Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 22·2-s + 149·4-s − 158·5-s + 413·7-s + 265·8-s + 3.47e3·10-s − 1.48e3·11-s + 472·13-s − 9.08e3·14-s − 8.27e3·16-s − 1.56e3·17-s + 3.93e3·19-s − 2.35e4·20-s + 3.25e4·22-s − 7.24e3·23-s − 1.42e3·25-s − 1.03e4·26-s + 6.15e4·28-s − 1.00e4·29-s + 7.29e3·31-s + 2.81e4·32-s + 3.44e4·34-s − 6.52e4·35-s + 6.74e3·37-s − 8.66e4·38-s − 4.18e4·40-s − 3.40e4·41-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 3.88·2-s + 4.65·4-s − 2.82·5-s + 3.18·7-s + 1.46·8-s + 10.9·10-s − 3.68·11-s + 0.774·13-s − 12.3·14-s − 8.07·16-s − 1.31·17-s + 2.50·19-s − 13.1·20-s + 14.3·22-s − 2.85·23-s − 0.455·25-s − 3.01·26-s + 14.8·28-s − 2.20·29-s + 1.36·31-s + 4.85·32-s + 5.10·34-s − 9.00·35-s + 0.809·37-s − 9.73·38-s − 4.13·40-s − 3.16·41-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{24} \cdot 59^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{24} \cdot 59^{12}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{12} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(24\) |
| Conductor: | \(3^{24} \cdot 59^{12}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.45566\times 10^{23}\) |
| Root analytic conductor: | \(9.22842\) |
| Motivic weight: | \(5\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(12\) |
| Selberg data: | \((24,\ 3^{24} \cdot 59^{12} ,\ ( \ : [5/2]^{12} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(3)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( 1 \) |
| 59 | \( ( 1 - p^{2} T )^{12} \) | |
| good | 2 | \( 1 + 11 p T + 335 T^{2} + 3827 T^{3} + 18361 p T^{4} + 302763 T^{5} + 1119545 p T^{6} + 1866535 p^{3} T^{7} + 360167 p^{8} T^{8} + 16560215 p^{5} T^{9} + 45837097 p^{6} T^{10} + 249195157 p^{6} T^{11} + 695281385 p^{7} T^{12} + 249195157 p^{11} T^{13} + 45837097 p^{16} T^{14} + 16560215 p^{20} T^{15} + 360167 p^{28} T^{16} + 1866535 p^{28} T^{17} + 1119545 p^{31} T^{18} + 302763 p^{35} T^{19} + 18361 p^{41} T^{20} + 3827 p^{45} T^{21} + 335 p^{50} T^{22} + 11 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \) |
| 5 | \( 1 + 158 T + 26387 T^{2} + 2644468 T^{3} + 285390057 T^{4} + 23212794118 T^{5} + 2017755741412 T^{6} + 142120134090058 T^{7} + 10681370633286987 T^{8} + 674833175450943868 T^{9} + 45296359151851177121 T^{10} + \)\(51\!\cdots\!66\)\( p T^{11} + \)\(31\!\cdots\!82\)\( p T^{12} + \)\(51\!\cdots\!66\)\( p^{6} T^{13} + 45296359151851177121 p^{10} T^{14} + 674833175450943868 p^{15} T^{15} + 10681370633286987 p^{20} T^{16} + 142120134090058 p^{25} T^{17} + 2017755741412 p^{30} T^{18} + 23212794118 p^{35} T^{19} + 285390057 p^{40} T^{20} + 2644468 p^{45} T^{21} + 26387 p^{50} T^{22} + 158 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 7 | \( 1 - 59 p T + 171967 T^{2} - 45429749 T^{3} + 11919108924 T^{4} - 348560237397 p T^{5} + 495890101816822 T^{6} - 84664206892474270 T^{7} + 14489766671444160086 T^{8} - \)\(21\!\cdots\!39\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!51\)\( T^{10} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( T^{11} + \)\(59\!\cdots\!82\)\( T^{12} - \)\(43\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!51\)\( p^{10} T^{14} - \)\(21\!