LMFDB - Artin representation 1.2653.14t1.a.f

Basic invariants

Dimension:	$1$
Group:	$C_{14}$
Conductor:	$2653$$\medspace = 7 \cdot 379 $
Artin field:	Galois closure of 14.0.7233638475855537196459880931835354663.1
Galois orbit size:	$6$
Smallest permutation container:	$C_{14}$
Parity:	odd
Dirichlet character:	$\chi_{2653}(2393,\cdot)$
Projective image:	$C_1$
Projective field:	Galois closure of $\Q$

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{14} - 5 x^{13} - 301 x^{12} + 1153 x^{11} + 38034 x^{10} - 95620 x^{9} - 2555958 x^{8} + \cdots + 47750501269 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 7.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{7} + 21x + 18 $ x^7 + 21*x + 18

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + \left(2 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23 + \left(10 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{3} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 16a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 19a + (2a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 4a^3 + a^2 + 11a + 21)23 + (10a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 10a + 12)23^2 + (16a^6 + 18a^5 + 10a^3 + 14a + 7)23^3 + (4a^6 + 22a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 8a + 16)23^4 + (21a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 3a + 1)23^5 + (7a^6 + 5a^5 + 13a^3 + 6a^2 + 19a + 12)*23^6+O(23^7)
$r_{ 2 }$	$=$	$ 16 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 4 + \left(2 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23 + \left(10 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{3} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 16a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 19a + 4 + (2a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 4a^3 + a^2 + 11a + 18)23 + (10a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 10a + 11)23^2 + (16a^6 + 18a^5 + 10a^3 + 14a + 12)23^3 + (4a^6 + 22a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 8a + 5)23^4 + (21a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 3a + 9)23^5 + (7a^6 + 5a^5 + 13a^3 + 6a^2 + 19a)*23^6+O(23^7)
$r_{ 3 }$	$=$	$ 5 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 2 + \left(5 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{3} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 5a^6 + 13a^5 + 22a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 17a + 2 + (5a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 11a + 7)23 + (17a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 2a + 18)23^2 + (4a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 21a + 18)23^3 + (17a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 12a + 22)23^4 + (12a^6 + 3a^5 + 20a^3 + 9a + 17)23^5 + (15a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 10a + 22)*23^6+O(23^7)
$r_{ 4 }$	$=$	$ 5 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 21 + \left(5 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 5a^6 + 13a^5 + 22a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 17a + 21 + (5a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 11a + 9)23 + (17a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 2a + 19)23^2 + (4a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 21a + 13)23^3 + (17a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 12a + 10)23^4 + (12a^6 + 3a^5 + 20a^3 + 9a + 10)23^5 + (15a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 10a + 11)*23^6+O(23^7)
$r_{ 5 }$	$=$	$ 6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{2} + 15 a + 16 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + a^{5} + 11 a^{3} + a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{6} + 13 a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 16a^2 + 15a + 16 + (6a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 21a + 5)23 + (5a^6 + a^5 + 11a^3 + a^2 + a + 18)23^2 + (21a^6 + 12a^5 + 11a^3 + 5a^2 + 10a + 1)23^3 + (14a^6 + 13a^4 + 7a^2 + 4a + 16)23^4 + (17a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 6)23^5 + (7a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 18a + 9)23^6+O(23^7)
$r_{ 6 }$	$=$	$ 6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{2} + 15 a + 20 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + a^{5} + 11 a^{3} + a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{6} + 13 a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 16a^2 + 15a + 20 + (6a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 21a + 2)23 + (5a^6 + a^5 + 11a^3 + a^2 + a + 17)23^2 + (21a^6 + 12a^5 + 11a^3 + 5a^2 + 10a + 6)23^3 + (14a^6 + 13a^4 + 7a^2 + 4a + 5)23^4 + (17a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 14)23^5 + (7a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 18a + 20)23^6+O(23^7)
