↑

Properties

Label 44.0.12852933221...3125.1
Degree $44$
Signature $[0, 22]$
Discriminant $5^{33}\cdot 67^{40}$
Root discriminant $152.86$
Ramified primes $5, 67$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{44}$ (as 44T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![707281, 5926527, 48806594, 358937031, 2541667673, 7562086237, 35236257421, 107770070234, 230279843211, -847476126029, 2008087017143, -3316549033166, 6121138873215, -7120097896426, 7510861581147, -6702698808467, 5535774252463, -3920575228227, 2651752148358, -1610261489560, 939014581967, -499897056203, 263552702295, -127873593260, 62194007935, -27790875550, 12507156794, -5088107859, 2093540217, -753523086, 282893877, -90867925, 31559564, -9005447, 3099386, -773728, 252654, -49893, 15289, -1834, 645, 2, 31, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^44 - x^43 + 31*x^42 + 2*x^41 + 645*x^40 - 1834*x^39 + 15289*x^38 - 49893*x^37 + 252654*x^36 - 773728*x^35 + 3099386*x^34 - 9005447*x^33 + 31559564*x^32 - 90867925*x^31 + 282893877*x^30 - 753523086*x^29 + 2093540217*x^28 - 5088107859*x^27 + 12507156794*x^26 - 27790875550*x^25 + 62194007935*x^24 - 127873593260*x^23 + 263552702295*x^22 - 499897056203*x^21 + 939014581967*x^20 - 1610261489560*x^19 + 2651752148358*x^18 - 3920575228227*x^17 + 5535774252463*x^16 - 6702698808467*x^15 + 7510861581147*x^14 - 7120097896426*x^13 + 6121138873215*x^12 - 3316549033166*x^11 + 2008087017143*x^10 - 847476126029*x^9 + 230279843211*x^8 + 107770070234*x^7 + 35236257421*x^6 + 7562086237*x^5 + 2541667673*x^4 + 358937031*x^3 + 48806594*x^2 + 5926527*x + 707281)
 
gp: K = bnfinit(x^44 - x^43 + 31*x^42 + 2*x^41 + 645*x^40 - 1834*x^39 + 15289*x^38 - 49893*x^37 + 252654*x^36 - 773728*x^35 + 3099386*x^34 - 9005447*x^33 + 31559564*x^32 - 90867925*x^31 + 282893877*x^30 - 753523086*x^29 + 2093540217*x^28 - 5088107859*x^27 + 12507156794*x^26 - 27790875550*x^25 + 62194007935*x^24 - 127873593260*x^23 + 263552702295*x^22 - 499897056203*x^21 + 939014581967*x^20 - 1610261489560*x^19 + 2651752148358*x^18 - 3920575228227*x^17 + 5535774252463*x^16 - 6702698808467*x^15 + 7510861581147*x^14 - 7120097896426*x^13 + 6121138873215*x^12 - 3316549033166*x^11 + 2008087017143*x^10 - 847476126029*x^9 + 230279843211*x^8 + 107770070234*x^7 + 35236257421*x^6 + 7562086237*x^5 + 2541667673*x^4 + 358937031*x^3 + 48806594*x^2 + 5926527*x + 707281, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{44} - x^{43} + 31 x^{42} + 2 x^{41} + 645 x^{40} - 1834 x^{39} + 15289 x^{38} - 49893 x^{37} + 252654 x^{36} - 773728 x^{35} + 3099386 x^{34} - 9005447 x^{33} + 31559564 x^{32} - 90867925 x^{31} + 282893877 x^{30} - 753523086 x^{29} + 2093540217 x^{28} - 5088107859 x^{27} + 12507156794 x^{26} - 27790875550 x^{25} + 62194007935 x^{24} - 127873593260 x^{23} + 263552702295 x^{22} - 499897056203 x^{21} + 939014581967 x^{20} - 1610261489560 x^{19} + 2651752148358 x^{18} - 3920575228227 x^{17} + 5535774252463 x^{16} - 6702698808467 x^{15} + 7510861581147 x^{14} - 7120097896426 x^{13} + 6121138873215 x^{12} - 3316549033166 x^{11} + 2008087017143 x^{10} - 847476126029 x^{9} + 230279843211 x^{8} + 107770070234 x^{7} + 35236257421 x^{6} + 7562086237 x^{5} + 2541667673 x^{4} + 358937031 x^{3} + 48806594 x^{2} + 5926527 x + 707281 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $44$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 22]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1285293322114749975316734499565383027670855039925852856553251057809838000801391899585723876953125=5^{33}\cdot 67^{40}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $152.86$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 67$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(335=5\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{335}(1,·)$, $\chi_{335}(131,·)$, $\chi_{335}(129,·)$, $\chi_{335}(9,·)$, $\chi_{335}(269,·)$, $\chi_{335}(14,·)$, $\chi_{335}(143,·)$, $\chi_{335}(148,·)$, $\chi_{335}(149,·)$, $\chi_{335}(22,·)$, $\chi_{335}(24,·)$, $\chi_{335}(68,·)$, $\chi_{335}(282,·)$, $\chi_{335}(283,·)$, $\chi_{335}(156,·)$, $\chi_{335}(158,·)$, $\chi_{335}(159,·)$, $\chi_{335}(292,·)$, $\chi_{335}(293,·)$, $\chi_{335}(263,·)$, $\chi_{335}(174,·)$, $\chi_{335}(308,·)$, $\chi_{335}(59,·)$, $\chi_{335}(62,·)$, $\chi_{335}(64,·)$, $\chi_{335}(193,·)$, $\chi_{335}(196,·)$, $\chi_{335}(198,·)$, $\chi_{335}(327,·)$, $\chi_{335}(76,·)$, $\chi_{335}(202,·)$, $\chi_{335}(332,·)$, $\chi_{335}(81,·)$, $\chi_{335}(82,·)$, $\chi_{335}(216,·)$, $\chi_{335}(89,·)$, $\chi_{335}(91,·)$, $\chi_{335}(92,·)$, $\chi_{335}(223,·)$, $\chi_{335}(226,·)$, $\chi_{335}(107,·)$, $\chi_{335}(241,·)$, $\chi_{335}(126,·)$, $\chi_{335}(277,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $\frac