\cdots\!39\)\( p^{15} T^{15} + 14489766671444160086 p^{20} T^{16} - 84664206892474270 p^{25} T^{17} + 495890101816822 p^{30} T^{18} - 348560237397 p^{36} T^{19} + 11919108924 p^{40} T^{20} - 45429749 p^{45} T^{21} + 171967 p^{50} T^{22} - 59 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 11 | \( 1 + 1480 T + 2311400 T^{2} + 2192723716 T^{3} + 186372503340 p T^{4} + 1472366693345672 T^{5} + 1034463814547437464 T^{6} + \)\(60\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( T^{8} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( p T^{9} + \)\(84\!\cdots\!64\)\( T^{10} + \)\(36\!\cdots\!72\)\( T^{11} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( p T^{12} + \)\(36\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{13} + \)\(84\!\cdots\!64\)\( p^{10} T^{14} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{15} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( p^{20} T^{16} + \)\(60\!\cdots\!24\)\( p^{25} T^{17} + 1034463814547437464 p^{30} T^{18} + 1472366693345672 p^{35} T^{19} + 186372503340 p^{41} T^{20} + 2192723716 p^{45} T^{21} + 2311400 p^{50} T^{22} + 1480 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 13 | \( 1 - 472 T + 2447180 T^{2} - 943194886 T^{3} + 2961281835626 T^{4} - 986168325276204 T^{5} + 2402959025008166058 T^{6} - \)\(72\!\cdots\!80\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p T^{8} - \)\(41\!\cdots\!78\)\( T^{9} + \)\(72\!\cdots\!56\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{11} + \)\(29\!\cdots\!86\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( p^{5} T^{13} + \)\(72\!\cdots\!56\)\( p^{10} T^{14} - \)\(41\!\cdots\!78\)\( p^{15} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!38\)\( p^{21} T^{16} - \)\(72\!\cdots\!80\)\( p^{25} T^{17} + 2402959025008166058 p^{30} T^{18} - 986168325276204 p^{35} T^{19} + 2961281835626 p^{40} T^{20} - 943194886 p^{45} T^{21} + 2447180 p^{50} T^{22} - 472 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 17 | \( 1 + 1565 T + 484327 p T^{2} + 12007236125 T^{3} + 35781141488982 T^{4} + 48562679375872431 T^{5} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( T^{6} + \)\(79\!\cdots\!28\)\( p T^{7} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( T^{8} + \)\(28\!\cdots\!81\)\( T^{9} + \)\(44\!\cdots\!57\)\( T^{10} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( p T^{11} + \)\(67\!\cdots\!58\)\( T^{12} + \)\(28\!\cdots\!50\)\( p^{6} T^{13} + \)\(44\!\cdots\!57\)\( p^{10} T^{14} + \)\(28\!\cdots\!81\)\( p^{15} T^{15} + \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{20} T^{16} + \)\(79\!\cdots\!28\)\( p^{26} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!88\)\( p^{30} T^{18} + 48562679375872431 p^{35} T^{19} + 35781141488982 p^{40} T^{20} + 12007236125 p^{45} T^{21} + 484327 p^{51} T^{22} + 1565 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 19 | \( 1 - 3939 T + 25005660 T^{2} - 78456311430 T^{3} + 291221388172454 T^{4} - 757785475893074077 T^{5} + \)\(21\!\cdots\!75\)\( T^{6} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p T^{7} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( T^{8} - \)\(20\!\cdots\!77\)\( T^{9} + \)\(39\!\cdots\!29\)\( T^{10} - \)\(66\!\cdots\!91\)\( T^{11} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{12} - \)\(66\!\cdots\!91\)\( p^{5} T^{13} + \)\(39\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{14} - \)\(20\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{15} + \)\(10\!