LMFDB - Newform orbit 320.9.h.f

Show commands: Magma / PariGP / SageMath

Newspace parameters

comment: Compute space of new eigenforms

[N,k,chi] = [320,9,Mod(319,320)]

mf = mfinit([N,k,chi],0)

lf = mfeigenbasis(mf)

from sage.modular.dirichlet import DirichletCharacter

H = DirichletGroup(320, base_ring=CyclotomicField(2))

chi = DirichletCharacter(H, H._module([1, 0, 1]))

N = Newforms(chi, 9, names="a")

//Please install CHIMP (https://github.com/edgarcosta/CHIMP) if you want to run this code

chi := DirichletCharacter("320.319");

S:= CuspForms(chi, 9);

N := Newforms(S);

Level:	$ N $	$=$	$ 320 = 2^{6} \cdot 5 $
Weight:	$ k $	$=$	$ 9 $
Character orbit:	$[\chi]$	$=$	320.h (of order $2$, degree $1$, not minimal)

Newform invariants

comment: select newform

sage: f = N[0] # Warning: the index may be different

gp: f = lf[1] \\ Warning: the index may be different

Self dual:	no
Analytic conductor:	$130.361155220$
Analytic rank:	$0$
Dimension:	$16$
Coefficient field:	$\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)$
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	$ x^{16} - 1394 x^{14} + 1332306 x^{12} - 657883370 x^{10} + 233333110300 x^{8} - 45644912663250 x^{6} + \cdots + 23\!\cdots\!00 $ x^16 - 1394x^14 + 1332306x^12 - 657883370x^10 + 233333110300x^8 - 45644912663250x^6 + 6418092533338125x^4 - 470478785036343750*x^2 + 23585385849201562500
Coefficient ring:	$\Z[a_1, \ldots, a_{11}]$
Coefficient ring index:	$ 2^{99}\cdot 3^{9}\cdot 5^{10} $
Twist minimal:	no (minimal twist has level 80)
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

$q$-expansion

comment: q-expansion

sage: f.q_expansion() # note that sage often uses an isomorphic number field

gp: mfcoefs(f, 20)

Coefficients of the $q$-expansion are expressed in terms of a basis $1,\beta_1,\ldots,\beta_{15}$ for the coefficient ring described below. We also show the integral $q$-expansion of the trace form.

$f(q)$	$=$	$ q + \beta_1 q^{3} + (\beta_{3} - 37) q^{5} + ( - \beta_{6} - 4 \beta_1) q^{7} + (\beta_{5} + \beta_{3} + 2637) q^{9}+O(q^{10}) $ q + b1 * q^3 + (b3 - 37) * q^5 + (-b6 - 4b1) q^7 + (b5 + b3 + 2637) * q^9	$ q + \beta_1 q^{3} + (\beta_{3} - 37) q^{5} + ( - \beta_{6} - 4 \beta_1) q^{7} + (\beta_{5} + \beta_{3} + 2637) q^{9} - \beta_{4} q^{11} + ( - \beta_{15} - 2 \beta_{3} - 1) q^{13} + ( - \beta_{14} - 6 \beta_{6} + \cdots - 12 \beta_1) q^{15}+ \cdots + ( - 753 \beta_{14} + \cdots + 2673 \beta_{2}) q^{99}+O(q^{100}) $ q + b1 * q^3 + (b3 - 37) * q^5 + (-b6 - 4b1) q^7 + (b5 + b3 + 2637) * q^9 - b4 * q^11 + (-b15 - 2b3 - 1) q^13 + (-b14 - 6b6 - b4 + b2 - 12b1) * q^15 + (3b15 + b11 + 2b7 - 3b3 - 1) q^17 + (-b14 + b13 + b9 + b4 + 7b2) q^19 + (-b8 + 21b7 - 19b5 + 108b3 - 38664) q^21 + (-2b14 - b10 + 40b6 - b2 - 65b1) q^23 + (-b15 - 3b12 + 7b11 - b8 + 15b7 + 20b5 - 21b3 + 71070) q^25 + (-2b14 - 2b13 + 3b10 - b9 + 75b6 + b4 + 337b1) q^27 + (b8 + 46b7 + 97b5 + 372b3 + 218832) q^29 + (-6b14 + 6b13 - 3b9 + 3b4 + 32b2) q^31 + (-21b15 + 2b12 - 49b11 - 272b7 + 1097b3 + 523) q^33 + (b14 - 15b13 + 7b10 - 2b9 + 293b6 + 24b4 - 58b2 + 4924b1) q^35 + (46b15 - 36b12 - 18b11 + 231b7 - 850b3 - 416) q^37 + (-2b14 + 2b13 - 24b9 - 36b4 - 11b2) q^39 + (-8b8 - 266b7 - 137b5 - 1725b3 - 136500) * q^41 + (-10b14 - 22b13 + 39b10 - 11b9 - 505b6 + 11b4 + 6b2 + 10752b1) * q^43 + (-9b15 + 98b12 - 62b11 - 9b8 + 460b7 + 55b5 + 2707b3 + 121978) q^45 + (-68b14 + 10b13 - 54b10 + 5b9 - 861b6 - 5b4 - 39b2 + 10970b1) * q^47 + (10b8 - 924b7 + 547b5 - 5007b3 + 1633697) * q^49 + (13b14 - 13b13 + 73b9 + 298b4 + 31b2) q^51 + (-183b15 + 144b12 - 14b11 + 930b7 - 3928b3 - 2043) q^53 + (-47b14 - 30b13 - 45b10 - 70b9 - 982b6 + 183b4 - 273b2 - 46869b1) * q^55 + (285b15 + 562b12 + 27b11 - 1582b7 + 7433b3 + 3449) q^57 + (133b14 - 133b13 + 23b9 - 77b4 - 809b2) q^59 + (-10b8 + 1767b7 - 556b5 + 10056b3 - 1418536) * q^61 + (-210b14 - 105b10 - 4878b6 - 105b2 - 85893b1) q^63 + (6b15 - 657b12 - 242b11 - 19b8 - 845b7 - 70b5 + 292b3 + 783088) q^65 + (-218b14 - 110b13 + 111b10 - 55b9 + 651b6 + 55b4 - 54b2 - 138700b1) * q^67 + (29b8 + 1203b7 + 365b5 + 7554b3 - 524892) * q^69 + (-8b14 + 8b13 - 61b9 + 921b4 - 389b2) q^71 + (-829b15 - 882b12 + 615b11 + 2592b7 - 13523b3 - 6013) q^73 + (-71b14 - 115b13 + 12b10 - 57b9 - 7434b6 + 1272b4 - 866b2 + 159265b1) * q^75 + (819b15 - 2592b12 + 538b11 + 5067b7 - 21760b3 - 9315) q^77 + (176b14 - 176b13 - 59b9 - 1331b4 - 808b2) q^79 + (78b8 + 1938b7 - 3019b5 + 8531b3 - 14059749) * q^81 + (-598b14 - 66b13 - 167b10 - 33b9 - 7b6 + 33b4 - 266b2 + 120746b1) * q^83 + (385b15 + 2130b12 + 580b11 + 60b8 - 2115b7 + 1950b5 - 302b3 + 1132819) q^85 + (-482b14 - 290b13 + 339b10 - 145b9 + 13269b6 + 145b4 - 96b2 + 641547b1) * q^87 + (-32b8 + 8186b7 - 2366b5 + 46782b3 - 5868462) * q^89 + (79b14 - 79b13 - 529b9 + 1196b4 + 1123b2) q^91 + (-1836b15 + 1816b12 - 318b11 - 6694b7 + 25238b3 + 11552) q^93 + (-11b14 - 40b13 + 323b10 + 357b9 - 10328b6 + 3246b4 + 2923b2 - 329649b1) * q^95 + (471b15 + 5016b12 + 419b11 + 9960b7 - 34301b3 - 19449) q^97 + (-753b14 + 753b13 - 365b9 - 5405b4 + 2673b2) q^99
$\operatorname{Tr}(f)(q)$	$=$	$ 16 q - 600 q^{5} + 42176 q^{9}+O(q^{10}) $ 16 * q - 600 * q^5 + 42176 * q^9	$ 16 q - 600 q^{5} + 42176 q^{9} - 619344 q^{21} + 1137040 q^{25} + 3497568 q^{29} - 2169168 q^{41} + 1930760 q^{45} + 26174912 q^{49} - 22772656 q^{61} + 12524160 q^{65} - 8461392 q^{69} - 224999456 q^{81} + 18124800 q^{85} - 94250976 q^{89}+O(q^{100}) $ 16 * q - 600 * q^5 + 42176 * q^9 - 619344 * q^21 + 1137040 * q^25 + 3497568 * q^29 - 2169168 * q^41 + 1930760 * q^45 + 26174912 * q^49 - 22772656 * q^61 + 12524160 * q^65 - 8461392 * q^69 - 224999456 * q^81 + 18124800 * q^85 - 94250976 * q^89

