Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 4·5-s + 15·7-s + 12·9-s + 2·11-s + 4·13-s + 7·17-s − 5·19-s − 16·23-s + 18·25-s − 27-s + 16·29-s + 31-s − 60·35-s + 14·37-s − 5·41-s + 28·43-s − 48·45-s − 4·47-s + 128·49-s − 8·55-s + 42·59-s + 27·61-s + 180·63-s − 16·65-s − 34·67-s + 32·71-s − 7·73-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 1.78·5-s + 5.66·7-s + 4·9-s + 0.603·11-s + 1.10·13-s + 1.69·17-s − 1.14·19-s − 3.33·23-s + 18/5·25-s − 0.192·27-s + 2.97·29-s + 0.179·31-s − 10.1·35-s + 2.30·37-s − 0.780·41-s + 4.26·43-s − 7.15·45-s − 0.583·47-s + 18.2·49-s − 1.07·55-s + 5.46·59-s + 3.45·61-s + 22.6·63-s − 1.98·65-s − 4.15·67-s + 3.79·71-s − 0.819·73-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 11^{20} \cdot 19^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{40} \cdot 11^{20} \cdot 19^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(2^{40} \cdot 11^{20} \cdot 19^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.08793\times 10^{16}\) |
| Root analytic conductor: | \(2.58369\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 2^{40} \cdot 11^{20} \cdot 19^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(987.5183584\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(987.5183584\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 11 | \( 1 - 2 T - 3 T^{2} - 7 p T^{3} + 287 T^{4} - 224 T^{5} + 2986 T^{6} - 17961 T^{7} + 29686 T^{8} - 112931 T^{9} + 746671 T^{10} - 112931 p T^{11} + 29686 p^{2} T^{12} - 17961 p^{3} T^{13} + 2986 p^{4} T^{14} - 224 p^{5} T^{15} + 287 p^{6} T^{16} - 7 p^{8} T^{17} - 3 p^{8} T^{18} - 2 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} \) | |
| 19 | \( ( 1 + T + T^{2} + T^{3} + T^{4} )^{5} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 4 p T^{2} + T^{3} + 22 p T^{4} - 2 T^{5} - 26 p^{2} T^{6} - 113 T^{7} + 649 T^{8} + 356 p T^{9} - 1336 T^{10} - 1666 p T^{11} + 212 T^{12} + 17245 T^{13} + 15542 T^{14} - 52250 T^{15} - 90584 T^{16} + 41257 p T^{17} + 112538 p T^{18} - 5258 p^{3} T^{19} - 116795 p^{2} T^{20} - 5258 p^{4} T^{21} + 112538 p^{3} T^{22} + 41257 p^{4} T^{23} - 90584 p^{4} T^{24} - 52250 p^{5} T^{25} + 15542 p^{6} T^{26} + 17245 p^{7} T^{27} + 212 p^{8} T^{28} - 1666 p^{10} T^{29} - 1336 p^{10} T^{30} + 356 p^{12} T^{31} + 649 p^{12} T^{32} - 113 p^{13} T^{33} - 26 p^{16} T^{34} - 2 p^{15} T^{35} + 22 p^{17} T^{36} + p^{17} T^{37} - 4 p^{19} T^{38} + p^{20} T^{40} \) |
| 5 | \( 1 + 4 T - 2 T^{2} - 17 T^{3} + 7 p T^{4} + 178 T^{5} + 174 T^{6} - 392 T^{7} - 281 p T^{8} + 698 T^{9} + 2853 p T^{10} + 19519 T^{11} - 69104 T^{12} - 150148 T^{13} + 232593 T^{14} + 1007201 T^{15} + 978714 T^{16} - 2915536 T^{17} - 8545814 T^{18} + 2533471 p T^{19} + 77779111 T^{20} + 2533471 p^{2} T^{21} - 8545814 p^{2} T^{22} - 2915536 p^{3} T^{23} + 978714 p^{4} T^{24} + 1007201 p^{5} T^{25} + 232593 p^{6} T^{26} - 150148 p^{7} T^{27} - 69104 p^{8} T^{28} + 19519 p^{9} T^{29} + 2853 p^{11} T^{30} + 698 p^{11} T^{31} - 281 p^{13} T^{32} - 392 p^{13} T^{33} + 174 p^{14} T^{34} + 