{1}{29} a^{37} - \frac{9}{29} a^{36} + \frac{10}{29} a^{35} - \frac{14}{29} a^{34} - \frac{9}{29} a^{33} - \frac{7}{29} a^{32} - \frac{7}{29} a^{31} + \frac{6}{29} a^{30} - \frac{7}{29} a^{29} - \frac{9}{29} a^{28} + \frac{2}{29} a^{27} - \frac{6}{29} a^{26} - \frac{10}{29} a^{25} + \frac{4}{29} a^{24} - \frac{9}{29} a^{23} - \frac{1}{29} a^{22} - \frac{3}{29} a^{21} - \frac{5}{29} a^{20} - \frac{12}{29} a^{19} + \frac{3}{29} a^{18} - \frac{2}{29} a^{17} - \frac{10}{29} a^{16} + \frac{5}{29} a^{15} + \frac{1}{29} a^{14} + \frac{7}{29} a^{12} - \frac{2}{29} a^{11} - \frac{10}{29} a^{10} - \frac{3}{29} a^{9} - \frac{1}{29} a^{8} + \frac{1}{29} a^{7} + \frac{5}{29} a^{6} - \frac{12}{29} a^{5} - \frac{14}{29} a^{4} + \frac{9}{29} a^{3} + \frac{12}{29} a^{2} - \frac{13}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{38} - \frac{13}{29} a^{36} - \frac{11}{29} a^{35} + \frac{10}{29} a^{34} - \frac{1}{29} a^{33} - \frac{12}{29} a^{32} + \frac{1}{29} a^{31} - \frac{11}{29} a^{30} - \frac{14}{29} a^{29} + \frac{8}{29} a^{28} + \frac{12}{29} a^{27} - \frac{6}{29} a^{26} + \frac{1}{29} a^{25} - \frac{2}{29} a^{24} + \frac{5}{29} a^{23} - \frac{12}{29} a^{22} - \frac{3}{29} a^{21} + \frac{1}{29} a^{20} + \frac{11}{29} a^{19} - \frac{4}{29} a^{18} + \frac{1}{29} a^{17} + \frac{2}{29} a^{16} - \frac{12}{29} a^{15} + \frac{9}{29} a^{14} + \frac{7}{29} a^{13} + \frac{3}{29} a^{12} + \frac{1}{29} a^{11} - \frac{6}{29} a^{10} + \frac{1}{29} a^{9} - \frac{8}{29} a^{8} + \frac{14}{29} a^{7} + \frac{4}{29} a^{6} - \frac{6}{29} a^{5} - \frac{1}{29} a^{4} + \frac{6}{29} a^{3} + \frac{8}{29} a^{2} - \frac{1}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{39} - \frac{12}{29} a^{36} - \frac{5}{29} a^{35} - \frac{9}{29} a^{34} - \frac{13}{29} a^{33} - \frac{3}{29} a^{32} + \frac{14}{29} a^{31} + \frac{6}{29} a^{30} + \frac{4}{29} a^{29} + \frac{11}{29} a^{28} - \frac{9}{29} a^{27} + \frac{10}{29} a^{26} + \frac{13}{29} a^{25} - \frac{1}{29} a^{24} - \frac{13}{29} a^{23} + \frac{13}{29} a^{22} - \frac{9}{29} a^{21} + \frac{4}{29} a^{20} + \frac{14}{29} a^{19} + \frac{11}{29} a^{18} + \frac{5}{29} a^{17} + \frac{3}{29} a^{16} - \frac{13}{29} a^{15} - \frac{9}{29} a^{14} + \frac{3}{29} a^{13} + \frac{5}{29} a^{12} - \frac{3}{29} a^{11} - \frac{13}{29} a^{10} + \frac{11}{29} a^{9} + \frac{1}{29} a^{8} - \frac{12}{29} a^{7} + \frac{1}{29} a^{6} - \frac{12}{29} a^{5} - \frac{2}{29} a^{4} + \frac{9}{29} a^{3} + \frac{10}{29} a^{2} + \frac{5}{29} a$, $\frac{1}{256447} a^{40} - \frac{150}{8843} a^{39} + \frac{4380}{256447} a^{38} - \frac{2172}{256447} a^{37} - \frac{61111}{256447} a^{36} - \frac{118538}{256447} a^{35} - \frac{95188}{256447} a^{34} - \frac{69855}{256447} a^{33} - \frac{41254}{256447} a^{32} + \frac{109928}{256447} a^{31} - \frac{98923}{256447} a^{30} + \frac{5257}{256447} a^{29} - \frac{101607}{256447} a^{28} - \frac{62240}{256447} a^{27} - \frac{50311}{256447} a^{26} - \frac{115947}{256447} a^{25} + \frac{39949}{256447} a^{24} + \frac{66467}{256447} a^{23} + \frac{103349}{256447} a^{22} - \frac{95396}{256447} a^{21} - \frac{21955}{256447} a^{20} + \frac{2061}{6931} a^{19} + \frac{45025}{256447} a^{18} - \frac{123073}{256447} a^{17} - \frac{116538}{256447} a^{16} + \frac{40973}{256447} a^{15} - \frac{96717}{256447} a^{14} + \frac{124886}{256447} a^{13} - \frac{5840}{256447} a^{12} - \frac{27505}{256447} a^{11} + \frac{3409}{8843} a^{10} + \frac{111752}{256447} a^{9} - \frac{52148}{256447} a^{8} + \frac{27000}{256447} a^{7} + \frac{104003}{256447} a^{6} + \frac{63554}{256447} a^{5} + \frac{997}{6931} a^{4} - \frac{105496}{256447} a^{3} - \frac{73467}{256447} a^{2} - \frac{103001}{256447} a - \frac{1128}{8843}$, $\frac{1}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{41} - \frac{2715388338099820739125372058233585688169682234946449569366390030321976252089785788291361295}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{40} - \frac{6227485927133683596932057778364574888198967397499995119093161430791304907715116606079161614412}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{39} + \frac{6146024276990688974758296616617567317553876930451601632012169729881645620152423032430420775625}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{38} - \frac{32809900985115046327038289003633176078641437716920611030558859542354791661961200311112456643764}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{37} + \frac{249788333439469120954935152484955603127853122959019557495192387958535635534475778549907203540404}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{36} + \frac{659922157283483047781235953192353891437490180873539599179965109503506268674682412347762115098758}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{35} + \frac{92375