LMFDB - Artin representation 1.497.14t1.a.b

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	$C_{14}$
Conductor:	$497$$\medspace = 7 \cdot 71 $
Artin field:	Galois closure of 14.0.13514079353275555523926235863.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_{14}$
Parity:	odd
Dirichlet character:	$\chi_{497}(48,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{14} - 5 x^{13} - 37 x^{12} + 241 x^{11} + 470 x^{10} - 5072 x^{9} + 2206 x^{8} + 45789 x^{7} + \cdots + 2155133 $

x^14 - 5*x^13 - 37*x^12 + 241*x^11 + 470*x^10 - 5072*x^9 + 2206*x^8 + 45789*x^7 - 85066*x^6 - 115656*x^5 + 581817*x^4 - 1062045*x^3 + 1664828*x^2 - 2121563*x + 2155133

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{7} + 21x + 18 $ x^7 + 21*x + 18

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 13 + \left(16 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23 + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 2a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 7a^2 + 5a + 13 + (16a^6 + 6a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 6a + 21)23 + (12a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 9a + 13)23^2 + (16a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 14a + 9)23^3 + (9a^6 + 6a^4 + 9a^3 + a^2 + 15a + 14)23^4 + (8a^6 + 5a^5 + 22a^4 + 15a^3 + a^2 + 8a + 1)23^5 + (12a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 12a)23^6 + (2a^6 + 22a^5 + 20a^3 + 17a^2 + 12a)23^7 + (20a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 20a + 2)23^8 + (18a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 15a + 22)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 17 + \left(16 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23 + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 2a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 7a^2 + 5a + 17 + (16a^6 + 6a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 6a + 18)23 + (12a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 9a + 12)23^2 + (16a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 14a + 14)23^3 + (9a^6 + 6a^4 + 9a^3 + a^2 + 15a + 3)23^4 + (8a^6 + 5a^5 + 22a^4 + 15a^3 + a^2 + 8a + 9)23^5 + (12a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 12a + 11)23^6 + (2a^6 + 22a^5 + 20a^3 + 17a^2 + 12a + 12)23^7 + (20a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 20a + 15)23^8 + (18a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 15a + 16)23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 4 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 3 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23 + \left(3 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 4a^6 + 11a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 3 + (17a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 3a + 18)23 + (3a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 10a + 13)23^2 + (11a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 2a + 4)23^3 + (4a^6 + 15a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 2a + 12)23^4 + (11a^6 + 21a^5 + 5a^4 + a^3 + 10a^2 + 2a + 5)23^5 + (5a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 18a + 14)23^6 + (22a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 16a + 9)23^7 + (22a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 10a + 7)23^8 + (13a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 14a^2 + a + 3)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 4 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 7 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(3 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 4a^6 + 11a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 7 + (17a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 3a + 15)23 + (3a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 10a + 12)23^2 + (11a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 2a + 9)23^3 + (4a^6 + 15a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 2a + 1)23^4 + (11a^6 + 21a^5 + 5a^4 + a^3 + 10a^2 + 2a + 13)23^5 + (5a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 18a + 2)23^6 + (22a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 16a + 22)23^7 + (22a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 10a + 20)23^8 + (13a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 14a^2 + a + 20)23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 8 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 6 + \left(5 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 8a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 20a + 6 + (5a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 4a + 12)23 + (6a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 18a + 12)23^2 + (7a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 9a + 3)23^3 + (5a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 4)23^4 + (14a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 7a + 14)23^5 + (4a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 2a + 21)23^6 + (5a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 13a^2 + 9a + 1)23^7 + (22a^6 + 12a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 12a + 17)23^8 + (20a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 13a + 13)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 8 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 10 + \left(5 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 8a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 20a + 10 + (5a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 4a + 9)23 + (6a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 18a + 11)23^2 + (7a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 9a + 8)23^3 + (5a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 16)23^4 + (14a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 7a + 21)23^5 + (4a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 2a + 9)23^6 + (5a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 13a^2 + 9a + 14)23^7 + (22a^6 + 12a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 12a + 7)23^8 + (20a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 13a + 8)23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 16 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 + \left(12 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{6} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 16a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 12 + (12a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 10a + 6)23 + (5a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 16a)23^2 + (8a^6 + 18a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 3a + 21)23^3 + (3a^6 + 14a^4 + 4a^3 + 17a + 14)23^4 + (3a^6 + 3a^5 + 2a^3 + 21a^2 + 6a + 21)23^5 + (12a^6 + 21a^5 + a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 7a + 18)23^6 + (7a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 18a + 20)23^7 + (12a^6 + 22a^5 + 22a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 11a + 22)23^8 + (7a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 14a + 1)23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 16 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 16 + \left(12 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{6} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 16a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 16 + (12a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 10a + 3)23 + (5a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 16a + 22)23^2 + (8a^6 + 18a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 3a + 2)23^3 + (3a^6 + 14a^4 + 4a^3 + 17a + 4)23^4 + (3a^6 + 3a^5 + 2a^3 + 21a^2 + 6a + 6)23^5 + (12a^6 + 21a^5 + a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 7a + 7)23^6 + (7a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 18a + 10)23^7 + (12a^6 + 22a^5 + 22a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 11a + 13)23^8 + (7a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 14a + 19)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 18 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 2 + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23 + \left(21 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 18a^6 + 7a^5 + 7a^3 + 15a^2 + 14a + 2 + (2a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 8a + 12)23 + (21a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 10a + 4)23^2 + (11a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 21a + 18)23^3 + (16a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 20a + 21)23^4 + (14a^6 + a^5 + 14a^4 + a^3 + 6a^2 + 20a + 22)23^5 + (22a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 3a)23^6 + (a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 21a + 13)23^7 + (10a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 12a + 5)23^8 + (21a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 16a^2 + a + 22)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 18 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 6 + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23 + \left(21 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 18a^6 + 7a^5 + 7a^3 + 15a^2 + 14a + 6 + (2a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 8a + 9)23 + (21a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 10a + 3)23^2 + (11a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 21a)23^3 + (16a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 20a + 11)23^4 + (14a^6 + a^5 + 14a^4 + a^3 + 6a^2 + 20a + 7)23^5 + (22a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 3a + 12)23^6 + (a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 21a + 2)23^7 + (10a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 12a + 19)23^8 + (21a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 16a^2 + a + 16)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 22 a^{6} + a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 + \left(7 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 22a^6 + a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5 + (7a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 17a + 13)23 + (13a^5 + a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 6a + 21)23^2 + (11a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 14a^3 + a^2 + 15a + 1)23^3 + (9a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 4a + 10)23^4 + (19a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 5a + 15)23^5 + (10a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 3a + 18)23^6 + (6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 12a + 1)23^7 + (22a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 22a + 18)23^8 + (10a^6 + 22a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 5a^2 + 21a + 17)23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 22 a^{6} + a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 9 + \left(7 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 22a^6 + a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 9 + (7a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 17a + 10)23 + (13a^5 + a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 6a + 20)23^2 + (11a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 14a^3 + a^2 + 15a + 6)23^3 + (9a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 4a + 22)23^4 + (19a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 5a + 22)23^5 + (10a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 3a + 6)23^6 + (6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 12a + 14)23^7 + (22a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 22a + 8)23^8 + (10a^6 + 22a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 5a^2 + 21a + 12)23^9+O(23^10)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 22 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 5 + \left(6 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23 + \left(19 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{6} + a^{5} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 22a^6 + 5a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 7a + 5 + (6a^6 + 8a^5 + 2a^4 + 9a^2 + 19a + 18)23 + (19a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 20a + 17)23^2 + (2a^6 + a^5 + 18a^3 + 7a^2 + a + 15)23^3 + (20a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 8a + 17)23^4 + (20a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 18)23^5 + (22a^5 + 17a^4 + 12a^2 + 21a)23^6 + (7a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 10a^2 + a + 1)23^7 + (5a^6 + 11a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 20a^2 + a + 6)23^8 + (21a^6 + 9a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 18)23^9+O(23^10)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 22 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 9 + \left(6 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23 + \left(19 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{6} + a^{5} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})$ 22a^6 + 5a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 7a + 9 + (6a^6 + 8a^5 + 2a^4 + 9a^2 + 19a + 15)23 + (19a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 20a + 16)23^2 + (2a^6 + a^5 + 18a^3 + 7a^2 + a + 20)23^3 + (20a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 8a + 6)23^4 + (20a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 3)23^5 + (22a^5 + 17a^4 + 12a^2 + 21a + 12)23^6 + (7a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 10a^2 + a + 13)23^7 + (5a^6 + 11a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 20a^2 + a + 19)23^8 + (21a^6 + 9a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 12)23^9+O(23^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(1,8,11,4,5,14,9,2,7,12,3,6,13,10)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character value	Complex conjugation
$1$	$1$	$()$	$1$
$1$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)$	$-1$	✓
$1$	$7$	$(1,11,5,9,7,3,13)(2,12,6,10,8,4,14)$	$\zeta_{7}^{3}$
$1$	$7$	$(1,5,7,13,11,9,3)(2,6,8,14,12,10,4)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$
$1$	$7$	$(1,9,13,5,3,11,7)(2,10,14,6,4,12,8)$	$\zeta_{7}^{2}$
$1$	$7$	$(1,7,11,3,5,13,9)(2,8,12,4,6,14,10)$	$\zeta_{7}^{5}$
$1$	$7$	$(1,3,9,11,13,7,5)(2,4,10,12,14,8,6)$	$\zeta_{7}$
$1$	$7$	$(1,13,3,7,9,5,11)(2,14,4,8,10,6,12)$	$\zeta_{7}^{4}$
$1$	$14$	$(1,8,11,4,5,14,9,2,7,12,3,6,13,10)$	$-\zeta_{7}^{5}$
$1$	$14$	$(1,4,9,12,13,8,5,2,3,10,11,14,7,6)$	$-\zeta_{7}$
$1$	$14$	$(1,14,3,8,9,6,11,2,13,4,7,10,5,12)$	$-\zeta_{7}^{4}$
$1$	$14$	$(1,12,5,10,7,4,13,2,11,6,9,8,3,14)$	$-\zeta_{7}^{3}$
$1$	$14$	$(1,6,7,14,11,10,3,2,5,8,13,12,9,4)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + \zeta_{7} + 1$
$1$	$14$	$(1,10,13,6,3,12,7,2,9,14,5,4,11,8)$	$-\zeta_{7}^{2}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$
Belyi maps

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.497.14t1.a.b
Dimension	$1$
Group	$C_{14}$