178 p^{15} T^{35} + 7 p^{17} T^{36} - 17 p^{17} T^{37} - 2 p^{18} T^{38} + 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 7 | \( 1 - 15 T + 97 T^{2} - 354 T^{3} + 893 T^{4} - 296 p T^{5} + 3098 T^{6} + 11400 T^{7} - 12784 p T^{8} + 40049 p T^{9} - 653336 T^{10} + 1316922 T^{11} - 29551 T^{12} - 13702449 T^{13} + 55902771 T^{14} - 143323695 T^{15} + 303757962 T^{16} - 287543299 T^{17} - 1327383118 T^{18} + 7309077273 T^{19} - 21879860103 T^{20} + 7309077273 p T^{21} - 1327383118 p^{2} T^{22} - 287543299 p^{3} T^{23} + 303757962 p^{4} T^{24} - 143323695 p^{5} T^{25} + 55902771 p^{6} T^{26} - 13702449 p^{7} T^{27} - 29551 p^{8} T^{28} + 1316922 p^{9} T^{29} - 653336 p^{10} T^{30} + 40049 p^{12} T^{31} - 12784 p^{13} T^{32} + 11400 p^{13} T^{33} + 3098 p^{14} T^{34} - 296 p^{16} T^{35} + 893 p^{16} T^{36} - 354 p^{17} T^{37} + 97 p^{18} T^{38} - 15 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - 4 T - 40 T^{2} + 9 p T^{3} + 80 p T^{4} - 1500 T^{5} - 22261 T^{6} + 10991 T^{7} + 374593 T^{8} + 87563 T^{9} - 439923 p T^{10} - 3103798 T^{11} + 82949450 T^{12} + 43873702 T^{13} - 1172437644 T^{14} - 482880808 T^{15} + 15947507552 T^{16} + 3428813594 T^{17} - 204768718175 T^{18} - 15190861597 T^{19} + 2647621355999 T^{20} - 15190861597 p T^{21} - 204768718175 p^{2} T^{22} + 3428813594 p^{3} T^{23} + 15947507552 p^{4} T^{24} - 482880808 p^{5} T^{25} - 1172437644 p^{6} T^{26} + 43873702 p^{7} T^{27} + 82949450 p^{8} T^{28} - 3103798 p^{9} T^{29} - 439923 p^{11} T^{30} + 87563 p^{11} T^{31} + 374593 p^{12} T^{32} + 10991 p^{13} T^{33} - 22261 p^{14} T^{34} - 1500 p^{15} T^{35} + 80 p^{17} T^{36} + 9 p^{18} T^{37} - 40 p^{18} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 - 7 T - 23 T^{2} + 285 T^{3} - 6 T^{4} - 3617 T^{5} - 5237 T^{6} + 43191 T^{7} + 160875 T^{8} - 461208 T^{9} + 2226451 T^{10} - 31696885 T^{11} - 18078527 T^{12} + 936341175 T^{13} - 539164375 T^{14} - 10905988516 T^{15} - 20962164771 T^{16} + 217787930185 T^{17} + 272055685560 T^{18} - 2496021585139 T^{19} + 3826553841297 T^{20} - 2496021585139 p T^{21} + 272055685560 p^{2} T^{22} + 217787930185 p^{3} T^{23} - 20962164771 p^{4} T^{24} - 10905988516 p^{5} T^{25} - 539164375 p^{6} T^{26} + 936341175 p^{7} T^{27} - 18078527 p^{8} T^{28} - 31696885 p^{9} T^{29} + 2226451 p^{10} T^{30} - 461208 p^{11} T^{31} + 160875 p^{12} T^{32} + 43191 p^{13} T^{33} - 5237 p^{14} T^{34} - 3617 p^{15} T^{35} - 6 p^{16} T^{36} + 285 p^{17} T^{37} - 23 p^{18} T^{38} - 7 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 23 | \( ( 1 + 8 T + 144 T^{2} + 774 T^{3} + 8869 T^{4} + 36904 T^{5} + 360620 T^{6} + 1275567 T^{7} + 11399714 T^{8} + 35662549 T^{9} + 290814219 T^{10} + 35662549 p T^{11} + 11399714 p^{2} T^{12} + 1275567 p^{3} T^{13} + 360620 p^{4} T^{14} + 36904 p^{5} T^{15} + 8869 p^{6} T^{16} + 774 p^{7} T^{17} + 144 p^{8} T^{18} + 8 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 29 | \( 1 - 16 T + 49 T^{2} + 549 T^{3} - 5004 T^{4} + 12333 T^{5} + 52240 T^{6} - 614565 T^{7} + 