750002261820601774468134065691108272403498160986361468531473150782777111211666458129485642}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{34} + \frac{538938234276161919783307370107068829351994625380447895297261715414196688868965683121420463934294}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{33} + \frac{165410087673880686279156211484354153785258519530245767340041361880809037676201515902746151249142}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{32} - \frac{764374269604186955199213306674351898434539690162675158671272262704941808087462290886538120719239}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{31} + \frac{450189053447066702224627928195282026715324827518027650680060815062498616441752322586306831468872}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{30} - \frac{1113019598033091473312510942249514216758075913495332924809240345115424547248143896147200018829386}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{29} + \frac{382112745228761344259644473154826121449092081211346219541854522854114246763314345686555790032616}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{28} - \frac{320110309812968795621833658077553698902351297255535991933671870902432668526074108459410647482083}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{27} + \frac{28748374763432716813292703677900268450073763551082282374142061691352037908099141587012287660366}{80165885285593219631123319701795176891618075559666235248559117841588142846763188704177584163013} a^{26} - \frac{12396396874128078089993395468920446318286904748062679391332660826231753650250931570952536471778}{62832720899519009981150710036542165671808761925143806005627416686650166015030607362733782181821} a^{25} + \frac{455183623776934104179704388694456471055243309135670263825188422411282300536442038321119234250574}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{24} - \frac{1084956097229273263201172634609338867887277395552842867800126331590704481116407876012156046626703}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{23} + \frac{1107186151341693959567040360077329143154805863686272256426347491163270612016317575780831075336016}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{22} + \frac{606833718853078759391170076480130405176643781596125789584756596692868086194588904453135894871322}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{21} - \frac{855423638316856860023895821581140064372992201261385299083740779053614415394890795736622661912802}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{20} + \frac{94431162608285040040539774465188399597578058249595139708411340621607494200360696800755568523584}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{19} + \frac{500046963886708224342667608084810954647202433909482870163270522042762244781123530668902509897368}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{18} - \frac{200587568771893568966219163414973735916052087284910811159369593097534670068249529419240872356600}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{17} - \frac{781438382050019770101455798658218683510377147346595763112248150293822364407855905177102920276571}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{16} - \frac{337938594969485969750392678120490266056589862594733188685899098306469388922954635753662976777469}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{15} + \frac{953316461890937076862077826345769240942118721551284438582924618116716011789512685215327457257092}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{14} + \frac{1038446555098009271220499460178614690388464766300196621870032394426739154087503455582585691639736}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{13} - \frac{535543002149533005908736430786483098547059757930297304324572037788929434143602061554040269668952}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{12} - \frac{761767102769122994141045210410544716748318460515087241858837774644476137715413881095789504103788}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{11} + \frac{666093757970364417281543719508180017304110466445017806360485133656161430009865798693017917689526}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{10} + \frac{705431117853553683501435739739112723738020757507659594346142487061156789740551469832239869248186}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{9} + \frac{62988966221016267696717748059716428184464650102708783902183545349749713573045033770712493302482}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{8} + \frac{584757835462075764869975114187111490109023595850002863606184851789752775003390219252337265420315}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{7} - \frac{900075857310688566397943965789950449603520887511865750004374261081