| L(s) = 1 | − 45·3-s − 6·5-s − 54·7-s + 1.21e3·9-s − 272·11-s + 440·13-s + 270·15-s + 1.94e3·17-s − 1.80e3·19-s + 2.43e3·21-s − 3.22e3·23-s − 4.13e3·25-s − 2.55e4·27-s + 7.52e3·29-s − 1.17e4·31-s + 1.22e4·33-s + 324·35-s + 1.77e4·37-s − 1.98e4·39-s + 1.07e4·41-s − 2.19e4·43-s − 7.29e3·45-s − 1.01e4·47-s − 3.98e4·49-s − 8.73e4·51-s − 1.67e3·53-s + 1.63e3·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.88·3-s − 0.107·5-s − 0.416·7-s + 5·9-s − 0.677·11-s + 0.722·13-s + 0.309·15-s + 1.62·17-s − 1.14·19-s + 1.20·21-s − 1.27·23-s − 1.32·25-s − 6.73·27-s + 1.66·29-s − 2.20·31-s + 1.95·33-s + 0.0447·35-s + 2.13·37-s − 2.08·39-s + 0.997·41-s − 1.80·43-s − 0.536·45-s − 0.672·47-s − 2.36·49-s − 4.69·51-s − 0.0819·53-s + 0.0727·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 19^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{20} \cdot 3^{5} \cdot 19^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(0.7004939346\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(0.7004939346\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| 19 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| good | 5 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 6 T + 4174 T^{2} + 167232 T^{3} + 4477517 p T^{4} + 337419252 T^{5} + 4477517 p^{6} T^{6} + 167232 p^{10} T^{7} + 4174 p^{15} T^{8} + 6 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 54 T + 42724 T^{2} + 555500 p T^{3} + 951276223 T^{4} + 14371565300 p T^{5} + 951276223 p^{5} T^{6} + 555500 p^{11} T^{7} + 42724 p^{15} T^{8} + 54 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 272 T + 348988 T^{2} + 47338738 T^{3} + 90451417543 T^{4} + 15919451879532 T^{5} + 90451417543 p^{5} T^{6} + 47338738 p^{10} T^{7} + 348988 p^{15} T^{8} + 272 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 440 T + 671777 T^{2} + 1093424 T^{3} + 112809717434 T^{4} + 114125653550864 T^{5} + 112809717434 p^{5} T^{6} + 1093424 p^{10} T^{7} + 671777 p^{15} T^{8} - 440 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1940 T + 3100318 T^{2} - 6446231038 T^{3} + 9055795303009 T^{4} - 10336644273104412 T^{5} + 9055795303009 p^{5} T^{6} - 6446231038 p^{10} T^{7} + 3100318 p^{15} T^{8} - 1940 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 3224 T + 1002521 p T^{2} + 69565005568 T^{3} + 236354027208070 T^{4} + 629834586927810000 T^{5} + 236354027208070 p^{5} T^{6} + 69565005568 p^{10} T^{7} + 1002521 p^{16} T^{8} + 3224 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 7524 T + 100762969 T^{2} - 545870150928 T^{3} + 141236888927642 p T^{4} - 16176898704413907288 T^{5} + 141236888927642 p^{6} T^{6} - 545870150928 p^{10} T^{7} + 100762969 p^{15} T^{8} - 7524 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 11774 T + 2366105 p T^{2} + 403969245520 T^{3} + 2544016827694982 T^{4} + 14631260897635756132 T^{5} + 2544016827694982 p^{5} T^{6} + 403969245520 p^{10} T^{7} + 2366105 p^{16} T^{8} + 11774 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 480 p T + 9248473 p T^{2} - 4124223652112 T^{3} + 47040771255678982 T^{4} - \)\(40\!\cdots\!72\)\( T^{5} + 47040771255678982 p^{5} T^{6} - 4124223652112 p^{10} T^{7} + 9248473 p^{16} T^{8} - 480 p^{21} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 10736 T + 254132521 T^{2} - 1469470954816 T^{3} + 47041975502580478 T^{4} - \)\(33\!\cdots\!36\)\( T^{5} + 47041975502580478 p^{5} T^{6} - 1469470954816 p^{10} T^{7} + 254132521 p^{15} T^{8} - 10736 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 21914 T + 609927344 T^{2} + 9984794111320 T^{3} + 155256429374133059 T^{4} + \)\(19\!\cdots\!64\)\( T^{5} + 155256429374133059 p^{5} T^{6} + 9984794111320 p^{10} T^{7} + 609927344 p^{15} T^{8} + 21914 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 10190 T + 413539168 T^{2} + 3077696292676 T^{3} + 86311799672167807 T^{4} + \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{5} + 86311799672167807 p^{5} T^{6} + 3077696292676 p^{10} T^{7} + 413539168 p^{15} T^{8} + 10190 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 1676 T + 930237841 T^{2} - 183186585392 T^{3} + 508931420345668018 T^{4} - \)\(55\!