\cdots\!37\)\( p^{20} T^{16} - \)\(24\!\cdots\!00\)\( p^{26} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!75\)\( p^{30} T^{18} - 757785475893074077 p^{35} T^{19} + 291221388172454 p^{40} T^{20} - 78456311430 p^{45} T^{21} + 25005660 p^{50} T^{22} - 3939 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 23 | \( 1 + 315 p T + 83453354 T^{2} + 463516617130 T^{3} + 3063847406080028 T^{4} + 13759198119523508835 T^{5} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( T^{6} + \)\(25\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(42\!\cdots\!59\)\( p T^{8} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( T^{9} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{10} + \)\(27\!\cdots\!41\)\( T^{11} + \)\(75\!\cdots\!48\)\( T^{12} + \)\(27\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{13} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( p^{10} T^{14} + \)\(30\!\cdots\!99\)\( p^{15} T^{15} + \)\(42\!\cdots\!59\)\( p^{21} T^{16} + \)\(25\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{17} + \)\(66\!\cdots\!27\)\( p^{30} T^{18} + 13759198119523508835 p^{35} T^{19} + 3063847406080028 p^{40} T^{20} + 463516617130 p^{45} T^{21} + 83453354 p^{50} T^{22} + 315 p^{56} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 29 | \( 1 + 10003 T + 191676308 T^{2} + 1514491788392 T^{3} + 16179163170384868 T^{4} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{5} + \)\(80\!\cdots\!89\)\( T^{6} + \)\(43\!\cdots\!00\)\( T^{7} + \)\(27\!\cdots\!51\)\( T^{8} + \)\(12\!\cdots\!97\)\( T^{9} + \)\(71\!\cdots\!99\)\( T^{10} + \)\(29\!\cdots\!29\)\( T^{11} + \)\(15\!\cdots\!88\)\( T^{12} + \)\(29\!\cdots\!29\)\( p^{5} T^{13} + \)\(71\!\cdots\!99\)\( p^{10} T^{14} + \)\(12\!\cdots\!97\)\( p^{15} T^{15} + \)\(27\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{16} + \)\(43\!\cdots\!00\)\( p^{25} T^{17} + \)\(80\!\cdots\!89\)\( p^{30} T^{18} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( p^{35} T^{19} + 16179163170384868 p^{40} T^{20} + 1514491788392 p^{45} T^{21} + 191676308 p^{50} T^{22} + 10003 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 31 | \( 1 - 7295 T + 242698066 T^{2} - 1656290065814 T^{3} + 28784145770614918 T^{4} - \)\(17\!\cdots\!05\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{7} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{8} - \)\(58\!\cdots\!69\)\( T^{9} + \)\(48\!\cdots\!65\)\( T^{10} - \)\(21\!\cdots\!51\)\( T^{11} + \)\(50\!\cdots\!12\)\( p T^{12} - \)\(21\!\cdots\!51\)\( p^{5} T^{13} + \)\(48\!\cdots\!65\)\( p^{10} T^{14} - \)\(58\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{15} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{20} T^{16} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( p^{25} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{18} - \)\(17\!\cdots\!05\)\( p^{35} T^{19} + 28784145770614918 p^{40} T^{20} - 1656290065814 p^{45} T^{21} + 242698066 p^{50} T^{22} - 7295 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 37 | \( 1 - 6741 T + 648231291 T^{2} - 3856538597667 T^{3} + 197118580412296678 T^{4} - \)\(10\!\cdots\!31\)\( T^{5} + \)\(37\!\cdots\!34\)\( T^{6} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(50\!\cdots\!74\)\( T^{8} - \)\(20\!