Conductor	$497$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 13 + \left(16 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23 + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 7a^2 + 5a + 13 + (16a^6 + 6a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 6a + 21)23 + (12a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 9a + 13)23^2 + (16a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 14a + 9)23^3 + (9a^6 + 6a^4 + 9a^3 + a^2 + 15a + 14)23^4 + (8a^6 + 5a^5 + 22a^4 + 15a^3 + a^2 + 8a + 1)23^5 + (12a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 12a)23^6 + (2a^6 + 22a^5 + 20a^3 + 17a^2 + 12a)23^7 + (20a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 20a + 2)23^8 + (18a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 15a + 22)23^9+O(23^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 2 a^{6} + 18 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 17 + \left(16 a^{6} + 6 a^{5} + 19 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23 + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 5 a^{3} + 22 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 13 a^{5} + 5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 6 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{4} + \left(8 a^{6} + 5 a^{5} + 22 a^{4} + 15 a^{3} + a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 8 a^{5} + 5 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 14 a^{3} + 3 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 11 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 2a^6 + 18a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 7a^2 + 5a + 17 + (16a^6 + 6a^5 + 19a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 6a + 18)23 + (12a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 5a^3 + 22a^2 + 9a + 12)23^2 + (16a^6 + 13a^5 + 5a^4 + 4a^3 + a^2 + 14a + 14)23^3 + (9a^6 + 6a^4 + 9a^3 + a^2 + 15a + 3)23^4 + (8a^6 + 5a^5 + 22a^4 + 15a^3 + a^2 + 8a + 9)23^5 + (12a^6 + 8a^5 + 5a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 12a + 11)23^6 + (2a^6 + 22a^5 + 20a^3 + 17a^2 + 12a + 12)23^7 + (20a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 14a^3 + 3a^2 + 20a + 15)23^8 + (18a^6 + 13a^5 + 13a^4 + 11a^3 + 16a^2 + 15a + 16)23^9+O(23^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 4 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 3 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23 + \left(3 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 4a^6 + 11a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 3 + (17a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 3a + 18)23 + (3a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 10a + 13)23^2 + (11a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 2a + 4)23^3 + (4a^6 + 15a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 2a + 12)23^4 + (11a^6 + 21a^5 + 5a^4 + a^3 + 10a^2 + 2a + 5)23^5 + (5a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 18a + 14)23^6 + (22a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 16a + 9)23^7 + (22a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 10a + 7)23^8 + (13a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 14a^2 + a + 3)23^9+O(23^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 4 a^{6} + 11 a^{5} + 17 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 7 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 13 a^{4} + 12 a^{3} + 13 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23 + \left(3 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 12 a^{5} + 10 a^{4} + 6 a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 15 a^{5} + 20 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{4} + \left(11 a^{6} + 21 a^{5} + 5 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 22 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 20 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(13 a^{6} + 20 a^{5} + 21 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 4a^6 + 11a^5 + 17a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 7 + (17a^6 + 14a^5 + 13a^4 + 12a^3 + 13a^2 + 3a + 15)23 + (3a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 15a^2 + 10a + 12)23^2 + (11a^6 + 12a^5 + 10a^4 + 6a^3 + 13a^2 + 2a + 9)23^3 + (4a^6 + 15a^5 + 20a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 2a + 1)23^4 + (11a^6 + 21a^5 + 5a^4 + a^3 + 10a^2 + 2a + 13)23^5 + (5a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 22a^3 + 2a^2 + 18a + 2)23^6 + (22a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 16a + 22)23^7 + (22a^6 + 2a^5 + 18a^4 + 14a^3 + 20a^2 + 10a + 20)23^8 + (13a^6 + 20a^5 + 21a^4 + 20a^3 + 14a^2 + a + 20)23^9+O(23^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 6 + \left(5 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 20a + 6 + (5a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 4a + 12)23 + (6a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 18a + 12)23^2 + (7a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 9a + 3)23^3 + (5a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 4)23^4 + (14a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 7a + 14)23^5 + (4a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 2a + 21)23^6 + (5a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 13a^2 + 9a + 1)23^7 + (22a^6 + 12a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 12a + 17)23^8 + (20a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 13a + 13)23^9+O(23^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 8 a^{6} + 12 a^{5} + 19 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 10 + \left(5 a^{6} + 19 a^{5} + 12 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 11 a^{4} + 13 a^{3} + 2 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(7 a^{6} + 19 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(5 