Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 9·3-s + 33·5-s + 28·7-s + 622·9-s − 333·11-s + 297·15-s + 801·17-s + 2.13e3·19-s + 252·21-s − 2.66e3·23-s − 7.67e3·25-s + 843·27-s + 684·29-s − 3.11e3·31-s − 2.99e3·33-s + 924·35-s + 3.43e3·37-s + 2.05e4·45-s − 8.40e3·47-s − 1.19e4·49-s + 7.20e3·51-s + 1.70e3·53-s − 1.09e4·55-s + 1.92e4·57-s + 4.93e4·59-s − 2.18e4·61-s + 1.74e4·63-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.577·3-s + 0.590·5-s + 0.215·7-s + 2.55·9-s − 0.829·11-s + 0.340·15-s + 0.672·17-s + 1.35·19-s + 0.124·21-s − 1.05·23-s − 2.45·25-s + 0.222·27-s + 0.151·29-s − 0.582·31-s − 0.479·33-s + 0.127·35-s + 0.412·37-s + 1.51·45-s − 0.555·47-s − 0.711·49-s + 0.388·51-s + 0.0834·53-s − 0.489·55-s + 0.783·57-s + 1.84·59-s − 0.751·61-s + 0.552·63-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{56} \cdot 7^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{56} \cdot 7^{14}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{14} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(28\) |
| Conductor: | \(2^{56} \cdot 7^{14}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.64166\times 10^{17}\) |
| Root analytic conductor: | \(4.23827\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((28,\ 2^{56} \cdot 7^{14} ,\ ( \ : [5/2]^{14} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(\approx\) | \(14.34301849\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(14.34301849\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 7 | \( 1 - 4 p T + 12745 T^{2} + 148152 p T^{3} + 2539917 p^{2} T^{4} + 22942428 p^{4} T^{5} + 9238003 p^{5} T^{6} + 680805008 p^{7} T^{7} + 9238003 p^{10} T^{8} + 22942428 p^{14} T^{9} + 2539917 p^{17} T^{10} + 148152 p^{21} T^{11} + 12745 p^{25} T^{12} - 4 p^{31} T^{13} + p^{35} T^{14} \) | |
| good | 3 | \( 1 - p^{2} T - 541 T^{2} + 3208 p T^{3} + 36298 p T^{4} - 570646 p^{2} T^{5} - 5317009 T^{6} + 68244425 p^{3} T^{7} - 10023361664 T^{8} - 165840146755 p T^{9} + 808541050961 p^{2} T^{10} + 3587026316486 p^{3} T^{11} - 31900743951943 p^{4} T^{12} - 37497106244701 p^{5} T^{13} + 913566676226746 p^{6} T^{14} - 37497106244701 p^{10} T^{15} - 31900743951943 p^{14} T^{16} + 3587026316486 p^{18} T^{17} + 808541050961 p^{22} T^{18} - 165840146755 p^{26} T^{19} - 10023361664 p^{30} T^{20} + 68244425 p^{38} T^{21} - 5317009 p^{40} T^{22} - 570646 p^{47} T^{23} + 36298 p^{51} T^{24} + 3208 p^{56} T^{25} - 541 p^{60} T^{26} - p^{67} T^{27} + p^{70} T^{28} \) |
| 5 | \( 1 - 33 T + 1753 p T^{2} - 277266 T^{3} + 38791732 T^{4} - 579487068 T^{5} + 44689058041 T^{6} + 1986918549861 T^{7} - 48385614835916 p T^{8} + 14318719493272107 T^{9} - 180090166864468441 p T^{10} - 2305872265430375316 T^{11} + \)\(82\!\cdots\!27\)\( T^{12} - \)\(21\!\cdots\!33\)\( T^{13} + \)\(10\!\cdots\!18\)\( T^{14} - \)\(21\!\cdots\!33\)\( p^{5} T^{15} + \)\(82\!\cdots\!27\)\( p^{10} T^{16} - 2305872265430375316 p^{15} T^{17} - 180090166864468441 p^{21} T^{18} + 14318719493272107 p^{25} T^{19} - 48385614835916 p^{31} T^{20} + 1986918549861 p^{35} T^{21} + 44689058041 p^{40} T^{22} - 579487068 p^{45} T^{23} + 38791732 p^{50} T^{24} - 277266 p^{55} T^{25} + 1753 p^{61} T^{26} - 33 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 11 | \( 1 + 333 T + 407987 T^{2} + 123550992 T^{3} + 28340150974 T^{4} + 1517122388646 T^{5} - 5502969132356273 T^{6} - 2216138767551879111 T^{7} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( T^{8} + \)\(69\!