}-5858674336106625267803840273654410869817894273746088787821751367zw^{16}t-38055051222520709424373680665889575179309109864000587745300569072zw^{15}t^{2}+71953860599894761536976754444099055546292705963456255452809364512zw^{14}t^{3}+693644975236459566128733621154947840821022695976132488390026287360zw^{13}t^{4}+983768835782408038103746436842384275775244188965618704259906284464zw^{12}t^{5}-1211909193922278205800647504560242204764023381899494323541057837328zw^{11}t^{6}-5214175441130737909681837389998778201137461811464847254359426652288zw^{10}t^{7}-5472446145270963855217504280463004952499312193986207673415434156432zw^{9}t^{8}-1283383228859831620698084976062433059239918677411416238618798481064zw^{8}t^{9}+2591865967112851087370671621592787381276511250549194832887478717496zw^{7}t^{10}+3513025666034784911863463229717295696355913622255302131033424370660zw^{6}t^{11}+1902848872633978640126153476860168333165328584628606738466631420928zw^{5}t^{12}+527912026508566122427914591784668294547497050803735458799207894641zw^{4}t^{13}+192620373519958898788087925900875412737896645905406670916283590192zw^{3}t^{14}+39647729982573143416080993271689777508965973235349683760321384150zw^{2}t^{15}-6898946025203719939123974398671176963620353522738426199087777597zwt^{16}-1849055608856864482456192200478002577529800218031853284170265856zt^{17}-330146394432110868667828011971575252213346671792598253217845145w^{18}+3917571441359243435629860934702606859878209728716749186086669271w^{17}t+25069187427415786802900342387612374491543442946655562851596752807w^{16}t^{2}-38626756560728146219419023132675877195569317193016000986317969049w^{15}t^{3}-369958566376569459878581576054616582353147009954610399333150059504w^{14}t^{4}-486185456331199552023570839524108337732335068505901537572172521168w^{13}t^{5}+795410986450007561443123233865750467601836036690820691041405909776w^{12}t^{6}+2733847340782738815817231000772205472205950419824115767146023782608w^{11}t^{7}+2733289603616272439503271340275491796737457828117036237519391763872w^{10}t^{8}+121595874806806267358383828601682003757939140455696113288395090088w^{9}t^{9}-2326458839724636293671099058070045912508505853857340985750804280232w^{8}t^{10}-2588290858373671700247804007805320501266661338788040544421685661180w^{7}t^{11}-1494721312806467915286301234028359642249479680114238923276817241144w^{6}t^{12}-470564462354242533424889269187445102563373454097503347621976954757w^{5}t^{13}-104756014795412585918799325809363918704138488662173989068888592208w^{4}t^{14}-24771114109005081818664865524555694046812379786968524451889769639w^{3}t^{15}+559137185710279516954564664326704788933876483244977703761645117w^{2}t^{16}+2082025258446796804195950942047299220708501825232914358014235114wt^{17}+321257940163699457197568428378191747801899989274226027178146333t^{18}}{3715675170980025579319797708094969825457696051072640xzw^{16}+2507627076423304006397034530046464392648139568164064xzw^{15}t-128070127491800123805391026207133267741870296062902752xzw^{14}t^{2}+448265117162358323382635641550781382349388585614202768xzw^{13}t^{3}-1038088495438065485030489238190552876963133706407620680xzw^{12}t^{4}+4520867099614730597821994884944583773391274236367683408xzw^{11}t^{5}+18282229241947501721031515412079972954645132631918311128xzw^{10}t^{6}-23615538402256645961946138725639561393208108750968477832xzw^{9}t^{7}-335996528155101798776247488729505350472284753223971764184xzw^{8}t^{8}-755199064706459944491953155347253182608555300578012515904xzw^{7}t^{9}-447338938989868489057392086566277858566904045320691720376xzw^{6}t^{10}+523739394841680791072714461306591079732094187057341785512xzw^{5}t^{11}+963644612882277881018446913791314838459425667544414404160xzw^{4}t^{12}+607809563436978299668671878952918313641558986842800560256xzw^{3}t^{13}+185339304260071828928132298023045279406386139421522693632xzw^{2}t^{14}+26294988101978321358587951243031646644883005829847407616xzwt^{15}+1267577056935915612239001360877567120145313690983731200xzt^{16}+1680727306089953838773984878751414866916331799919520xw^{17}-744582627078653016525441062600747349780908467219068xw^{16}t-41162669782056592327856325820293617097182362493214240xw^{15}t^{2}+170015724183059404612977511298205698834585528255155458xw^{14}t^{3}-439513454679359211807003139849802981730618193094424129xw^{13}t^{4}-460086807318689640047826249298533123237167033356856561xw^{12}t^{5}+711