| L(s) = 1 | − 125·5-s + 88·7-s − 134·11-s − 88·13-s − 211·17-s + 857·19-s − 461·23-s + 9.37e3·25-s − 68·29-s + 1.40e3·31-s − 1.10e4·35-s + 5.34e3·37-s − 750·41-s + 1.44e4·43-s − 6.70e3·47-s − 2.86e4·49-s − 8.58e3·53-s + 1.67e4·55-s − 2.53e4·59-s + 3.88e4·61-s + 1.10e4·65-s + 2.31e4·67-s − 6.29e4·71-s + 5.43e4·73-s − 1.17e4·77-s + 2.42e4·79-s − 2.01e4·83-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 2.23·5-s + 0.678·7-s − 0.333·11-s − 0.144·13-s − 0.177·17-s + 0.544·19-s − 0.181·23-s + 3·25-s − 0.0150·29-s + 0.263·31-s − 1.51·35-s + 0.641·37-s − 0.0696·41-s + 1.19·43-s − 0.442·47-s − 1.70·49-s − 0.419·53-s + 0.746·55-s − 0.949·59-s + 1.33·61-s + 0.322·65-s + 0.629·67-s − 1.48·71-s + 1.19·73-s − 0.226·77-s + 0.436·79-s − 0.321·83-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 5^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 5^{5}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(=\) |
\(0\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | | \( 1 \) |
| 5 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{5} \) |
| good | 7 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 88 T + 36387 T^{2} - 2403480 T^{3} + 670554426 T^{4} - 48766180608 T^{5} + 670554426 p^{5} T^{6} - 2403480 p^{10} T^{7} + 36387 p^{15} T^{8} - 88 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 134 T + 41653 p T^{2} + 18850688 T^{3} + 105205152090 T^{4} - 94387842028 T^{5} + 105205152090 p^{5} T^{6} + 18850688 p^{10} T^{7} + 41653 p^{16} T^{8} + 134 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 88 T + 1041081 T^{2} - 67407096 T^{3} + 597435186690 T^{4} - 35992476019392 T^{5} + 597435186690 p^{5} T^{6} - 67407096 p^{10} T^{7} + 1041081 p^{15} T^{8} + 88 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 211 T + 4577855 T^{2} + 682126426 T^{3} + 10743094366509 T^{4} + 1581979336405981 T^{5} + 10743094366509 p^{5} T^{6} + 682126426 p^{10} T^{7} + 4577855 p^{15} T^{8} + 211 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 857 T + 9742593 T^{2} - 6563469294 T^{3} + 43339028764857 T^{4} - 22828420983965223 T^{5} + 43339028764857 p^{5} T^{6} - 6563469294 p^{10} T^{7} + 9742593 p^{15} T^{8} - 857 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 461 T + 19576781 T^{2} + 8120798486 T^{3} + 184476692402913 T^{4} + 73324115570633747 T^{5} + 184476692402913 p^{5} T^{6} + 8120798486 p^{10} T^{7} + 19576781 p^{15} T^{8} + 461 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 68 T + 25409681 T^{2} + 15390035336 T^{3} + 88965724180698 T^{4} + 636060024872116520 T^{5} + 88965724180698 p^{5} T^{6} + 15390035336 p^{10} T^{7} + 25409681 p^{15} T^{8} + 68 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 1409 T + 57130533 T^{2} - 105835865622 T^{3} + 2470590805772721 T^{4} - 2296635928674339303 T^{5} + 2470590805772721 p^{5} T^{6} - 105835865622 p^{10} T^{7} + 57130533 p^{15} T^{8} - 1409 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 5346 T + 225276881 T^{2} - 1529781031224 T^{3} + 24290634613741282 T^{4} - \)\(16\!\cdots\!64\)\( T^{5} + 24290634613741282 p^{5} T^{6} - 1529781031224 p^{10} T^{7} + 225276881 p^{15} T^{8} - 5346 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 750 T + 134847253 T^{2} - 396451092000 T^{3} + 10644037617873730 T^{4} - 17382930976670665500 T^{5} + 10644037617873730 p^{5} T^{6} - 396451092000 p^{10} T^{7} + 134847253 p^{15} T^{8} + 750 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 14486 T + 634152639 T^{2} - 7557005585376 T^{3} + 177578314293076530 T^{4} - \)\(15\!\cdots\!32\)\( T^{5} + 177578314293076530 p^{5} T^{6} - 7557005585376 p^{10} T^{7} + 634152639 p^{15} T^{8} - 14486 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 6704 T + 723503243 T^{2} + 4972415470208 T^{3} + 271862402433254058 T^{4} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{5} + 271862402433254058 p^{5} T^{6} + 4972415470208 p^{10} T^{7} + 723503243 p^{15} T^{8} + 6704 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 8583 T + 160093147 T^{2} + 1170771364650 T^{3} + 158127109707773701 T^{4} + \)\(43\!\cdots\!65\)\( T^{5} + 158127109707773701 p^{5} T^{6} + 1170771364650 p^{10} T^{7} + 160093147 p^{15} T^{8} + 8583 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 25384 T + 809542991 T^{2} + 16671476915608 T^{3} + 828767440036285026 T^{4} + \)\(14\!