\cdots\!13\)\( T^{9} + \)\(57\!\cdots\!85\)\( T^{10} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( T^{11} + \)\(26\!\cdots\!25\)\( T^{12} - \)\(13\!\cdots\!21\)\( T^{13} - \)\(70\!\cdots\!10\)\( T^{14} - \)\(13\!\cdots\!21\)\( p^{5} T^{15} + \)\(26\!\cdots\!25\)\( p^{10} T^{16} + \)\(16\!\cdots\!46\)\( p^{15} T^{17} + \)\(57\!\cdots\!85\)\( p^{20} T^{18} + \)\(69\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!08\)\( p^{30} T^{20} - 2216138767551879111 p^{35} T^{21} - 5502969132356273 p^{40} T^{22} + 1517122388646 p^{45} T^{23} + 28340150974 p^{50} T^{24} + 123550992 p^{55} T^{25} + 407987 p^{60} T^{26} + 333 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 13 | \( 1 - 2537606 T^{2} + 3144142485139 T^{4} - 2585817014504297404 T^{6} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( T^{8} - \)\(83\!\cdots\!22\)\( T^{10} + \)\(37\!\cdots\!23\)\( T^{12} - \)\(14\!\cdots\!64\)\( T^{14} + \)\(37\!\cdots\!23\)\( p^{10} T^{16} - \)\(83\!\cdots\!22\)\( p^{20} T^{18} + \)\(16\!\cdots\!05\)\( p^{30} T^{20} - 2585817014504297404 p^{40} T^{22} + 3144142485139 p^{50} T^{24} - 2537606 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} \) | |
| 17 | \( 1 - 801 T + 3763025 T^{2} - 167227974 p T^{3} + 4448748667024 T^{4} - 3111093031138920 T^{5} + 2473071010595683861 T^{6} - \)\(72\!\cdots\!55\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!84\)\( T^{8} - \)\(26\!\cdots\!13\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!87\)\( T^{10} - \)\(39\!\cdots\!28\)\( T^{11} + \)\(33\!\cdots\!99\)\( T^{12} - \)\(30\!\cdots\!57\)\( T^{13} + \)\(21\!\cdots\!34\)\( T^{14} - \)\(30\!\cdots\!57\)\( p^{5} T^{15} + \)\(33\!\cdots\!99\)\( p^{10} T^{16} - \)\(39\!\cdots\!28\)\( p^{15} T^{17} + \)\(32\!\cdots\!87\)\( p^{20} T^{18} - \)\(26\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{19} + \)\(11\!\cdots\!84\)\( p^{30} T^{20} - \)\(72\!\cdots\!55\)\( p^{35} T^{21} + 2473071010595683861 p^{40} T^{22} - 3111093031138920 p^{45} T^{23} + 4448748667024 p^{50} T^{24} - 167227974 p^{56} T^{25} + 3763025 p^{60} T^{26} - 801 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 19 | \( 1 - 2135 T - 4901349 T^{2} + 11476045504 T^{3} + 6426407976910 T^{4} - 12508422011719074 T^{5} - 25218549975257673049 T^{6} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( T^{7} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{8} - \)\(17\!\cdots\!15\)\( T^{9} - \)\(19\!\cdots\!59\)\( T^{10} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!05\)\( p^{2} T^{12} + \)\(32\!\cdots\!35\)\( T^{13} - \)\(29\!\cdots\!82\)\( T^{14} + \)\(32\!\cdots\!35\)\( p^{5} T^{15} + \)\(19\!\cdots\!05\)\( p^{12} T^{16} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{17} - \)\(19\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{18} - \)\(17\!\cdots\!15\)\( p^{25} T^{19} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{20} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( p^{35} T^{21} - 25218549975257673049 p^{40} T^{22} - 12508422011719074 p^{45} T^{23} + 6426407976910 p^{50} T^{24} + 11476045504 p^{55} T^{25} - 4901349 p^{60} T^{26} - 2135 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 23 | \( 1 + 2667 T + 31963631 T^{2} + 78923645556 T^{3} + 517204523616970 T^{4} + 1185072556106986470 T^{5} + \)\(57\!