# Properties

 Label 1400.2.bh.h Level $1400$ Weight $2$ Character orbit 1400.bh Analytic conductor $11.179$ Analytic rank $0$ Dimension $12$ CM no Inner twists $4$

# Related objects

## Newspace parameters

 Level: $$N$$ $$=$$ $$1400 = 2^{3} \cdot 5^{2} \cdot 7$$ Weight: $$k$$ $$=$$ $$2$$ Character orbit: $$[\chi]$$ $$=$$ 1400.bh (of order $$6$$, degree $$2$$, not minimal)

## Newform invariants

 Self dual: no Analytic conductor: $$11.1790562830$$ Analytic rank: $$0$$ Dimension: $$12$$ Relative dimension: $$6$$ over $$\Q(\zeta_{6})$$ Coefficient field: $$\Q(\zeta_{36})$$ Defining polynomial: $$x^{12} - x^{6} + 1$$ Coefficient ring: $$\Z[a_1, \ldots, a_{7}]$$ Coefficient ring index: $$1$$ Twist minimal: yes Sato-Tate group: $\mathrm{SU}(2)[C_{6}]$

## $q$-expansion

Coefficients of the $$q$$-expansion are expressed in terms of a primitive root of unity $$\zeta_{36}$$. We also show the integral $$q$$-expansion of the trace form.