Display 100 coefficients 10 coefficients

Basis of coefficient ring in terms of a root $\nu$ of $ x^{16} - 1394 x^{14} + 1332306 x^{12} - 657883370 x^{10} + 233333110300 x^{8} - 45644912663250 x^{6} + \cdots + 23\!\cdots\!00 $ x^16 - 1394*x^14 + 1332306*x^12 - 657883370*x^10 + 233333110300*x^8 - 45644912663250*x^6 + 6418092533338125*x^4 - 470478785036343750*x^2 + 23585385849201562500 :

$\beta_{1}$	$=$	$ ( 79\!\cdots\!89 \nu^{15} + \cdots - 15\!\cdots\!00 \nu ) / 73\!\cdots\!75 $ (7938363953649339509674880789v^15 - 13490428946811479953420977991816v^13 + 13487135976020823114878383254774609v^11 - 8029237378113581911536791573688260005v^9 + 3087996930045680461049999999794489311950v^7 - 841293513643417783135408278331730601994875v^5 + 128546440640104189063485494528533291167877500v^3 - 15600378681237769019329442161998607773644812500v) / 732365169290977444168664738256356846392734375
$\beta_{2}$	$=$	$ ( - 22\!\cdots\!96 \nu^{14} + \cdots + 59\!\cdots\!00 ) / 65\!\cdots\!25 $ (-2234222240540812683677696v^14 + 2929850525792165327462785024v^12 - 2752286382199345950697937842176v^10 + 1263190427114273377250323841720320v^8 - 436801672080288374002756245605580800v^6 + 74011603854720752597811817350001152000v^4 - 11777447269120188654880550501573583360000*v^2 + 592159681829591177043245198112459072000000) / 65403207471803567088464611534459265625
$\beta_{3}$	$=$	$ ( 16\!\cdots\!82 \nu^{15} + \cdots + 55\!\cdots\!50 ) / 97\!\cdots\!25 $ (1630559988946046983980996482v^15 + 78608944855252253871545552457v^14 - 2225386125907147101592083041848v^13 - 97269300942818130614488563457923v^12 + 2090516180109074213859175107815052v^11 + 87979575187216578316919321671247052v^10 - 992961185129211979516793645411932780v^9 - 35979157351246428675249382946265178755v^8 + 331775417299725904007821026610753721600v^7 + 10886746466846855768727926223035706507675v^6 - 56215972427432674673771419265587531516500v^5 - 1090659023259708224660952714411399318137250v^4 + 5378461553692704584270702360164111725993750v^3 + 81353758818625005361529064576976332398212500v^2 - 246299878589189033248507478341260947621250000*v + 5550014312146481955048861074772100472268618750) / 9764868923879699255582196510084757951903125
$\beta_{4}$	$=$	$ ( - 39\!\cdots\!16 \nu^{14} + \cdots + 87\!\cdots\!00 ) / 50\!\cdots\!75 $ (-3964425662983778785077118516v^14 + 4668563152865095363987102799204v^12 - 4280179302494165003773106912015496v^10 + 1744218316613739893782571378048953820v^8 - 611014479402743548756699026323734735300v^6 + 97116552190540530197310283009210809252000v^4 - 17950622439942247407149228813360225683560000*v^2 + 870383621581899214552442169275261605662000000) / 50911725359122519580720524035895505484375
$\beta_{5}$	$=$	$ ( - 48\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!00 ) / 29\!\cdots\!75 $ (-4891679966838140951942989446v^15 + 1544071933001264367450105767647v^14 + 6676158377721441304776249125544v^13 - 1926132215109723400070352400889333v^12 - 6271548540327222641577525323445156v^11 + 1728134030727661889347359309285455892v^10 + 2978883555387635938550380936235798340v^9 - 706718645586601563664169146942308279605v^8 - 995326251899177712023463079832261164800v^7 + 208949978159147083837182610538427003756925v^6 + 168647917282298024021314257796762594549500v^5 - 21423210671391787445505392023974776578344750v^4 - 16135384661078113752812107080492335177981250v^3 + 1597986792308406581528171777372013662563087500v^2 + 738899635767567099745522435023782842863750000*v + 114564422926735891967552936471858337440779012500) / 29294606771639097766746589530254273855709375
$\beta_{6}$	$=$	$ ( - 47\!\cdots\!23 \nu^{15} + \cdots + 21\!\cdots\!00 \nu ) / 73\!\cdots\!75 $ (-478998850423008458720268498623v^15 + 602954863274726658143097418230112v^13 - 556005450605326439837557255596679863v^11 + 239318562301709566122829282419613613035v^9 - 78969788218744582866667368297770048988650v^7 + 11428585283196976575851876318089790102764125v^5 - 1819439923280609951900330804045163715940955000v^3 + 211677675774590099953044202247534413130507437500v) / 732365169290977444168664738256356846392734375
$\beta_{7}$	$=$	$ ( - 32\!\cdots\!64 \nu^{15} + \cdots + 74\!\cdots\!50 ) / 32\!\cdots\!75 $ (-3261119977892093967961992964v^15 + 104811926473669671828727403276v^14 + 4450772251814294203184166083696v^13 - 129692401257090840819318084610564v^12 - 4181032360218148427718350215630104v^11 + 117306100249622104422559095561662736v^10 + 1985922370258423959033587290823865560v^9 - 47972209801661904900332510595020238340v^8 - 663550834599451808015642053221507443200v^7 + 14515661955795807691637234964047608676900v^6 + 112431944854865349347542838531175063033000v^5 - 1454212031012944299547936952548532424183000v^4 - 10756923107385409168541404720328223451987500v^3 + 108471678424833340482038752769301776530950000v^2 + 492599757178378066497014956682521895242500000*v + 7406528995477895739568869564036190468326093750) / 3254956307959899751860732170028252650634375
$\beta_{8}$	$=$	$ ( 48\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots - 60\!\cdots\!50 ) / 29\!\cdots\!75 $ (4891679966838140951942989446v^15 + 31383223151476021769517988340621v^14 - 6676158377721441304776249125544v^13 - 39570758931369316682073934125193519v^12 + 6271548540327222641577525323445156v^11 + 35124280652241817158898262202250188156v^10 - 2978883555387635938550380936235798340v^9 - 14364038673148429157718039024564766060015v^8 + 995326251899177712023463079832261164800v^7 + 4036782557230942694965074311804287658464775v^6 - 168647917282298024021314257796762594549500v^5 - 435426217361869742028044176994345458971974250v^4 + 16135384661078113752812107080492335177981250v^3 + 32479041309071593116792234678801064513860262500v^2 - 738899635767567099745522435023782842863750000*v - 6090369469325696126228683601342115954737678418750) / 29294606771639097766746589530254273855709375
$\beta_{9}$	$=$	$ ( - 65\!\cdots\!36 \nu^{14} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!25 $ (-653923857862164112389155679236v^14 + 960799790803755283557225456114484v^12 - 922625814285597029219493679411050216v^10 + 473057065986172039008476536294292415820v^8 - 164002355159272350571967342553661993817300v^6 + 31925995331943645291319843184351615327052000v^4 - 3455419010800800498167594673299054307254760000*v^2 + 194324013919579513498811521733353529108952000000) / 356382077513857637065043668251268538390625
$\beta_{10}$	$=$	$ ( - 72\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots + 52\!\cdots\!00 ) / 66\!\cdots\!25 $ (-729816098827921087373030225146v^15 - 16939525092315030661787211952560v^14 + 774950164315543979784290168058824v^13 + 25443959542788652495765305261710640v^12 - 661776428405428815757871336528166126v^11 - 24548109703931127987759959072883171360v^10 + 191002371349918871730754777499218855070v^9 + 12738595766505240507861049700974150909200v^8 - 41665545874579298118638592845788032322300v^7 - 4405775665538152481268589536430163463078000v^6 - 8620025133402178320064150030896807616071750v^5 + 853052734255758574867553676613426249038120000v^4 + 1262675062172684171676521446931527392275527500v^3 - 93976027635023242870042440266307834955089600000v^2 - 175926777335957257764707261956079755809966375000*v + 5255248863628117950766945388585945466175170000000) / 66578651753725222197151339841486986035703125
$\beta_{11}$	$=$	$ ( 10\!\cdots\!94 \nu^{15} + \cdots + 46\!\cdots\!50 ) / 81\!\cdots\!75 $ (1019593103413813701684198898794v^15 + 655074540460435448929546270475v^14 - 1331236121867620220267926258402936v^13 - 810577507856817755120738028816025v^12 + 1250556305672786062665929747213720364v^11 + 733163126560138152640994347260392100v^10 - 572214500676116409818578075755866134380v^9 - 299826311260386905627078191218876489625v^8 + 198469566568838643848605104742137588051200v^7 + 90722887223723798072732718525297554230625v^6 - 33628650888980629829819041361880283141240500v^5 - 9088825193830901872174605953428327651143750v^4 + 5217720514983059252182214617967679602577258750v^3 + 677947990155208378012742204808136103318437500v^2 - 147337709789972173786160400527580246722411250000*v + 46250119267887349625407175623100837268905156250) / 81373907698997493796518304250706316265859375
$\beta_{12}$	$=$	$ ( 13\!\cdots\!06 \nu^{15} + \cdots - 41\!\cdots\!50 ) / 73\!\cdots\!75 $ (13032589446097190146700390693006v^15 - 5895670864143919040365916434275v^14 - 17175303334402351118965224941104264v^13 + 7295197570711359796086642259344225v^12 + 16134390837101665882544349157224932436v^11 - 6598468139041243373768949125343528900v^10 - 7449509861843662542233451810818752469620v^9 + 2698436801343482150643703720969888406625v^8 + 2560608860045743702606165658811252886188800v^7 - 816505985013514182654594466727677988075625v^6 - 433869146319932192100146898493376470454359500v^5 + 81799426744478116849571453580854948860293750v^4 + 56649666861482892044487293190698144079816116250v^3 - 6101531911396875402114679843273224929865937500v^2 - 1900917362945893704041249637653263645578588750000*v - 416251073410986146628664580607907535420146406250) / 732365169290977444168664738256356846392734375
$\beta_{13}$	$=$	$ ( 47\!\cdots\!59 \nu^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!00 ) / 14\!\cdots\!75 $ (4753374879912556480994110394759v^15 + 51642802147107158853378892695396v^14 - 4758385238622882279289429928892496v^13 - 75494449668164170035896701648412724v^12 + 3864140472592758732453247370106734679v^11 + 72348957865703199484994462396786075976v^10 - 849982948220263345086448364918989796155v^9 - 37239865526111894601940174093786165514220v^8 + 85681028172537093606499764137423618303450v^7 + 12949009538297242057658104025354489665557300v^6 + 108944946602072973040299821419542559460743875v^5 - 2584781913020390095484085315368329589857992000v^4 - 16758085474129608604880015789688966916077510000v^3 + 257584088505786231760088535948310701040422360000v^2 + 2208142148838982827299577404639356608195962062500*v - 14895360670021828622975393792055737122150197000000) / 146473033858195488833732947651271369278546875
$\beta_{14}$	$=$	$ ( 47\!\cdots\!59 \nu^{15} + \cdots - 64\!\cdots\!00 ) / 14\!\cdots\!75 $ (4753374879912556480994110394759v^15 + 21135291522725799276361364958888v^14 - 4758385238622882279289429928892496v^13 - 31269112755408547817992174842813672v^12 + 3864140472592758732453247370106734679v^11 + 30084847020376411302076009488735986928v^10 - 849982948220263345086448364918989796155v^9 - 15426937456130300901154061174152807866360v^8 + 85681028172537093606499764137423618303450v^7 + 5335470422036476201808327849836818219011400v^6 + 108944946602072973040299821419542559460743875v^5 - 1021233944323933162130384484082870988916396000v^4 - 16758085474129608604880015789688966916077510000v^3 + 116561656638344646247027950887810419102834080000v^2 + 2208142148838982827299577404639356608195962062500*v - 6443856100833410143365766081312329251616591000000) / 146473033858195488833732947651271369278546875
$\beta_{15}$	$=$	$ ( 47\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots - 92\!\cdots\!75 ) / 81\!\cdots\!75 $ (4749040223896630276560929936256v^15 - 1310149080920870897859092540950v^14 - 6535922380193633011524606055233264v^13 + 1621155015713635510241476057632050v^12 + 6139811571873662898519150155174190936v^11 - 1466326253120276305281988694520784200v^10 - 2924868158623781330483910565845680298120v^9 + 599652622520773811254156382437752979250v^8 + 974418933363044611386391620540817182988800v^7 - 181445774447447596145465437050595108461250v^6 - 165105384650059567185412505120560534857297000v^5 + 18177650387661803744349211906856655302287500v^4 + 17174498193165657731598660407026424855312835000v^3 - 1355895980310416756025484409616272206636875000v^2 - 723378684700770451019620885971263791082182500000*v - 92581612443473696744610869550452380854076171875) / 81373907698997493796518304250706316265859375

