LMFDB - Artin representation 4.965899771204.40t60.a.a

Basic invariants

Dimension:	$4$
Group:	24T201
Conductor:	$965899771204$$\medspace = 2^{2} \cdot 701^{4} $
Frobenius-Schur indicator:	$-1$
Artin stem field:	Galois closure of 24.0.222827207712370104632723127976575561507721130868736.1
Galois orbit size:	$1$
Smallest permutation container:	40T60
Parity:	even
Determinant:	1.1.1t1.a.a
Projective image:	$A_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.5.965899771204.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 8 x^{23} + 55 x^{22} - 508 x^{21} + 3339 x^{20} - 19862 x^{19} + 116903 x^{18} + \cdots + 19102691171 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 37 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 37 }$: $ x^{10} + 8x^{5} + 29x^{4} + 18x^{3} + 11x^{2} + 4x + 2 $ x^10 + 8*x^5 + 29*x^4 + 18*x^3 + 11*x^2 + 4*x + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 35 a^{4} + 32 a^{3} + 19 a^{2} + 18 a + 27 + \left(24 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 11 a^{6} + 35 a^{5} + 18 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 37 + \left(18 a^{9} + 35 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 33 a^{4} + 10 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 37^{2} + \left(6 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 31 a^{6} + 25 a^{5} + 8 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 37^{3} + \left(25 a^{9} + 31 a^{8} + 30 a^{7} + 24 a^{5} + 32 a^{4} + 36 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 32 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 24 a^{3} + 11 a^{2} + 25\right)\cdot 37^{5} + \left(4 a^{9} + 9 a^{8} + 24 a^{7} + 29 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 34 a^{3} + 17 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 37^{6} + \left(32 a^{9} + 13 a^{8} + 17 a^{7} + 31 a^{6} + 25 a^{5} + 20 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 37^{7} + \left(26 a^{9} + 26 a^{8} + 13 a^{7} + 7 a^{6} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 20 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 37^{8} + \left(18 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 34 a^{6} + 2 a^{5} + 36 a^{4} + 29 a^{3} + 17 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 22a^9 + 19a^8 + 27a^7 + 22a^6 + 3a^5 + 35a^4 + 32a^3 + 19a^2 + 18a + 27 + (24a^9 + 14a^8 + 28a^7 + 11a^6 + 35a^5 + 18a^4 + 8a^3 + 3a^2 + 36a + 3)37 + (18a^9 + 35a^8 + a^7 + 5a^6 + 33a^4 + 10a^3 + 30a^2 + 23a + 35)37^2 + (6a^9 + 20a^8 + 27a^7 + 31a^6 + 25a^5 + 8a^4 + 6a^3 + 4a^2 + 9a + 16)37^3 + (25a^9 + 31a^8 + 30a^7 + 24a^5 + 32a^4 + 36a^3 + 22a^2 + 8a + 13)37^4 + (23a^9 + 29a^8 + 22a^7 + 32a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 24a^3 + 11a^2 + 25)37^5 + (4a^9 + 9a^8 + 24a^7 + 29a^6 + 16a^5 + 8a^4 + 34a^3 + 17a^2 + 20a + 34)37^6 + (32a^9 + 13a^8 + 17a^7 + 31a^6 + 25a^5 + 20a^4 + 19a^3 + 10a^2 + 22a + 20)37^7 + (26a^9 + 26a^8 + 13a^7 + 7a^6 + 4a^4 + 4a^3 + 20a^2 + 8a + 6)37^8 + (18a^9 + 28a^8 + 2a^7 + 34a^6 + 2a^5 + 36a^4 + 29a^3 + 17a^2 + 29a + 35)37^9+O(37^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 34 a^{5} + 2 a^{4} + 5 a^{3} + 18 a^{2} + 19 a + 3 + \left(12 a^{9} + 22 a^{8} + 8 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 33 a^{2} + 13\right)\cdot 37 + \left(18 a^{9} + a^{8} + 35 a^{7} + 31 a^{6} + 36 a^{5} + 3 a^{4} + 26 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{9} + 16 a^{8} + 9 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 28 a^{4} + 30 a^{3} + 32 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 37^{3} + \left(11 a^{9} + 5 a^{8} + 6 a^{7} + 36 a^{6} + 12 a^{5} + 4 a^{4} + 14 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 37^{4} + \left(13 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 4 a^{6} + 26 a^{5} + 32 a^{4} + 12 a^{3} + 25 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 37^{5} + \left(32 a^{9} + 27 a^{8} + 12 a^{7} + 7 a^{6} + 20 a^{5} + 28 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 37^{6} + \left(4 a^{9} + 23 a^{8} + 19 a^{7} + 5 a^{6} + 11 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 37^{7} + \left(10 a^{9} + 10 a^{8} + 23 a^{7} + 29 a^{6} + 36 a^{5} + 32 a^{4} + 32 a^{3} + 16 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 37^{8} + \left(18 a^{9} + 8 a^{8} + 34 a^{7} + 2 a^{6} + 34 a^{5} + 7 a^{3} + 19 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 15a^9 + 18a^8 + 10a^7 + 15a^6 + 34a^5 + 2a^4 + 5a^3 + 18a^2 + 19a + 3 + (12a^9 + 22a^8 + 8a^7 + 25a^6 + a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 33a^2 + 13)37 + (18a^9 + a^8 + 35a^7 + 31a^6 + 36a^5 + 3a^4 + 26a^3 + 6a^2 + 13a + 17)37^2 + (30a^9 + 16a^8 + 9a^7 + 5a^6 + 11a^5 + 28a^4 + 30a^3 + 32a^2 + 27a + 18)37^3 + (11a^9 + 5a^8 + 6a^7 + 36a^6 + 12a^5 + 4a^4 + 14a^2 + 28a + 14)37^4 + (13a^9 + 7a^8 + 14a^7 + 4a^6 + 26a^5 + 32a^4 + 12a^3 + 25a^2 + 36a + 33)37^5 + (32a^9 + 27a^8 + 12a^7 + 7a^6 + 20a^5 + 28a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 16a + 21)37^6 + (4a^9 + 23a^8 + 19a^7 + 5a^6 + 11a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 26a^2 + 14a + 20)37^7 + (10a^9 + 10a^8 + 23a^7 + 29a^6 + 36a^5 + 32a^4 + 32a^3 + 16a^2 + 28a + 25)37^8 + (18a^9 + 8a^8 + 34a^7 + 2a^6 + 34a^5 + 7a^3 + 19a^2 + 7a + 15)37^9+O(37^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 31 a^{9} + 15 a^{8} + 33 a^{7} + 31 a^{6} + 16 a^{5} + 14 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 22 a + 17 + \left(12 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 29 a^{6} + 13 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 37 + \left(13 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 32 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 13 a^{3} + 21 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{9} + 28 a^{8} + 21 a^{7} + 22 a^{6} + 21 a^{5} + 36 a^{4} + 25 a^{3} + 32 a^{2}\right)\cdot 37^{3} + \left(11 a^{9} + 28 a^{8} + 29 a^{7} + 18 a^{6} + 29 a^{5} + 32 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 37^{4} + \left(15 a^{9} + 31 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 22 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 37^{5} + \left(14 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 8 a^{6} + 32 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 37^{6} + \left(2 a^{9} + 8 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 31 a^{5} + 22 a^{4} + 11 a^{3} + 36 a^{2} + 4 a\right)\cdot 37^{7} + \left(36 a^{9} + 21 a^{8} + 20 a^{7} + 21 a^{6} + 32 a^{5} + 11 a^{4} + 2 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 37^{8} + \left(34 a^{9} + 34 a^{8} + 14 a^{7} + 7 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 31a^9 + 15a^8 + 33a^7 + 31a^6 + 16a^5 + 14a^4 + 35a^3 + 15a^2 + 22a + 17 + (12a^9 + 9a^8 + 20a^7 + 29a^6 + 13a^5 + 15a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 3a + 33)37 + (13a^9 + 21a^8 + 9a^7 + 32a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 13a^3 + 21a^2 + 7a + 1)37^2 + (11a^9 + 28a^8 + 21a^7 + 22a^6 + 21a^5 + 36a^4 + 25a^3 + 32a^2)37^3 + (11a^9 + 28a^8 + 29a^7 + 18a^6 + 29a^5 + 32a^4 + 7a^3 + 2a^2 + 28a + 16)37^4 + (15a^9 + 31a^7 + 