\cdots\!57\)\( T^{9} + \)\(50\!\cdots\!37\)\( T^{10} - \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{11} + \)\(39\!\cdots\!30\)\( T^{12} - \)\(18\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{13} + \)\(50\!\cdots\!37\)\( p^{10} T^{14} - \)\(20\!\cdots\!57\)\( p^{15} T^{15} + \)\(50\!\cdots\!74\)\( p^{20} T^{16} - \)\(17\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(37\!\cdots\!34\)\( p^{30} T^{18} - \)\(10\!\cdots\!31\)\( p^{35} T^{19} + 197118580412296678 p^{40} T^{20} - 3856538597667 p^{45} T^{21} + 648231291 p^{50} T^{22} - 6741 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 41 | \( 1 + 34025 T + 1170498963 T^{2} + 26544945044877 T^{3} + 588230567898254394 T^{4} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{5} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( T^{6} + \)\(28\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( T^{8} + \)\(54\!\cdots\!69\)\( T^{9} + \)\(69\!\cdots\!01\)\( T^{10} + \)\(81\!\cdots\!78\)\( T^{11} + \)\(91\!\cdots\!18\)\( T^{12} + \)\(81\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{13} + \)\(69\!\cdots\!01\)\( p^{10} T^{14} + \)\(54\!\cdots\!69\)\( p^{15} T^{15} + \)\(41\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{16} + \)\(28\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{17} + \)\(18\!\cdots\!60\)\( p^{30} T^{18} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{35} T^{19} + 588230567898254394 p^{40} T^{20} + 26544945044877 p^{45} T^{21} + 1170498963 p^{50} T^{22} + 34025 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 43 | \( 1 + 6336 T + 830752832 T^{2} + 5161562653352 T^{3} + 347050331477093328 T^{4} + \)\(22\!\cdots\!76\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( T^{6} + \)\(68\!\cdots\!32\)\( T^{7} + \)\(22\!\cdots\!96\)\( T^{8} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{9} + \)\(42\!\cdots\!36\)\( T^{10} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( T^{11} + \)\(68\!\cdots\!46\)\( T^{12} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( p^{5} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{14} + \)\(16\!\cdots\!44\)\( p^{15} T^{15} + \)\(22\!\cdots\!96\)\( p^{20} T^{16} + \)\(68\!\cdots\!32\)\( p^{25} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!76\)\( p^{30} T^{18} + \)\(22\!\cdots\!76\)\( p^{35} T^{19} + 347050331477093328 p^{40} T^{20} + 5161562653352 p^{45} T^{21} + 830752832 p^{50} T^{22} + 6336 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 47 | \( 1 + 66167 T + 3131402968 T^{2} + 108953702277726 T^{3} + 3331594538156491010 T^{4} + \)\(88\!\cdots\!61\)\( T^{5} + \)\(21\!\cdots\!47\)\( T^{6} + \)\(46\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(95\!\cdots\!69\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!53\)\( T^{9} + \)\(32\!\cdots\!49\)\( T^{10} + \)\(53\!\cdots\!79\)\( T^{11} + \)\(83\!\cdots\!20\)\( T^{12} + \)\(53\!\cdots\!79\)\( p^{5} T^{13} + \)\(32\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{14} + \)\(18\!\cdots\!53\)\( p^{15} T^{15} + \)\(95\!\cdots\!69\)\( p^{20} T^{16} + \)\(46\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(21\!\cdots\!47\)\( p^{30} T^{18} + \)\(88\!