Display $\nu^j$ in terms of $\beta_i$

$\nu$	$=$	$ ( - 6 \beta_{14} + 6 \beta_{13} - 15 \beta_{12} + 40 \beta_{11} - 15 \beta_{10} + 3 \beta_{9} + \cdots + 114 ) / 153600 $ (-6b14 + 6b13 - 15b12 + 40b11 - 15b10 + 3b9 - 57b7 + 795b6 - 3b4 + 173b3 - 6b2 + 3255b1 + 114) / 153600
$\nu^{2}$	$=$	$ ( - 308 \beta_{14} + 308 \beta_{13} + 104 \beta_{9} + 80 \beta_{8} + 256 \beta_{7} - 2320 \beta_{5} + \cdots + 35684768 ) / 204800 $ (-308b14 + 308b13 + 104b9 + 80b8 + 256b7 - 2320b5 + 1716b4 - 864b3 - 8653*b2 + 35684768) / 204800
$\nu^{3}$	$=$	$ ( -600\beta_{15} - 8805\beta_{12} + 9380\beta_{11} - 46359\beta_{7} + 166051\beta_{3} + 92118 ) / 38400 $ (-600b15 - 8805b12 + 9380b11 - 46359b7 + 166051*b3 + 92118) / 38400
$\nu^{4}$	$=$	$ ( - 299492 \beta_{14} + 299492 \beta_{13} + 69896 \beta_{9} - 59120 \beta_{8} - 847744 \beta_{7} + \cdots - 18467448032 ) / 204800 $ (-299492b14 + 299492b13 + 69896b9 - 59120b8 - 847744b7 + 2261680b5 + 1189284b4 - 2765664b3 - 4454497*b2 - 18467448032) / 204800
$\nu^{5}$	$=$	$ ( - 1192800 \beta_{15} + 4950906 \beta_{14} - 3758106 \beta_{13} - 11758515 \beta_{12} + \cdots + 166116714 ) / 153600 $ (-1192800b15 + 4950906b14 - 3758106b13 - 11758515b12 + 11065240b11 + 9991665b10 - 1879053b9 - 83654757b7 - 156850245b6 + 1879053b4 + 309409673b3 + 4354506b2 - 2494231305*b1 + 166116714) / 153600
$\nu^{6}$	$=$	$ ( -608045\beta_{8} - 13775854\beta_{7} + 28892755\beta_{5} - 53154324\beta_{3} - 177848346362 ) / 1600 $ (-608045b8 - 13775854b7 + 28892755b5 - 53154324b3 - 177848346362) / 1600
$\nu^{7}$	$=$	$ ( 1089937200 \beta_{15} + 3836539194 \beta_{14} - 2746601994 \beta_{13} + 7603900485 \beta_{12} + \cdots - 131668087686 ) / 153600 $ (1089937200b15 + 3836539194b14 - 2746601994b13 + 7603900485b12 - 7179303760b11 + 7411473585b10 - 1373300997b9 + 66379012443b7 - 91867018005b6 + 1373300997b4 - 248552971127b3 + 3291570594b2 - 1399769547945*b1 - 131668087686) / 153600
$\nu^{8}$	$=$	$ ( 182877978092 \beta_{14} - 182877978092 \beta_{13} - 34713140696 \beta_{9} - 25879283120 \beta_{8} + \cdots - 75\!\cdots\!32 ) / 204800 $ (182877978092b14 - 182877978092b13 - 34713140696b9 - 25879283120b8 - 735914738944b7 + 1420721405680b5 - 472937957484b4 - 2968887744864b3 + 1814789166097*b2 - 7544312938113632) / 204800
$\nu^{9}$	$=$	$ ( 226726745700 \beta_{15} + 1262339032785 \beta_{12} - 1217751706810 \beta_{11} + \cdots - 24838533758166 ) / 19200 $ (226726745700b15 + 1262339032785b12 - 1217751706810b11 + 12532630251933b7 - 47196976776737*b3 - 24838533758166) / 19200
$\nu^{10}$	$=$	$ ( 135191766887108 \beta_{14} - 135191766887108 \beta_{13} - 25144311256904 \beta_{9} + \cdots + 51\!\cdots\!68 ) / 204800 $ (135191766887108b14 - 135191766887108b13 - 25144311256904b9 + 17640274888880b8 + 568119101347456b7 - 1058629455902320b5 - 313319141702916b4 + 2332444877293536b3 + 1245488605658353*b2 + 5178747133650025568) / 204800
$\nu^{11}$	$=$	$ ( 708079544947200 \beta_{15} + \cdots - 73\!\cdots\!86 ) / 153600 $ (708079544947200b15 - 2133962962203894b14 + 1425883417256694b13 + 3446953005080985b12 - 3384985929216760b11 - 3918748315615335b10 + 712941708628347b9 + 36982915374113343b7 + 38841510374380755b6 - 712941708628347b4 - 139683563472261227b3 - 1779923189730294b2 + 512384187154207695*b1 - 73257751203279486) / 153600
$\nu^{12}$	$=$	$ ( 383216752502785 \beta_{8} + \cdots + 11\!\cdots\!26 ) / 3200 $ (383216752502785b8 + 13239382013037692b7 - 24247569788416865b5 + 54805505537306502b3 + 113222398047976314226) / 3200
$\nu^{13}$	$=$	$ ( - 53\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 53\!\cdots\!14 ) / 153600 $ (-532802723205622800b15 - 1557058734096052506b14 + 1024256010890429706b13 - 2399783825089091265b12 + 2384594081627014240b11 - 2827041388828885665b10 + 512128005445214853b9 - 26952245340962976207b7 + 26665605405136222245b6 - 512128005445214853b4 + 101958998010724553723b3 - 1290657372493241106b2 + 335291134991488009305*b1 + 53371687958720329614) / 153600
$\nu^{14}$	$=$	$ ( - 71\!\cdots\!08 \beta_{14} + \cdots + 25\!\cdots\!68 ) / 204800 $ (-71441047510636357508b14 + 71441047510636357508b13 + 13115659872693972104b9 + 8635665488158732880b8 + 310512475754858400256b7 - 563541361158755618320b5 + 148930584077867203716b4 + 1290897827882236050336b3 - 616181235116002853503*b2 + 2562361696971205688343968) / 204800
$\nu^{15}$	$=$	$ ( - 19\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 19\!\cdots\!18 ) / 38400 $ (-196352349947654778600b15 - 845843773564918676055b12 + 846577387287857052380b11 - 9755779962044241699309b7 + 36937993987428881511601*b3 + 19315207574140828620018) / 38400