170022342448437777402682724472}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{6} - \frac{762329125809947055769664934953752647283774109460405076910352029032243416035693870787351176752275}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{5} + \frac{167619943477296685078950029948423648120677275493463517126745974761408269337748853550540964910906}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{4} - \frac{202191027888824091209022622775993762752997317407104995978061021381464466114484362394264668764417}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{3} + \frac{961141081993200611834942905593868977346446195659008743209240247002840108522316263499872375384663}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a^{2} - \frac{370072467085951285548138068288073758249581536778938717838513514222142888349643659674711140891488}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a + \frac{824174730134858067613471884437370405047916348292413465837707375607083483397548536125604560435}{80165885285593219631123319701795176891618075559666235248559117841588142846763188704177584163013}$, $\frac{1}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{42} - \frac{1}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{41} + \frac{3305552743570699134758576684757863069569729498329537386603692606746702689797969508517919635}{1822148906086051289453370591059722804482454095829170374163195083912854814435887613519279683272809} a^{40} + \frac{316443509045197520739080927116432876286176520889814284136666600203437331702860299985172845609320}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{39} - \frac{312774345499834044699498906996351648278954121146668497637536501409948491717184553830717954814753}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{38} - \frac{2791416470833212281908087989813974775988701800429156826393013127907096507594709241978501551729}{1822148906086051289453370591059722804482454095829170374163195083912854814435887613519279683272809} a^{37} - \frac{33542316877421278187698153515835232648295778083218374282222585732283325151915805921703629553289721}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{36} + \frac{25083309886457985063877477672197615142724847484443395524439398793148379336715365512741598859469019}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{35} + \frac{23392352516627735771876593043559140295972611408842713876466170876476752163373820537728865720911899}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{34} - \frac{32107730467491138453258605527416876693281346778471517751776187285768552315094370168589677266349373}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{33} + \frac{22186492116787983252899598348122587529070087721077711770656407241778005643479944402658416515617789}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{32} - \frac{22755053963617775714712564985224593302513776785704848236898176337571836627632635696512705881773036}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{31} + \frac{11947842066435949544648322858813471058617109394114809387908610337081234443889259282084611107712333}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{30} + \frac{16356416499728372022733147646121839890599839917075762478486303955927914789101618996564845680227420}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{29} - \frac{22867684979451246548787275336031058526215398306563495162898489991170785226046794111145138751075154}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{28} + \frac{26337518901887652266605333830761342137732723656892080316899462452549992454082002199278888726339161}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{27} - \frac{63326890445451435664002353676045967078079924970776502256209782064251986997108447414543917502106}{168128452681256602767517984711246243805114218318402253975157651134103810808298857107763960800733} a^{26} + \frac{15783805234475277464299800359190667928841960715453909397183621204477172513970509180210325974632818}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{25} - \frac{28187975099236886679283523965765499109086915535149522345012851301392683865031359543199720564694813}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{24} + \frac{21756979109654669060014977262913409974346051726429427778352810282402588124034606367193930687231034}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{23} + \frac{388846295418473422437888040623973712482143330425803582042778460323292969049848585684684202203097}{1822148906086051289453370591059722804482454095829170374163195083912854814435887613519279683272809} a^{22} + \frac{16217122301758790828382063004255515976806077360082493175418919812277734246125161005613138445241474}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{21} - \frac