\cdots\!79\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!28\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{9} + \)\(39\!\cdots\!17\)\( T^{10} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{11} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( T^{12} + \)\(77\!\cdots\!53\)\( T^{13} + \)\(19\!\cdots\!70\)\( T^{14} + \)\(77\!\cdots\!53\)\( p^{5} T^{15} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( p^{10} T^{16} + \)\(10\!\cdots\!10\)\( p^{15} T^{17} + \)\(39\!\cdots\!17\)\( p^{20} T^{18} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{25} T^{19} + \)\(50\!\cdots\!28\)\( p^{30} T^{20} + \)\(13\!\cdots\!59\)\( p^{35} T^{21} + \)\(57\!\cdots\!79\)\( p^{40} T^{22} + 1185072556106986470 p^{45} T^{23} + 517204523616970 p^{50} T^{24} + 78923645556 p^{55} T^{25} + 31963631 p^{60} T^{26} + 2667 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 29 | \( ( 1 - 342 T + 49666103 T^{2} - 161731770876 T^{3} + 1165058962349529 T^{4} - 160600403505639042 p T^{5} + \)\(36\!\cdots\!03\)\( T^{6} - \)\(57\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(36\!\cdots\!03\)\( p^{5} T^{8} - 160600403505639042 p^{11} T^{9} + 1165058962349529 p^{15} T^{10} - 161731770876 p^{20} T^{11} + 49666103 p^{25} T^{12} - 342 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 31 | \( 1 + 3119 T - 117128265 T^{2} - 250760853508 T^{3} + 7371458845062562 T^{4} + 8175588369980490054 T^{5} - \)\(31\!\cdots\!49\)\( T^{6} + \)\(57\!\cdots\!35\)\( T^{7} + \)\(10\!\cdots\!16\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!17\)\( T^{9} - \)\(28\!\cdots\!43\)\( T^{10} + \)\(18\!\cdots\!78\)\( p T^{11} + \)\(74\!\cdots\!89\)\( T^{12} - \)\(75\!\cdots\!23\)\( T^{13} - \)\(20\!\cdots\!02\)\( T^{14} - \)\(75\!\cdots\!23\)\( p^{5} T^{15} + \)\(74\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{16} + \)\(18\!\cdots\!78\)\( p^{16} T^{17} - \)\(28\!\cdots\!43\)\( p^{20} T^{18} - \)\(14\!\cdots\!17\)\( p^{25} T^{19} + \)\(10\!\cdots\!16\)\( p^{30} T^{20} + \)\(57\!\cdots\!35\)\( p^{35} T^{21} - \)\(31\!\cdots\!49\)\( p^{40} T^{22} + 8175588369980490054 p^{45} T^{23} + 7371458845062562 p^{50} T^{24} - 250760853508 p^{55} T^{25} - 117128265 p^{60} T^{26} + 3119 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 37 | \( 1 - 3431 T - 126748023 T^{2} + 835260709650 T^{3} - 472350187281984 T^{4} - 23993876372606807556 T^{5} + \)\(56\!\cdots\!49\)\( T^{6} - \)\(64\!\cdots\!73\)\( T^{7} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( T^{8} + \)\(36\!\cdots\!17\)\( T^{9} - \)\(47\!\cdots\!77\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!64\)\( T^{11} - \)\(12\!\cdots\!21\)\( T^{12} - \)\(19\!\cdots\!67\)\( T^{13} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( T^{14} - \)\(19\!\cdots\!67\)\( p^{5} T^{15} - \)\(12\!\cdots\!21\)\( p^{10} T^{16} + \)\(29\!\cdots\!64\)\( p^{15} T^{17} - \)\(47\!\cdots\!77\)\( p^{20} T^{18} + \)\(36\!\cdots\!17\)\( p^{25} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!20\)\( p^{30} T^{20} - \)\(64\!