Display $\beta_i$ in terms of $\nu^j$

Character values

We give the values of $\chi$ on generators for $\left(\mathbb{Z}/320\mathbb{Z}\right)^\times$.

$n$	$191$	$257$	$261$
$\chi(n)$	$-1$	$-1$	$1$

Embeddings

For each embedding $\iota_m$ of the coefficient field, the values $\iota_m(a_n)$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

comment: embeddings in the coefficient field

gp: mfembed(f)

Label

$\iota_m(\nu)$

$ a_{2} $

$ a_{3} $

$ a_{4} $

$ a_{5} $

$ a_{6} $

$ a_{7} $

$ a_{8} $

$ a_{9} $

$ a_{10} $

319.1

−17.5505	+	10.1328i
−17.5505	−	10.1328i
8.60649	−	4.96896i
8.60649	+	4.96896i
11.1856	+	6.45800i
11.1856	−	6.45800i
−23.2011	−	13.3951i
−23.2011	+	13.3951i
23.2011	−	13.3951i
23.2011	+	13.3951i
−11.1856	+	6.45800i
−11.1856	−	6.45800i
−8.60649	−	4.96896i
−8.60649	+	4.96896i
17.5505	+	10.1328i
17.5505	−	10.1328i

−125.551

−388.104

−

489.899i

4128.49

9202.10

319.2

−125.551

−388.104

489.899i

4128.49

9202.10

319.3

−120.512

622.222

−

58.8612i

−1534.67

7962.26

319.4

−120.512

622.222

58.8612i

−1534.67

7962.26

319.5

−77.4652

−586.915

−

214.840i

−2766.32

−560.136

319.6

−77.4652

−586.915

214.840i

−2766.32

−560.136

319.7

−22.3781

202.796

−

591.184i

1597.12

−6060.22

319.8

−22.3781

202.796

591.184i

1597.12

−6060.22

319.9

22.3781

202.796

−

591.184i

−1597.12

−6060.22

319.10

22.3781

202.796

591.184i

−1597.12

−6060.22

319.11

77.4652

−586.915

−

214.840i

2766.32

−560.136

319.12

77.4652

−586.915

214.840i

2766.32

−560.136

319.13

120.512

622.222

−

58.8612i

1534.67

7962.26

319.14

120.512

622.222

58.8612i

1534.67

7962.26

319.15

125.551

−388.104

−

489.899i

−4128.49

9202.10

319.16

125.551

−388.104

489.899i

−4128.49

9202.10

Inner twists

Char	Parity	Ord	Mult	Type
1.a	even	1	1	trivial
4.b	odd	2	1	inner
5.b	even	2	1	inner
20.d	odd	2	1	inner

Twists

By twisting character orbit
Char	Parity	Ord	Mult	Type	Twist	Min	Dim
1.a	even	1	1	trivial	320.9.h.f		16
4.b	odd	2	1	inner	320.9.h.f		16
5.b	even	2	1	inner	320.9.h.f		16
8.b	even	2	1		80.9.h.d	✓	16
8.d	odd	2	1		80.9.h.d	✓	16
20.d	odd	2	1	inner	320.9.h.f		16
40.e	odd	2	1		80.9.h.d	✓	16
40.f	even	2	1		80.9.h.d	✓	16
40.i	odd	4	2		400.9.b.m		16
40.k	even	4	2		400.9.b.m		16

By twisted newform orbit
Twist	Min	Dim	Char	Parity	Ord	Mult	Type
80.9.h.d	✓	16	8.b	even	2	1
80.9.h.d	✓	16	8.d	odd	2	1
80.9.h.d	✓	16	40.e	odd	2	1
80.9.h.d	✓	16	40.f	even	2	1
320.9.h.f		16	1.a	even	1	1	trivial
320.9.h.f		16	4.b	odd	2	1	inner
320.9.h.f		16	5.b	even	2	1	inner
320.9.h.f		16	20.d	odd	2	1	inner
400.9.b.m		16	40.i	odd	4	2
400.9.b.m		16	40.k	even	4	2

Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the kernel of the linear operator $ T_{3}^{8} - 36788T_{3}^{6} + 428847744T_{3}^{4} - 1579444964352T_{3}^{2} + 687963618902016 $ T3^8 - 36788*T3^6 + 428847744*T3^4 - 1579444964352*T3^2 + 687963618902016 acting on $S_{9}^{\mathrm{new}}(320, [\chi])$.

Hecke characteristic polynomials

$p$	$F_p(T)$
$2$	$ T^{16} $ T^16
$3$	$ (T^{8} + \cdots + 687963618902016)^{2} $ (T^8 - 36788T^6 + 428847744T^4 - 1579444964352*T^2 + 687963618902016)^2
$5$	$ (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!25)^{2} $ (T^8 + 300T^7 - 239260T^6 - 167587500T^5 - 32213906250T^4 - 65463867187500T^3 - 36508178710937500T^2 + 17881393432617187500*T + 23283064365386962890625)^2
$7$	$ (T^{8} + \cdots + 78\!\cdots\!36)^{2} $ (T^8 - 29602932T^6 + 257603521762944T^4 - 788274067574575991808*T^2 + 783595531978255640701403136)^2
$11$	$ (T^{8} + \cdots + 56\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 1423858368T^6 + 650634855071514624T^4 + 112170051822066462005133312*T^2 + 5621677198617040216489501504045056)^2
$13$	$ (T^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!76)^{2} $ (T^8 + 3005461056T^6 + 2402597182145089536T^4 + 218683501384623562030841856*T^2 + 4546462391800083392191339142578176)^2
$17$	$ (T^{8} + \cdots + 64\!\cdots\!96)^{2} $ (T^8 + 30660109824T^6 + 249375450177262780416T^4 + 620874940720486387690833444864*T^2 + 64882484428770486055879973873066704896)^2
$19$	$ (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!16)^{2} $ (T^8 + 85181838528T^6 + 2066022384569367035904T^4 + 16208348276920229139051668570112*T^2 + 15765902540963885411900262031482805026816)^2
$23$	$ (T^{8} + \cdots + 65\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 - 109965646068T^6 + 3178889709200975735424T^4 - 9347352288468269703458126810112*T^2 + 6505884596096542611631004317590118957056)^2
$29$	$ (T^{4} + \cdots + 16\!\cdots\!56)^{4} $ (T^4 - 874392T^3 - 714725896616T^2 + 433397157161587872*T + 163503271989043929527056)^4
$31$	$ (T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 2404670066688T^6 + 1899807901740583882850304T^4 + 526243951120459572127615039404244992*T^2 + 21307122888421429568725160773854811198121312256)^2
$37$	$ (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!00)^{2} $ (T^8 + 13342923670080T^6 + 55037242721907972570009600T^4 + 71966892577511526080804947077857280000*T^2 + 1539009781237036973561379378481258701520896000000)^2
$41$	$ (T^{4} + \cdots - 14\!\cdots\!44)^{4} $ (T^4 + 542292T^3 - 13009037357216T^2 - 26719157794048686672*T - 14429025651323523908960144)^4
$43$	$ (T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!76)^{2} $ (T^8 - 58990081892148T^6 + 839279207557470693776529024T^4 - 646284541716617387793491400234300951552*T^2 + 37929170421188258094412591014943054377166687666176)^2
$47$	$ (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!96)^{2} $ (T^8 - 136108193940852T^6 + 5960022494793606329030872704T^4 - 88975280809285465380271552287545174166528*T^2 + 182360108855083152032292163468379900287839543081271296)^2
$53$	$ (T^{8} + \cdots + 58\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 189550039593024T^6 + 8563436006980556426125234176T^4 + 97587537119141895716979562005430379741184*T^2 + 58890062309993651135888422869681948608230195678150656)^2
$59$	$ (T^{8} + \cdots + 26\!\cdots\!36)^{2} $ (T^8 + 932406344257728T^6 + 291580604607211011554994192384T^4 + 31424586399944335668610627024411821009272832*T^2 + 260093180322366769215770427616222350331488385045874343936)^2
$61$	$ (T^{4} + \cdots + 44\!\cdots\!76)^{4} $ (T^4 + 5693164T^3 - 159671010769824T^2 - 267855114836094658736*T + 4466667385470498475485579376)^4
$67$	$ (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 - 1951000859062068T^6 + 886018863642167476439015313024T^4 - 117033495382902458625394598149777551593229312*T^2 + 1577341468018141307045184539219272972254767147950334509056)^2
$71$	$ (T^{8} + \cdots + 35\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 1470662200019712T^6 + 637866628192249126331997487104T^4 + 70624054404828146807952395285822029858603008*T^2 + 359245519134365297793997433448457225743918300746383097856)^2
$73$	$ (T^{8} + \cdots + 32\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 6171240287794944T^6 + 13367804180202314105818792329216T^4 + 11723216272913464219519486092618415315252936704*T^2 + 3277301761391512282996417751650903197013860379807658652205056)^2
$79$	$ (T^{8} + \cdots + 16\!\cdots\!00)^{2} $ (T^8 + 3598526154009600T^6 + 4393007114341500183946199040000T^4 + 1950416565823762847436379361301548236800000000*T^2 + 160496187878381310336665047380230762049149337600000000000000)^2
$83$	$ (T^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!36)^{2} $ (T^8 - 5349102263694132T^6 + 8118895793374891104151585762944T^4 - 3790402992273244617539496769877498771619499008*T^2 + 229158283833770677164443934668988584502971159824268143067136)^2
$89$	$ (T^{4} + \cdots + 22\!\cdots\!56)^{4} $ (T^4 + 23562744T^3 - 3269613224618984T^2 - 30764721475230710155296*T + 2260280667494164830506867159056)^4
$97$	$ (T^{8} + \cdots + 68\!\cdots\!56)^{2} $ (T^8 + 49229284071983616T^6 + 786963612218073727842186370154496T^4 + 4628548019704423023616323635135832089530158022656*T^2 + 6837578801168637159517942735778691278117971291072796362964729856)^2
show more
show less