{15739331342753877434016953223018262284362074963657157634029339699320750429751643512582373122359566}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{20} - \frac{20410794598699501541114393731917318140773323761265971070073442808669905348735877729045581011494981}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{19} - \frac{9878406724874569715696581800974832012292178858987642685995390307856724011305482012445028649179795}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{18} + \frac{16133916031702827929948795244704795532291806502291825142059170229331408549800852860808333737770024}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{17} - \frac{16772179486368713761955791267032265184451438285472363138780104400992146944365335747162090492623378}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{16} + \frac{5650820255983445180196363736665290341988045902987606338931211137220042815698432490521263931911603}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{15} + \frac{12139226540727335987919503121912473827098604359900882681281673945992333683417201747332215907818122}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{14} - \frac{4330421425355250378908548093475703544788789840916973940616489531569305904400036316623043456642093}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{13} - \frac{23883251227048374977820310641583449717931846744065046755794135624784785199408258975872629299675552}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{12} + \frac{4416305484670560589485718408086483651208541647492642558618155646225692754720002726592223676193411}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{11} - \frac{201940285618008051124991395186089281584928181146116433395755174300744705952722398598157487918562}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{10} + \frac{30148277572552111179989832578891185033466289590174448074447446918536789162283889793275455577064648}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{9} - \frac{21610532719488720751834715783762681920483069247207036786782160266507533701847448759818099364138238}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{8} - \frac{16266315561967372967854147677966383714823765844694984500212850045766668052109684606368286651845366}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{7} - \frac{33014887970102763365633871418772803378817181474463594356043967690410214008923993335299841406324280}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{6} - \frac{32640139768141158187477283212584488925582686553205902162997415849530875982415777521989289973253176}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{5} - \frac{32365921888828620972727335619147245524228266236407671292181665411695215942909447752876728828017048}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{4} - \frac{13286913720532247548377320146016507321217501819922296214421672920346689588502709186854774912366480}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{3} + \frac{4591999681786720365991308371435516080553142564831700337594450411249219385929249691352071754954230}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{2} + \frac{547604798132888825112118244483767556323939746988473342522974834126141811776056795571065052393128}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a - \frac{9507245401548623929233551535047378993195791365455764963328990896209979555980711827469203484035}{80165885285593219631123319701795176891618075559666235248559117841588142846763188704177584163013}$, $\frac{1}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{43} - \frac{1}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{42} + \frac{31}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{41} - \frac{3129564076238523236569788565375617023217480739985705756071695931450228978836836298328962200384}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{40} + \frac{33456477046435163371650277735319412052596798078257133621639044276978976420690670088771937401548982}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{39} - \frac{20219324505622137196707256897124704847115079342071078548201300181573879442048367315773770011462290}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{38} + \frac{12423830484115545735691014238942246064794297217976430074166840075627385625184123788936943222892542}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{37} - \frac{128625236235005439145488955204211646799959789883415805347527517482864279226847024489005974331365067}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{36} + \frac{590666211603187316905663995795417997176002939324679984354981101474247988953888452158872807266338117}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{35} + \frac{67394952705709494697797434869407245386