\cdots\!73\)\( p^{35} T^{21} + \)\(56\!\cdots\!49\)\( p^{40} T^{22} - 23993876372606807556 p^{45} T^{23} - 472350187281984 p^{50} T^{24} + 835260709650 p^{55} T^{25} - 126748023 p^{60} T^{26} - 3431 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 41 | \( 1 - 775877662 T^{2} + 290417528043192235 T^{4} - \)\(71\!\cdots\!92\)\( T^{6} + \)\(13\!\cdots\!85\)\( T^{8} - \)\(21\!\cdots\!06\)\( T^{10} + \)\(30\!\cdots\!83\)\( T^{12} - \)\(38\!\cdots\!80\)\( T^{14} + \)\(30\!\cdots\!83\)\( p^{10} T^{16} - \)\(21\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{18} + \)\(13\!\cdots\!85\)\( p^{30} T^{20} - \)\(71\!\cdots\!92\)\( p^{40} T^{22} + 290417528043192235 p^{50} T^{24} - 775877662 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} \) | |
| 43 | \( 1 - 764269094 T^{2} + 311183400124098403 T^{4} - \)\(96\!\cdots\!64\)\( T^{6} + \)\(24\!\cdots\!73\)\( T^{8} - \)\(51\!\cdots\!74\)\( T^{10} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( T^{12} - \)\(14\!\cdots\!04\)\( T^{14} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{16} - \)\(51\!\cdots\!74\)\( p^{20} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{20} - \)\(96\!\cdots\!64\)\( p^{40} T^{22} + 311183400124098403 p^{50} T^{24} - 764269094 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} \) | |
| 47 | \( 1 + 8409 T - 999599705 T^{2} - 8606052953436 T^{3} + 525045816022807330 T^{4} + \)\(44\!\cdots\!06\)\( T^{5} - \)\(18\!\cdots\!05\)\( T^{6} - \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{7} + \)\(51\!\cdots\!56\)\( T^{8} + \)\(38\!\cdots\!21\)\( T^{9} - \)\(11\!\cdots\!83\)\( T^{10} - \)\(70\!\cdots\!26\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!61\)\( T^{12} + \)\(62\!\cdots\!75\)\( T^{13} - \)\(41\!\cdots\!86\)\( T^{14} + \)\(62\!\cdots\!75\)\( p^{5} T^{15} + \)\(20\!\cdots\!61\)\( p^{10} T^{16} - \)\(70\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{17} - \)\(11\!\cdots\!83\)\( p^{20} T^{18} + \)\(38\!\cdots\!21\)\( p^{25} T^{19} + \)\(51\!\cdots\!56\)\( p^{30} T^{20} - \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{35} T^{21} - \)\(18\!\cdots\!05\)\( p^{40} T^{22} + \)\(44\!\cdots\!06\)\( p^{45} T^{23} + 525045816022807330 p^{50} T^{24} - 8606052953436 p^{55} T^{25} - 999599705 p^{60} T^{26} + 8409 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 53 | \( 1 - 1707 T - 1273116935 T^{2} - 9612699824910 T^{3} + 809291811753382168 T^{4} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{5} - \)\(18\!\cdots\!19\)\( T^{6} - \)\(40\!\cdots\!17\)\( T^{7} - \)\(49\!\cdots\!76\)\( T^{8} - \)\(69\!\cdots\!91\)\( T^{9} + \)\(47\!\cdots\!55\)\( T^{10} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( T^{11} - \)\(10\!\cdots\!49\)\( T^{12} - \)\(26\!\cdots\!99\)\( T^{13} + \)\(11\!\cdots\!94\)\( T^{14} - \)\(26\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{15} - \)\(10\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{16} + \)\(11\!\cdots\!76\)\( p^{15} T^{17} + \)\(47\!\cdots\!55\)\( p^{20} T^{18} - \)\(69\!\cdots\!91\)\( p^{25} T^{19} - \)\(49\!\cdots\!76\)\( p^{30} T^{20} - \)\(40\!\cdots\!17\)\( p^{35} T^{21} - \)\(18\!