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Level:	\( N \)	\(=\)	\( 320 = 2^{6} \cdot 5 \)
Weight:	\( k \)	\(=\)	\( 9 \)
Character orbit:	\([\chi]\)	\(=\)	320.h (of order \(2\), degree \(1\), not minimal)

\(f(q)\)	\(=\)	\( q + \beta_1 q^{3} + (\beta_{3} - 37) q^{5} + ( - \beta_{6} - 4 \beta_1) q^{7} + (\beta_{5} + \beta_{3} + 2637) q^{9}+O(q^{10}) \) q + b1 * q^3 + (b3 - 37) * q^5 + (-b6 - 4b1) q^7 + (b5 + b3 + 2637) * q^9	\( q + \beta_1 q^{3} + (\beta_{3} - 37) q^{5} + ( - \beta_{6} - 4 \beta_1) q^{7} + (\beta_{5} + \beta_{3} + 2637) q^{9} - \beta_{4} q^{11} + ( - \beta_{15} - 2 \beta_{3} - 1) q^{13} + ( - \beta_{14} - 6 \beta_{6} + \cdots - 12 \beta_1) q^{15}+ \cdots + ( - 753 \beta_{14} + \cdots + 2673 \beta_{2}) q^{99}+O(q^{100}) \) q + b1 * q^3 + (b3 - 37) * q^5 + (-b6 - 4b1) q^7 + (b5 + b3 + 2637) * q^9 - b4 * q^11 + (-b15 - 2b3 - 1) q^13 + (-b14 - 6b6 - b4 + b2 - 12b1) * q^15 + (3b15 + b11 + 2b7 - 3b3 - 1) q^17 + (-b14 + b13 + b9 + b4 + 7b2) q^19 + (-b8 + 21b7 - 19b5 + 108b3 - 38664) q^21 + (-2b14 - b10 + 40b6 - b2 - 65b1) q^23 + (-b15 - 3b12 + 7b11 - b8 + 15b7 + 20b5 - 21b3 + 71070) q^25 + (-2b14 - 2b13 + 3b10 - b9 + 75b6 + b4 + 337b1) q^27 + (b8 + 46b7 + 97b5 + 372b3 + 218832) q^29 + (-6b14 + 6b13 - 3b9 + 3b4 + 32b2) q^31 + (-21b15 + 2b12 - 49b11 - 272b7 + 1097b3 + 523) q^33 + (b14 - 15b13 + 7b10 - 2b9 + 293b6 + 24b4 - 58b2 + 4924b1) q^35 + (46b15 - 36b12 - 18b11 + 231b7 - 850b3 - 416) q^37 + (-2b14 + 2b13 - 24b9 - 36b4 - 11b2) q^39 + (-8b8 - 266b7 - 137b5 - 1725b3 - 136500) * q^41 + (-10b14 - 22b13 + 39b10 - 11b9 - 505b6 + 11b4 + 6b2 + 10752b1) * q^43 + (-9b15 + 98b12 - 62b11 - 9b8 + 460b7 + 55b5 + 2707b3 + 121978) q^45 + (-68b14 + 10b13 - 54b10 + 5b9 - 861b6 - 5b4 - 39b2 + 10970b1) * q^47 + (10b8 - 924b7 + 547b5 - 5007b3 + 1633697) * q^49 + (13b14 - 13b13 + 73b9 + 298b4 + 31b2) q^51 + (-183b15 + 144b12 - 14b11 + 930b7 - 3928b3 - 2043) q^53 + (-47b14 - 30b13 - 45b10 - 70b9 - 982b6 + 183b4 - 273b2 - 46869b1) * q^55 + (285b15 + 562b12 + 27b11 - 1582b7 + 7433b3 + 3449) q^57 + (133b14 - 133b13 + 23b9 - 77b4 - 809b2) q^59 + (-10b8 + 1767b7 - 556b5 + 10056b3 - 1418536) * q^61 + (-210b14 - 105b10 - 4878b6 - 105b2 - 85893b1) q^63 + (6b15 - 657b12 - 242b11 - 19b8 - 845b7 - 70b5 + 292b3 + 783088) q^65 + (-218b14 - 110b13 + 111b10 - 55b9 + 651b6 + 55b4 - 54b2 - 138700b1) * q^67 + (29b8 + 1203b7 + 365b5 + 7554b3 - 524892) * q^69 + (-8b14 + 8b13 - 61b9 + 921b4 - 389b2) q^71 + (-829b15 - 882b12 + 615b11 + 2592b7 - 13523b3 - 6013) q^73 + (-71b14 - 115b13 + 12b10 - 57b9 - 7434b6 + 1272b4 - 866b2 + 159265b1) * q^75 + (819b15 - 2592b12 + 538b11 + 5067b7 - 21760b3 - 9315) q^77 + (176b14 - 176b13 - 59b9 - 1331b4 - 808b2) q^79 + (78b8 + 1938b7 - 3019b5 + 8531b3 - 14059749) * q^81 + (-598b14 - 66b13 - 167b10 - 33b9 - 7b6 + 33b4 - 266b2 + 120746b1) * q^83 + (385b15 + 2130b12 + 580b11 + 60b8 - 2115b7 + 1950b5 - 302b3 + 1132819) q^85 + (-482b14 - 290b13 + 339b10 - 145b9 + 13269b6 + 145b4 - 96b2 + 641547b1) * q^87 + (-32b8 + 8186b7 - 2366b5 + 46782b3 - 5868462) * q^89 + (79b14 - 79b13 - 529b9 + 1196b4 + 1123b2) q^91 + (-1836b15 + 1816b12 - 318b11 - 6694b7 + 25238b3 + 11552) q^93 + (-11b14 - 40b13 + 323b10 + 357b9 - 10328b6 + 3246b4 + 2923b2 - 329649b1) * q^95 + (471b15 + 5016b12 + 419b11 + 9960b7 - 34301b3 - 19449) q^97 + (-753b14 + 753b13 - 365b9 - 5405b4 + 2673b2) q^99
\(\operatorname{Tr}(f)(q)\)	\(=\)	\( 16 q - 600 q^{5} + 42176 q^{9}+O(q^{10}) \) 16 * q - 600 * q^5 + 42176 * q^9	\( 16 q - 600 q^{5} + 42176 q^{9} - 619344 q^{21} + 1137040 q^{25} + 3497568 q^{29} - 2169168 q^{41} + 1930760 q^{45} + 26174912 q^{49} - 22772656 q^{61} + 12524160 q^{65} - 8461392 q^{69} - 224999456 q^{81} + 18124800 q^{85} - 94250976 q^{89}+O(q^{100}) \) 16 * q - 600 * q^5 + 42176 * q^9 - 619344 * q^21 + 1137040 * q^25 + 3497568 * q^29 - 2169168 * q^41 + 1930760 * q^45 + 26174912 * q^49 - 22772656 * q^61 + 12524160 * q^65 - 8461392 * q^69 - 224999456 * q^81 + 18124800 * q^85 - 94250976 * q^89