13a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 22a^3 + 9a^2 + 6a + 22)37^5 + (14a^9 + 30a^8 + 24a^7 + 8a^6 + 32a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 6a^2 + 3a + 36)37^6 + (2a^9 + 8a^8 + 12a^7 + 3a^6 + 31a^5 + 22a^4 + 11a^3 + 36a^2 + 4a)37^7 + (36a^9 + 21a^8 + 20a^7 + 21a^6 + 32a^5 + 11a^4 + 2a^2 + 35a + 25)37^8 + (34a^9 + 34a^8 + 14a^7 + 7a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 2a^3 + 9a^2 + 9a + 26)37^9+O(37^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 6 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + \left(24 a^{9} + 27 a^{8} + 16 a^{7} + 7 a^{6} + 23 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 37 + \left(23 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 4 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 23 a^{3} + 15 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 37^{2} + \left(25 a^{9} + 8 a^{8} + 15 a^{7} + 14 a^{6} + 15 a^{5} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 37^{3} + \left(25 a^{9} + 8 a^{8} + 7 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 4 a^{4} + 29 a^{3} + 34 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 37^{4} + \left(21 a^{9} + 36 a^{8} + 5 a^{7} + 23 a^{6} + 16 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 27 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 37^{5} + \left(22 a^{9} + 6 a^{8} + 12 a^{7} + 28 a^{6} + 4 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 30 a^{2} + 33 a + 24\right)\cdot 37^{6} + \left(34 a^{9} + 28 a^{8} + 24 a^{7} + 33 a^{6} + 5 a^{5} + 14 a^{4} + 25 a^{3} + 32 a + 22\right)\cdot 37^{7} + \left(15 a^{8} + 16 a^{7} + 15 a^{6} + 4 a^{5} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 34 a^{2} + a + 35\right)\cdot 37^{8} + \left(2 a^{9} + 2 a^{8} + 22 a^{7} + 29 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 34 a^{3} + 27 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 6a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 6a^6 + 21a^5 + 23a^4 + 2a^3 + 22a^2 + 15a + (24a^9 + 27a^8 + 16a^7 + 7a^6 + 23a^5 + 21a^4 + 25a^3 + 24a^2 + 33a + 5)37 + (23a^9 + 15a^8 + 27a^7 + 4a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 23a^3 + 15a^2 + 29a + 16)37^2 + (25a^9 + 8a^8 + 15a^7 + 14a^6 + 15a^5 + 11a^3 + 4a^2 + 36a + 35)37^3 + (25a^9 + 8a^8 + 7a^7 + 18a^6 + 7a^5 + 4a^4 + 29a^3 + 34a^2 + 8a + 10)37^4 + (21a^9 + 36a^8 + 5a^7 + 23a^6 + 16a^5 + 29a^4 + 14a^3 + 27a^2 + 30a + 22)37^5 + (22a^9 + 6a^8 + 12a^7 + 28a^6 + 4a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 30a^2 + 33a + 24)37^6 + (34a^9 + 28a^8 + 24a^7 + 33a^6 + 5a^5 + 14a^4 + 25a^3 + 32a + 22)37^7 + (15a^8 + 16a^7 + 15a^6 + 4a^5 + 25a^4 + 36a^3 + 34a^2 + a + 35)37^8 + (2a^9 + 2a^8 + 22a^7 + 29a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 34a^3 + 27a^2 + 27a + 6)*37^9+O(37^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 6 a^{9} + 36 a^{8} + 35 a^{7} + 4 a^{6} + 2 a^{5} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 34 + \left(18 a^{9} + 5 a^{8} + 30 a^{7} + 26 a^{6} + 8 a^{5} + 12 a^{4} + 15 a^{3} + 32 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 37 + \left(14 a^{9} + 28 a^{8} + 3 a^{7} + 31 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 36 a^{3} + 31 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 37^{2} + \left(30 a^{9} + 21 a^{8} + 27 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 31 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(8 a^{9} + 24 a^{8} + 35 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 14 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 37^{4} + \left(31 a^{9} + 29 a^{8} + 33 a^{7} + 17 a^{6} + 7 a^{5} + 16 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 37^{5} + \left(13 a^{9} + 30 a^{8} + 13 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 29 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 37^{6} + \left(34 a^{9} + 13 a^{8} + 11 a^{7} + 10 a^{6} + 5 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 37^{7} + \left(29 a^{9} + 12 a^{8} + 33 a^{7} + 6 a^{6} + 35 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 6 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 37^{8} + \left(19 a^{9} + 21 a^{8} + 22 a^{7} + 28 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 35 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 6a^9 + 36a^8 + 35a^7 + 4a^6 + 2a^5 + 22a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 9a + 34 + (18a^9 + 5a^8 + 30a^7 + 26a^6 + 8a^5 + 12a^4 + 15a^3 + 32a^2 + 16a + 14)37 + (14a^9 + 28a^8 + 3a^7 + 31a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 36a^3 + 31a^2 + 12a + 24)37^2 + (30a^9 + 21a^8 + 27a^7 + 27a^6 + 8a^5 + 31a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 35a + 13)37^3 + (8a^9 + 24a^8 + 35a^7 + 17a^6 + 25a^5 + 23a^4 + 14a^2 + 31a + 28)37^4 + (31a^9 + 29a^8 + 33a^7 + 17a^6 + 7a^5 + 16a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 3a + 16)37^5 + (13a^9 + 30a^8 + 13a^7 + 20a^6 + 11a^5 + 29a^4 + 30a^3 + 22a^2 + 9a + 32)37^6 + (34a^9 + 13a^8 + 11a^7 + 10a^6 + 5a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 29a^2 + 19a + 12)37^7 + (29a^9 + 12a^8 + 33a^7 + 6a^6 + 35a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 6a^2 + 35a + 35)37^8 + (19a^9 + 21a^8 + 22a^7 + 28a^6 + 6a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 35a^2 + 23a + 11)37^9+O(37^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 19 a^{8} + 35 a^{7} + 31 a^{6} + 35 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 12 + \left(4 a^{9} + 19 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 32 a^{4} + 35 a^{3} + 12 a^{2} + 36 a\right)\cdot 37 + \left(15 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 37^{2} + \left(24 a^{9} + 9 a^{8} + 34 a^{7} + 14 a^{6} + 12 a^{5} + 30 a^{4} + 23 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 37^{3} + \left(13 a^{9} + 24 a^{8} + 32 a^{7} + 21 a^{6} + 28 a^{5} + 2 a^{4} + 31 a^{3} + 32 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 37^{4} + \left(13 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 15 a^{6} + 31 a^{5} + 3 a^{4} + 4 a^{3} + 15 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 37^{5} + \left(7 a^{8} + 4 a^{7} + 10 a^{6} + 25 a^{5} + 3 a^{4} + 34 a^{3} + 3 a^{2} + 17 a + 33\right)\cdot 37^{6} + \left(16 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 33 a^{6} + 35 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 27 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 37^{7} + \left(11 a^{9} + 26 a^{8} + 28 a^{7} + 13 a^{6} + 35 a^{5} + 33 a^{4} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 37^{8} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 7 a^{5} + 27 a^{4} + 19 a^{3} + 25 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 11a^9 + 19a^8 + 35a^7 + 31a^6 + 35a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 12 + (4a^9 + 19a^8 + 33a^7 + a^6 + 25a^5 + 32a^4 + 35a^3 + 12a^2 + 36a)37 + (15a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 11a^5 + 15a^4 + 8a^3 + 4a^2 + 17a + 17)37^2 + (24a^9 + 9a^8 + 34a^7 + 14a^6 + 12a^5 + 30a^4 + 23a^3 + 26a^2 + 8a + 31)37^3 + (13a^9 + 24a^8 + 32a^7 + 21a^6 + 28a^5 + 2a^4 + 31a^3 + 32a^2 + 22a + 31)37^4 + (13a^9 + 27a^8 + 23a^7 + 15a^6 + 31a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 15a^2 + 25a + 27)37^5 + (7a^8 + 4a^7 + 10a^6 + 25a^5 + 3a^4 + 34a^3 + 3a^2 + 17a + 33)37^6 + (16a^9 + 24a^8 + 16a^7 + 33a^6 + 35a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 27a^2 + 34a + 19)37^7 + (11a^9 + 26a^8 + 28a^7 + 13a^6 + 35a^5 + 33a^4 + 20a^3 + 34a^2 + 5a + 33)37^8 + (30a^9 + 25a^8 + 27a^7 + 15a^6 + 7a^5 + 27a^4 + 19a^3 + 25a^2 + 31a + 31)37^9+O(37^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 7 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 15 a^{6} + 16 a^{5} + 30 a^{4} + 21 a^{3} + 26 a^{2} + 8 a + 33 + \left(3 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 20 a^{4} + 30 a^{3} + 34 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 37 + \left(2 a^{9} + 2 a^{8} + 35 a^{7} + 3 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 16 a^{3} + 33 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 37^{2} + \left(32 a^{9} + 32 a^{7} + 16 a^{6} + 23 a^{5} + 9 a^{4} + 15 a^{3} + 21 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 37^{3} + \left(4 a^{9} + 8 a^{8} + 2 a^{7} + 12 a^{6} + 30 a^{5} + 20 a^{4} + 7 a^{3} + 30 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 37^{4} + \left(10 a^{9} + 15 a^{8} + 2 a^{7} + a^{6} + 6 a^{5} + 35 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 37^{5} + \left(28 a^{9} + 25 a^{8} + 24 a^{7} + 34 a^{6} + 13 a^{5} + 9 a^{4} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 37^{6} + \left(11 a^{9} + 27 a^{8} + 17 a^{7} + 23 a^{6} + 26 a^{5} + 19 a^{4} + 35 a^{3} + 9 a^{2} + 9\right)\cdot 37^{7} + \left(7 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 17 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 37^{8} + \left(27 a^{9} + 24 a^{8} + 27 a^{7} + 33 a^{6} + 33 a^{5} + 30 a^{4} + 33 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 7a^9 + 29a^8 + 22a^7 + 15a^6 + 16a^5 + 30a^4 + 21a^3 + 26a^2 + 8a + 33 + (3a^9 + 12a^8 + 6a^7 + 23a^6 + 21a^5 + 20a^4 + 30a^3 + 34a^2 + 34a + 34)37 + (2a^9 + 2a^8 + 35a^7 + 3a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 16a^3 + 33a^2 + 6a + 22)37^2 + (32a^9 + 32a^7 + 16a^6 + 23a^5 + 9a^4 + 15a^3 + 21a^2 + 10a + 20)37^3 + (4a^9 + 8a^8 + 2a^7 + 12a^6 + 30a^5 + 20a^4 + 7a^3 + 30a^2 + 20a + 20)37^4 + (10a^9 + 15a^8 + 2a^7 + a^6 + 6a^5 + 35a^4 + 5a^3 + 10a^2 + 15a + 9)37^5 + (28a^9 + 25a^8 + 24a^7 + 34a^6 + 13a^5 + 9a^4 + 18a^3 + 7a^2 + 4a + 21)37^6 + (11a^9 + 27a^8 + 17a^7 + 23a^6 + 26a^5 + 19a^4 + 35a^3 + 9a^2 + 9)37^7 + (7a^9 + 10a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 17a^5 + 26a^4 + 8a^3 + a^2 + 23a + 2)37^8 + (27a^9 + 24a^8 + 27a^7 + 33a^6 + 33a^5 + 30a^4 + 33a^2 + 13a + 31)37^9+O(37^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 4 a^{9} + 25 a^{8} + 10 a^{7} + 9 a^{6} + 27 a^{5} + 16 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a^{2} + 8 a + 27 + \left(19 a^{9} + 28 a^{7} + 16 a^{5} + 7 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 36\right)\cdot 37 + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 8 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 10 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 37^{2} + \left(28 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 18 a^{6} + 21 a^{5} + 35 a^{3} + 35 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 37^{3} + \left(25 a^{9} + 5 a^{8} + 11 a^{7} + 20 a^{6} + 33 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 23 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(a^{9} + 17 a^{8} + 32 a^{7} + 30 a^{6} + 31 a^{5} + 10 a^{4} + 9 a^{3} + 35 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 37^{5} + \left(30 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 37^{6} + \left(3 a^{9} + 16 a^{8} + 12 a^{7} + 32 a^{6} + 10 a^{5} + 17 a^{4} + 34 a^{3} + 24 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 37^{7} + \left(24 a^{9} + 15 a^{8} + 24 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 37^{8} + \left(33 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 4 a^{6} + 30 a^{5} + 34 a^{4} + a^{3} + 26 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 4a^9 + 25a^8 + 10a^7 + 9a^6 + 27a^5 + 16a^4 + 19a^3 + 28a^2 + 8a + 27 + (19a^9 + 28a^7 + 16a^5 + 7a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 15a + 36)37 + (13a^9 + 17a^8 + 25a^7 + 8a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 10a^3 + 26a^2 + 12a + 17)37^2 + (28a^9 + 14a^8 + 8a^7 + 18a^6 + 21a^5 + 35a^3 + 35a^2 + 13a + 26)37^3 + (25a^9 + 5a^8 + 11a^7 + 20a^6 + 33a^5 + 7a^4 + 30a^3 + 23a^2 + 27a + 11)37^4 + (a^9 + 17a^8 + 32a^7 + 30a^6 + 31a^5 + 10a^4 + 9a^3 + 35a^2 + 6a + 16)37^5 + (30a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 36a^6 + 4a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 23a^2 + 15a + 19)37^6 + (3a^9 + 16a^8 + 12a^7 + 32a^6 + 10a^5 + 17a^4 + 34a^3 + 24a^2 + 15a + 10)37^7 + (24a^9 + 15a^8 + 24a^6 + 28a^5 + 17a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 32a + 16)37^8 + (33a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 4a^6 + 30a^5 + 34a^4 + a^3 + 26a^2 + 29a + 2)*37^9+O(37^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 33 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 2 a^{6} + 11 a^{4} + 33 a^{3} + 12 a^{2} + 23 a + 11 + \left(a^{9} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 16 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 33 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 37 + \left(33 a^{9} + 5 a^{8} + 20 a^{7} + 36 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 37^{2} + \left(15 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 18 a^{6} + 33 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 37^{3} + \left(3 a^{9} + a^{8} + 34 a^{7} + 7 a^{6} + 7 a^{5} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 15\right)\cdot 37^{4} + \left(31 a^{9} + 4 a^{8} + 23 a^{7} + 32 a^{6} + 11 a^{5} + 33 a^{4} + 13 a^{3} + 19 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 37^{5} + \left(15 a^{9} + 29 a^{8} + 34 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 36 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 37^{6} + \left(5 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 3 a^{6} + 10 a^{5} + 13 a^{4} + 16 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 37^{7} + \left(30 a^{9} + 18 a^{8} + 32 a^{7} + 31 a^{6} + 22 a^{5} + 35 a^{3} + 14 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 37^{8} + \left(9 a^{9} + 34 a^{8} + 36 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 26 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 33a^9 + 30a^8 + 26a^7 + 2a^6 + 11a^4 + 33a^3 + 12a^2 + 23a + 11 + (a^9 + 7a^8 + 28a^7 + 16a^6 + 26a^5 + 10a^4 + 33a^3 + 30a^2 + 21a + 11)37 + (33a^9 + 5a^8 + 20a^7 + 36a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 3a^3 + 7a^2 + 31a + 21)37^2 + (15a^9 + 19a^8 + 14a^7 + 18a^6 + 33a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 8a^2 + 24a + 7)37^3 + (3a^9 + a^8 + 34a^7 + 7a^6 + 7a^5 + 14a^4 + 4a^3 + 2a^2 + 30a + 15)37^4 + (31a^9 + 4a^8 + 23a^7 + 32a^6 + 11a^5 + 33a^4 + 13a^3 + 19a^2 + 6a + 23)37^5 + (15a^9 + 29a^8 + 34a^7 + 9a^6 + 17a^5 + 36a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 