\cdots\!19\)\( p^{40} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( p^{45} T^{23} + 809291811753382168 p^{50} T^{24} - 9612699824910 p^{55} T^{25} - 1273116935 p^{60} T^{26} - 1707 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 59 | \( 1 - 49305 T - 1652520389 T^{2} + 87988634797872 T^{3} + 2660402597862298630 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!54\)\( T^{5} - \)\(27\!\cdots\!45\)\( T^{6} + \)\(55\!\cdots\!27\)\( T^{7} + \)\(25\!\cdots\!04\)\( T^{8} - \)\(14\!\cdots\!05\)\( T^{9} - \)\(15\!\cdots\!87\)\( T^{10} - \)\(87\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(70\!\cdots\!01\)\( T^{12} + \)\(31\!\cdots\!41\)\( T^{13} - \)\(26\!\cdots\!06\)\( T^{14} + \)\(31\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{15} + \)\(70\!\cdots\!01\)\( p^{10} T^{16} - \)\(87\!\cdots\!98\)\( p^{15} T^{17} - \)\(15\!\cdots\!87\)\( p^{20} T^{18} - \)\(14\!\cdots\!05\)\( p^{25} T^{19} + \)\(25\!\cdots\!04\)\( p^{30} T^{20} + \)\(55\!\cdots\!27\)\( p^{35} T^{21} - \)\(27\!\cdots\!45\)\( p^{40} T^{22} - \)\(10\!\cdots\!54\)\( p^{45} T^{23} + 2660402597862298630 p^{50} T^{24} + 87988634797872 p^{55} T^{25} - 1652520389 p^{60} T^{26} - 49305 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 61 | \( 1 + 21843 T + 63980689 p T^{2} + 81775455258078 T^{3} + 7727068082635499716 T^{4} + \)\(19\!\cdots\!32\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!13\)\( T^{6} + \)\(32\!\cdots\!49\)\( T^{7} + \)\(13\!\cdots\!68\)\( T^{8} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( T^{9} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( T^{10} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( T^{12} + \)\(43\!\cdots\!99\)\( T^{13} + \)\(13\!\cdots\!66\)\( T^{14} + \)\(43\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{15} + \)\(15\!\cdots\!51\)\( p^{10} T^{16} + \)\(46\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{17} + \)\(14\!\cdots\!79\)\( p^{20} T^{18} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( p^{25} T^{19} + \)\(13\!\cdots\!68\)\( p^{30} T^{20} + \)\(32\!\cdots\!49\)\( p^{35} T^{21} + \)\(11\!\cdots\!13\)\( p^{40} T^{22} + \)\(19\!\cdots\!32\)\( p^{45} T^{23} + 7727068082635499716 p^{50} T^{24} + 81775455258078 p^{55} T^{25} + 63980689 p^{61} T^{26} + 21843 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 67 | \( 1 - 73263 T + 9130306435 T^{2} - 537834724613256 T^{3} + 40060672411192454254 T^{4} - \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( T^{6} - \)\(40\!\cdots\!39\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{8} - \)\(57\!\cdots\!39\)\( T^{9} + \)\(23\!\cdots\!41\)\( T^{10} - \)\(50\!\cdots\!98\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!53\)\( T^{12} - \)\(27\!\cdots\!09\)\( T^{13} + \)\(20\!\cdots\!78\)\( T^{14} - \)\(27\!\cdots\!09\)\( p^{5} T^{15} + \)\(20\!\cdots\!53\)\( p^{10} T^{16} - \)\(50\!\cdots\!98\)\( p^{15} T^{17} + \)\(23\!\cdots\!41\)\( p^{20} T^{18} - \)\(57\!\cdots\!39\)\( p^{25} T^{19} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{30} T^{20} - \)\(40\!\cdots\!39\)\( p^{35} T^{21} + \)\(10\!\cdots\!83\)\( p^{40} T^{22} - \)\(18\!\cdots\!46\)\( p^{45} T^{23} + 40060672411192454254 p^{50} T^{24} - 537834724613256 p^{55} T^{25} + 9130306435 p^{60} T^{26} - 73263 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 71 | \( 1 - 13957603534 T^{2} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( T^{4} - \)\(50\!