\cdots\!61\)\( p^{35} T^{19} + 3331594538156491010 p^{40} T^{20} + 108953702277726 p^{45} T^{21} + 3131402968 p^{50} T^{22} + 66167 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 53 | \( 1 + 62290 T + 4778008183 T^{2} + 200635499101304 T^{3} + 9028427603162895313 T^{4} + \)\(29\!\cdots\!74\)\( T^{5} + \)\(99\!\cdots\!12\)\( T^{6} + \)\(27\!\cdots\!46\)\( T^{7} + \)\(75\!\cdots\!55\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{9} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( T^{10} + \)\(92\!\cdots\!22\)\( T^{11} + \)\(20\!\cdots\!54\)\( T^{12} + \)\(92\!\cdots\!22\)\( p^{5} T^{13} + \)\(43\!\cdots\!05\)\( p^{10} T^{14} + \)\(18\!\cdots\!84\)\( p^{15} T^{15} + \)\(75\!\cdots\!55\)\( p^{20} T^{16} + \)\(27\!\cdots\!46\)\( p^{25} T^{17} + \)\(99\!\cdots\!12\)\( p^{30} T^{18} + \)\(29\!\cdots\!74\)\( p^{35} T^{19} + 9028427603162895313 p^{40} T^{20} + 200635499101304 p^{45} T^{21} + 4778008183 p^{50} T^{22} + 62290 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 61 | \( 1 - 68469 T + 10978850506 T^{2} - 607449849898880 T^{3} + 53634234787556451094 T^{4} - \)\(24\!\cdots\!89\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!93\)\( T^{6} - \)\(60\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( T^{8} - \)\(10\!\cdots\!11\)\( T^{9} + \)\(41\!\cdots\!45\)\( T^{10} - \)\(11\!\cdots\!67\)\( T^{11} + \)\(40\!\cdots\!08\)\( T^{12} - \)\(11\!\cdots\!67\)\( p^{5} T^{13} + \)\(41\!\cdots\!45\)\( p^{10} T^{14} - \)\(10\!\cdots\!11\)\( p^{15} T^{15} + \)\(30\!\cdots\!59\)\( p^{20} T^{16} - \)\(60\!\cdots\!24\)\( p^{25} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{18} - \)\(24\!\cdots\!89\)\( p^{35} T^{19} + 53634234787556451094 p^{40} T^{20} - 607449849898880 p^{45} T^{21} + 10978850506 p^{50} T^{22} - 68469 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 67 | \( 1 - 113310 T + 14000694859 T^{2} - 1079594991304622 T^{3} + 81341913680809688763 T^{4} - \)\(49\!\cdots\!48\)\( T^{5} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( T^{6} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{7} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( T^{8} - \)\(31\!\cdots\!58\)\( T^{9} + \)\(13\!\cdots\!57\)\( T^{10} - \)\(52\!\cdots\!74\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!18\)\( T^{12} - \)\(52\!\cdots\!74\)\( p^{5} T^{13} + \)\(13\!\cdots\!57\)\( p^{10} T^{14} - \)\(31\!\cdots\!58\)\( p^{15} T^{15} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( p^{20} T^{16} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{25} T^{17} + \)\(28\!\cdots\!44\)\( p^{30} T^{18} - \)\(49\!\cdots\!48\)\( p^{35} T^{19} + 81341913680809688763 p^{40} T^{20} - 1079594991304622 p^{45} T^{21} + 14000694859 p^{50} T^{22} - 113310 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 71 | \( 1 + 84520 T + 11515754452 T^{2} + 9588639909014 p T^{3} + 56269316770714688870 T^{4} + \)\(24\!\cdots\!36\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( T^{6} + \)\(44\!\cdots\!76\)\( T^{7} + \)\(23\!\cdots\!94\)\( T^{8} + \)\(18\!\cdots\!38\)\( T^{9} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( T^{10} - \)\(89\!\cdots\!96\)\( T^{11} + \)\(57\!\cdots\!94\)\( T^{12} - \)\(89\!\cdots\!96\)\( p^{5} T^{13} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{10} T^{14} + \)\(18\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{15} + \)\(23\!\cdots\!94\)\( p^{20} T^{16} + \)\(44\!