1830321 T^{8} + 10593647 T^{9} - 110078859 T^{10} + 393422963 T^{11} + 951921211 T^{12} - 30605226808 T^{13} + 186761857254 T^{14} - 67383905744 T^{15} - 4084086678800 T^{16} + 20567255839988 T^{17} - 43491086248779 T^{18} - 180504109338599 T^{19} + 2235300797677873 T^{20} - 180504109338599 p T^{21} - 43491086248779 p^{2} T^{22} + 20567255839988 p^{3} T^{23} - 4084086678800 p^{4} T^{24} - 67383905744 p^{5} T^{25} + 186761857254 p^{6} T^{26} - 30605226808 p^{7} T^{27} + 951921211 p^{8} T^{28} + 393422963 p^{9} T^{29} - 110078859 p^{10} T^{30} + 10593647 p^{11} T^{31} + 1830321 p^{12} T^{32} - 614565 p^{13} T^{33} + 52240 p^{14} T^{34} + 12333 p^{15} T^{35} - 5004 p^{16} T^{36} + 549 p^{17} T^{37} + 49 p^{18} T^{38} - 16 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 - T + 6 T^{2} + 188 T^{3} - 500 T^{4} - 3447 T^{5} + 56653 T^{6} - 165640 T^{7} + 213620 T^{8} + 12349332 T^{9} - 5317754 T^{10} - 103437840 T^{11} + 2862401302 T^{12} - 4585673630 T^{13} - 4605844646 T^{14} + 257365072408 T^{15} + 358830473563 T^{16} - 6112848115923 T^{17} + 65090355987295 T^{18} + 129476233340703 T^{19} + 85985783316471 T^{20} + 129476233340703 p T^{21} + 65090355987295 p^{2} T^{22} - 6112848115923 p^{3} T^{23} + 358830473563 p^{4} T^{24} + 257365072408 p^{5} T^{25} - 4605844646 p^{6} T^{26} - 4585673630 p^{7} T^{27} + 2862401302 p^{8} T^{28} - 103437840 p^{9} T^{29} - 5317754 p^{10} T^{30} + 12349332 p^{11} T^{31} + 213620 p^{12} T^{32} - 165640 p^{13} T^{33} + 56653 p^{14} T^{34} - 3447 p^{15} T^{35} - 500 p^{16} T^{36} + 188 p^{17} T^{37} + 6 p^{18} T^{38} - p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 - 14 T + 12 T^{2} + 1143 T^{3} - 10065 T^{4} + 46506 T^{5} - 44645 T^{6} - 3418506 T^{7} + 47360834 T^{8} - 243430428 T^{9} - 153856226 T^{10} + 11647847710 T^{11} - 2934420443 p T^{12} + 583844178202 T^{13} - 366153549540 T^{14} - 24302257987777 T^{15} + 230325971451994 T^{16} - 1025877582919245 T^{17} + 12669666548673 T^{18} + 39149001518751703 T^{19} - 339298773001696813 T^{20} + 39149001518751703 p T^{21} + 12669666548673 p^{2} T^{22} - 1025877582919245 p^{3} T^{23} + 230325971451994 p^{4} T^{24} - 24302257987777 p^{5} T^{25} - 366153549540 p^{6} T^{26} + 583844178202 p^{7} T^{27} - 2934420443 p^{9} T^{28} + 11647847710 p^{9} T^{29} - 153856226 p^{10} T^{30} - 243430428 p^{11} T^{31} + 47360834 p^{12} T^{32} - 3418506 p^{13} T^{33} - 44645 p^{14} T^{34} + 46506 p^{15} T^{35} - 10065 p^{16} T^{36} + 1143 p^{17} T^{37} + 12 p^{18} T^{38} - 14 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 + 5 T - 62 T^{2} - 1227 T^{3} - 5470 T^{4} + 85534 T^{5} + 1027628 T^{6} + 2107591 T^{7} - 62708750 T^{8} - 611439032 T^{9} - 90677436 T^{10} + 35442671616 T^{11} + 260503842324 T^{12} - 312887135638 T^{13} - 16022149987891 T^{14} - 85425217584988 T^{15} + 243575240344698 T^{16} + 5683431363332775 T^{17} + 22848043269077160 T^{18} - 115248438338472186 T^{19} - 1632946883381029063 T^{20} - 115248438338472186 p T^{21} + 22848043269077160 p^{2} T^{22} + 5683431363332775 