↑

Properties

Label 8-690e4-1.1-c5e4-0-3
Degree $8$
Conductor $226671210000$
Sign $1$
Analytic cond. $1.49981\times 10^{8}$
Root an. cond. $10.5197$
Motivic weight $5$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $4$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 16·2-s + 36·3-s + 160·4-s + 100·5-s − 576·6-s + 25·7-s − 1.28e3·8-s + 810·9-s − 1.60e3·10-s − 730·11-s + 5.76e3·12-s − 828·13-s − 400·14-s + 3.60e3·15-s + 8.96e3·16-s − 179·17-s − 1.29e4·18-s + 1.56e3·19-s + 1.60e4·20-s + 900·21-s + 1.16e4·22-s − 2.11e3·23-s − 4.60e4·24-s + 6.25e3·25-s + 1.32e4·26-s + 1.45e4·27-s + 4.00e3·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 2.82·2-s + 2.30·3-s + 5·4-s + 1.78·5-s − 6.53·6-s + 0.192·7-s − 7.07·8-s + 10/3·9-s − 5.05·10-s − 1.81·11-s + 11.5·12-s − 1.35·13-s − 0.545·14-s + 4.13·15-s + 35/4·16-s − 0.150·17-s − 9.42·18-s + 0.996·19-s + 8.94·20-s + 0.445·21-s + 5.14·22-s − 0.834·23-s − 16.3·24-s + 2·25-s + 3.84·26-s + 3.84·27-s + 0.964·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 23^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 23^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(8\)
Conductor: \(2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 23^{4}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(1.49981\times 10^{8}\)
Root analytic conductor: \(10.5197\)
Motivic weight: \(5\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(4\)
Selberg data: \((8,\ 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 23^{4} ,\ ( \ : 5/2, 5/2, 5/2, 5/2 ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(3)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac12)\) \(=\) \(0\)
\(L(\frac{7}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$\Gal(F_p)$$F_p(T)$
bad2$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \)
3$C_1$ \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \)
5$C_1$ \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \)
23$C_1$ \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \)
good7$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 25 T + 60267 T^{2} - 1145936 T^{3} + 1464220396 T^{4} - 1145936 p^{5} T^{5} + 60267 p^{10} T^{6} - 25 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
11$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 730 T + 381718 T^{2} + 137329754 T^{3} + 62440830194 T^{4} + 137329754 p^{5} T^{5} + 381718 p^{10} T^{6} + 730 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
13$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 828 T + 900546 T^{2} + 568299192 T^{3} + 469995408850 T^{4} + 568299192 p^{5} T^{5} + 900546 p^{10} T^{6} + 828 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
17$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 179 T + 1091759 T^{2} - 2010773148 T^{3} + 763141817238 T^{4} - 2010773148 p^{5} T^{5} + 1091759 p^{10} T^{6} + 179 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
19$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 1568 T + 6754410 T^{2} - 5266844596 T^{3} + 18513354008650 T^{4} - 5266844596 p^{5} T^{5} + 6754410 p^{10} T^{6} - 1568 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
29$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 1917 T + 30311851 T^{2} + 72825584112 T^{3} + 1065527235734570 T^{4} + 72825584112 p^{5} T^{5} + 30311851 p^{10} T^{6} + 1917 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
31$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 6331 T + 77914755 T^{2} + 524304338144 T^{3} + 2963569254861724 T^{4} + 524304338144 p^{5} T^{5} + 77914755 p^{10} T^{6} + 6331 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
37$C_2 \wr S_4$ \( 1 - 10127 T + 264457863 T^{2} - 1727895825454 T^{3} + 26140521098836684 T^{4} - 1727895825454 p^{5} T^{5} + 264457863 p^{10} T^{6} - 10127 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
41$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 14527 T + 409740623 T^{2} + 3814539781452 T^{3} + 65083896072792222 T^{4} + 3814539781452 p^{5} T^{5} + 409740623 p^{10} T^{6} + 14527 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
43$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 18052 T + 653949888 T^{2} + 7772988252788 T^{3} + 148151402099598286 T^{4} + 7772988252788 p^{5} T^{5} + 653949888 p^{10} T^{6} + 18052 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