23a + 29)37^6 + (5a^9 + 29a^8 + 15a^7 + 3a^6 + 10a^5 + 13a^4 + 16a^3 + 11a^2 + 26a + 7)37^7 + (30a^9 + 18a^8 + 32a^7 + 31a^6 + 22a^5 + 35a^3 + 14a^2 + 30a + 25)37^8 + (9a^9 + 34a^8 + 36a^7 + 8a^6 + 29a^5 + 26a^4 + 7a^3 + 7a^2 + 31a + 29)*37^9+O(37^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 36 a^{9} + 10 a^{7} + 11 a^{6} + 32 a^{5} + 19 a^{4} + 32 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 11 + \left(33 a^{8} + 29 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 37 + \left(24 a^{9} + 18 a^{8} + 3 a^{7} + a^{6} + 15 a^{5} + 26 a^{4} + 25 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{9} + 33 a^{8} + 27 a^{7} + 20 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 19 a^{2} + 33 a + 6\right)\cdot 37^{3} + \left(27 a^{9} + 31 a^{8} + 24 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 8 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 37^{4} + \left(22 a^{9} + 24 a^{8} + 30 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 37^{5} + \left(29 a^{9} + 19 a^{8} + 19 a^{7} + 33 a^{5} + 17 a^{4} + 9 a^{3} + 29 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 37^{6} + \left(a^{9} + 29 a^{8} + 14 a^{7} + 20 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 17 a^{3} + 34 a^{2} + 22 a\right)\cdot 37^{7} + \left(36 a^{9} + 13 a^{8} + 18 a^{7} + 25 a^{6} + 24 a^{5} + 21 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 37^{8} + \left(4 a^{9} + 5 a^{8} + 27 a^{7} + 10 a^{6} + 32 a^{5} + 26 a^{4} + 11 a^{3} + 25 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 36a^9 + 10a^7 + 11a^6 + 32a^5 + 19a^4 + 32a^3 + 16a^2 + 6a + 11 + (33a^8 + 29a^7 + 9a^6 + 17a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 4a + 5)37 + (24a^9 + 18a^8 + 3a^7 + a^6 + 15a^5 + 26a^4 + 25a^3 + 8a^2 + 3a + 18)37^2 + (a^9 + 33a^8 + 27a^7 + 20a^6 + 18a^5 + 2a^4 + 30a^3 + 19a^2 + 33a + 6)37^3 + (27a^9 + 31a^8 + 24a^7 + 4a^6 + 24a^5 + 27a^4 + 8a^3 + 17a^2 + 34a + 31)37^4 + (22a^9 + 24a^8 + 30a^7 + 25a^6 + 14a^5 + 26a^4 + 20a^3 + 34a^2 + 25a + 18)37^5 + (29a^9 + 19a^8 + 19a^7 + 33a^5 + 17a^4 + 9a^3 + 29a^2 + 33a + 2)37^6 + (a^9 + 29a^8 + 14a^7 + 20a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 17a^3 + 34a^2 + 22a)37^7 + (36a^9 + 13a^8 + 18a^7 + 25a^6 + 24a^5 + 21a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 19a + 19)37^8 + (4a^9 + 5a^8 + 27a^7 + 10a^6 + 32a^5 + 26a^4 + 11a^3 + 25a^2 + 8a + 22)*37^9+O(37^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 4 a^{8} + 16 a^{7} + 13 a^{6} + a^{5} + 31 a^{4} + 22 a^{3} + 10 a^{2} + 15 a + 15 + \left(32 a^{9} + 15 a^{8} + 34 a^{7} + 18 a^{6} + 26 a^{5} + 21 a^{4} + 29 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 37 + \left(27 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{7} + 7 a^{6} + 31 a^{5} + 12 a^{4} + 27 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 37^{2} + \left(3 a^{9} + 8 a^{8} + 19 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{4} + 2 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 33\right)\cdot 37^{3} + \left(36 a^{9} + 3 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 34 a^{5} + 17 a^{4} + 34 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 37^{4} + \left(a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 33 a^{6} + 19 a^{5} + 11 a^{4} + 16 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 37^{5} + \left(18 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 6 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 37^{6} + \left(28 a^{9} + 2 a^{8} + 31 a^{7} + 17 a^{6} + 23 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 31 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 37^{7} + \left(12 a^{9} + 7 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 8 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 19 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 37^{8} + \left(23 a^{9} + 6 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 15 a^{4} + a^{3} + 6 a + 19\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 20a^9 + 4a^8 + 16a^7 + 13a^6 + a^5 + 31a^4 + 22a^3 + 10a^2 + 15a + 15 + (32a^9 + 15a^8 + 34a^7 + 18a^6 + 26a^5 + 21a^4 + 29a^3 + 11a^2 + 3a + 20)37 + (27a^9 + 30a^8 + 28a^7 + 7a^6 + 31a^5 + 12a^4 + 27a^3 + 24a^2 + 29a + 31)37^2 + (3a^9 + 8a^8 + 19a^7 + 6a^6 + 21a^4 + 2a^3 + 18a^2 + 9a + 33)37^3 + (36a^9 + 3a^8 + 9a^7 + 36a^6 + 34a^5 + 17a^4 + 34a^3 + 3a^2 + 6a + 1)37^4 + (a^9 + 17a^8 + 25a^7 + 33a^6 + 19a^5 + 11a^4 + 16a^3 + 18a^2 + 9a + 21)37^5 + (18a^9 + 24a^8 + 12a^7 + 3a^6 + 5a^5 + 6a^4 + 25a^3 + 11a^2 + 26a + 25)37^6 + (28a^9 + 2a^8 + 31a^7 + 17a^6 + 23a^5 + 30a^4 + 18a^3 + 31a^2 + 11a + 1)37^7 + (12a^9 + 7a^8 + 28a^7 + 21a^6 + 8a^5 + 10a^4 + 26a^3 + 19a^2 + 16a + 34)37^8 + (23a^9 + 6a^8 + 10a^7 + 20a^6 + 9a^5 + 15a^4 + a^3 + 6a + 19)37^9+O(37^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 35 a^{9} + 15 a^{8} + 27 a^{7} + 25 a^{6} + 23 a^{5} + 20 a^{4} + 27 a^{3} + 11 a^{2} + 21 + \left(31 a^{9} + 10 a^{7} + 33 a^{6} + 24 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 6 a^{2} + 10\right)\cdot 37 + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 34 a^{6} + 8 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 26 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 37^{2} + \left(31 a^{9} + 3 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{5} + 29 a^{4} + 3 a^{3} + 18 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{9} + 9 a^{8} + 23 a^{7} + 36 a^{6} + 23 a^{5} + 33 a^{4} + 22 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 37^{4} + \left(18 a^{9} + 20 a^{8} + 28 a^{7} + 14 a^{6} + 22 a^{5} + 11 a^{3} + 29 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 37^{5} + \left(15 a^{9} + 33 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 20 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 37^{6} + \left(28 a^{8} + 3 a^{7} + 4 a^{6} + 16 a^{5} + 33 a^{4} + 17 a^{3} + 36 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 37^{7} + \left(10 a^{9} + 26 a^{8} + 31 a^{7} + 12 a^{6} + 31 a^{5} + 2 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 37^{8} + \left(14 a^{9} + 19 a^{8} + 8 a^{7} + 33 a^{6} + 25 a^{4} + 36 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 35a^9 + 15a^8 + 27a^7 + 25a^6 + 23a^5 + 20a^4 + 27a^3 + 11a^2 + 21 + (31a^9 + 10a^7 + 33a^6 + 24a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 6a^2 + 10)37 + (22a^9 + 19a^8 + 9a^7 + 34a^6 + 8a^5 + 18a^4 + 7a^3 + 26a^2 + 13a + 6)37^2 + (31a^9 + 3a^8 + 32a^7 + 24a^5 + 29a^4 + 3a^3 + 18a^2 + 5a + 28)37^3 + (18a^9 + 9a^8 + 23a^7 + 36a^6 + 23a^5 + 33a^4 + 22a^2 + 13a + 23)37^4 + (18a^9 + 20a^8 + 28a^7 + 14a^6 + 22a^5 + 11a^3 + 29a^2 + 2a + 29)37^5 + (15a^9 + 33a^8 + 22a^7 + 18a^6 + 2a^5 + 20a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 28a + 29)37^6 + (28a^8 + 3a^7 + 4a^6 + 16a^5 + 33a^4 + 17a^3 + 36a^2 + 13a + 3)37^7 + (10a^9 + 26a^8 + 31a^7 + 12a^6 + 31a^5 + 2a^4 + 6a^3 + 9a^2 + 2a + 16)37^8 + (14a^9 + 19a^8 + 8a^7 + 33a^6 + 25a^4 + 36a^3 + 7a^2 + 6a + 21)*37^9+O(37^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 29 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 28 a^{6} + 18 a^{5} + 34 a^{4} + 9 a^{3} + 25 a^{2} + 9 a + 25 + \left(16 a^{9} + 24 a^{7} + 22 a^{6} + 35 a^{5} + 21 a^{4} + 28 a^{3} + 19 a^{2} + 36 a + 9\right)\cdot 37 + \left(8 a^{9} + a^{8} + 36 a^{7} + 12 a^{6} + 22 a^{5} + 16 a^{4} + 33 a^{3} + 30 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 37^{2} + \left(4 a^{9} + 35 a^{8} + 31 a^{7} + 35 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 36 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 37^{3} + \left(12 a^{9} + 13 a^{8} + 32 a^{7} + 34 a^{6} + 35 a^{5} + 27 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 37^{4} + \left(23 a^{9} + a^{8} + 9 a^{7} + 16 a^{6} + 28 a^{5} + a^{4} + 31 a^{3} + 34 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 37^{5} + \left(28 a^{9} + 31 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 15 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 31\right)\cdot 37^{6} + \left(22 a^{9} + 14 a^{8} + 23 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 6 a^{4} + 36 a^{3} + a^{2} + 17\right)\cdot 37^{7} + \left(22 a^{9} + 5 a^{8} + 15 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 27 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 37^{8} + \left(21 a^{9} + 9 a^{8} + a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 29a^9 + 9a^8 + 4a^7 + 28a^6 + 18a^5 + 34a^4 + 9a^3 + 25a^2 + 9a + 25 + (16a^9 + 24a^7 + 22a^6 + 35a^5 + 21a^4 + 28a^3 + 19a^2 + 36a + 9)37 + (8a^9 + a^8 + 36a^7 + 12a^6 + 22a^5 + 16a^4 + 33a^3 + 30a^2 + 8a + 2)37^2 + (4a^9 + 35a^8 + 31a^7 + 35a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 36a^3 + 34a^2 + 23a + 16)37^3 + (12a^9 + 13a^8 + 32a^7 + 34a^6 + 35a^5 + 27a^4 + 11a^3 + 5a^2 + 25a + 36)37^4 + (23a^9 + a^8 + 9a^7 + 16a^6 + 28a^5 + a^4 + 31a^3 + 34a^2 + 8a + 8)37^5 + (28a^9 + 31a^8 + 8a^7 + 13a^5 + 10a^4 + 15a^3 + 12a^2 + 5a + 31)37^6 + (22a^9 + 14a^8 + 23a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 6a^4 + 36a^3 + a^2 + 17)37^7 + (22a^9 + 5a^8 + 15a^7 + 19a^6 + 13a^5 + 27a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 10a + 6)37^8 + (21a^9 + 9a^8 + a^7 + 23a^6 + a^5 + 14a^4 + 7a^3 + 9a^2 + 3a + 30)37^9+O(37^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 16 a^{9} + 30 a^{8} + 28 a^{6} + 11 a^{5} + 30 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 15 + \left(21 a^{9} + 12 a^{8} + 13 a^{7} + a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 37 + \left(30 a^{9} + 29 a^{8} + 2 a^{7} + 22 a^{6} + 32 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 36 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 37^{2} + \left(11 a^{9} + 32 a^{8} + 9 a^{7} + 9 a^{6} + 32 a^{5} + 35 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 37^{3} + \left(10 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 37^{4} + \left(19 a^{9} + 36 a^{8} + 3 a^{7} + 14 a^{6} + 35 a^{5} + 13 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 37^{5} + \left(32 a^{9} + 23 a^{8} + 29 a^{7} + 24 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 6 a^{3} + 32 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 37^{6} + \left(13 a^{9} + 31 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 27 a^{5} + 12 a^{4} + 12 a^{3} + 32 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 37^{7} + \left(7 a^{9} + 35 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 28 a^{3} + 30 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 37^{8} + \left(16 a^{9} + 4 a^{8} + 35 a^{7} + 20 a^{6} + 9 a^{5} + 19 a^{4} + 27 a^{3} + 18 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 16a^9 + 30a^8 + 28a^6 + 11a^5 + 30a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 19a + 15 + (21a^9 + 12a^8 + 13a^7 + a^6 + 12a^5 + 27a^4 + 12a^3 + 8a^2 + 35a + 16)37 + (30a^9 + 29a^8 + 2a^7 + 22a^6 + 32a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 36a^2 + 21a + 19)37^2 + (11a^9 + 32a^8 + 9a^7 + 9a^6 + 32a^5 + 35a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 16a + 33)37^3 + (10a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 7a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 16a + 1)37^4 + (19a^9 + 36a^8 + 3a^7 + 14a^6 + 35a^5 + 13a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 32a + 4)37^5 + (32a^9 + 23a^8 + 29a^7 + 24a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 6a^3 + 32a^2 + 24a + 6)37^6 + (13a^9 + 31a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 27a^5 + 12a^4 + 12a^3 + 32a^2 + 20a + 15)37^7 + (7a^9 + 35a^8 + 27a^7 + 15a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 28a^3 + 30a^2 + 15a + 23)37^8 + (16a^9 + 4a^8 + 35a^7 + 20a^6 + 9a^5 + 19a^4 + 27a^3 + 18a^2 + 23a + 23)*37^9+O(37^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 26 a^{9} + 33 a^{8} + 30 a^{7} + 27 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 26 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 2 + \left(3 a^{9} + 23 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 3 a^{5} + 25 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 37 + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 14 a^{6} + 25 a^{5} + 26 a^{4} + 20 a^{3} + 34 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{9} + 2 a^{8} + 12 a^{7} + 14 a^{6} + 16 a^{5} + a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(35 a^{9} + 30 a^{8} + a^{7} + 5 a^{6} + 36 a^{5} + 8 a^{4} + 29 a^{3} + 2 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 37^{4} + \left(a^{9} + 35 a^{8} + 14 a^{7} + 13 a^{6} + 35 a^{5} + 7 a^{4} + a^{3} + 23 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 37^{5} + \left(18 a^{8} + 15 a^{7} + 8 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 37^{6} + \left(34 a^{9} + 14 a^{8} + 8 a^{7} + 35 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 30 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 37^{7} + \left(23 a^{8} + 25 a^{7} + 11 a^{6} + 16 a^{4} + 33 a^{3} + 25 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 37^{8} + \left(30 a^{9} + 25 a^{8} + 4 a^{7} + 17 a^{6} + 29 a^{5} + 35 a^{4} + 33 a^{3} + 28 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 26a^9 + 33a^8 + 30a^7 + 27a^6 + 13a^5 + 22a^4 + 26a^3 + 17a^2 + 25a + 2 + (3a^9 + 23a^8 + 12a^7 + 22a^6 + 3a^5 + 25a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 36a + 29)37 + (a^9 + 19a^8 + 9a^7 + 14a^6 + 25a^5 + 26a^4 + 20a^3 + 34a^2 + 29a + 16)37^2 + (33a^9 + 2a^8 + 12a^7 + 14a^6 + 16a^5 + a^3 + 4a^2 + 11a + 13)37^3 + (35a^9 + 30a^8 + a^7 + 5a^6 + 36a^5 + 8a^4 + 29a^3 + 2a^2 + 20a + 14)37^4 + (a^9 + 35a^8 + 14a^7 + 13a^6 + 35a^5 + 7a^4 + a^3 + 23a^2 + 28a + 33)37^5 + (18a^8 + 15a^7 + 8a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 30a + 27)37^6 + (34a^9 + 14a^8 + 8a^7 + 35a^6 + 16a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 30a^2 + 12a + 23)37^7 + (23a^8 + 25a^7 + 11a^6 + 16a^4 + 33a^3 + 25a^2 + 26a + 11)37^8 + (30a^9 + 25a^8 + 4a^7 + 17a^6 + 29a^5 + 35a^4 + 33a^3 + 28a^2 + 31a + 30)37^9+O(37^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 16 a^{9} + 9 a^{8} + 14 a^{7} + 6 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 35 + \left(26 a^{9} + 24 a^{8} + 16 a^{7} + 8 a^{6} + 11 a^{5} + 5 a^{4} + 33 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 37 + \left(10 a^{9} + 34 a^{8} + 12 a^{7} + 10 a^{6} + 3 