\cdots\!92\)\( T^{5} + 828767440036285026 p^{5} T^{6} + 16671476915608 p^{10} T^{7} + 809542991 p^{15} T^{8} + 25384 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 38885 T + 1964316459 T^{2} - 65486921988078 T^{3} + 2386308402140219493 T^{4} - \)\(58\!\cdots\!67\)\( T^{5} + 2386308402140219493 p^{5} T^{6} - 65486921988078 p^{10} T^{7} + 1964316459 p^{15} T^{8} - 38885 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 23146 T + 3115237191 T^{2} - 45454282576584 T^{3} + 6394208134089704562 T^{4} - \)\(91\!\cdots\!64\)\( T^{5} + 6394208134089704562 p^{5} T^{6} - 45454282576584 p^{10} T^{7} + 3115237191 p^{15} T^{8} - 23146 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 62910 T + 8752278451 T^{2} + 388996902392400 T^{3} + 30375567311095723834 T^{4} + \)\(99\!\cdots\!80\)\( T^{5} + 30375567311095723834 p^{5} T^{6} + 388996902392400 p^{10} T^{7} + 8752278451 p^{15} T^{8} + 62910 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 54342 T + 7322281853 T^{2} - 5209455898800 p T^{3} + 25077770187752058778 T^{4} - \)\(11\!\cdots\!16\)\( T^{5} + 25077770187752058778 p^{5} T^{6} - 5209455898800 p^{11} T^{7} + 7322281853 p^{15} T^{8} - 54342 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 24207 T + 10430778989 T^{2} - 296545213369410 T^{3} + 55509957315364073137 T^{4} - \)\(12\!\cdots\!89\)\( T^{5} + 55509957315364073137 p^{5} T^{6} - 296545213369410 p^{10} T^{7} + 10430778989 p^{15} T^{8} - 24207 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 + 20179 T + 15214123433 T^{2} + 353931190004314 T^{3} + \)\(10\!\cdots\!17\)\( T^{4} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( T^{5} + \)\(10\!\cdots\!17\)\( p^{5} T^{6} + 353931190004314 p^{10} T^{7} + 15214123433 p^{15} T^{8} + 20179 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 10230 T + 16194312229 T^{2} - 226251357908160 T^{3} + 1661558937184342898 p T^{4} - \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{5} + 1661558937184342898 p^{6} T^{6} - 226251357908160 p^{10} T^{7} + 16194312229 p^{15} T^{8} - 10230 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_5$ | \( 1 - 43184 T + 18375019173 T^{2} - 1291263134887104 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{4} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{5} + \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{5} T^{6} - 1291263134887104 p^{10} T^{7} + 18375019173 p^{15} T^{8} - 43184 p^{20} T^{9} + p^{25} T^{10} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−5.41983427533560879409552376404, −5.31237190615968215402257126357, −5.28831744748443834018448679113, −5.09233854030443785472979575905, −5.08503009400288176102917954007, −4.58715939081537309870706076652, −4.41950042891868225498653423990, −4.33372940523627116213260819336, −4.29821074484396991949575639402, −4.18510415786013003960801658751, −3.58058513963119259535371487256, −3.49259333561117158523380335541, −3.37930327388066812592208779748, −3.37095863083271136348863820647, −3.28534713956848283443933545482, −2.55632282222038871127069987394, −2.47793953749110019961414076510, −2.41917340425309776194921753308, −2.25599737113842134702936645607, −2.09886108370983035536079249114, −1.35099123093559899161954884822, −1.21860118739108356045029095283, −1.13902335736699373566934778579, −1.06192662101778802795079569996, −0.994781218809821057981833413359, 0, 0, 0, 0, 0,
0.994781218809821057981833413359, 1.06192662101778802795079569996, 1.13902335736699373566934778579, 1.21860118739108356045029095283, 1.35099123093559899161954884822, 2.09886108370983035536079249114, 2.25599737113842134702936645607, 2.41917340425309776194921753308, 2.47793953749110019961414076510, 2.55632282222038871127069987394, 3.28534713956848283443933545482, 3.37095863083271136348863820647, 3.37930327388066812592208779748, 3.49259333561117158523380335541, 3.58058513963119259535371487256, 4.18510415786013003960801658751, 4.29821074484396991949575639402, 4.33372940523627116213260819336, 4.41950042891868225498653423990, 4.58715939081537309870706076652, 5.08503009400288176102917954007, 5.09233854030443785472979575905, 5.28831744748443834018448679113, 5.31237190615968215402257126357, 5.41983427533560879409552376404