 $$f(q)$$ $$=$$ $$q + ( \zeta_{36} + \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{11} ) q^{3} + ( -\zeta_{36} + 3 \zeta_{36}^{7} ) q^{7} + ( -2 \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{9} +O(q^{10})$$ $$q + ( \zeta_{36} + \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{11} ) q^{3} + ( -\zeta_{36} + 3 \zeta_{36}^{7} ) q^{7} + ( -2 \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{8} - 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{9} + ( 2 - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{11} + ( -3 \zeta_{36} + 3 \zeta_{36}^{5} + 4 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{11} ) q^{13} + ( 2 \zeta_{36}^{3} - 3 \zeta_{36}^{5} - 3 \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{17} + ( -3 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{8} - 3 \zeta_{36}^{10} ) q^{19} + ( -2 + 2 \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} + 3 \zeta_{36}^{10} ) q^{21} + ( \zeta_{36} - \zeta_{36}^{3} + 3 \zeta_{36}^{5} - 3 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{23} + ( -3 \zeta_{36}^{7} - 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{27} + ( -4 - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{8} + 2 \zeta_{36}^{10} ) q^{29} + ( 1 - 4 \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} + 3 \zeta_{36}^{8} + 3 \zeta_{36}^{10} ) q^{31} + ( -3 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{3} + 2 \zeta_{36}^{5} - 2 \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{9} + 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{33} + ( -4 \zeta_{36} - 2 \zeta_{36}^{3} - \zeta_{36}^{5} + \zeta_{36}^{7} + 2 \zeta_{36}^{9} + 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{37} + ( 2 - 7 \zeta_{36}^{4} - 2 \zeta_{36}^{6} + 7 \zeta_{36}^{8} + 7 \zeta_{36}^{10} ) q^{39} + ( 1 + \zeta_{36}^{2} + \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{8} - 3 \zeta_{36}^{10} ) q^{41} + ( -4 \zeta_{36} + 4 \zeta_{36}^{5} + 3 \zeta_{36}^{7} + 3 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{43} + ( 3 \zeta_{36} + 6 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{7} - 6 \zeta_{36}^{9} - 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{47} + ( -8 \zeta_{36}^{2} + 3 \zeta_{36}^{8} ) q^{49} + ( -8 \zeta_{36}^{2} + 2 \zeta_{36}^{4} + 5 \zeta_{36}^{6} + 2 \zeta_{36}^{8} - 8 \zeta_{36}^{10} ) q^{51} + ( 9 \zeta_{36} + 2 \zeta_{36}^{3} + 5 \zeta_{36}^{5} - 4 \zeta_{36}^{7} + 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{53} + ( 6 \zeta_{36} - 6 \zeta_{36}^{5} - 4 \zeta_{36}^{7} + 7 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{57} + ( -1 - 3 \zeta_{36}^{2} + 3 \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{6} ) q^{59} + ( -5 \zeta_{36}^{2} + 6 \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{6} + 6 \zeta_{36}^{8} - 5 \zeta_{36}^{10} ) q^{61} + ( -\zeta_{36}^{3} + 5 \zeta_{36}^{5} - 4 \zeta_{36}^{9} - \zeta_{36}^{11} ) q^{63} + ( -6 \zeta_{36} - 4 \zeta_{36}^{3} + 6 \zeta_{36}^{7} - 6 \zeta_{36}^{11} ) q^{67} + ( 4 - \zeta_{36}^{2} - \zeta_{36}^{4} + \zeta_{36}^{10} ) q^{69} + ( 3 - 6 \zeta_{36}^{2} - 6 \zeta_{36}^{4} + 6 \zeta_{36}^{10} ) q^{71} + ( 4 \zeta_{36} - 4 \zeta_{36}^{3} + 4 \zeta_{36}^{5} ) q^{73} + ( 4 \zeta_{36} - 5 \zeta_{36}^{3} - 5 \zeta_{36}^{5} + 2 \zeta_{36}^{7} + \zeta_{36}^{9} + \zeta_{36}^{11} ) q^{77} + ( \zeta_{36}^{4} - \zeta_{36}^{6} + \zeta_{36}^{8} ) q^{79} + ( 3 + 3 \zeta_{36}^{2} - 3 \zeta_{36}^{4} - 3 \zeta_{36}^{6} ) q^{81} + ( -5 \zeta_{36} + 5 \zeta_{36}^{5} + 3 \zeta_{36}^{7} - 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{83} + ( -4 \zeta_{36} - 7 \zeta_{36}^{3} + 4 \zeta_{36}^{7} - 4 \zeta_{36}^{11} ) q^{87} + ( -6 \zeta_{36}^{2} + 7 \zeta_{36}^{4} + 2 \zeta_{36}^{6} + 7 \zeta_{36}^{8} - 6 \zeta_{36}^{10} ) q^{89} + ( -11 - 9 \zeta_{36}^{2} + 5 \zeta_{36}^{6} - \zeta_{36}^{8} ) q^{91} + ( -2 \zeta_{36} - 4 \zeta_{36}^{3} + \zeta_{36}^{5} - \zeta_{36}^{7} + 4 \zeta_{36}^{9} + 2 \zeta_{36}^{11} ) q^{93} + ( -3 \zeta_{36} + 3 \zeta_{36}^{5} + 6 \zeta_{36}^{7} - 7 \zeta_{36}^{9} + 3 \zeta_{36}^{11} ) q^{97} + ( 3 - 2 \zeta_{36}^{2} - 2 \zeta_{36}^{4} + 7 \zeta_{36}^{8} - 5 \zeta_{36}^{10} ) q^{99} +O(q^{100})$$ $$\operatorname{Tr}(f)(q)$$ $$=$$ $$12q + O(q^{10})$$ $$12q + 12q^{11} + 12q^{19} - 30q^{21} - 48q^{29} + 6q^{31} + 12q^{39} + 12q^{41} + 30q^{51} - 6q^{59} - 18q^{61} + 48q^{69} + 36q^{71} - 6q^{79} + 18q^{81} + 12q^{89} - 102q^{91} + 36q^{99} + O(q^{100})$$

## Character values

We give the values of $$\chi$$ on generators for $$\left(\mathbb{Z}/1400\mathbb{Z}\right)^\times$$.

 $$n$$ $$351$$ $$701$$ $$801$$ $$1177$$ $$\chi(n)$$ $$1$$ $$1$$ $$-\zeta_{36}^{6}$$ $$-1$$

## Embeddings

For each embedding $$\iota_m$$ of the coefficient field, the values $$\iota_m(a_n)$$ are shown below.

For more information on an embedded modular form you can click on its label.