p^{3} T^{23} + 243575240344698 p^{4} T^{24} - 85425217584988 p^{5} T^{25} - 16022149987891 p^{6} T^{26} - 312887135638 p^{7} T^{27} + 260503842324 p^{8} T^{28} + 35442671616 p^{9} T^{29} - 90677436 p^{10} T^{30} - 611439032 p^{11} T^{31} - 62708750 p^{12} T^{32} + 2107591 p^{13} T^{33} + 1027628 p^{14} T^{34} + 85534 p^{15} T^{35} - 5470 p^{16} T^{36} - 1227 p^{17} T^{37} - 62 p^{18} T^{38} + 5 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( ( 1 - 14 T + 279 T^{2} - 2793 T^{3} + 33002 T^{4} - 256345 T^{5} + 2308990 T^{6} - 14965687 T^{7} + 116988480 T^{8} - 15996650 p T^{9} + 5155425167 T^{10} - 15996650 p^{2} T^{11} + 116988480 p^{2} T^{12} - 14965687 p^{3} T^{13} + 2308990 p^{4} T^{14} - 256345 p^{5} T^{15} + 33002 p^{6} T^{16} - 2793 p^{7} T^{17} + 279 p^{8} T^{18} - 14 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 47 | \( 1 + 4 T - 87 T^{2} + 323 T^{3} + 6115 T^{4} - 71119 T^{5} - 144827 T^{6} + 122963 p T^{7} - 21657983 T^{8} - 241969462 T^{9} + 2874262745 T^{10} - 51895711 T^{11} - 176453627247 T^{12} + 877011271346 T^{13} + 5336543312881 T^{14} - 73091282302958 T^{15} + 104870033642854 T^{16} + 3466669896901382 T^{17} - 20935326210109867 T^{18} - 69167767637255808 T^{19} + 1295063583861656721 T^{20} - 69167767637255808 p T^{21} - 20935326210109867 p^{2} T^{22} + 3466669896901382 p^{3} T^{23} + 104870033642854 p^{4} T^{24} - 73091282302958 p^{5} T^{25} + 5336543312881 p^{6} T^{26} + 877011271346 p^{7} T^{27} - 176453627247 p^{8} T^{28} - 51895711 p^{9} T^{29} + 2874262745 p^{10} T^{30} - 241969462 p^{11} T^{31} - 21657983 p^{12} T^{32} + 122963 p^{14} T^{33} - 144827 p^{14} T^{34} - 71119 p^{15} T^{35} + 6115 p^{16} T^{36} + 323 p^{17} T^{37} - 87 p^{18} T^{38} + 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 - 105 T^{2} + 234 T^{3} + 11886 T^{4} - 61926 T^{5} - 1023261 T^{6} + 6663959 T^{7} + 66805878 T^{8} - 639440924 T^{9} - 3048034110 T^{10} + 50356173540 T^{11} + 98952068089 T^{12} - 3213562867743 T^{13} + 2203322966209 T^{14} + 158888885713776 T^{15} - 588470541182604 T^{16} - 6528873191603698 T^{17} + 50128467141577099 T^{18} + 128531197512873678 T^{19} - 2929966793220348939 T^{20} + 128531197512873678 p T^{21} + 50128467141577099 p^{2} T^{22} - 6528873191603698 p^{3} T^{23} - 588470541182604 p^{4} T^{24} + 158888885713776 p^{5} T^{25} + 2203322966209 p^{6} T^{26} - 3213562867743 p^{7} T^{27} + 98952068089 p^{8} T^{28} + 50356173540 p^{9} T^{29} - 3048034110 p^{10} T^{30} - 639440924 p^{11} T^{31} + 66805878 p^{12} T^{32} + 6663959 p^{13} T^{33} - 1023261 p^{14} T^{34} - 61926 p^{15} T^{35} + 11886 p^{16} T^{36} + 234 p^{17} T^{37} - 105 p^{18} T^{38} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 42 T + 936 T^{2} - 14372 T^{3} + 174057 T^{4} - 1787160 T^{5} + 16002696 T^{6} - 125866460 T^{7} + 893697851 T^{8} - 6148405979 T^{9} + 43613653349 T^{10} - 322571237619 T^{11} + 2470646226976 T^{12} - 19505491562322 T^{13} + 147661273823207 T^{14} - 975530976347641 T^{15} + 5293650003110984 T^{16} - 