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + 20 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{6} + 14 a^{5} + 17 a^{4} + 13 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 12 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{6} + 5 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{3} + 14 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 8a^6 + 12a^5 + 19a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 20a + 10 + (5a^6 + 19a^5 + 12a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 4a + 9)23 + (6a^6 + 13a^5 + 11a^4 + 13a^3 + 2a^2 + 18a + 11)23^2 + (7a^6 + 19a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 7a^2 + 9a + 8)23^3 + (5a^6 + 7a^5 + 7a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 16)23^4 + (14a^6 + 20a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 7a + 21)23^5 + (4a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 3a^2 + 2a + 9)23^6 + (5a^6 + 14a^5 + 17a^4 + 13a^2 + 9a + 14)23^7 + (22a^6 + 12a^4 + 5a^3 + 7a^2 + 12a + 7)23^8 + (20a^6 + 5a^5 + 2a^4 + 9a^3 + 14a^2 + 13a + 8)23^9+O(23^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 16 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 + \left(12 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{6} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 16a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 12 + (12a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 10a + 6)23 + (5a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 16a)23^2 + (8a^6 + 18a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 3a + 21)23^3 + (3a^6 + 14a^4 + 4a^3 + 17a + 14)23^4 + (3a^6 + 3a^5 + 2a^3 + 21a^2 + 6a + 21)23^5 + (12a^6 + 21a^5 + a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 7a + 18)23^6 + (7a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 18a + 20)23^7 + (12a^6 + 22a^5 + 22a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 11a + 22)23^8 + (7a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 14a + 1)23^9+O(23^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 16 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 16 + \left(12 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{3} + 14 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{6} + 14 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{3} + 21 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(12 a^{6} + 21 a^{5} + a^{4} + 18 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(12 a^{6} + 22 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{6} + 10 a^{5} + 3 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 16a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 7a^3 + 8a^2 + 16 + (12a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 10a + 3)23 + (5a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 12a^3 + 14a^2 + 16a + 22)23^2 + (8a^6 + 18a^5 + 10a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 3a + 2)23^3 + (3a^6 + 14a^4 + 4a^3 + 17a + 4)23^4 + (3a^6 + 3a^5 + 2a^3 + 21a^2 + 6a + 6)23^5 + (12a^6 + 21a^5 + a^4 + 18a^3 + 8a^2 + 7a + 7)23^6 + (7a^6 + 5a^5 + 11a^4 + 6a^3 + 8a^2 + 18a + 10)23^7 + (12a^6 + 22a^5 + 22a^4 + 20a^3 + 3a^2 + 11a + 13)23^8 + (7a^6 + 10a^5 + 3a^4 + 12a^3 + 2a^2 + 14a + 19)23^9+O(23^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 18 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 2 + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23 + \left(21 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^6 + 7a^5 + 7a^3 + 15a^2 + 14a + 2 + (2a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 8a + 12)23 + (21a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 10a + 4)23^2 + (11a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 21a + 18)23^3 + (16a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 20a + 21)23^4 + (14a^6 + a^5 + 14a^4 + a^3 + 6a^2 + 20a + 22)23^5 + (22a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 3a)23^6 + (a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 21a + 13)23^7 + (10a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 12a + 5)23^8 + (21a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 16a^2 + a + 22)*23^9+O(23^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 18 a^{6} + 7 a^{5} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 14 a + 6 + \left(2 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23 + \left(21 a^{6} + 10 a^{5} + 8 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 21 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{3} + \left(16 a^{6} + 7 a^{5} + 19 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(a^{6} + 6 a^{5} + 15 a^{4} + 12 a^{3} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{6} + 9 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 19 a^{5} + 3 a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 18a^6 + 7a^5 + 7a^3 + 15a^2 + 14a + 6 + (2a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 4a^2 + 8a + 9)23 + (21a^6 + 10a^5 + 8a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 10a + 3)23^2 + (11a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 21a^3 + 14a^2 + 21a)23^3 + (16a^6 + 7a^5 + 19a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 