$r_{ 7 }$	$=$	$ 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 16 + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23 + \left(18 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 6a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 10a + 16 + (16a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 15a + 1)23 + (18a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 9a + 7)23^2 + (22a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 17a + 7)23^3 + (a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 13a + 13)23^4 + (4a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 21a + 15)23^5 + (10a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 4a + 6)*23^6+O(23^7)
$r_{ 8 }$	$=$	$ 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 20 + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23 + \left(18 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 6a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 10a + 20 + (16a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 15a + 21)23 + (18a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 9a + 5)23^2 + (22a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 17a + 12)23^3 + (a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 13a + 2)23^4 + (4a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 21a)23^5 + (10a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 4a + 18)*23^6+O(23^7)
$r_{ 9 }$	$=$	$ 12 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9 + \left(10 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23 + \left(2 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 12a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 7a + 9 + (10a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 7a + 13)23 + (2a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 16a + 13)23^2 + (12a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 12a + 21)23^3 + (12a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 18a + 18)23^4 + (5a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 7a + 18)23^5 + (16a^6 + 3a^5 + 19a^3 + 22a^2 + 15a)23^6+O(23^7)
$r_{ 10 }$	$=$	$ 12 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 13 + \left(10 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23 + \left(2 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 12a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 7a + 13 + (10a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 7a + 10)23 + (2a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 16a + 12)23^2 + (12a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 12a + 3)23^3 + (12a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 18a + 8)23^4 + (5a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 7a + 3)23^5 + (16a^6 + 3a^5 + 19a^3 + 22a^2 + 15a + 12)23^6+O(23^7)
$r_{ 11 }$	$=$	$ 20 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 15 + \left(22 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 4 a\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 20a^6 + 8a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 17a + 15 + (22a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 11a^3 + a^2 + 21a + 5)23 + (14a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 4a + 9)23^2 + (9a^6 + 18a^5 + 14a^4 + a^3 + 4a)23^3 + (7a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 5a + 19)23^4 + (12a^6 + 9a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 5a + 2)23^5 + (11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 9a^2 + 5a + 8)*23^6+O(23^7)
$r_{ 12 }$	$=$	$ 20 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 19 + \left(22 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23 + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 20a^6 + 8a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 17a + 19 + (22a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 11a^3 + a^2 + 21a + 2)23 + (14a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 4a + 8)23^2 + (9a^6 + 18a^5 + 14a^4 + a^3 + 4a + 5)23^3 + (7a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 5a + 8)23^4 + (12a^6 + 9a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 5a + 10)23^5 + (11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 9a^2 + 5a + 19)*23^6+O(23^7)
$r_{ 13 }$	$=$	$ 20 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15 + \left(5 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 20a^6 + 22a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 7a + 15 + (5a^6 + 20a^5 + 5a^4 + 11a^2 + 2a + 21)23 + (17a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 3)23^2 + (5a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 18a^3 + a^2 + 12a + 22)23^3 + (10a^6 + 6a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 5a)23^4 + (18a^6 + 18a^5 + 4a^4 + a^3 + a^2 + 17a + 21)23^5 + (22a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 3)*23^6+O(23^7)