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 21\right)\cdot 37^{2} + \left(8 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 36 a^{6} + 33 a^{5} + 6 a^{4} + 20 a^{3} + 29 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 37^{3} + \left(27 a^{9} + 8 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 30 a^{4} + 24 a^{3} + 28 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 37^{4} + \left(6 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 31 a^{6} + 27 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 29 a\right)\cdot 37^{5} + \left(13 a^{9} + 17 a^{8} + 25 a^{7} + 3 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 37^{6} + \left(19 a^{9} + 20 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 15 a^{5} + 30 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 36\right)\cdot 37^{7} + \left(21 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 3 a^{6} + a^{5} + 19 a^{4} + 34 a^{3} + 20 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 37^{8} + \left(29 a^{9} + 6 a^{8} + 34 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 2 a^{4} + 29 a^{3} + 21 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 16a^9 + 9a^8 + 14a^7 + 6a^6 + 15a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 11a^2 + 16a + 35 + (26a^9 + 24a^8 + 16a^7 + 8a^6 + 11a^5 + 5a^4 + 33a^3 + 6a^2 + 21a + 29)37 + (10a^9 + 34a^8 + 12a^7 + 10a^6 + 3a^5 + a^4 + 2a^3 + 16a^2 + a + 21)37^2 + (8a^9 + 5a^8 + 9a^7 + 36a^6 + 33a^5 + 6a^4 + 20a^3 + 29a^2 + 27a + 12)37^3 + (27a^9 + 8a^7 + 5a^6 + a^5 + 30a^4 + 24a^3 + 28a^2 + 5a + 20)37^4 + (6a^9 + 13a^8 + 23a^7 + 31a^6 + 27a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 29a)37^5 + (13a^9 + 17a^8 + 25a^7 + 3a^6 + 7a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 11a^2 + a + 5)37^6 + (19a^9 + 20a^8 + 23a^7 + 12a^6 + 15a^5 + 30a^4 + 3a^3 + 12a^2 + 12a + 36)37^7 + (21a^9 + 2a^8 + 18a^7 + 3a^6 + a^5 + 19a^4 + 34a^3 + 20a^2 + 5a + 18)37^8 + (29a^9 + 6a^8 + 34a^7 + 18a^6 + 13a^5 + 2a^4 + 29a^3 + 21a^2 + 17a + 23)*37^9+O(37^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 30 a^{9} + 5 a^{8} + 28 a^{7} + 10 a^{6} + 13 a^{5} + 17 a^{4} + 8 a^{3} + 27 a^{2} + 34 a + 4 + \left(32 a^{9} + 34 a^{8} + 30 a^{7} + 36 a^{6} + 34 a^{5} + 20 a^{4} + 3 a^{3} + 30 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 37 + \left(34 a^{9} + 27 a^{8} + 7 a^{7} + a^{6} + 27 a^{5} + 36 a^{4} + 15 a^{3} + 26 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 37^{2} + \left(21 a^{9} + 18 a^{8} + 7 a^{7} + 26 a^{6} + 4 a^{5} + 16 a^{4} + 18 a^{3} + 29 a^{2} + 10 a\right)\cdot 37^{3} + \left(18 a^{9} + 3 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 37^{4} + \left(a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 3 a^{6} + 33 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 8 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 37^{5} + \left(6 a^{9} + 36 a^{8} + 2 a^{7} + 18 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 37^{6} + \left(20 a^{9} + 31 a^{8} + 31 a^{7} + 10 a^{6} + 27 a^{5} + 21 a^{4} + 18 a^{3} + 4 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 37^{7} + \left(18 a^{9} + 14 a^{8} + 36 a^{7} + 15 a^{6} + 22 a^{5} + 28 a^{4} + 32 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 37^{8} + \left(29 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 7 a^{4} + 3 a^{3} + 15 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 30a^9 + 5a^8 + 28a^7 + 10a^6 + 13a^5 + 17a^4 + 8a^3 + 27a^2 + 34a + 4 + (32a^9 + 34a^8 + 30a^7 + 36a^6 + 34a^5 + 20a^4 + 3a^3 + 30a^2 + 36a + 3)37 + (34a^9 + 27a^8 + 7a^7 + a^6 + 27a^5 + 36a^4 + 15a^3 + 26a^2 + 23a + 28)37^2 + (21a^9 + 18a^8 + 7a^7 + 26a^6 + 4a^5 + 16a^4 + 18a^3 + 29a^2 + 10a)37^3 + (18a^9 + 3a^8 + 4a^7 + 9a^6 + 17a^5 + 23a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 32a + 26)37^4 + (a^9 + 5a^8 + 22a^7 + 3a^6 + 33a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 8a^2 + 21a + 6)37^5 + (6a^9 + 36a^8 + 2a^7 + 18a^6 + 2a^5 + 24a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 18a + 4)37^6 + (20a^9 + 31a^8 + 31a^7 + 10a^6 + 27a^5 + 21a^4 + 18a^3 + 4a^2 + 36a + 4)37^7 + (18a^9 + 14a^8 + 36a^7 + 15a^6 + 22a^5 + 28a^4 + 32a^3 + 12a^2 + 15a + 27)37^8 + (29a^9 + 5a^8 + 14a^6 + 24a^5 + 7a^4 + 3a^3 + 15a^2 + 36a + 31)37^9+O(37^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 23 a^{9} + 3 a^{8} + 30 a^{7} + 29 a^{6} + 7 a^{5} + 35 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 17 a + 34 + \left(12 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 36 a^{6} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 37 + \left(30 a^{9} + 2 a^{8} + 31 a^{7} + 36 a^{6} + 4 a^{5} + 6 a^{4} + 30 a^{3} + 28 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 37^{2} + \left(23 a^{9} + 34 a^{8} + 29 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{4} + 3 a^{3} + 17 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{9} + 22 a^{8} + 32 a^{7} + 18 a^{6} + 13 a^{5} + 25 a^{4} + 26 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 37^{4} + \left(29 a^{9} + 29 a^{8} + 34 a^{7} + 28 a^{6} + 21 a^{5} + 16 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 37^{5} + \left(33 a^{9} + 32 a^{8} + 35 a^{7} + 23 a^{5} + 33 a^{4} + 34 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 37^{6} + \left(36 a^{9} + 7 a^{8} + 15 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 32 a + 11\right)\cdot 37^{7} + \left(13 a^{8} + 28 a^{7} + 32 a^{6} + 25 a^{5} + 27 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 37^{8} + \left(11 a^{9} + 21 a^{8} + 21 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 19 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 23a^9 + 3a^8 + 30a^7 + 29a^6 + 7a^5 + 35a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 17a + 34 + (12a^9 + 27a^8 + 2a^7 + 36a^6 + 8a^4 + 10a^3 + 7a^2 + 16a + 24)37 + (30a^9 + 2a^8 + 31a^7 + 36a^6 + 4a^5 + 6a^4 + 30a^3 + 28a^2 + 13a + 26)37^2 + (23a^9 + 34a^8 + 29a^6 + 35a^5 + 34a^4 + 3a^3 + 17a^2 + 9a + 22)37^3 + (32a^9 + 22a^8 + 32a^7 + 18a^6 + 13a^5 + 25a^4 + 26a^3 + 3a^2 + 3a + 18)37^4 + (29a^9 + 29a^8 + 34a^7 + 28a^6 + 21a^5 + 16a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 32a + 10)37^5 + (33a^9 + 32a^8 + 35a^7 + 23a^5 + 33a^4 + 34a^3 + 28a^2 + 11a + 17)37^6 + (36a^9 + 7a^8 + 15a^7 + 18a^6 + 7a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 4a^2 + 32a + 11)37^7 + (13a^8 + 28a^7 + 32a^6 + 25a^5 + 27a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 6a + 34)37^8 + (11a^9 + 21a^8 + 21a^7 + 12a^6 + 28a^5 + 19a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 14a + 23)*37^9+O(37^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 31 a^{8} + 17 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 10 a^{4} + 19 a^{3} + 32 a^{2} + 14 a + 36 + \left(27 a^{9} + 12 a^{8} + 18 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 8 a^{4} + 29 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 37 + \left(8 a^{9} + 23 a^{8} + 33 a^{7} + 17 a^{6} + 26 a^{5} + 30 a^{4} + 6 a^{3} + 32 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 37^{2} + \left(13 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 37^{3} + \left(23 