\cdots\!76\)\( T^{6} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{8} - \)\(55\!\cdots\!58\)\( T^{10} + \)\(18\!\cdots\!17\)\( p T^{12} - \)\(26\!\cdots\!72\)\( T^{14} + \)\(18\!\cdots\!17\)\( p^{11} T^{16} - \)\(55\!\cdots\!58\)\( p^{20} T^{18} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( p^{30} T^{20} - \)\(50\!\cdots\!76\)\( p^{40} T^{22} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( p^{50} T^{24} - 13957603534 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} \) | |
| 73 | \( 1 + 77043 T + 6497778673 T^{2} + 348175606237770 T^{3} + 13084998072432399712 T^{4} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( T^{5} - \)\(20\!\cdots\!43\)\( T^{6} - \)\(23\!\cdots\!19\)\( T^{7} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{8} - \)\(73\!\cdots\!05\)\( T^{9} - \)\(23\!\cdots\!13\)\( T^{10} - \)\(23\!\cdots\!24\)\( T^{11} + \)\(35\!\cdots\!11\)\( T^{12} + \)\(31\!\cdots\!19\)\( T^{13} + \)\(17\!\cdots\!78\)\( T^{14} + \)\(31\!\cdots\!19\)\( p^{5} T^{15} + \)\(35\!\cdots\!11\)\( p^{10} T^{16} - \)\(23\!\cdots\!24\)\( p^{15} T^{17} - \)\(23\!\cdots\!13\)\( p^{20} T^{18} - \)\(73\!\cdots\!05\)\( p^{25} T^{19} - \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{20} - \)\(23\!\cdots\!19\)\( p^{35} T^{21} - \)\(20\!\cdots\!43\)\( p^{40} T^{22} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{45} T^{23} + 13084998072432399712 p^{50} T^{24} + 348175606237770 p^{55} T^{25} + 6497778673 p^{60} T^{26} + 77043 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 79 | \( 1 + 206523 T + 36185985079 T^{2} + 4537049107144428 T^{3} + \)\(51\!\cdots\!94\)\( T^{4} + \)\(49\!\cdots\!90\)\( T^{5} + \)\(44\!\cdots\!91\)\( T^{6} + \)\(35\!\cdots\!79\)\( T^{7} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!87\)\( T^{9} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( T^{10} + \)\(73\!\cdots\!30\)\( T^{11} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( T^{12} + \)\(25\!\cdots\!01\)\( T^{13} + \)\(14\!\cdots\!46\)\( T^{14} + \)\(25\!\cdots\!01\)\( p^{5} T^{15} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( p^{10} T^{16} + \)\(73\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{17} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( p^{20} T^{18} + \)\(18\!\cdots\!87\)\( p^{25} T^{19} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( p^{30} T^{20} + \)\(35\!\cdots\!79\)\( p^{35} T^{21} + \)\(44\!\cdots\!91\)\( p^{40} T^{22} + \)\(49\!\cdots\!90\)\( p^{45} T^{23} + \)\(51\!\cdots\!94\)\( p^{50} T^{24} + 4537049107144428 p^{55} T^{25} + 36185985079 p^{60} T^{26} + 206523 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 83 | \( ( 1 - 152700 T + 26627215301 T^{2} - 2957216495363064 T^{3} + \)\(30\!\cdots\!37\)\( T^{4} - \)\(26\!\cdots\!92\)\( T^{5} + \)\(19\!\cdots\!57\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{7} + \)\(19\!\cdots\!57\)\( p^{5} T^{8} - \)\(26\!\cdots\!92\)\( p^{10} T^{9} + \)\(30\!\cdots\!37\)\( p^{15} T^{10} - 2957216495363064 p^{20} T^{11} + 26627215301 p^{25} T^{12} - 152700 p^{30} T^{13} + p^{35} T^{14} )^{2} \) | |