\cdots\!28\)\( T^{5} + 508931420345668018 p^{5} T^{6} - 183186585392 p^{10} T^{7} + 930237841 p^{15} T^{8} + 1676 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 54920 T + 4032301831 T^{2} + 142637638932448 T^{3} + 5936169170196080266 T^{4} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{5} + 5936169170196080266 p^{5} T^{6} + 142637638932448 p^{10} T^{7} + 4032301831 p^{15} T^{8} + 54920 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 39268 T + 1032195594 T^{2} - 16517051024766 T^{3} + 1155408271991958789 T^{4} - \)\(39\!\cdots\!76\)\( T^{5} + 1155408271991958789 p^{5} T^{6} - 16517051024766 p^{10} T^{7} + 1032195594 p^{15} T^{8} - 39268 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 104168 T + 9820854575 T^{2} + 595764236929504 T^{3} + 30774734884755872330 T^{4} + \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{5} + 30774734884755872330 p^{5} T^{6} + 595764236929504 p^{10} T^{7} + 9820854575 p^{15} T^{8} + 104168 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 50620 T + 4163578291 T^{2} + 152877559526480 T^{3} + 10525877738886870874 T^{4} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( T^{5} + 10525877738886870874 p^{5} T^{6} + 152877559526480 p^{10} T^{7} + 4163578291 p^{15} T^{8} + 50620 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 98616 T + 10400274718 T^{2} - 681640510794830 T^{3} + 43646741943155854561 T^{4} - \)\(20\!\cdots\!00\)\( T^{5} + 43646741943155854561 p^{5} T^{6} - 681640510794830 p^{10} T^{7} + 10400274718 p^{15} T^{8} - 98616 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 115782 T + 15357325435 T^{2} + 1082431719442088 T^{3} + 84045690174397672378 T^{4} + \)\(44\!\cdots\!12\)\( T^{5} + 84045690174397672378 p^{5} T^{6} + 1082431719442088 p^{10} T^{7} + 15357325435 p^{15} T^{8} + 115782 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 143266 T + 19212205519 T^{2} + 1421278901499992 T^{3} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( T^{4} + \)\(63\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(11\!\cdots\!06\)\( p^{5} T^{6} + 1421278901499992 p^{10} T^{7} + 19212205519 p^{15} T^{8} + 143266 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 88112 T + 20316712693 T^{2} - 1251173601908896 T^{3} + \)\(17\!\cdots\!74\)\( T^{4} - \)\(84\!\cdots\!44\)\( T^{5} + \)\(17\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{6} - 1251173601908896 p^{10} T^{7} + 20316712693 p^{15} T^{8} - 88112 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 186490 T + 33407830797 T^{2} - 3663747789310392 T^{3} + \)\(49\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(45\!\cdots\!68\)\( T^{5} + \)\(49\!\cdots\!26\)\( p^{5} T^{6} - 3663747789310392 p^{10} T^{7} + 33407830797 p^{15} T^{8} - 186490 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.22466509950016627852883487577, −5.19545739205100279444358378572, −5.13325446023857326964874900353, −4.95543477296360769315175367153, −4.67749732534405061645572797405, −4.27417232573180738216472054710, −4.21936332544465385039572758238, −4.05267100668730309774171914286, −3.95532088734858498051607414855, −3.92558402818183390466584910591, −3.31368105978273081104625061505, −3.00866459229885942021109290571, −2.99678311188604170920425163613, −2.96677996513762450044935713462, −2.61401352105075680134357150636, −1.89733947332819611050179490605, −1.88240262406042794734127485130, −1.71355071877995380878807591149, −1.53131708063580776788055607568, −1.51764290810310305690698715774, −0.920034916717532225100978235809, −0.68137335308781733396175407837, −0.50111252830686095645988873232, −0.38526182465565005230588022823, −0.15468998892772487558383385507,
0.15468998892772487558383385507, 0.38526182465565005230588022823, 0.50111252830686095645988873232, 0.68137335308781733396175407837, 0.920034916717532225100978235809, 1.51764290810310305690698715774, 1.53131708063580776788055607568, 1.71355071877995380878807591149, 1.88240262406042794734127485130, 1.89733947332819611050179490605, 2.61401352105075680134357150636, 2.96677996513762450044935713462, 2.99678311188604170920425163613, 3.00866459229885942021109290571, 3.31368105978273081104625061505, 3.92558402818183390466584910591, 3.95532088734858498051607414855, 4.05267100668730309774171914286, 4.21936332544465385039572758238, 4.27417232573180738216472054710, 4.67749732534405061645572797405, 4.95543477296360769315175367153, 5.13325446023857326964874900353, 5.19545739205100279444358378572, 5.22466509950016627852883487577