Label $$\iota_m(\nu)$$ $$a_{2}$$ $$a_{3}$$ $$a_{4}$$ $$a_{5}$$ $$a_{6}$$ $$a_{7}$$ $$a_{8}$$ $$a_{9}$$ $$a_{10}$$
249.1
 0.642788 − 0.766044i −0.984808 − 0.173648i −0.342020 − 0.939693i 0.342020 + 0.939693i 0.984808 + 0.173648i −0.642788 + 0.766044i 0.642788 + 0.766044i −0.984808 + 0.173648i −0.342020 + 0.939693i 0.342020 − 0.939693i 0.984808 − 0.173648i −0.642788 − 0.766044i
0 −2.19285 1.26604i 0 0 0 2.31164 + 1.28699i 0 1.70574 + 2.95442i 0
249.2 0 −1.16679 0.673648i 0 0 0 −0.0412527 2.64543i 0 −0.592396 1.02606i 0
249.3 0 −0.761570 0.439693i 0 0 0 2.27038 1.35844i 0 −1.11334 1.92836i 0
249.4 0 0.761570 + 0.439693i 0 0 0 −2.27038 + 1.35844i 0 −1.11334 1.92836i 0
249.5 0 1.16679 + 0.673648i 0 0 0 0.0412527 + 2.64543i 0 −0.592396 1.02606i 0
249.6 0 2.19285 + 1.26604i 0 0 0 −2.31164 1.28699i 0 1.70574 + 2.95442i 0
849.1 0 −2.19285 + 1.26604i 0 0 0 2.31164 1.28699i 0 1.70574 2.95442i 0
849.2 0 −1.16679 + 0.673648i 0 0 0 −0.0412527 + 2.64543i 0 −0.592396 + 1.02606i 0
849.3 0 −0.761570 + 0.439693i 0 0 0 2.27038 + 1.35844i 0 −1.11334 + 1.92836i 0
849.4 0 0.761570 0.439693i 0 0 0 −2.27038 1.35844i 0 −1.11334 + 1.92836i 0
849.5 0 1.16679 0.673648i 0 0 0 0.0412527 2.64543i 0 −0.592396 + 1.02606i 0
849.6 0 2.19285 1.26604i 0 0 0 −2.31164 + 1.28699i 0 1.70574 2.95442i 0
 $$n$$: e.g. 2-40 or 990-1000 Embeddings: e.g. 1-3 or 849.6 Significant digits: Format: Complex embeddings Normalized embeddings Satake parameters Satake angles

## Inner twists

Char Parity Ord Mult Type
1.a even 1 1 trivial
5.b even 2 1 inner
7.c even 3 1 inner
35.j even 6 1 inner

## Twists

By twisting character orbit
Char Parity Ord Mult Type Twist Min Dim
1.a even 1 1 trivial 1400.2.bh.h 12
5.b even 2 1 inner 1400.2.bh.h 12
5.c odd 4 1 1400.2.q.i 6
5.c odd 4 1 1400.2.q.k yes 6
7.c even 3 1 inner 1400.2.bh.h 12
35.j even 6 1 inner 1400.2.bh.h 12
35.k even 12 1 9800.2.a.cb 3
35.k even 12 1 9800.2.a.ch 3
35.l odd 12 1 1400.2.q.i 6
35.l odd 12 1 1400.2.q.k yes 6
35.l odd 12 1 9800.2.a.cc 3
35.l odd 12 1 9800.2.a.ci 3

By twisted newform orbit
Twist Min Dim Char Parity Ord Mult Type
1400.2.q.i 6 5.c odd 4 1
1400.2.q.i 6 35.l odd 12 1
1400.2.q.k yes 6 5.c odd 4 1
1400.2.q.k yes 6 35.l odd 12 1
1400.2.bh.h 12 1.a even 1 1 trivial
1400.2.bh.h 12 5.b even 2 1 inner
1400.2.bh.h 12 7.c even 3 1 inner
1400.2.bh.h 12 35.j even 6 1 inner
9800.2.a.cb 3 35.k even 12 1
9800.2.a.cc 3 35.l odd 12 1
9800.2.a.ch 3 35.k even 12 1
9800.2.a.ci 3 35.l odd 12 1