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Newspace parameters

Newform invariants

$q$-expansion

Character values

Embeddings

Inner twists

Twists

Hecke kernels

Hecke characteristic polynomials

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	320.9.h.f

Level	$320$
Weight	$9$
Character orbit	320.h
Analytic conductor	$130.361$
Analytic rank	$0$
Dimension	$16$
CM	no
Inner twists	$4$

Self dual:	no
Analytic conductor:	\(130.361155220\)
Analytic rank:	\(0\)
Dimension:	\(16\)
Coefficient field:	\(\mathbb{Q}[x]/(x^{16} - \cdots)\)
comment: defining polynomial gp: f.mod \\ as an extension of the character field
Defining polynomial:	\( x^{16} - 1394 x^{14} + 1332306 x^{12} - 657883370 x^{10} + 233333110300 x^{8} - 45644912663250 x^{6} + \cdots + 23\!\cdots\!00 \) x^16 - 1394x^14 + 1332306x^12 - 657883370x^10 + 233333110300x^8 - 45644912663250x^6 + 6418092533338125x^4 - 470478785036343750*x^2 + 23585385849201562500
Coefficient ring:	\(\Z[a_1, \ldots, a_{11}]\)
Coefficient ring index:	\( 2^{99}\cdot 3^{9}\cdot 5^{10} \)
Twist minimal:	no (minimal twist has level 80)
Sato-Tate group:	$\mathrm{SU}(2)[C_{2}]$

\(\beta_{1}\)	\(=\)	\( ( 79\!\cdots\!89 \nu^{15} + \cdots - 15\!\cdots\!00 \nu ) / 73\!\cdots\!75 \) (7938363953649339509674880789v^15 - 13490428946811479953420977991816v^13 + 13487135976020823114878383254774609v^11 - 8029237378113581911536791573688260005v^9 + 3087996930045680461049999999794489311950v^7 - 841293513643417783135408278331730601994875v^5 + 128546440640104189063485494528533291167877500v^3 - 15600378681237769019329442161998607773644812500v) / 732365169290977444168664738256356846392734375
\(\beta_{2}\)	\(=\)	\( ( - 22\!\cdots\!96 \nu^{14} + \cdots + 59\!\cdots\!00 ) / 65\!\cdots\!25 \) (-2234222240540812683677696v^14 + 2929850525792165327462785024v^12 - 2752286382199345950697937842176v^10 + 1263190427114273377250323841720320v^8 - 436801672080288374002756245605580800v^6 + 74011603854720752597811817350001152000v^4 - 11777447269120188654880550501573583360000*v^2 + 592159681829591177043245198112459072000000) / 65403207471803567088464611534459265625
\(\beta_{3}\)	\(=\)	\( ( 16\!\cdots\!82 \nu^{15} + \cdots + 55\!\cdots\!50 ) / 97\!\cdots\!25 \) (1630559988946046983980996482v^15 + 78608944855252253871545552457v^14 - 2225386125907147101592083041848v^13 - 97269300942818130614488563457923v^12 + 2090516180109074213859175107815052v^11 + 87979575187216578316919321671247052v^10 - 992961185129211979516793645411932780v^9 - 35979157351246428675249382946265178755v^8 + 331775417299725904007821026610753721600v^7 + 10886746466846855768727926223035706507675v^6 - 56215972427432674673771419265587531516500v^5 - 1090659023259708224660952714411399318137250v^4 + 5378461553692704584270702360164111725993750v^3 + 81353758818625005361529064576976332398212500v^2 - 246299878589189033248507478341260947621250000*v + 5550014312146481955048861074772100472268618750) / 9764868923879699255582196510084757951903125
\(\beta_{4}\)	\(=\)	\( ( - 39\!\cdots\!16 \nu^{14} + \cdots + 87\!\cdots\!00 ) / 50\!\cdots\!75 \) (-3964425662983778785077118516v^14 + 4668563152865095363987102799204v^12 - 4280179302494165003773106912015496v^10 + 1744218316613739893782571378048953820v^8 - 611014479402743548756699026323734735300v^6 + 97116552190540530197310283009210809252000v^4 - 17950622439942247407149228813360225683560000*v^2 + 870383621581899214552442169275261605662000000) / 50911725359122519580720524035895505484375
\(\beta_{5}\)	\(=\)	\( ( - 48\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots + 11\!\cdots\!00 ) / 29\!\cdots\!75 \) (-4891679966838140951942989446v^15 + 1544071933001264367450105767647v^14 + 6676158377721441304776249125544v^13 - 1926132215109723400070352400889333v^12 - 6271548540327222641577525323445156v^11 + 1728134030727661889347359309285455892v^10 + 2978883555387635938550380936235798340v^9 - 706718645586601563664169146942308279605v^8 - 995326251899177712023463079832261164800v^7 + 208949978159147083837182610538427003756925v^6 + 168647917282298024021314257796762594549500v^5 - 21423210671391787445505392023974776578344750v^4 - 16135384661078113752812107080492335177981250v^3 + 1597986792308406581528171777372013662563087500v^2 + 738899635767567099745522435023782842863750000*v + 114564422926735891967552936471858337440779012500) / 29294606771639097766746589530254273855709375
\(\beta_{6}\)	\(=\)	\( ( - 47\!\cdots\!23 \nu^{15} + \cdots + 21\!\cdots\!00 \nu ) / 73\!\cdots\!75 \) (-478998850423008458720268498623v^15 + 602954863274726658143097418230112v^13 - 556005450605326439837557255596679863v^11 + 239318562301709566122829282419613613035v^9 - 78969788218744582866667368297770048988650v^7 + 11428585283196976575851876318089790102764125v^5 - 1819439923280609951900330804045163715940955000v^3 + 211677675774590099953044202247534413130507437500v) / 732365169290977444168664738256356846392734375
\(\beta_{7}\)	\(=\)	\( ( - 32\!\cdots\!64 \nu^{15} + \cdots + 74\!\cdots\!50 ) / 32\!\cdots\!75 \) (-3261119977892093967961992964v^15 + 104811926473669671828727403276v^14 + 4450772251814294203184166083696v^13 - 129692401257090840819318084610564v^12 - 4181032360218148427718350215630104v^11 + 117306100249622104422559095561662736v^10 + 1985922370258423959033587290823865560v^9 - 47972209801661904900332510595020238340v^8 - 663550834599451808015642053221507443200v^7 + 14515661955795807691637234964047608676900v^6 + 112431944854865349347542838531175063033000v^5 - 1454212031012944299547936952548532424183000v^4 - 10756923107385409168541404720328223451987500v^3 + 108471678424833340482038752769301776530950000v^2 + 492599757178378066497014956682521895242500000*v + 7406528995477895739568869564036190468326093750) / 3254956307959899751860732170028252650634375
\(\beta_{8}\)	\(=\)	\( ( 48\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots - 60\!\cdots\!50 ) / 29\!\cdots\!75 \) (4891679966838140951942989446v^15 + 31383223151476021769517988340621v^14 - 6676158377721441304776249125544v^13 - 39570758931369316682073934125193519v^12 + 6271548540327222641577525323445156v^11 + 35124280652241817158898262202250188156v^10 - 2978883555387635938550380936235798340v^9 - 14364038673148429157718039024564766060015v^8 + 995326251899177712023463079832261164800v^7 + 4036782557230942694965074311804287658464775v^6 - 168647917282298024021314257796762594549500v^5 - 435426217361869742028044176994345458971974250v^4 + 16135384661078113752812107080492335177981250v^3 + 32479041309071593116792234678801064513860262500v^2 - 738899635767567099745522435023782842863750000*v - 6090369469325696126228683601342115954737678418750) / 29294606771639097766746589530254273855709375
\(\beta_{9}\)	\(=\)	\( ( - 65\!\cdots\!36 \nu^{14} + \cdots + 19\!\cdots\!00 ) / 35\!\cdots\!25 \) (-653923857862164112389155679236v^14 + 960799790803755283557225456114484v^12 - 922625814285597029219493679411050216v^10 + 473057065986172039008476536294292415820v^8 - 164002355159272350571967342553661993817300v^6 + 31925995331943645291319843184351615327052000v^4 - 3455419010800800498167594673299054307254760000*v^2 + 194324013919579513498811521733353529108952000000) / 356382077513857637065043668251268538390625
\(\beta_{10}\)	\(=\)	\( ( - 72\!\cdots\!46 \nu^{15} + \cdots + 52\!\cdots\!00 ) / 66\!\cdots\!25 \) (-729816098827921087373030225146v^15 - 16939525092315030661787211952560v^14 + 774950164315543979784290168058824v^13 + 25443959542788652495765305261710640v^12 - 661776428405428815757871336528166126v^11 - 24548109703931127987759959072883171360v^10 + 191002371349918871730754777499218855070v^9 + 12738595766505240507861049700974150909200v^8 - 41665545874579298118638592845788032322300v^7 - 4405775665538152481268589536430163463078000v^6 - 8620025133402178320064150030896807616071750v^5 + 853052734255758574867553676613426249038120000v^4 + 1262675062172684171676521446931527392275527500v^3 - 93976027635023242870042440266307834955089600000v^2 - 175926777335957257764707261956079755809966375000*v + 5255248863628117950766945388585945466175170000000) / 66578651753725222197151339841486986035703125
\(\beta_{11}\)	\(=\)	\( ( 10\!\cdots\!94 \nu^{15} + \cdots + 46\!\cdots\!50 ) / 81\!\cdots\!75 \) (1019593103413813701684198898794v^15 + 655074540460435448929546270475v^14 - 1331236121867620220267926258402936v^13 - 810577507856817755120738028816025v^12 + 1250556305672786062665929747213720364v^11 + 733163126560138152640994347260392100v^10 - 572214500676116409818578075755866134380v^9 - 299826311260386905627078191218876489625v^8 + 198469566568838643848605104742137588051200v^7 + 90722887223723798072732718525297554230625v^6 - 33628650888980629829819041361880283141240500v^5 - 9088825193830901872174605953428327651143750v^4 + 5217720514983059252182214617967679602577258750v^3 + 677947990155208378012742204808136103318437500v^2 - 147337709789972173786160400527580246722411250000*v + 46250119267887349625407175623100837268905156250) / 81373907698997493796518304250706316265859375
\(\beta_{12}\)	\(=\)	\( ( 13\!\cdots\!06 \nu^{15} + \cdots - 41\!\cdots\!50 ) / 73\!\cdots\!75 \) (13032589446097190146700390693006v^15 - 5895670864143919040365916434275v^14 - 17175303334402351118965224941104264v^13 + 7295197570711359796086642259344225v^12 + 16134390837101665882544349157224932436v^11 - 6598468139041243373768949125343528900v^10 - 7449509861843662542233451810818752469620v^9 + 2698436801343482150643703720969888406625v^8 + 2560608860045743702606165658811252886188800v^7 - 816505985013514182654594466727677988075625v^6 - 433869146319932192100146898493376470454359500v^5 + 81799426744478116849571453580854948860293750v^4 + 56649666861482892044487293190698144079816116250v^3 - 6101531911396875402114679843273224929865937500v^2 - 1900917362945893704041249637653263645578588750000*v - 416251073410986146628664580607907535420146406250) / 732365169290977444168664738256356846392734375
\(\beta_{13}\)	\(=\)	\( ( 47\!\cdots\!59 \nu^{15} + \cdots - 14\!\cdots\!00 ) / 14\!\cdots\!75 \) (4753374879912556480994110394759v^15 + 51642802147107158853378892695396v^14 - 4758385238622882279289429928892496v^13 - 75494449668164170035896701648412724v^12 + 3864140472592758732453247370106734679v^11 + 72348957865703199484994462396786075976v^10 - 849982948220263345086448364918989796155v^9 - 37239865526111894601940174093786165514220v^8 + 85681028172537093606499764137423618303450v^7 + 12949009538297242057658104025354489665557300v^6 + 108944946602072973040299821419542559460743875v^5 - 2584781913020390095484085315368329589857992000v^4 - 16758085474129608604880015789688966916077510000v^3 + 257584088505786231760088535948310701040422360000v^2 + 2208142148838982827299577404639356608195962062500*v - 14895360670021828622975393792055737122150197000000) / 146473033858195488833732947651271369278546875
\(\beta_{14}\)	\(=\)	\( ( 47\!\cdots\!59 \nu^{15} + \cdots - 64\!\cdots\!00 ) / 14\!\cdots\!75 \) (4753374879912556480994110394759v^15 + 21135291522725799276361364958888v^14 - 4758385238622882279289429928892496v^13 - 31269112755408547817992174842813672v^12 + 3864140472592758732453247370106734679v^11 + 30084847020376411302076009488735986928v^10 - 849982948220263345086448364918989796155v^9 - 15426937456130300901154061174152807866360v^8 + 85681028172537093606499764137423618303450v^7 + 5335470422036476201808327849836818219011400v^6 + 108944946602072973040299821419542559460743875v^5 - 1021233944323933162130384484082870988916396000v^4 - 16758085474129608604880015789688966916077510000v^3 + 116561656638344646247027950887810419102834080000v^2 + 2208142148838982827299577404639356608195962062500*v - 6443856100833410143365766081312329251616591000000) / 146473033858195488833732947651271369278546875
\(\beta_{15}\)	\(=\)	\( ( 47\!\cdots\!56 \nu^{15} + \cdots - 92\!\cdots\!75 ) / 81\!\cdots\!75 \) (4749040223896630276560929936256v^15 - 1310149080920870897859092540950v^14 - 6535922380193633011524606055233264v^13 + 1621155015713635510241476057632050v^12 + 6139811571873662898519150155174190936v^11 - 1466326253120276305281988694520784200v^10 - 2924868158623781330483910565845680298120v^9 + 599652622520773811254156382437752979250v^8 + 974418933363044611386391620540817182988800v^7 - 181445774447447596145465437050595108461250v^6 - 165105384650059567185412505120560534857297000v^5 + 18177650387661803744349211906856655302287500v^4 + 17174498193165657731598660407026424855312835000v^3 - 1355895980310416756025484409616272206636875000v^2 - 723378684700770451019620885971263791082182500000*v - 92581612443473696744610869550452380854076171875) / 81373907698997493796518304250706316265859375