$r_{ 14 }$	$=$	$ 20 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 19 + \left(5 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})$ 20a^6 + 22a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 7a + 19 + (5a^6 + 20a^5 + 5a^4 + 11a^2 + 2a + 18)23 + (17a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 2)23^2 + (5a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 18a^3 + a^2 + 12a + 4)23^3 + (10a^6 + 6a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 5a + 13)23^4 + (18a^6 + 18a^5 + 4a^4 + a^3 + a^2 + 17a + 5)23^5 + (22a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 15)*23^6+O(23^7)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Cycle notation
$(1,9,11,13,5,7,4)(2,10,12,14,6,8,3)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 14 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$1$
$1$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)$	$-1$
$1$	$7$	$(1,9,11,13,5,7,4)(2,10,12,14,6,8,3)$	$-\zeta_{7}^{5} - \zeta_{7}^{4} - \zeta_{7}^{3} - \zeta_{7}^{2} - \zeta_{7} - 1$
$1$	$7$	$(1,11,5,4,9,13,7)(2,12,6,3,10,14,8)$	$\zeta_{7}^{5}$
$1$	$7$	$(1,13,4,11,7,9,5)(2,14,3,12,8,10,6)$	$\zeta_{7}^{4}$
$1$	$7$	$(1,5,9,7,11,4,13)(2,6,10,8,12,3,14)$	$\zeta_{7}^{3}$
$1$	$7$	$(1,7,13,9,4,5,11)(2,8,14,10,3,6,12)$	$\zeta_{7}^{2}$
$1$	$7$	$(1,4,7,5,13,11,9)(2,3,8,6,14,12,10)$	$\zeta_{7}$
$1$	$14$	$(1,10,11,14,5,8,4,2,9,12,13,6,7,3)$	$\zeta_{7}^{5} + \zeta_{7}^{4} + \zeta_{7}^{3} + \zeta_{7}^{2} + \zeta_{7} + 1$
$1$	$14$	$(1,14,4,12,7,10,5,2,13,3,11,8,9,6)$	$-\zeta_{7}^{4}$
$1$	$14$	$(1,8,13,10,4,6,11,2,7,14,9,3,5,12)$	$-\zeta_{7}^{2}$
$1$	$14$	$(1,12,5,3,9,14,7,2,11,6,4,10,13,8)$	$-\zeta_{7}^{5}$
$1$	$14$	$(1,6,9,8,11,3,13,2,5,10,7,12,4,14)$	$-\zeta_{7}^{3}$
$1$	$14$	$(1,3,7,6,13,12,9,2,4,8,5,14,11,10)$	$-\zeta_{7}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 14 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	1.2653.14t1.a.f
Dimension	$1$
Group	$C_{14}$
Conductor	$2653$
Root number	not computed
Indicator	$0$

$r_{ 1 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + \left(2 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23 + \left(10 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{3} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 16a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 19a + (2a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 4a^3 + a^2 + 11a + 21)23 + (10a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 10a + 12)23^2 + (16a^6 + 18a^5 + 10a^3 + 14a + 7)23^3 + (4a^6 + 22a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 8a + 16)23^4 + (21a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 3a + 1)23^5 + (7a^6 + 5a^5 + 13a^3 + 6a^2 + 19a + 12)*23^6+O(23^7)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 16 a^{5} + 4 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 19 a + 4 + \left(2 a^{6} + 3 a^{5} + 7 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23 + \left(10 a^{6} + 16 a^{5} + 6 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 10 a^{3} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{6} + 22 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(21 a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 18 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 5 a^{5} + 13 a^{3} + 6 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 16a^5 + 4a^4 + 4a^3 + 12a^2 + 19a + 4 + (2a^6 + 3a^5 + 7a^4 + 4a^3 + a^2 + 11a + 18)23 + (10a^6 + 16a^5 + 6a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 10a + 11)23^2 + (16a^6 + 18a^5 + 10a^3 + 14a + 12)23^3 + (4a^6 + 22a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 21a^2 + 8a + 5)23^4 + (21a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 18a^3 + 5a^2 + 3a + 9)23^5 + (7a^6 + 5a^5 + 13a^3 + 6a^2 + 19a)*23^6+O(23^7)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 5 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 2 + \left(5 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{3} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 5a^6 + 13a^5 + 22a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 17a + 2 + (5a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 11a + 7)23 + (17a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 2a + 18)23^2 + (4a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 21a + 18)23^3 + (17a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 12a + 22)23^4 + (12a^6 + 3a^5 + 20a^3 + 9a + 17)23^5 + (15a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 10a + 22)*23^6+O(23^7)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 5 a^{6} + 13 a^{5} + 22 a^{4} + 14 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 21 + \left(5 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23 + \left(17 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 21 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{6} + 9 a^{5} + 11 