21362451103408207 T^{17} + 18200754697456297 T^{18} + 824823760876015922 T^{19} - 9418926175575771197 T^{20} + 824823760876015922 p T^{21} + 18200754697456297 p^{2} T^{22} - 21362451103408207 p^{3} T^{23} + 5293650003110984 p^{4} T^{24} - 975530976347641 p^{5} T^{25} + 147661273823207 p^{6} T^{26} - 19505491562322 p^{7} T^{27} + 2470646226976 p^{8} T^{28} - 322571237619 p^{9} T^{29} + 43613653349 p^{10} T^{30} - 6148405979 p^{11} T^{31} + 893697851 p^{12} T^{32} - 125866460 p^{13} T^{33} + 16002696 p^{14} T^{34} - 1787160 p^{15} T^{35} + 174057 p^{16} T^{36} - 14372 p^{17} T^{37} + 936 p^{18} T^{38} - 42 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 27 T + 53 T^{2} + 4474 T^{3} - 20931 T^{4} - 611460 T^{5} + 4547696 T^{6} + 950224 p T^{7} - 603266127 T^{8} - 4493494892 T^{9} + 63626846471 T^{10} + 284276692035 T^{11} - 5606684834686 T^{12} - 14992282798078 T^{13} + 434045804114172 T^{14} + 630441127512832 T^{15} - 30199077301934958 T^{16} - 22304708044709611 T^{17} + 1984757657557610663 T^{18} + 339572974352440303 T^{19} - \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{20} + 339572974352440303 p T^{21} + 1984757657557610663 p^{2} T^{22} - 22304708044709611 p^{3} T^{23} - 30199077301934958 p^{4} T^{24} + 630441127512832 p^{5} T^{25} + 434045804114172 p^{6} T^{26} - 14992282798078 p^{7} T^{27} - 5606684834686 p^{8} T^{28} + 284276692035 p^{9} T^{29} + 63626846471 p^{10} T^{30} - 4493494892 p^{11} T^{31} - 603266127 p^{12} T^{32} + 950224 p^{14} T^{33} + 4547696 p^{14} T^{34} - 611460 p^{15} T^{35} - 20931 p^{16} T^{36} + 4474 p^{17} T^{37} + 53 p^{18} T^{38} - 27 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( ( 1 + 17 T + 510 T^{2} + 7143 T^{3} + 123726 T^{4} + 1455628 T^{5} + 18872238 T^{6} + 189851182 T^{7} + 2010596095 T^{8} + 17452809361 T^{9} + 156550526637 T^{10} + 17452809361 p T^{11} + 2010596095 p^{2} T^{12} + 189851182 p^{3} T^{13} + 18872238 p^{4} T^{14} + 1455628 p^{5} T^{15} + 123726 p^{6} T^{16} + 7143 p^{7} T^{17} + 510 p^{8} T^{18} + 17 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 71 | \( 1 - 32 T + 237 T^{2} + 1717 T^{3} - 23131 T^{4} + 151745 T^{5} - 2532537 T^{6} - 14204975 T^{7} + 523169335 T^{8} - 1179405704 T^{9} - 7851149400 T^{10} - 24729034116 T^{11} - 2379133294397 T^{12} + 17059190088878 T^{13} + 163757326156169 T^{14} - 639395705411851 T^{15} + 1348094858239224 T^{16} - 99390474080728929 T^{17} - 285159779268616930 T^{18} + 5031305860896655067 T^{19} + 18042235636016833279 T^{20} + 5031305860896655067 p T^{21} - 285159779268616930 p^{2} T^{22} - 99390474080728929 p^{3} T^{23} + 1348094858239224 p^{4} T^{24} - 639395705411851 p^{5} T^{25} + 163757326156169 p^{6} T^{26} + 17059190088878 p^{7} T^{27} - 2379133294397 p^{8} T^{28} - 24729034116 p^{9} T^{29} - 7851149400 p^{10} T^{30} - 1179405704 p^{11} T^{31} + 523169335 p^{12} T^{32} - 14204975 p^{13} T^{33} - 2532537 p^{14} T^{34} + 151745 p^{15} T^{35} - 23131 p^{16} T^{36} + 1717 p^{17} T^{37} + 237 p^{18} T^{38} - 32 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 + 7 T - 281 T^{2} - 2242 T^{3} + 31513 T^{4} + 310842 T^{5} - 1315554 T^{6} - 24337274 T^{7} - 55381176 T^{8} + 1141701309 T^{9} + 11870937692 T^{10} + 2380469374 T^{11} - 1072781202415 T^{12} - 9191532978023 T^{13} + 62258602266233 T^{14} + 1174756665827187 T^{15} + 495867086351766 T^{16} - 76272622657272325 T^{17} - 534974096288124090 T^{18} + 2094279038080895335 T^{19} + 56363243144854001283 T^{20} + 2094279038080895335 p T^{21} - 534974096288124090 p^{2} T^{22} - 76272622657272325 p^{3} T^{23} + 495867086351766 p^{4} T^{24} + 1174756665827187 p^{5} T^{25} + 62258602266233 p^{6} T^{26} - 9191532978023 p^{7} T^{27} - 1072781202415 p^{8} T^{28} + 2380469374 p^{9} T^{29} + 11870937692 p^{10} T^{30} + 1141701309 p^{11} T^{31} - 55381176 p^{12} T^{32} - 24337274 p^{13} T^{33} - 1315554 p^{14} T^{34} + 310842 p^{15} T^{35} + 31513 p^{16} T^{36} - 2242 p^{17} T^{37} - 281 p^{18} T^{38} + 7 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 2 T - 233 T^{2} - 331 T^{3} + 42832 T^{4} + 173 T^{5} - 5659385 T^{6} + 614846 T^{7} + 736182985 T^{8} - 609425509 T^{9} - 78004690203 T^{10} + 62150715530 T^{11} + 7833912731894 T^{12} - 8808045349059 T^{13} - 702814793649172 T^{14} + 660445741659920 T^{15} + 61381846791203749 T^{16} - 45392597006186847 T^{17} - 4998971081457841080 T^{18} + 1029670841869410003 T^{19} + \)\(40\!\cdots\!55\)\( T^{20} + 1029670841869410003 p T^{21} - 4998971081457841080 p^{2} T^{22} - 45392597006186847 p^{3} T^{23} + 61381846791203749 p^{4} T^{24} + 660445741659920 p^{5} T^{25} - 702814793649172 p^{6} T^{26} - 8808045349059 p^{7} T^{27} + 7833912731894 p^{8} T^{28} + 62150715530 p^{9} T^{29} - 78004690203 p^{10} T^{30} - 609425509 p^{11} T^{31} + 736182985 p^{12} T^{32} + 614846 p^{13} T^{33} - 5659385 p^{14} T^{34} + 173 p^{15} T^{35} + 42832 p^{16} T^{36} - 331 p^{17} T^{37} - 233 p^{18} T^{38} - 2 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 - 33 T + 295 T^{2} + 1433 T^{3} - 23736 T^{4} - 113875 T^{5} - 554872 T^{6} + 46293758 T^{7} - 90790520 T^{8} - 2612875423 T^{9} - 21149546346 T^{10} + 339727900996 T^{11} + 2656057968303 T^{12} - 32041985605112 T^{13} - 171207825709132 T^{14} + 794684978081956 T^{15} + 29922813579848092 T^{16} - 87860366739077063 T^{17} - 2466620645635038608 T^{18} + 5107844716832799591 T^{19} + \)\(16\!\cdots\!33\)\( T^{20} + 5107844716832799591 p T^{21} - 2466620645635038608 p^{2} T^{22} - 87860366739077063 p^{3} T^{23} + 29922813579848092 p^{4} T^{24} + 794684978081956 p^{5} T^{25} - 171207825709132 p^{6} T^{26} - 32041985605112 p^{7} T^{27} + 2656057968303 p^{8} T^{28} + 339727900996 p^{9} T^{29} - 21149546346 p^{10} T^{30} - 2612875423 p^{11} T^{31} - 90790520 p^{12} T^{32} + 46293758 p^{13} T^{33} - 554872 p^{14} T^{34} - 113875 p^{15} T^{35} - 23736 p^{16} T^{36} + 1433 p^{17} T^{37} + 295 p^{18} T^{38} - 33 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( ( 1 + 35 T + 1180 T^{2} + 25766 T^{3} + 524506 T^{4} + 8528449 T^{5} + 129598838 T^{6} + 1681438889 T^{7} + 20476933541 T^{8} + 218531577229 T^{9} + 2194426178027 T^{10} + 218531577229 p T^{11} + 20476933541 p^{2} T^{12} + 1681438889 p^{3} T^{13} + 129598838 p^{4} T^{14} + 8528449 p^{5} T^{15} + 524506 p^{6} T^{16} + 25766 p^{7} T^{17} + 1180 p^{8} T^{18} + 35 p^{9} T^{19} + p^{10} T^{20} )^{2} \) | |