953268339679088686487128609425842000114188252520195598263}{8180609942386330684449651230991977277027921526463179127519281694721728936777018448979862343731063} a^{34} - \frac{541504204648424167994310887044831389441048442632018124259186655508353229293705923231763413623945758}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{33} + \frac{169178976356116844071882221794092511522966579848804971937013504663549157257497861818432068087261444}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{32} + \frac{68600959326237459377615632825370626530367514926878409862418076280568114714276050189048877039023555}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{31} + \frac{276716602321062966120081845460442377463611531479209855397373715813160913057245507656222229649343093}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{30} + \frac{705940889055225529591329838619706086881565727592026405720784295681829180428546017612755194456203522}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{29} + \frac{833640755154809904785436361845188997674449424892301593808374518547284206535254070044590394042263444}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{28} - \frac{289997054453935708163322074958652296539400965085064238973607354509882807301787266745920923418802174}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{27} + \frac{20493772814742087769816972163187230920685368572264613129286237942453780384289967164028902907104970}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{26} + \frac{566882308350339208438510587920344746609497948379380840177511976910517571207307618362548815789643304}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{25} + \frac{278750030072991486626811535176154758179030129830997451370830192682895932025007976258148386069142282}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{24} + \frac{675913353443069008875142882294685618659809182225948790957482576896546342241424685824839939504045031}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{23} + \frac{906303664318043934040033746346362723069881752744164300588343231337194477209118972512748224510113624}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{22} + \frac{180409610260699632793690398042990929762967049874772972498405360513305678898192487914151925843984027}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{21} + \frac{199346322275034458434636669470381008752456621068829885800631591544216008551664328768595772914996650}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{20} + \frac{39487860067325002288190246686271812282140735163894201190997721188528619085897735644484510829522057}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{19} + \frac{272514664262463796332537876944939939925809344985472179164969314151181253296762019835558894917667852}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{18} - \frac{903629763953023484445864877463141675835770930001023732325006753703084594603674681276187270894455175}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{17} - \frac{257332285447047860959810948102282434054775209665276022619982304220118821201111297579685208242102153}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{16} + \frac{794982929326499332217629371050823562293940681831948604303021881884582597978738490024923868062454346}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{15} - \frac{909679160540193962103335356264250604013586298343990582238010135132089174694885201456772434402746772}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{14} - \frac{559957464187341372124495579742116936376854168555740965166807504083005779496223605721153877653004039}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{13} - \frac{231829029799113012754261537259444237186450726228540211359738067977581151020929872987881246122889890}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{12} - \frac{757992892970212213256391125019042494393642209893952092930194726362461688827404214121641174864785897}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{11} - \frac{599422798822024304464281651986836672555046264735910692432147576394690753199417726541123070980928400}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{10} - \frac{635236928889356774064403287818056003309697932040576504927818407097206673855498887907723408453062414}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{9} + \frac{321016507074589021326924697484962364858529805954339982455908346960887247599808302300769188507387615}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{8} + \frac{299204447213394125437574759382413011249971484618318457915649369621736156770339799389485588347939781}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{7} - \frac{585794914615872248305778080756335540495692811870306965984377865418578