| 89 | \( 1 - 171381 T + 35449999841 T^{2} - 4397553760783974 T^{3} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( T^{4} - \)\(53\!\cdots\!96\)\( T^{5} + \)\(51\!\cdots\!49\)\( T^{6} - \)\(43\!\cdots\!91\)\( T^{7} + \)\(37\!\cdots\!60\)\( T^{8} - \)\(27\!\cdots\!93\)\( T^{9} + \)\(21\!\cdots\!39\)\( T^{10} - \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{12} - \)\(76\!\cdots\!61\)\( T^{13} + \)\(57\!\cdots\!18\)\( T^{14} - \)\(76\!\cdots\!61\)\( p^{5} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{10} T^{16} - \)\(15\!\cdots\!16\)\( p^{15} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!39\)\( p^{20} T^{18} - \)\(27\!\cdots\!93\)\( p^{25} T^{19} + \)\(37\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{20} - \)\(43\!\cdots\!91\)\( p^{35} T^{21} + \)\(51\!\cdots\!49\)\( p^{40} T^{22} - \)\(53\!\cdots\!96\)\( p^{45} T^{23} + \)\(53\!\cdots\!52\)\( p^{50} T^{24} - 4397553760783974 p^{55} T^{25} + 35449999841 p^{60} T^{26} - 171381 p^{65} T^{27} + p^{70} T^{28} \) | |
| 97 | \( 1 - 88057443374 T^{2} + \)\(38\!\cdots\!79\)\( T^{4} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{6} + \)\(21\!\cdots\!25\)\( T^{8} - \)\(32\!\cdots\!58\)\( T^{10} + \)\(39\!\cdots\!03\)\( T^{12} - \)\(37\!\cdots\!80\)\( T^{14} + \)\(39\!\cdots\!03\)\( p^{10} T^{16} - \)\(32\!\cdots\!58\)\( p^{20} T^{18} + \)\(21\!\cdots\!25\)\( p^{30} T^{20} - \)\(10\!\cdots\!40\)\( p^{40} T^{22} + \)\(38\!\cdots\!79\)\( p^{50} T^{24} - 88057443374 p^{60} T^{26} + p^{70} T^{28} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{28} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.36020448507198364378670112902, −3.17736375800750820493095901399, −2.93966016400440793005354345320, −2.92944265267246549738417291501, −2.88924789299400802299680422578, −2.82541451834427993811630867539, −2.78433604026216446616848619881, −2.39850028643736890337937069381, −2.31399599969160989860157422456, −2.24005111618191167093167790549, −1.83777893742736201285858677325, −1.81830906215098117545988592959, −1.77873410526744985801004000151, −1.76893715778536974572660756998, −1.76239926070242886068834233174, −1.71114415778467245295067519048, −1.33900781901860355795418698394, −1.17592593817257398291908922560, −0.966607959994693985111871252537, −0.853407836479243738119918291101, −0.68282864356705516945953942753, −0.61235666696703900478193537768, −0.46680429480210106207951939860, −0.27313286842062289305911388499, −0.11919999723168575218500401989, 0.11919999723168575218500401989, 0.27313286842062289305911388499, 0.46680429480210106207951939860, 0.61235666696703900478193537768, 0.68282864356705516945953942753, 0.853407836479243738119918291101, 0.966607959994693985111871252537, 1.17592593817257398291908922560, 1.33900781901860355795418698394, 1.71114415778467245295067519048, 1.76239926070242886068834233174, 1.76893715778536974572660756998, 1.77873410526744985801004000151, 1.81830906215098117545988592959, 1.83777893742736201285858677325, 2.24005111618191167093167790549, 2.31399599969160989860157422456, 2.39850028643736890337937069381, 2.78433604026216446616848619881, 2.82541451834427993811630867539, 2.88924789299400802299680422578, 2.92944265267246549738417291501, 2.93966016400440793005354345320, 3.17736375800750820493095901399, 3.36020448507198364378670112902
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.