## Hecke kernels

This newform subspace can be constructed as the intersection of the kernels of the following linear operators acting on $$S_{2}^{\mathrm{new}}(1400, [\chi])$$:

 $$T_{3}^{12} - 9 T_{3}^{10} + 63 T_{3}^{8} - 144 T_{3}^{6} + 243 T_{3}^{4} - 162 T_{3}^{2} + 81$$ $$T_{11}^{6} - 6 T_{11}^{5} + 33 T_{11}^{4} - 56 T_{11}^{3} + 123 T_{11}^{2} + 57 T_{11} + 361$$

## Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ $$T^{12}$$
$3$ $$81 - 162 T^{2} + 243 T^{4} - 144 T^{6} + 63 T^{8} - 9 T^{10} + T^{12}$$
$5$ $$T^{12}$$
$7$ $$117649 + 683 T^{6} + T^{12}$$
$11$ $$( 361 + 57 T + 123 T^{2} - 56 T^{3} + 33 T^{4} - 6 T^{5} + T^{6} )^{2}$$
$13$ $$( 361 + 1521 T^{2} + 78 T^{4} + T^{6} )^{2}$$
$17$ $$130321 - 163533 T^{2} + 181383 T^{4} - 29176 T^{6} + 3903 T^{8} - 66 T^{10} + T^{12}$$
$19$ $$( 289 - 153 T + 183 T^{2} + 20 T^{3} + 45 T^{4} - 6 T^{5} + T^{6} )^{2}$$
$23$ $$83521 - 64158 T^{2} + 36279 T^{4} - 9412 T^{6} + 1803 T^{8} - 45 T^{10} + T^{12}$$
$29$ $$( 19 + 39 T + 12 T^{2} + T^{3} )^{4}$$
$31$ $$( 361 - 684 T + 1353 T^{2} + 70 T^{3} + 45 T^{4} - 3 T^{5} + T^{6} )^{2}$$
$37$ $$6765201 - 3487941 T^{2} + 1564191 T^{4} - 115488 T^{6} + 6759 T^{8} - 90 T^{10} + T^{12}$$
$41$ $$( 57 - 18 T - 3 T^{2} + T^{3} )^{4}$$
$43$ $$( 32041 + 3366 T^{2} + 105 T^{4} + T^{6} )^{2}$$
$47$ $$131079601 - 42555933 T^{2} + 12098739 T^{4} - 534652 T^{6} + 18783 T^{8} - 150 T^{10} + T^{12}$$
$53$ $$1345435285041 - 48908406285 T^{2} + 1339434063 T^{4} - 13618512 T^{6} + 100719 T^{8} - 378 T^{10} + T^{12}$$
$59$ $$( 2809 + 1272 T + 735 T^{2} + 34 T^{3} + 33 T^{4} + 3 T^{5} + T^{6} )^{2}$$
$61$ $$( 1369 - 2442 T + 4023 T^{2} - 668 T^{3} + 147 T^{4} + 9 T^{5} + T^{6} )^{2}$$
$67$ $$116319195136 - 6008042496 T^{2} + 220284672 T^{4} - 3968512 T^{6} + 52080 T^{8} - 264 T^{10} + T^{12}$$
$71$ $$( 513 - 81 T - 9 T^{2} + T^{3} )^{4}$$
$73$ $$1358954496 - 169869312 T^{2} + 15925248 T^{4} - 589824 T^{6} + 16128 T^{8} - 144 T^{10} + T^{12}$$
$79$ $$( 9 + 9 T^{2} + 6 T^{3} + 9 T^{4} + 3 T^{5} + T^{6} )^{2}$$
$83$ $$( 26569 + 3249 T^{2} + 114 T^{4} + T^{6} )^{2}$$
$89$ $$( 488601 - 81783 T + 17883 T^{2} - 696 T^{3} + 153 T^{4} - 6 T^{5} + T^{6} )^{2}$$
$97$ $$( 218089 + 23970 T^{2} + 309 T^{4} + T^{6} )^{2}$$