725041412222108948935995975145}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{6} - \frac{75359474185294591045552068426287715913097167232904861751243234484195213733498042262954588244022610}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{5} - \frac{663033668088891138545008405049657732981464017704651582226351684076730100340290409402102560156276}{52842318276495487394147747140731961329991168779045940850732657433472789618640740792059110814911461} a^{4} - \frac{36040632434880725274610616914924743933201055603422072434065554798490384960301209440534948912666619}{1955165776230333033583466644207082569209673244824699811477108325038493215889707409306187100151724057} a^{3} + \frac{10416315029273408265606751613490717585215119255012594733012983363924027249687523712965070646651889}{67419509525183897709774711869209743765850801545679303844038218104775628134127841700213348281093933} a^{2} + \frac{478393238646576677296787914576819963020507148320506998729458264289371009477177512536338055547026}{2324810673282203369302576271352060129856924191230320822208214417406056142556132472421149940727377} a + \frac{16758070015179740853426673299593573825473192184000411135804800285629030324190146550873215368135}{80165885285593219631123319701795176891618075559666235248559117841588142846763188704177584163013}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $21$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{28257716234339050816854957354039621869505384100799664930392194228113719235426754855930}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{43} - \frac{223970382531987922640090312966521487156305382037362988245926360609611614295736927598649}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{42} + \frac{1095054739333238771410295939162339751580638956975914550989942716583140507248767624656889}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{41} - \frac{6034349991556886539361572097751338692525309853481209115452305919469714509552215570983879}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{40} + \frac{18558783721532644676434341437210517234972262499889547998134936334455274627343924594403093}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{39} - \frac{178025262236781946958040401723461623154714987918493733686618799577333345684368942062341421}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{38} + \frac{806019396152117778706716840338218880926548629814713774399821467459832598467200254932015593}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{37} - \frac{4445214207425309587820417311973239133206221436690379216706741728483909800967837683436151083}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{36} + \frac{17261687886893707645735496403334530070698666437043623229488668257592961556652656820291797761}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{35} - \frac{72482252132029096102630325902423321881307343482295190776978737557703402956234691421731905199}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{34} + \frac{244925372614677460263952021681567076092594557232412262771186120386529405338667325471913354373}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{33} - \frac{879218729231240930193866718232257653038773281111919969282969173858540022194161907388139599762}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{32} + \frac{2726891673212468402007151809199963579588605618562869782875793392936751020707484702833500558006}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{31} - \frac{8955643884993043662800178753006333510771731210679123826144081440932072464913473146015675866793}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{30} + \frac{26517577957978245065131065366741600021992505356698407449748107362417446672424657972623381310083}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{29} - \frac{78790706336240969126470218192573704774067345730940915791738641920417186057396031718971764124337}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{28} + \frac{213265558870115821565547147205556493958787336313935185740209930026979280218034102797397414965689}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{27} - \frac{571192840529050207847019554630618077213452093813455524529043568878628355548975141500907759019767}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{26} + \frac{1398333202104702101760417798512504589629311326426824041967889309057003739233143971565739671964935}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{25} - \frac{3352539774770087478164901876605555679103609757381319081164375488619167834910435129647950261760423}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{24} + \frac{7489933585618106489734329456443498080902123223988671910795153711185428376051713665196260364814944}