47$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 13208 T + 561587034 T^{2} + 6546837501972 T^{3} + 190537996976686618 T^{4} + 6546837501972 p^{5} T^{5} + 561587034 p^{10} T^{6} + 13208 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
53$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 39327 T + 1682761747 T^{2} + 39981592497216 T^{3} + 1024205569056075410 T^{4} + 39981592497216 p^{5} T^{5} + 1682761747 p^{10} T^{6} + 39327 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
59$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 43301 T + 3083047151 T^{2} + 90696789045714 T^{3} + 3382281195151848978 T^{4} + 90696789045714 p^{5} T^{5} + 3083047151 p^{10} T^{6} + 43301 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
61$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 25154 T + 2219770386 T^{2} + 68708169281590 T^{3} + 2339345170326888730 T^{4} + 68708169281590 p^{5} T^{5} + 2219770386 p^{10} T^{6} + 25154 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
67$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 15827 T + 5317698475 T^{2} + 63090916691440 T^{3} + 10711818606795933464 T^{4} + 63090916691440 p^{5} T^{5} + 5317698475 p^{10} T^{6} + 15827 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
71$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 20999 T + 4539078715 T^{2} + 108140588703010 T^{3} + 10094502242256316478 T^{4} + 108140588703010 p^{5} T^{5} + 4539078715 p^{10} T^{6} + 20999 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
73$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 35844 T + 7842307714 T^{2} + 204995227952080 T^{3} + 23877779469840248082 T^{4} + 204995227952080 p^{5} T^{5} + 7842307714 p^{10} T^{6} + 35844 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
79$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 100414 T + 12577763412 T^{2} + 919242625564166 T^{3} + 58451290568650864534 T^{4} + 919242625564166 p^{5} T^{5} + 12577763412 p^{10} T^{6} + 100414 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
83$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 140015 T + 20286522769 T^{2} + 1656702802719790 T^{3} + \)\(12\!\cdots\!36\)\( T^{4} + 1656702802719790 p^{5} T^{5} + 20286522769 p^{10} T^{6} + 140015 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
89$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 26030 T + 12449574420 T^{2} - 81150405178038 T^{3} + 72443492119586432902 T^{4} - 81150405178038 p^{5} T^{5} + 12449574420 p^{10} T^{6} + 26030 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
97$C_2 \wr S_4$ \( 1 + 16946 T + 13351045860 T^{2} - 492105763522922 T^{3} + 72636456406198417222 T^{4} - 492105763522922 p^{5} T^{5} + 13351045860 p^{10} T^{6} + 16946 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.49085838765490056091039970566, −6.96783909251628178543598730449, −6.93073192858628843393476998486, −6.82678344911694199180105126266, −6.63037642577212462943638086254, −6.03206552433750519087067587958, −5.84962816950373398639408878806, −5.74836961740744360616699269236, −5.59359659918639582598607417711, −4.91606061052497850465461174206, −4.74801873219648590104708453575, −4.61235016674530431087271239554, −4.60342710441410558544328642092, −3.47698281908614562933031280025, −3.37327586648127084805048081859, −3.35234381435497940898986478120, −3.09880240640239497211851558379, −2.60837808736685931171715558003, −2.42297485044167100808885959155, −2.27891355881615364592771016247, −2.20868393797899728427331857252, −1.49593746376631634510815551028, −1.46629108440364991766780696395, −1.35053760736250087710584264196, −1.30810627583586978828900869718, 0, 0, 0, 0, 1.30810627583586978828900869718, 1.35053760736250087710584264196, 1.46629108440364991766780696395, 1.49593746376631634510815551028, 2.20868393797899728427331857252, 2.27891355881615364592771016247, 2.42297485044167100808885959155, 2.60837808736685931171715558003, 3.09880240640239497211851558379, 3.35234381435497940898986478120, 3.37327586648127084805048081859, 3.47698281908614562933031280025, 4.60342710441410558544328642092, 4.61235016674530431087271239554, 4.74801873219648590104708453575, 4.91606061052497850465461174206, 5.59359659918639582598607417711, 5.74836961740744360616699269236, 5.84962816950373398639408878806, 6.03206552433750519087067587958, 6.63037642577212462943638086254, 6.82678344911694199180105126266, 6.93073192858628843393476998486, 6.96783909251628178543598730449, 7.49085838765490056091039970566

Graph of the $Z$-function along the critical line