20a + 11)23^4 + (14a^6 + a^5 + 14a^4 + a^3 + 6a^2 + 20a + 7)23^5 + (22a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 11a^2 + 3a + 12)23^6 + (a^6 + 6a^5 + 15a^4 + 12a^3 + 21a + 2)23^7 + (10a^6 + 9a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 12a + 19)23^8 + (21a^6 + 19a^5 + 3a^4 + 2a^3 + 16a^2 + a + 16)*23^9+O(23^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 22 a^{6} + a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 5 + \left(7 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 22a^6 + a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 5 + (7a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 17a + 13)23 + (13a^5 + a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 6a + 21)23^2 + (11a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 14a^3 + a^2 + 15a + 1)23^3 + (9a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 4a + 10)23^4 + (19a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 5a + 15)23^5 + (10a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 3a + 18)23^6 + (6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 12a + 1)23^7 + (22a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 22a + 18)23^8 + (10a^6 + 22a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 5a^2 + 21a + 17)23^9+O(23^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 22 a^{6} + a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 9 + \left(7 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 23 + \left(13 a^{5} + a^{4} + 2 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 14 a^{3} + a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 22 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(19 a^{6} + 12 a^{5} + 2 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 4 a^{5} + 5 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(22 a^{6} + 3 a^{5} + 10 a^{4} + 14 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a^{6} + 22 a^{5} + 13 a^{4} + 22 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 22a^6 + a^4 + 12a^3 + 3a^2 + 9 + (7a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 18a^2 + 17a + 10)23 + (13a^5 + a^4 + 2a^3 + 16a^2 + 6a + 20)23^2 + (11a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 14a^3 + a^2 + 15a + 6)23^3 + (9a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 22a^2 + 4a + 22)23^4 + (19a^6 + 12a^5 + 2a^4 + 8a^3 + 5a + 22)23^5 + (10a^6 + 4a^5 + 5a^4 + 9a^3 + 5a^2 + 3a + 6)23^6 + (6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 10a^3 + 11a^2 + 12a + 14)23^7 + (22a^6 + 3a^5 + 10a^4 + 14a^3 + 8a^2 + 22a + 8)23^8 + (10a^6 + 22a^5 + 13a^4 + 22a^3 + 5a^2 + 21a + 12)23^9+O(23^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 22 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 5 + \left(6 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23 + \left(19 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{6} + a^{5} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 22a^6 + 5a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 7a + 5 + (6a^6 + 8a^5 + 2a^4 + 9a^2 + 19a + 18)23 + (19a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 20a + 17)23^2 + (2a^6 + a^5 + 18a^3 + 7a^2 + a + 15)23^3 + (20a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 8a + 17)23^4 + (20a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 18)23^5 + (22a^5 + 17a^4 + 12a^2 + 21a)23^6 + (7a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 10a^2 + a + 1)23^7 + (5a^6 + 11a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 20a^2 + a + 6)23^8 + (21a^6 + 9a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 18)23^9+O(23^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 22 a^{6} + 5 a^{5} + 19 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 7 a + 9 + \left(6 a^{6} + 8 a^{5} + 2 a^{4} + 9 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23 + \left(19 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{2} + \left(2 a^{6} + a^{5} + 18 a^{3} + 7 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{6} + 19 a^{5} + 18 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{4} + \left(20 a^{6} + 4 a^{5} + 12 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{5} + 17 a^{4} + 12 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{6} + \left(7 a^{5} + 8 a^{4} + 19 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{6} + 11 a^{5} + 15 a^{4} + 3 a^{3} + 20 a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{8} + \left(21 a^{6} + 9 a^{4} + 12 a^{3} + 22 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{9} +O(23^{10})\) 22a^6 + 5a^5 + 19a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 7a + 9 + (6a^6 + 8a^5 + 2a^4 + 9a^2 + 19a + 15)23 + (19a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 3a^3 + 4a^2 + 20a + 16)23^2 + (2a^6 + a^5 + 18a^3 + 7a^2 + a + 20)23^3 + (20a^6 + 19a^5 + 18a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 8a + 6)23^4 + (20a^6 + 4a^5 + 12a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 3)23^5 + (22a^5 + 17a^4 + 12a^2 + 21a + 12)23^6 + (7a^5 + 8a^4 + 19a^3 + 10a^2 + a + 13)23^7 + (5a^6 + 11a^5 + 15a^4 + 3a^3 + 20a^2 + a + 19)23^8 + (21a^6 + 9a^4 + 12a^3 + 22a^2 + 12)23^9+O(23^10)