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{23} - \frac{16437958718529414728801682124401366301341074146175940861706950892285960803778715813901658750868317}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{22} + \frac{33933396715751765663879533084497287342474669604398007846419244182405909664948516447130774319206597}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{21} - \frac{68708782437673974589193352733431296680623374937675183207618843748069438745788018784998921730651690}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{20} + \frac{130556458077015508636468718340166849291614018074049164354280385519741098694303344936562440009168626}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{19} - \frac{241017868791292963675533063301350114082058124707681207176891471040939660661968758061670411336782908}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{18} + \frac{412124697330021859187684922407370396772789303029404598021751761840269981393197023751449322608858180}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{17} - \frac{667587188603175456737961401741946344844451032159431958804647385057566328000134440303897598400582708}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{16} + \frac{986001247746318766694303398018224241085289261684861092668741586251736292495328158519185318679170080}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{15} - \frac{1364922331009803381715933302146110203442176520606987667469572797139247880061261111678035091096353122}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{14} + \frac{1654030448840118790378034123884190778630738613014885017389917788213400918011703397106003367089500595}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{13} - \frac{1828652916450102040796234484916108190018381061528840308629240630558917110439319203951467357928409444}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{12} + \frac{1742769642511955111080973903550855803827402698888819046333380800106249038080767151160437507891230010}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{11} - \frac{1458868443899981180664018408771214577462436668858066766996446028233944532657317392827757294558707224}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{10} + \frac{849304349044390883743275166445741979360204116276947698510118255463322466233929307565389561304056052}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{9} - \frac{494734943547207906138868060994152545474933532128056046960544171126775613687383503902837280233395535}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{8} + \frac{218835201452428984533413654186967726541175855155895787930166823517425463034227856382274492730237643}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{7} - \frac{61871653592362029403071020556875348110306994184652203391793486059563200284597593362730078924495709}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{6} - \frac{14731249158214538699413587463345967968224196557164987155622156232042006681372689502136997135647736}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{5} - \frac{4169010794061413082033384187566839068490244417072667435506348597378831822399582065597588635961908}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{4} - \frac{20199643011390015614339040895453327111173606022028625546045051860376954879979443261931496520115}{262898413805518870214019707265866801974095238180518016759947350153347974958287060095120427539} a^{3} - \frac{439649209318937784203029697945105844959616412257166471573996859614996755941990172607827963216577}{7624054000360047236206571510710137257248761907235022486038473154447091273790324742758492398631} a^{2} - \frac{11313950540893919624549012108642578193463502458932904961191473841761681957464771566732997711}{9065462545017892076345507147098855240486042695879931612411977591494757757182312417073118191} a - \frac{1191667232004186609445664451790570088346009533210504483504669387970925834174359088450106343}{9065462545017892076345507147098855240486042695879931612411977591494757757182312417073118191} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{44}$ (as 44T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 44
The 44 conjugacy class representatives for $C_{44}$
Character table for $C_{44}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{5})\), 11.11.1822837804551761449.1, 22.22.162243049887845980095628744560672832080078125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $44$ $44$ R $44$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $44$ $22^{2}$ $44$ ${\href{/LocalNumberField/29.2.0.1}{2} }^{22}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{11}$ ${\href{/LocalNumberField/41.11.0.1}{11} }^{4}$ $44$ $44$ $44$ $22^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
67Data not computed