866468664238632972793973663550012954719163977108171xw^{11}t^{6}+33008020053295995304041442795331885238289783169211535498xw^{10}t^{7}+79859071896091795910664779191937202525738399881815907160xw^{9}t^{8}-85690502176626594748922300516481835609618437437890273525xw^{8}t^{9}-689565171058373670442153553172822406091008282391997980585xw^{7}t^{10}-1272907786081760055043435282918282647533445922041838420146xw^{6}t^{11}-1152768455700814448568431525064007882894137521111296609513xw^{5}t^{12}-545163832847339275082679191174153842229383893851125752824xw^{4}t^{13}-111143306744931944325679862725955595260420138803344984208xw^{3}t^{14}+5446745713059039187781011929184258273197779481689696448xw^{2}t^{15}+5763392538687960594597455588567660951700674464394060928xwt^{16}+630688675472313075507174751772947677996694017099422208xt^{17}+10689778274498213380354991324059191599632384001215104yzw^{16}-87311460537722736500379426987864978875810058845568576yzw^{15}t+221484076241459366668513108447516279251567164856068160yzw^{14}t^{2}-115169817977692775936705848449076419159471809071313568yzw^{13}t^{3}-483502907998495193132167738360376700087115281710603088yzw^{12}t^{4}+817627405913414810774758523685112554310281222483065184yzw^{11}t^{5}-10985349343712387438499646605151937902973588372447493776yzw^{10}t^{6}-13584571802878144838922650234553538687209380264039318320yzw^{9}t^{7}+85591075884566072442652435358965012615021863202272524944yzw^{8}t^{8}+357342801698486069669243237616105334227412503300788403072yzw^{7}t^{9}+500435144645253358676563409309178627712086231028931328080yzw^{6}t^{10}+252775451959000326981902331204408931109462086650958646512yzw^{5}t^{11}-64939282797227437856304424118480071188513609249700152960yzw^{4}t^{12}-131180569476998685046659739314877994710737906968384376064yzw^{3}t^{13}-58046932101538107675539697240171358139290197068568065024yzw^{2}t^{14}-10844254021192864654715611727668212077920940240748648448yzwt^{15}-718222891073688023183442648687771655988912659091816448yzt^{16}-1665252694375712430808665609425644664338683494725536yw^{17}-5054963893218136148669687429673351085518297321482820yw^{16}t+66710337684877868043904912152097686360154022231211624yw^{15}t^{2}-203199550328833407956997183689592833661579958166710794yw^{14}t^{3}+356763972659718080024998724797557175390634492358589965yw^{13}t^{4}-665455373586500001605846786671236321952395169738764477yw^{12}t^{5}+6122428256579193287545046514348905540626234447974563265yw^{11}t^{6}+6631347620247920970186399398783434877370416384034865056yw^{10}t^{7}-46843464519782937983788966748724682562958749089163152974yw^{9}t^{8}-187153914562784359285091663303613494000263855035980278917yw^{8}t^{9}-170465461687746208134050372236215465260832531393602161095yw^{7}t^{10}+157804142494355203785121852894853846825443557023617882416yw^{6}t^{11}+413846893439906834756772610944456186251578972805235879015yw^{5}t^{12}+321553922333549666351495024468921217226776874764708166824yw^{4}t^{13}+116521190401078874137010132059199820574888066617635237616yw^{3}t^{14}+18067376832210841327879134060046941238229829493417968576yw^{2}t^{15}+274649310400323067701480196079754151051182785453781120ywt^{16}-133648323317851931116823343096145976780619289600353792yt^{17}+6136101826478310061945395929058864421536285294122496z^{3}w^{15}-40788214162376331433909954838739197162223080285957376z^{3}w^{14}t+100394870378224631047021997374729597046516424289752576z^{3}w^{13}t^{2}-195580774475239164107789988700927152741008577096604032z^{3}w^{12}t^{3}+353314119659755672707512222391893183512606293662152896z^{3}w^{11}t^{4}-12829005579818661197258196499611265063354378038026944z^{3}w^{10}t^{5}+372476583123332105609420105901894485235909944447648128z^{3}w^{9}t^{6}-6439746303514522267871637283126661017209296070798546112z^{3}w^{8}t^{7}-22263762747395023057802126318117349147668804949545174016z^{3}w^{7}t^{8}-17470900491261467390105037319160769710987898081649797632z^{3}w^{6}t^{9}+21324615961954395455616617255269052113063189199946455744z^{3}w^{5}t^{10}+49927602926919804270787552701425820952051467830872349184z^{3}w^{4}t^{11}+37536033225414637595529656587691506557696435688107437056z^{3}w^{3}t^{12}+13400382088678838161244738968520170730145707830758821888z^{3}w^{2}t^{13}+2225219920151412268853182333993495449890226428733104128z^{3}wt^{14}+128273932315261348500440684680031756861903442546917376z^{3}t^{15}-1394462407225737618245071283