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 33 a^{6} + 16 a^{5} + 8 a^{4} + 31 a^{3} + 31 a^{2} + 12\right)\cdot 37^{4} + \left(12 a^{9} + 3 a^{8} + 20 a^{7} + 36 a^{6} + 11 a^{5} + 34 a^{4} + 21 a^{3} + 12 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 37^{5} + \left(20 a^{9} + 33 a^{8} + 24 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 31 a^{4} + 28 a^{3} + 25 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 37^{6} + \left(16 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 7 a^{6} + 26 a^{5} + 13 a^{4} + a^{3} + 29 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 37^{7} + \left(8 a^{9} + 28 a^{8} + 7 a^{7} + 9 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 3 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 37^{8} + \left(34 a^{9} + 32 a^{8} + 17 a^{7} + 10 a^{6} + 36 a^{5} + 5 a^{4} + 17 a^{3} + 31 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 5a^9 + 31a^8 + 17a^7 + 21a^6 + 26a^5 + 10a^4 + 19a^3 + 32a^2 + 14a + 36 + (27a^9 + 12a^8 + 18a^7 + 19a^6 + 7a^5 + 8a^4 + 29a^3 + 5a^2 + 35a + 30)37 + (8a^9 + 23a^8 + 33a^7 + 17a^6 + 26a^5 + 30a^4 + 6a^3 + 32a^2 + 30a + 21)37^2 + (13a^9 + 8a^8 + 14a^7 + 25a^6 + 22a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 33a + 20)37^3 + (23a^9 + 28a^8 + a^7 + 33a^6 + 16a^5 + 8a^4 + 31a^3 + 31a^2 + 12)37^4 + (12a^9 + 3a^8 + 20a^7 + 36a^6 + 11a^5 + 34a^4 + 21a^3 + 12a^2 + 34a + 19)37^5 + (20a^9 + 33a^8 + 24a^7 + 27a^6 + 8a^5 + 31a^4 + 28a^3 + 25a^2 + 4a + 8)37^6 + (16a^9 + 27a^8 + 19a^7 + 7a^6 + 26a^5 + 13a^4 + a^3 + 29a^2 + 22a + 31)37^7 + (8a^9 + 28a^8 + 7a^7 + 9a^6 + 31a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 3a^2 + 35a + 4)37^8 + (34a^9 + 32a^8 + 17a^7 + 10a^6 + 36a^5 + 5a^4 + 17a^3 + 31a^2 + 14a + 16)37^9+O(37^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 30 a^{9} + 19 a^{8} + 3 a^{7} + 5 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + 16 a^{3} + 12 a^{2} + 22 a + 26 + \left(12 a^{9} + 35 a^{8} + 27 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 10 a^{4} + 31 a^{3} + 21 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 37 + \left(17 a^{9} + 3 a^{8} + 12 a^{7} + 15 a^{6} + 15 a^{5} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 37^{2} + \left(35 a^{9} + 24 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 23 a^{5} + 24 a^{4} + 21 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 37^{3} + \left(5 a^{9} + 11 a^{7} + 29 a^{6} + 4 a^{5} + 28 a^{4} + 13 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 37^{4} + \left(29 a^{9} + 15 a^{8} + 26 a^{7} + 25 a^{6} + 22 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 33 a + 17\right)\cdot 37^{5} + \left(29 a^{9} + 17 a^{8} + a^{7} + 27 a^{6} + 16 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 37^{6} + \left(34 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 15 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 6 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 37^{7} + \left(34 a^{9} + 23 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 13 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 20 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 37^{8} + \left(3 a^{9} + 7 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 34 a^{5} + 23 a^{4} + 17 a^{3} + 30 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 30a^9 + 19a^8 + 3a^7 + 5a^6 + 19a^5 + 14a^4 + 16a^3 + 12a^2 + 22a + 26 + (12a^9 + 35a^8 + 27a^7 + 30a^6 + 10a^5 + 10a^4 + 31a^3 + 21a^2 + 31a + 1)37 + (17a^9 + 3a^8 + 12a^7 + 15a^6 + 15a^5 + 12a^3 + 9a^2 + 24a + 28)37^2 + (35a^9 + 24a^8 + 26a^7 + 24a^6 + 23a^5 + 24a^4 + 21a^3 + 34a^2 + 23a + 17)37^3 + (5a^9 + 11a^7 + 29a^6 + 4a^5 + 28a^4 + 13a^2 + 14a + 22)37^4 + (29a^9 + 15a^8 + 26a^7 + 25a^6 + 22a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 21a^2 + 33a + 17)37^5 + (29a^9 + 17a^8 + a^7 + 27a^6 + 16a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 22a + 29)37^6 + (34a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 15a^6 + 27a^5 + 28a^4 + 28a^3 + 6a^2 + 33a + 15)37^7 + (34a^9 + 23a^8 + 32a^7 + 24a^6 + 13a^5 + a^4 + 7a^3 + 20a^2 + 36a + 7)37^8 + (3a^9 + 7a^8 + 23a^7 + 17a^6 + 34a^5 + 23a^4 + 17a^3 + 30a^2 + 27a + 7)37^9+O(37^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 25 a^{9} + 35 a^{8} + 22 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 10 a^{2} + 32 a + 23 + \left(29 a^{9} + 35 a^{8} + 18 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 27 a^{3} + 30 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 37 + \left(28 a^{9} + 3 a^{8} + 35 a^{7} + 10 a^{6} + 4 a^{5} + 33 a^{4} + 20 a^{3} + 35 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 37^{2} + \left(33 a^{9} + 10 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 26 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 37^{3} + \left(10 a^{9} + 26 a^{8} + 14 a^{7} + 33 a^{6} + 31 a^{5} + 25 a^{4} + 27 a^{3} + 33 a^{2} + 27\right)\cdot 37^{4} + \left(19 a^{9} + 18 a^{8} + 23 a^{7} + 3 a^{6} + 36 a^{5} + 34 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 37^{5} + \left(30 a^{9} + 8 a^{8} + 14 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 8 a^{4} + 12 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 37^{6} + \left(28 a^{9} + 22 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 6 a^{4} + 35 a^{3} + 31 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 37^{7} + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 37^{8} + \left(27 a^{9} + 34 a^{8} + 2 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 25a^9 + 35a^8 + 22a^7 + 19a^6 + 7a^4 + 30a^3 + 10a^2 + 32a + 23 + (29a^9 + 35a^8 + 18a^7 + 14a^6 + 24a^5 + 23a^4 + 27a^3 + 30a^2 + 21a + 22)37 + (28a^9 + 3a^8 + 35a^7 + 10a^6 + 4a^5 + 33a^4 + 20a^3 + 35a^2 + 34a + 19)37^2 + (33a^9 + 10a^8 + 10a^7 + 17a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 26a^3 + 8a^2 + 16a + 13)37^3 + (10a^9 + 26a^8 + 14a^7 + 33a^6 + 31a^5 + 25a^4 + 27a^3 + 33a^2 + 27)37^4 + (19a^9 + 18a^8 + 23a^7 + 3a^6 + 36a^5 + 34a^3 + 25a^2 + 12a + 10)37^5 + (30a^9 + 8a^8 + 14a^7 + 12a^6 + 5a^5 + 8a^4 + 12a^2 + 35a + 32)37^6 + (28a^9 + 22a^8 + 26a^7 + 4a^6 + 6a^4 + 35a^3 + 31a^2 + 18a + 27)37^7 + (a^9 + 19a^8 + 29a^7 + 30a^6 + 22a^5 + 18a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 3a + 23)37^8 + (27a^9 + 34a^8 + 2a^7 + 13a^6 + 31a^5 + 33a^4 + 32a^3 + 36a^2 + 26a + 20)*37^9+O(37^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( a^{9} + 5 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 24 a^{2} + 24 a + 4 + \left(13 a^{9} + 28 a^{8} + 14 a^{7} + 9 a^{6} + 6 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 36 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 37 + \left(15 a^{9} + 28 a^{8} + 25 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 37^{2} + \left(a^{9} + 31 a^{8} + 32 a^{7} + 28 a^{6} + 22 a^{5} + 34 a^{4} + 28 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 31\right)\cdot 37^{3} + \left(25 a^{9} + 22 a^{7} + 30 a^{6} + 5 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 37^{4} + \left(29 a^{9} + 19 a^{8} + 35 a^{7} + 25 a^{6} + 5 a^{5} + 23 a^{4} + 25 a^{3} + 24 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 37^{5} + \left(22 