a^{4} + 22 a^{3} + 3 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(17 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 3 a^{5} + 20 a^{3} + 9 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(15 a^{6} + 15 a^{5} + 14 a^{4} + 18 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 5a^6 + 13a^5 + 22a^4 + 14a^3 + 17a^2 + 17a + 21 + (5a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 10a^3 + 4a^2 + 11a + 9)23 + (17a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 21a^2 + 2a + 19)23^2 + (4a^6 + 9a^5 + 11a^4 + 22a^3 + 3a^2 + 21a + 13)23^3 + (17a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 3a^3 + 8a^2 + 12a + 10)23^4 + (12a^6 + 3a^5 + 20a^3 + 9a + 10)23^5 + (15a^6 + 15a^5 + 14a^4 + 18a^3 + 9a^2 + 10a + 11)*23^6+O(23^7)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{2} + 15 a + 16 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + a^{5} + 11 a^{3} + a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{6} + 13 a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 16a^2 + 15a + 16 + (6a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 21a + 5)23 + (5a^6 + a^5 + 11a^3 + a^2 + a + 18)23^2 + (21a^6 + 12a^5 + 11a^3 + 5a^2 + 10a + 1)23^3 + (14a^6 + 13a^4 + 7a^2 + 4a + 16)23^4 + (17a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 6)23^5 + (7a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 18a + 9)23^6+O(23^7)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 6 a^{6} + 14 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{2} + 15 a + 20 + \left(6 a^{6} + 13 a^{5} + 12 a^{4} + 18 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23 + \left(5 a^{6} + a^{5} + 11 a^{3} + a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a^{6} + 12 a^{5} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{3} + \left(14 a^{6} + 13 a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{4} + \left(17 a^{6} + 22 a^{5} + 6 a^{4} + 8 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{6} + 7 a^{5} + 2 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 6a^6 + 14a^5 + 9a^4 + 16a^2 + 15a + 20 + (6a^6 + 13a^5 + 12a^4 + 18a^3 + 13a^2 + 21a + 2)23 + (5a^6 + a^5 + 11a^3 + a^2 + a + 17)23^2 + (21a^6 + 12a^5 + 11a^3 + 5a^2 + 10a + 6)23^3 + (14a^6 + 13a^4 + 7a^2 + 4a + 5)23^4 + (17a^6 + 22a^5 + 6a^4 + 8a^3 + 14a^2 + 4a + 14)23^5 + (7a^6 + 7a^5 + 2a^4 + 12a^3 + 5a^2 + 18a + 20)23^6+O(23^7)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 16 + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23 + \left(18 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 6a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 10a + 16 + (16a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 15a + 1)23 + (18a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 9a + 7)23^2 + (22a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 17a + 7)23^3 + (a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 13a + 13)23^4 + (4a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 21a + 15)23^5 + (10a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 4a + 6)*23^6+O(23^7)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 6 a^{6} + 22 a^{5} + 21 a^{4} + 16 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 20 + \left(16 a^{6} + 18 a^{5} + 16 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23 + \left(18 a^{6} + 9 a^{5} + 8 a^{4} + 13 a^{3} + 18 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{2} + \left(22 a^{6} + 2 a^{5} + 8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 5 a^{3} + 21 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 21 a\right)\cdot 23^{5} + \left(10 a^{6} + 13 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 6a^6 + 22a^5 + 21a^4 + 16a^3 + 10a^2 + 10a + 20 + (16a^6 + 18a^5 + 16a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 15a + 21)23 + (18a^6 + 9a^5 + 8a^4 + 13a^3 + 18a^2 + 9a + 5)23^2 + (22a^6 + 2a^5 + 8a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 17a + 12)23^3 + (a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 5a^3 + 21a^2 + 13a + 2)23^4 + (4a^6 + 6a^5 + 21a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 21a)23^5 + (10a^6 + 13a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 8a^2 + 4a + 18)*23^6+O(23^7)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 9 + \left(10 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23 + \left(2 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 12a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 7a + 9 + (10a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 7a + 13)23 + (2a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 16a + 13)23^2 + (12a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 12a + 21)23^3 + (12a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 18a + 18)23^4 + (5a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 7a + 18)23^5 + (16a^6 + 3a^5 + 19a^3 + 22a^2 + 15a)23^6+O(23^7)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 12 a^{6} + 20 a^{5} + 22 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 13 + \left(10 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 23 + \left(2 a^{6} + 14 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 20 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{6} + 17 a^{5} + 2 a^{4} + 22 a^{3} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a^{6} + 4 a^{5} + 2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 8 a^{3} + 18 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 12a^6 + 20a^5 + 22a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 7a + 13 + (10a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 2a^3 + 6a^2 + 7a + 10)23 + (2a^6 + 14a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 20a^2 + 16a + 12)23^2 + (12a^6 + 17a^5 + 2a^4 + 22a^3 + 12a + 3)23^3 + (12a^6 + 4a^5 + 2a^4 + 10a^3 + 6a^2 + 18a + 8)23^4 + (5a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 8a^3 + 18a^2 + 7a + 3)23^5 + (16a^6 + 3a^5 + 19a^3 + 22a^2 + 15a + 12)23^6+O(23^7)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 20 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 15 + \left(22 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23 + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 4 a\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 20a^6 + 8a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 17a + 15 + (22a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 11a^3 + a^2 + 21a + 5)23 + (14a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 4a + 9)23^2 + (9a^6 + 18a^5 + 14a^4 + a^3 + 4a)23^3 + (7a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 5a + 19)23^4 + (12a^6 + 9a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 5a + 2)23^5 + (11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 9a^2 + 5a + 8)*23^6+O(23^7)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 20 a^{6} + 8 a^{5} + 19 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 17 a + 19 + \left(22 a^{6} + 5 a^{5} + 15 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23 + \left(14 a^{6} + 17 a^{5} + 11 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{6} + 18 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 4 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{6} + 21 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(12 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{6} + 13 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 20a^6 + 8a^5 + 19a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 17a + 19 + (22a^6 + 5a^5 + 15a^4 + 11a^3 + a^2 + 21a + 2)23 + (14a^6 + 17a^5 + 11a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 4a + 8)23^2 + (9a^6 + 18a^5 + 14a^4 + a^3 + 4a + 5)23^3 + (7a^6 + 21a^5 + 22a^4 + 18a^3 + 11a^2 + 5a + 8)23^4 + (12a^6 + 9a^5 + a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 5a + 10)23^5 + (11a^6 + 13a^5 + 7a^4 + 9a^2 + 5a + 19)*23^6+O(23^7)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 20 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 15 + \left(5 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 20a^6 + 22a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 7a + 15 + (5a^6 + 20a^5 + 5a^4 + 11a^2 + 2a + 21)23 + (17a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 3)23^2 + (5a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 18a^3 + a^2 + 12a + 22)23^3 + (10a^6 + 6a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 5a)23^4 + (18a^6 + 18a^5 + 4a^4 + a^3 + a^2 + 17a + 21)23^5 + (22a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 3)*23^6+O(23^7)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 20 a^{6} + 22 a^{5} + 18 a^{4} + 2 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 19 + \left(5 a^{6} + 20 a^{5} + 5 a^{4} + 11 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23 + \left(17 a^{6} + 14 a^{5} + 16 a^{4} + 14 a^{3} + 12 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{6} + 12 a^{5} + 8 a^{4} + 18 a^{3} + a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{3} + \left(10 a^{6} + 6 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 17 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a^{6} + 18 a^{5} + 4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 23^{5} + \left(22 a^{6} + 9 a^{5} + 13 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{6} +O(23^{7})\) 20a^6 + 22a^5 + 18a^4 + 2a^3 + 14a^2 + 7a + 19 + (5a^6 + 20a^5 + 5a^4 + 11a^2 + 2a + 18)23 + (17a^6 + 14a^5 + 16a^4 + 14a^3 + 12a^2 + 2)23^2 + (5a^6 + 12a^5 + 8a^4 + 18a^3 + a^2 + 12a + 4)23^3 + (10a^6 + 6a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 17a^2 + 5a + 13)23^4 + (18a^6 + 18a^5 + 4a^4 + a^3 + a^2 + 17a + 5)23^5 + (22a^6 + 9a^5 + 13a^4 + 6a^3 + 7a^2 + 18a + 15)*23^6+O(23^7)