304512182577974363438848z^{2}w^{16}+3068630406920297856933002216284367217066692838354384z^{2}w^{15}t-21536313766917440512326412689526296654800825728645008z^{2}w^{14}t^{2}+171045951462321592858865582374251619474726085943373560z^{2}w^{13}t^{3}-328348348444897981334702047737005185030205244488269836z^{2}w^{12}t^{4}-870043579691103400041465685827069774061580773525482936z^{2}w^{11}t^{5}-7385018660019320874869349470011978950524427503551513612z^{2}w^{10}t^{6}+5936403370864289019402448612383488215409557080128732356z^{2}w^{9}t^{7}+126538934860127300494098452727391163092855376385495209228z^{2}w^{8}t^{8}+297217029422871087155932787021890116897102983389313292192z^{2}w^{7}t^{9}+195129795760931281868485957853890287754661580780062095756z^{2}w^{6}t^{10}-182696097639718216658150994786481188982338104386465440388z^{2}w^{5}t^{11}-369847839449707584824582188471476530175264608126918086560z^{2}w^{4}t^{12}-239906630201481418053496775617661696616045365154550636352z^{2}w^{3}t^{13}-74476494258315578948073768172293812962222737903744204544z^{2}w^{2}t^{14}-10715667569320745898874105478642703184747139562966537728z^{2}wt^{15}-522348908651613453553298341784203903649752013639620608z^{2}t^{16}+1499134694271117541176029557524665124682547083507680zw^{17}-6992733387677975441582334575816622947630165676040932zw^{16}t+7844629106274417379264457746371045433255643801746116zw^{15}t^{2}-22839951785549665288584767727000596475964803653902086zw^{14}t^{3}-42534257646595938591204620130376849741268282786337273zw^{13}t^{4}+712414777463713586616339620283631815775698363431936922zw^{12}t^{5}+2250310032490610129629509095072781207171974311764748059zw^{11}t^{6}-4730409531533976671669662168577673622043142976550000821zw^{10}t^{7}-63235935467263111028615681447958585264760047894968758547zw^{9}t^{8}-123577861074253607525266117203164828356433871498765164296zw^{8}t^{9}+54401040976655567749652840538825823222158664104846271761zw^{7}t^{10}+464959900203841010388167031428579586444729284527881235057zw^{6}t^{11}+645684207918855179886349267718250607475493732509342379464zw^{5}t^{12}+425067221173771766139616364789808898995980162793306735312zw^{4}t^{13}+143439657768376134266052447907925650253079479318814208960zw^{3}t^{14}+21572709192798426775044203439803194179837273871360314752zw^{2}t^{15}+335959271965052164249905780078355560350093429073106432zwt^{16}-158565456614259070680526791444531960453802555485855744zt^{17}+34890762348459974310319424740050980701524240022944w^{18}-755452694196040819691204228909601655397112756378204w^{17}t-1476717988041629874153153324919047835594466673915492w^{16}t^{2}+5230998526644026982394168249898661558525938414481930w^{15}t^{3}+64769365157206443592157632026542844104020481730054405w^{14}t^{4}-435578477620616689871667862202692691323141563846861556w^{13}t^{5}-1550016252783759443557715122773786187068761846577863602w^{12}t^{6}+3254946652117874306742209043444843723668573675740185355w^{11}t^{7}+36208622304939954852856188544499468337803747072487049000w^{10}t^{8}+65407099757440530295565394248421007169817573405748786813w^{9}t^{9}-43995694350363593759353618495481827955174539376451084878w^{8}t^{10}-286786105943839386867768535905322039766517098683986824345w^{7}t^{11}-409458928619627523467641741105258049353867344623264325401w^{6}t^{12}-295123292832113086468320397740654766824582763074619530497w^{5}t^{13}-116368327064964668349312043201965603899101064752225166440w^{4}t^{14}-22367234934888958571823979279104789101077027778981526352w^{3}t^{15}-524468832043223376689659012313622521123078652663374784w^{2}t^{16}+494970737235074210208443819494346132697023069052306048wt^{17}+56985616375222476688813619518393922888659126522231296t^{18}}$ |
Map
of degree 1 from the canonical model of this modular curve to the plane model of the modular curve
30.144.5.b.1
:
| $\displaystyle X$ |
$=$ |
$\displaystyle x$ |
| $\displaystyle Y$ |
$=$ |
$\displaystyle t$ |
| $\displaystyle Z$ |
$=$ |
$\displaystyle y$ |
Equation of the image curve:
| $0$ |
$=$ |
$ 12X^{6}+3X^{5}Y+3X^{4}Y^{2}-12X^{5}Z-6X^{4}YZ-9X^{3}Y^{2}Z+X^{4}Z^{2}-X^{3}YZ^{2}+9X^{2}Y^{2}Z^{2}+2XY^{3}Z^{2}+Y^{4}Z^{2}-8X^{3}Z^{3}+15X^{2}YZ^{3}+9XY^{2}Z^{3}+2Y^{3}Z^{3}+12X^{2}Z^{4}+12XYZ^{4}+6Y^{2}Z^{4}+4XZ^{5}+5YZ^{5}+4Z^{6} $ |
This modular curve minimally covers the modular curves listed below.
This modular curve is minimally covered by the modular curves in the database listed below.