| 97 | \( 1 + 6 T - 251 T^{2} - 1581 T^{3} + 30900 T^{4} + 58877 T^{5} - 2512347 T^{6} + 20659018 T^{7} + 160027428 T^{8} - 4370918710 T^{9} - 2754119078 T^{10} + 507939963248 T^{11} - 639117795533 T^{12} - 48534368142206 T^{13} + 113602902124610 T^{14} + 3467483339493237 T^{15} - 21846060576759321 T^{16} - 169269633797642920 T^{17} + 4535159181027788119 T^{18} + 3223990188621757637 T^{19} - \)\(55\!\cdots\!59\)\( T^{20} + 3223990188621757637 p T^{21} + 4535159181027788119 p^{2} T^{22} - 169269633797642920 p^{3} T^{23} - 21846060576759321 p^{4} T^{24} + 3467483339493237 p^{5} T^{25} + 113602902124610 p^{6} T^{26} - 48534368142206 p^{7} T^{27} - 639117795533 p^{8} T^{28} + 507939963248 p^{9} T^{29} - 2754119078 p^{10} T^{30} - 4370918710 p^{11} T^{31} + 160027428 p^{12} T^{32} + 20659018 p^{13} T^{33} - 2512347 p^{14} T^{34} + 58877 p^{15} T^{35} + 30900 p^{16} T^{36} - 1581 p^{17} T^{37} - 251 p^{18} T^{38} + 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.03867960695489883530329760184, −2.03562418170673881203010207265, −2.02262266181633615704282649288, −2.02062729268521132768786977100, −2.01559865329936899184406416353, −1.94210501754512597937369605442, −1.78143922496856167399831193866, −1.77813590375255815700762428560, −1.72944068160677614253607532638, −1.65753770709654854527850706427, −1.62189624300568611827753423902, −1.58807745268669723821468068591, −1.54224606525966786748854682550, −1.30294233150956124064088061972, −1.18916123608780991414711108193, −1.10058052019717813545271657097, −0.919613310151382096342330056853, −0.900627950356685231807044766753, −0.881960987933486226496913267336, −0.77620106010828316202575033167, −0.77382887419019868365433549211, −0.75434261565120686170397959562, −0.67310781752834086679810956940, −0.48160361210862797597710446604, −0.46562717392198353132813284487, 0.46562717392198353132813284487, 0.48160361210862797597710446604, 0.67310781752834086679810956940, 0.75434261565120686170397959562, 0.77382887419019868365433549211, 0.77620106010828316202575033167, 0.881960987933486226496913267336, 0.900627950356685231807044766753, 0.919613310151382096342330056853, 1.10058052019717813545271657097, 1.18916123608780991414711108193, 1.30294233150956124064088061972, 1.54224606525966786748854682550, 1.58807745268669723821468068591, 1.62189624300568611827753423902, 1.65753770709654854527850706427, 1.72944068160677614253607532638, 1.77813590375255815700762428560, 1.78143922496856167399831193866, 1.94210501754512597937369605442, 2.01559865329936899184406416353, 2.02062729268521132768786977100, 2.02262266181633615704282649288, 2.03562418170673881203010207265, 2.03867960695489883530329760184
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.