\(\nu\)	\(=\)	\( ( - 6 \beta_{14} + 6 \beta_{13} - 15 \beta_{12} + 40 \beta_{11} - 15 \beta_{10} + 3 \beta_{9} + \cdots + 114 ) / 153600 \) (-6b14 + 6b13 - 15b12 + 40b11 - 15b10 + 3b9 - 57b7 + 795b6 - 3b4 + 173b3 - 6b2 + 3255b1 + 114) / 153600
\(\nu^{2}\)	\(=\)	\( ( - 308 \beta_{14} + 308 \beta_{13} + 104 \beta_{9} + 80 \beta_{8} + 256 \beta_{7} - 2320 \beta_{5} + \cdots + 35684768 ) / 204800 \) (-308b14 + 308b13 + 104b9 + 80b8 + 256b7 - 2320b5 + 1716b4 - 864b3 - 8653*b2 + 35684768) / 204800
\(\nu^{3}\)	\(=\)	\( ( -600\beta_{15} - 8805\beta_{12} + 9380\beta_{11} - 46359\beta_{7} + 166051\beta_{3} + 92118 ) / 38400 \) (-600b15 - 8805b12 + 9380b11 - 46359b7 + 166051*b3 + 92118) / 38400
\(\nu^{4}\)	\(=\)	\( ( - 299492 \beta_{14} + 299492 \beta_{13} + 69896 \beta_{9} - 59120 \beta_{8} - 847744 \beta_{7} + \cdots - 18467448032 ) / 204800 \) (-299492b14 + 299492b13 + 69896b9 - 59120b8 - 847744b7 + 2261680b5 + 1189284b4 - 2765664b3 - 4454497*b2 - 18467448032) / 204800
\(\nu^{5}\)	\(=\)	\( ( - 1192800 \beta_{15} + 4950906 \beta_{14} - 3758106 \beta_{13} - 11758515 \beta_{12} + \cdots + 166116714 ) / 153600 \) (-1192800b15 + 4950906b14 - 3758106b13 - 11758515b12 + 11065240b11 + 9991665b10 - 1879053b9 - 83654757b7 - 156850245b6 + 1879053b4 + 309409673b3 + 4354506b2 - 2494231305*b1 + 166116714) / 153600
\(\nu^{6}\)	\(=\)	\( ( -608045\beta_{8} - 13775854\beta_{7} + 28892755\beta_{5} - 53154324\beta_{3} - 177848346362 ) / 1600 \) (-608045b8 - 13775854b7 + 28892755b5 - 53154324b3 - 177848346362) / 1600
\(\nu^{7}\)	\(=\)	\( ( 1089937200 \beta_{15} + 3836539194 \beta_{14} - 2746601994 \beta_{13} + 7603900485 \beta_{12} + \cdots - 131668087686 ) / 153600 \) (1089937200b15 + 3836539194b14 - 2746601994b13 + 7603900485b12 - 7179303760b11 + 7411473585b10 - 1373300997b9 + 66379012443b7 - 91867018005b6 + 1373300997b4 - 248552971127b3 + 3291570594b2 - 1399769547945*b1 - 131668087686) / 153600
\(\nu^{8}\)	\(=\)	\( ( 182877978092 \beta_{14} - 182877978092 \beta_{13} - 34713140696 \beta_{9} - 25879283120 \beta_{8} + \cdots - 75\!\cdots\!32 ) / 204800 \) (182877978092b14 - 182877978092b13 - 34713140696b9 - 25879283120b8 - 735914738944b7 + 1420721405680b5 - 472937957484b4 - 2968887744864b3 + 1814789166097*b2 - 7544312938113632) / 204800
\(\nu^{9}\)	\(=\)	\( ( 226726745700 \beta_{15} + 1262339032785 \beta_{12} - 1217751706810 \beta_{11} + \cdots - 24838533758166 ) / 19200 \) (226726745700b15 + 1262339032785b12 - 1217751706810b11 + 12532630251933b7 - 47196976776737*b3 - 24838533758166) / 19200
\(\nu^{10}\)	\(=\)	\( ( 135191766887108 \beta_{14} - 135191766887108 \beta_{13} - 25144311256904 \beta_{9} + \cdots + 51\!\cdots\!68 ) / 204800 \) (135191766887108b14 - 135191766887108b13 - 25144311256904b9 + 17640274888880b8 + 568119101347456b7 - 1058629455902320b5 - 313319141702916b4 + 2332444877293536b3 + 1245488605658353*b2 + 5178747133650025568) / 204800
\(\nu^{11}\)	\(=\)	\( ( 708079544947200 \beta_{15} + \cdots - 73\!\cdots\!86 ) / 153600 \) (708079544947200b15 - 2133962962203894b14 + 1425883417256694b13 + 3446953005080985b12 - 3384985929216760b11 - 3918748315615335b10 + 712941708628347b9 + 36982915374113343b7 + 38841510374380755b6 - 712941708628347b4 - 139683563472261227b3 - 1779923189730294b2 + 512384187154207695*b1 - 73257751203279486) / 153600
\(\nu^{12}\)	\(=\)	\( ( 383216752502785 \beta_{8} + \cdots + 11\!\cdots\!26 ) / 3200 \) (383216752502785b8 + 13239382013037692b7 - 24247569788416865b5 + 54805505537306502b3 + 113222398047976314226) / 3200
\(\nu^{13}\)	\(=\)	\( ( - 53\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 53\!\cdots\!14 ) / 153600 \) (-532802723205622800b15 - 1557058734096052506b14 + 1024256010890429706b13 - 2399783825089091265b12 + 2384594081627014240b11 - 2827041388828885665b10 + 512128005445214853b9 - 26952245340962976207b7 + 26665605405136222245b6 - 512128005445214853b4 + 101958998010724553723b3 - 1290657372493241106b2 + 335291134991488009305*b1 + 53371687958720329614) / 153600
\(\nu^{14}\)	\(=\)	\( ( - 71\!\cdots\!08 \beta_{14} + \cdots + 25\!\cdots\!68 ) / 204800 \) (-71441047510636357508b14 + 71441047510636357508b13 + 13115659872693972104b9 + 8635665488158732880b8 + 310512475754858400256b7 - 563541361158755618320b5 + 148930584077867203716b4 + 1290897827882236050336b3 - 616181235116002853503*b2 + 2562361696971205688343968) / 204800
\(\nu^{15}\)	\(=\)	\( ( - 19\!\cdots\!00 \beta_{15} + \cdots + 19\!\cdots\!18 ) / 38400 \) (-196352349947654778600b15 - 845843773564918676055b12 + 846577387287857052380b11 - 9755779962044241699309b7 + 36937993987428881511601*b3 + 19315207574140828620018) / 38400