\cdots\!76\)\( p^{25} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!54\)\( p^{30} T^{18} + \)\(24\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{19} + 56269316770714688870 p^{40} T^{20} + 9588639909014 p^{46} T^{21} + 11515754452 p^{50} T^{22} + 84520 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 73 | \( 1 - 135895 T + 24142218074 T^{2} - 2311960218166328 T^{3} + \)\(24\!\cdots\!16\)\( T^{4} - \)\(18\!\cdots\!35\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!87\)\( T^{6} - \)\(87\!\cdots\!64\)\( T^{7} + \)\(55\!\cdots\!85\)\( T^{8} - \)\(29\!\cdots\!13\)\( T^{9} + \)\(16\!\cdots\!35\)\( T^{10} - \)\(78\!\cdots\!25\)\( T^{11} + \)\(37\!\cdots\!52\)\( T^{12} - \)\(78\!\cdots\!25\)\( p^{5} T^{13} + \)\(16\!\cdots\!35\)\( p^{10} T^{14} - \)\(29\!\cdots\!13\)\( p^{15} T^{15} + \)\(55\!\cdots\!85\)\( p^{20} T^{16} - \)\(87\!\cdots\!64\)\( p^{25} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!87\)\( p^{30} T^{18} - \)\(18\!\cdots\!35\)\( p^{35} T^{19} + \)\(24\!\cdots\!16\)\( p^{40} T^{20} - 2311960218166328 p^{45} T^{21} + 24142218074 p^{50} T^{22} - 135895 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 79 | \( 1 - 14122 T + 18765864138 T^{2} - 237961705776148 T^{3} + \)\(18\!\cdots\!26\)\( T^{4} - \)\(21\!\cdots\!58\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( T^{6} - \)\(13\!\cdots\!18\)\( T^{7} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( T^{8} - \)\(59\!\cdots\!44\)\( T^{9} + \)\(28\!\cdots\!18\)\( T^{10} - \)\(22\!\cdots\!86\)\( T^{11} + \)\(97\!\cdots\!14\)\( T^{12} - \)\(22\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{13} + \)\(28\!\cdots\!18\)\( p^{10} T^{14} - \)\(59\!\cdots\!44\)\( p^{15} T^{15} + \)\(68\!\cdots\!62\)\( p^{20} T^{16} - \)\(13\!\cdots\!18\)\( p^{25} T^{17} + \)\(13\!\cdots\!36\)\( p^{30} T^{18} - \)\(21\!\cdots\!58\)\( p^{35} T^{19} + \)\(18\!\cdots\!26\)\( p^{40} T^{20} - 237961705776148 p^{45} T^{21} + 18765864138 p^{50} T^{22} - 14122 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 83 | \( 1 + 114463 T + 20561526157 T^{2} + 1563211555394141 T^{3} + \)\(19\!\cdots\!54\)\( T^{4} + \)\(13\!\cdots\!61\)\( T^{5} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( T^{6} + \)\(93\!\cdots\!74\)\( T^{7} + \)\(90\!\cdots\!34\)\( T^{8} + \)\(51\!\cdots\!21\)\( T^{9} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( T^{10} + \)\(23\!\cdots\!82\)\( T^{11} + \)\(19\!\cdots\!54\)\( T^{12} + \)\(23\!\cdots\!82\)\( p^{5} T^{13} + \)\(45\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{14} + \)\(51\!\cdots\!21\)\( p^{15} T^{15} + \)\(90\!\cdots\!34\)\( p^{20} T^{16} + \)\(93\!\cdots\!74\)\( p^{25} T^{17} + \)\(15\!\cdots\!86\)\( p^{30} T^{18} + \)\(13\!\cdots\!61\)\( p^{35} T^{19} + \)\(19\!\cdots\!54\)\( p^{40} T^{20} + 1563211555394141 p^{45} T^{21} + 20561526157 p^{50} T^{22} + 114463 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 89 | \( 1 + 189109 T + 45282838494 T^{2} + 6016230952816032 T^{3} + \)\(88\!\cdots\!36\)\( T^{4} + \)\(90\!\cdots\!29\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!91\)\( T^{6} + \)\(81\!\cdots\!04\)\( T^{7} + \)\(75\!\cdots\!29\)\( T^{8} + \)\(50\!\cdots\!99\)\( T^{9} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( T^{10} + \)\(26\!\cdots\!99\)\( T^{11} + \)\(22\!