a^{9} + 34 a^{8} + 26 a^{7} + 27 a^{6} + 9 a^{5} + 30 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 14 a + 36\right)\cdot 37^{6} + \left(2 a^{9} + 24 a^{8} + 4 a^{7} + 33 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 37^{7} + \left(3 a^{9} + 8 a^{8} + 6 a^{7} + 16 a^{6} + 12 a^{5} + 18 a^{4} + 12 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 37^{8} + \left(28 a^{9} + 35 a^{8} + 29 a^{7} + 27 a^{6} + 23 a^{5} + 34 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) a^9 + 5a^8 + 5a^7 + a^6 + 26a^5 + 5a^4 + a^3 + 24a^2 + 24a + 4 + (13a^9 + 28a^8 + 14a^7 + 9a^6 + 6a^5 + 33a^4 + 25a^3 + 36a^2 + 23a + 6)37 + (15a^9 + 28a^8 + 25a^7 + 25a^6 + 14a^5 + 19a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 17a + 3)37^2 + (a^9 + 31a^8 + 32a^7 + 28a^6 + 22a^5 + 34a^4 + 28a^3 + 33a^2 + 18a + 31)37^3 + (25a^9 + 22a^7 + 30a^6 + 5a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 24a + 12)37^4 + (29a^9 + 19a^8 + 35a^7 + 25a^6 + 5a^5 + 23a^4 + 25a^3 + 24a^2 + 10a + 8)37^5 + (22a^9 + 34a^8 + 26a^7 + 27a^6 + 9a^5 + 30a^4 + 32a^3 + 31a^2 + 14a + 36)37^6 + (2a^9 + 24a^8 + 4a^7 + 33a^6 + 10a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 11a^2 + 36a + 21)37^7 + (3a^9 + 8a^8 + 6a^7 + 16a^6 + 12a^5 + 18a^4 + 12a^3 + 36a^2 + 15a + 17)37^8 + (28a^9 + 35a^8 + 29a^7 + 27a^6 + 23a^5 + 34a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 14a + 19)37^9+O(37^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 26 a^{9} + 27 a^{8} + 13 a^{7} + 32 a^{6} + 35 a^{5} + 30 a^{4} + 28 a^{3} + 24 a^{2} + 29 a + 21 + \left(8 a^{9} + 14 a^{8} + 2 a^{7} + 11 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 37 + \left(10 a^{9} + 36 a^{8} + 35 a^{7} + 34 a^{6} + 19 a^{5} + 22 a^{4} + 3 a^{3} + 19 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 37^{2} + \left(7 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 25 a^{6} + 17 a^{5} + 23 a^{4} + 29 a^{3} + 34 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 37^{3} + \left(34 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{6} + 27 a^{5} + 36 a^{4} + 2 a^{3} + 19 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 37^{4} + \left(29 a^{9} + 17 a^{8} + 4 a^{7} + 9 a^{6} + 35 a^{5} + 23 a^{4} + 33 a^{3} + 4 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 37^{5} + \left(10 a^{9} + 29 a^{8} + 22 a^{7} + 10 a^{6} + 34 a^{5} + 34 a^{4} + 25 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 37^{6} + \left(8 a^{9} + 35 a^{8} + 30 a^{7} + 6 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 37^{7} + \left(20 a^{9} + 33 a^{8} + 35 a^{7} + 34 a^{6} + 33 a^{5} + 11 a^{4} + 15 a^{3} + 34 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 37^{8} + \left(2 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 36 a^{6} + 22 a^{4} + 24 a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 26a^9 + 27a^8 + 13a^7 + 32a^6 + 35a^5 + 30a^4 + 28a^3 + 24a^2 + 29a + 21 + (8a^9 + 14a^8 + 2a^7 + 11a^6 + a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 24a + 2)37 + (10a^9 + 36a^8 + 35a^7 + 34a^6 + 19a^5 + 22a^4 + 3a^3 + 19a^2 + 25a + 11)37^2 + (7a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 25a^6 + 17a^5 + 23a^4 + 29a^3 + 34a^2 + 21a + 25)37^3 + (34a^9 + 3a^8 + 11a^6 + 27a^5 + 36a^4 + 2a^3 + 19a^2 + 22a + 11)37^4 + (29a^9 + 17a^8 + 4a^7 + 9a^6 + 35a^5 + 23a^4 + 33a^3 + 4a^2 + 32a + 34)37^5 + (10a^9 + 29a^8 + 22a^7 + 10a^6 + 34a^5 + 34a^4 + 25a^3 + 25a^2 + 3a + 7)37^6 + (8a^9 + 35a^8 + 30a^7 + 6a^6 + 21a^5 + 26a^4 + 33a^3 + 8a^2 + 20a + 6)37^7 + (20a^9 + 33a^8 + 35a^7 + 34a^6 + 33a^5 + 11a^4 + 15a^3 + 34a^2 + 18a + 35)37^8 + (2a^9 + a^8 + 7a^7 + 36a^6 + 22a^4 + 24a^3 + 6a^2 + 20a + 14)*37^9+O(37^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 28 a^{9} + 6 a^{8} + 23 a^{7} + 17 a^{6} + 12 a^{5} + 16 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 16 + \left(15 a^{9} + 25 a^{8} + 23 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 29 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 37 + \left(20 a^{9} + 34 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 30 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 37^{2} + \left(7 a^{9} + 9 a^{8} + 3 a^{7} + 11 a^{6} + 30 a^{5} + 29 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 37^{3} + \left(32 a^{9} + 13 a^{8} + 13 a^{7} + 29 a^{6} + 25 a^{5} + 24 a^{4} + 25 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 37^{4} + \left(35 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 3 a^{5} + 34 a^{4} + 11 a^{3} + 36 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 37^{5} + \left(26 a^{9} + 4 a^{8} + 25 a^{7} + 36 a^{6} + 28 a^{5} + 8 a^{4} + 27 a^{3} + 13 a^{2} + 36\right)\cdot 37^{6} + \left(29 a^{9} + 35 a^{8} + 7 a^{7} + 19 a^{6} + 34 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 37^{7} + \left(30 a^{9} + 28 a^{8} + 27 a^{7} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 30 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 37^{8} + \left(9 a^{9} + 7 a^{8} + 17 a^{7} + 2 a^{6} + 22 a^{5} + 5 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 37^{9} +O(37^{10})\) 28a^9 + 6a^8 + 23a^7 + 17a^6 + 12a^5 + 16a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 23a + 16 + (15a^9 + 25a^8 + 23a^7 + 27a^6 + 19a^5 + 5a^4 + 30a^3 + 29a^2 + 29a + 3)37 + (20a^9 + 34a^8 + 24a^7 + 7a^6 + 22a^5 + 5a^4 + 30a^3 + 2a^2 + 9a + 15)37^2 + (7a^9 + 9a^8 + 3a^7 + 11a^6 + 30a^5 + 29a^4 + 2a^3 + a^2 + 16a + 34)37^3 + (32a^9 + 13a^8 + 13a^7 + 29a^6 + 25a^5 + 24a^4 + 25a^3 + 6a^2 + 16a + 19)37^4 + (35a^9 + 19a^8 + 26a^7 + 26a^6 + 3a^5 + 34a^4 + 11a^3 + 36a^2 + 35a + 22)37^5 + (26a^9 + 4a^8 + 25a^7 + 36a^6 + 28a^5 + 8a^4 + 27a^3 + 13a^2 + 36)37^6 + (29a^9 + 35a^8 + 7a^7 + 19a^6 + 34a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 29a^2 + 17a + 26)37^7 + (30a^9 + 28a^8 + 27a^7 + 22a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 30a^2 + 13a + 32)37^8 + (9a^9 + 7a^8 + 17a^7 + 2a^6 + 22a^5 + 5a^4 + 8a^3 + 25a^2 + 25a + 20)37^9+O(37^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,4)(5,23)(6,11)(7,16)(8,13)(9,12)(10,17)(14,18)(15,24)(19,21)(20,22)$
$(1,6,8)(2,11,13)(3,17,14)(4,10,18)(5,22,7)(9,15,21)(12,24,19)(16,23,20)$
$(1,5,2,23)(3,21,4,19)(6,8,11,13)(7,15,16,24)(9,22,12,20)(10,18,17,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$4$
$1$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,23)(6,11)(7,16)(8,13)(9,12)(10,17)(14,18)(15,24)(19,21)(20,22)$	$-4$
$20$	$3$	$(1,6,8)(2,11,13)(3,17,14)(4,10,18)(5,22,7)(9,15,21)(12,24,19)(16,23,20)$	$1$
$30$	$4$	$(1,5,2,23)(3,21,4,19)(6,8,11,13)(7,15,16,24)(9,22,12,20)(10,18,17,14)$	$0$
$12$	$5$	$(1,24,11,20,23)(2,15,6,22,5)(3,7,10,12,19)(4,16,17,9,21)$	$-1$
$12$	$5$	$(1,7,9,5,13)(2,16,12,23,8)(3,15,20,21,18)(4,24,22,19,14)$	$-1$
$20$	$6$	$(1,8,22,2,13,20)(3,14,9,4,18,12)(5,10,16,23,17,7)(6,24,19,11,15,21)$	$-1$
$12$	$10$	$(1,22,24,5,11,2,20,15,23,6)(3,9,7,21,10,4,12,16,19,17)(8,13)(14,18)$	$1$
$12$	$10$	$(1,5,20,6,24,2,23,22,11,15)(3,21,12,17,7,4,19,9,10,16)(8,13)(14,18)$	$1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	4.965899771204.40t60.a.a
Dimension	$4$
Group	$\SL(2,5)$
Conductor	$965899771204$
Root number	not computed
Indicator	$-1$