\(n\):		e.g. 2-40 or 990-1000
Embeddings:		e.g. 1-3 or 319.16
Significant digits:
Format:

$p$	$F_p(T)$
$2$	\( T^{16} \) T^16
$3$	\( (T^{8} + \cdots + 687963618902016)^{2} \) (T^8 - 36788T^6 + 428847744T^4 - 1579444964352*T^2 + 687963618902016)^2
$5$	\( (T^{8} + \cdots + 23\!\cdots\!25)^{2} \) (T^8 + 300T^7 - 239260T^6 - 167587500T^5 - 32213906250T^4 - 65463867187500T^3 - 36508178710937500T^2 + 17881393432617187500*T + 23283064365386962890625)^2
$7$	\( (T^{8} + \cdots + 78\!\cdots\!36)^{2} \) (T^8 - 29602932T^6 + 257603521762944T^4 - 788274067574575991808*T^2 + 783595531978255640701403136)^2
$11$	\( (T^{8} + \cdots + 56\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 1423858368T^6 + 650634855071514624T^4 + 112170051822066462005133312*T^2 + 5621677198617040216489501504045056)^2
$13$	\( (T^{8} + \cdots + 45\!\cdots\!76)^{2} \) (T^8 + 3005461056T^6 + 2402597182145089536T^4 + 218683501384623562030841856*T^2 + 4546462391800083392191339142578176)^2
$17$	\( (T^{8} + \cdots + 64\!\cdots\!96)^{2} \) (T^8 + 30660109824T^6 + 249375450177262780416T^4 + 620874940720486387690833444864*T^2 + 64882484428770486055879973873066704896)^2
$19$	\( (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!16)^{2} \) (T^8 + 85181838528T^6 + 2066022384569367035904T^4 + 16208348276920229139051668570112*T^2 + 15765902540963885411900262031482805026816)^2
$23$	\( (T^{8} + \cdots + 65\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 - 109965646068T^6 + 3178889709200975735424T^4 - 9347352288468269703458126810112*T^2 + 6505884596096542611631004317590118957056)^2
$29$	\( (T^{4} + \cdots + 16\!\cdots\!56)^{4} \) (T^4 - 874392T^3 - 714725896616T^2 + 433397157161587872*T + 163503271989043929527056)^4
$31$	\( (T^{8} + \cdots + 21\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 2404670066688T^6 + 1899807901740583882850304T^4 + 526243951120459572127615039404244992*T^2 + 21307122888421429568725160773854811198121312256)^2
$37$	\( (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!00)^{2} \) (T^8 + 13342923670080T^6 + 55037242721907972570009600T^4 + 71966892577511526080804947077857280000*T^2 + 1539009781237036973561379378481258701520896000000)^2
$41$	\( (T^{4} + \cdots - 14\!\cdots\!44)^{4} \) (T^4 + 542292T^3 - 13009037357216T^2 - 26719157794048686672*T - 14429025651323523908960144)^4
$43$	\( (T^{8} + \cdots + 37\!\cdots\!76)^{2} \) (T^8 - 58990081892148T^6 + 839279207557470693776529024T^4 - 646284541716617387793491400234300951552*T^2 + 37929170421188258094412591014943054377166687666176)^2
$47$	\( (T^{8} + \cdots + 18\!\cdots\!96)^{2} \) (T^8 - 136108193940852T^6 + 5960022494793606329030872704T^4 - 88975280809285465380271552287545174166528*T^2 + 182360108855083152032292163468379900287839543081271296)^2
$53$	\( (T^{8} + \cdots + 58\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 189550039593024T^6 + 8563436006980556426125234176T^4 + 97587537119141895716979562005430379741184*T^2 + 58890062309993651135888422869681948608230195678150656)^2
$59$	\( (T^{8} + \cdots + 26\!\cdots\!36)^{2} \) (T^8 + 932406344257728T^6 + 291580604607211011554994192384T^4 + 31424586399944335668610627024411821009272832*T^2 + 260093180322366769215770427616222350331488385045874343936)^2
$61$	\( (T^{4} + \cdots + 44\!\cdots\!76)^{4} \) (T^4 + 5693164T^3 - 159671010769824T^2 - 267855114836094658736*T + 4466667385470498475485579376)^4
$67$	\( (T^{8} + \cdots + 15\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 - 1951000859062068T^6 + 886018863642167476439015313024T^4 - 117033495382902458625394598149777551593229312*T^2 + 1577341468018141307045184539219272972254767147950334509056)^2
$71$	\( (T^{8} + \cdots + 35\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 1470662200019712T^6 + 637866628192249126331997487104T^4 + 70624054404828146807952395285822029858603008*T^2 + 359245519134365297793997433448457225743918300746383097856)^2
$73$	\( (T^{8} + \cdots + 32\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 6171240287794944T^6 + 13367804180202314105818792329216T^4 + 11723216272913464219519486092618415315252936704*T^2 + 3277301761391512282996417751650903197013860379807658652205056)^2
$79$	\( (T^{8} + \cdots + 16\!\cdots\!00)^{2} \) (T^8 + 3598526154009600T^6 + 4393007114341500183946199040000T^4 + 1950416565823762847436379361301548236800000000*T^2 + 160496187878381310336665047380230762049149337600000000000000)^2
$83$	\( (T^{8} + \cdots + 22\!\cdots\!36)^{2} \) (T^8 - 5349102263694132T^6 + 8118895793374891104151585762944T^4 - 3790402992273244617539496769877498771619499008*T^2 + 229158283833770677164443934668988584502971159824268143067136)^2
$89$	\( (T^{4} + \cdots + 22\!\cdots\!56)^{4} \) (T^4 + 23562744T^3 - 3269613224618984T^2 - 30764721475230710155296*T + 2260280667494164830506867159056)^4
$97$	\( (T^{8} + \cdots + 68\!\cdots\!56)^{2} \) (T^8 + 49229284071983616T^6 + 786963612218073727842186370154496T^4 + 4628548019704423023616323635135832089530158022656*T^2 + 6837578801168637159517942735778691278117971291072796362964729856)^2
show more
show less

\(n\)	\(191\)	\(257\)	\(261\)
\(\chi(n)\)	\(-1\)	\(-1\)	\(1\)