\cdots\!64\)\( T^{12} + \)\(26\!\cdots\!99\)\( p^{5} T^{13} + \)\(42\!\cdots\!39\)\( p^{10} T^{14} + \)\(50\!\cdots\!99\)\( p^{15} T^{15} + \)\(75\!\cdots\!29\)\( p^{20} T^{16} + \)\(81\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{17} + \)\(10\!\cdots\!91\)\( p^{30} T^{18} + \)\(90\!\cdots\!29\)\( p^{35} T^{19} + \)\(88\!\cdots\!36\)\( p^{40} T^{20} + 6016230952816032 p^{45} T^{21} + 45282838494 p^{50} T^{22} + 189109 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| 97 | \( 1 + 76192 T + 29374731329 T^{2} + 418540280747692 T^{3} + \)\(47\!\cdots\!51\)\( T^{4} - \)\(53\!\cdots\!32\)\( T^{5} + \)\(69\!\cdots\!32\)\( T^{6} - \)\(16\!\cdots\!24\)\( T^{7} + \)\(88\!\cdots\!89\)\( T^{8} - \)\(24\!\cdots\!80\)\( T^{9} + \)\(92\!\cdots\!15\)\( T^{10} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( T^{11} + \)\(84\!\cdots\!54\)\( T^{12} - \)\(29\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{13} + \)\(92\!\cdots\!15\)\( p^{10} T^{14} - \)\(24\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{15} + \)\(88\!\cdots\!89\)\( p^{20} T^{16} - \)\(16\!\cdots\!24\)\( p^{25} T^{17} + \)\(69\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{18} - \)\(53\!\cdots\!32\)\( p^{35} T^{19} + \)\(47\!\cdots\!51\)\( p^{40} T^{20} + 418540280747692 p^{45} T^{21} + 29374731329 p^{50} T^{22} + 76192 p^{55} T^{23} + p^{60} T^{24} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{24} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−3.30632919895954239271121348200, −3.25684217591944264282616930817, −3.12041350295811063257618052952, −3.00863531603509288219230081096, −2.79705537698350487369587978975, −2.76793727411987776065850132260, −2.59937407076012567934478829520, −2.49323669158266087095324403618, −2.35824938043626103782540135924, −2.21536575880564621911213458345, −2.17075353307151168347399238915, −2.13046101459553535397582961656, −2.02051680907872545893689861832, −1.99575532691164907346648059663, −1.84791273017257542300118397604, −1.44021355161016308718226661750, −1.43534412931320646421982510782, −1.35297104165360712046428582204, −1.27684468367200196016906824524, −1.24133575359309023054489946162, −1.20977155902983851072910522324, −1.11547355834119626621344761123, −1.04222603964101307501305782262, −0.899196041265635858930046107155, −0.72796773310621760945971895548, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.72796773310621760945971895548, 0.899196041265635858930046107155, 1.04222603964101307501305782262, 1.11547355834119626621344761123, 1.20977155902983851072910522324, 1.24133575359309023054489946162, 1.27684468367200196016906824524, 1.35297104165360712046428582204, 1.43534412931320646421982510782, 1.44021355161016308718226661750, 1.84791273017257542300118397604, 1.99575532691164907346648059663, 2.02051680907872545893689861832, 2.13046101459553535397582961656, 2.17075353307151168347399238915, 2.21536575880564621911213458345, 2.35824938043626103782540135924, 2.49323669158266087095324403618, 2.59937407076012567934478829520, 2.76793727411987776065850132260, 2.79705537698350487369587978975, 3.00863531603509288219230081096, 3.12041350295811063257618052952, 3.25684217591944264282616930817, 3.30632919895954239271121348200
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.