| L(s) = 1 | + 10·3-s − 88·5-s + 166·7-s − 34·9-s + 594·11-s + 1.17e3·13-s − 880·15-s − 1.15e3·17-s + 4.06e3·19-s + 1.66e3·21-s + 7.21e3·23-s + 824·25-s + 866·27-s + 1.83e3·29-s − 5.27e3·31-s + 5.94e3·33-s − 1.46e4·35-s + 1.10e4·37-s + 1.17e4·39-s − 2.51e4·41-s − 964·43-s + 2.99e3·45-s − 5.23e4·47-s − 1.75e4·49-s − 1.15e4·51-s − 1.65e4·53-s − 5.22e4·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 0.641·3-s − 1.57·5-s + 1.28·7-s − 0.139·9-s + 1.48·11-s + 1.92·13-s − 1.00·15-s − 0.970·17-s + 2.58·19-s + 0.821·21-s + 2.84·23-s + 0.263·25-s + 0.228·27-s + 0.404·29-s − 0.985·31-s + 0.949·33-s − 2.01·35-s + 1.32·37-s + 1.23·39-s − 2.33·41-s − 0.0795·43-s + 0.220·45-s − 3.45·47-s − 1.04·49-s − 0.622·51-s − 0.811·53-s − 2.33·55-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 21381376 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 21381376 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(6.284078178\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(6.284078178\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 17 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{4} \) |
| good | 3 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 10 T + 134 T^{2} - 2546 T^{3} + 1822 p T^{4} - 2546 p^{5} T^{5} + 134 p^{10} T^{6} - 10 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 5 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 88 T + 1384 p T^{2} + 419592 T^{3} + 19815774 T^{4} + 419592 p^{5} T^{5} + 1384 p^{11} T^{6} + 88 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 166 T + 45130 T^{2} - 4628894 T^{3} + 834945098 T^{4} - 4628894 p^{5} T^{5} + 45130 p^{10} T^{6} - 166 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 54 p T + 357902 T^{2} - 188519274 T^{3} + 86524767210 T^{4} - 188519274 p^{5} T^{5} + 357902 p^{10} T^{6} - 54 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 1176 T + 807712 T^{2} - 85702040 T^{3} - 26722590834 T^{4} - 85702040 p^{5} T^{5} + 807712 p^{10} T^{6} - 1176 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 4060 T + 15339124 T^{2} - 32805349052 T^{3} + 64092805608230 T^{4} - 32805349052 p^{5} T^{5} + 15339124 p^{10} T^{6} - 4060 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 7218 T + 41142434 T^{2} - 145228342554 T^{3} + 439646292375546 T^{4} - 145228342554 p^{5} T^{5} + 41142434 p^{10} T^{6} - 7218 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 1832 T + 35801960 T^{2} - 37290676920 T^{3} + 1009172545810110 T^{4} - 37290676920 p^{5} T^{5} + 35801960 p^{10} T^{6} - 1832 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 5274 T + 72021586 T^{2} + 528810131314 T^{3} + 2443495374413946 T^{4} + 528810131314 p^{5} T^{5} + 72021586 p^{10} T^{6} + 5274 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 11072 T + 242429560 T^{2} - 1783806845696 T^{3} + 620074817185702 p T^{4} - 1783806845696 p^{5} T^{5} + 242429560 p^{10} T^{6} - 11072 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 25168 T + 555750332 T^{2} + 7845843429168 T^{3} + 98052612829249830 T^{4} + 7845843429168 p^{5} T^{5} + 555750332 p^{10} T^{6} + 25168 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 964 T + 352428196 T^{2} + 2250599885764 T^{3} + 56421626890837606 T^{4} + 2250599885764 p^{5} T^{5} + 352428196 p^{10} T^{6} + 964 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 52352 T + 1810182668 T^{2} + 41557654262400 T^{3} + 733990725803170854 T^{4} + 41557654262400 p^{5} T^{5} + 1810182668 p^{10} T^{6} + 52352 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 16592 T + 1248303548 T^{2} + 16141055751600 T^{3} + 718320441618631542 T^{4} + 16141055751600 p^{5} T^{5} + 1248303548 p^{10} T^{6} + 16592 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 28956 T + 1568863652 T^{2} + 12375943598556 T^{3} + 840390376226265894 T^{4} + 12375943598556 p^{5} T^{5} + 1568863652 p^{10} T^{6} + 28956 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 33224 T + 2600971048 T^{2} - 71441130726584 T^{3} + 2964772417451765374 T^{4} - 71441130726584 p^{5} T^{5} + 2600971048 p^{10} T^{6} - 33224 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 10008 T + 2812414684 T^{2} - 2882341236776 T^{3} + 4246577489809823574 T^{4} - 2882341236776 p^{5} T^{5} + 2812414684 p^{10} T^{6} + 10008 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 49650 T + 5898499466 T^{2} - 164297380623354 T^{3} + 13358472173423829546 T^{4} - 164297380623354 p^{5} T^{5} + 5898499466 p^{10} T^{6} - 49650 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 83576 T + 7288898140 T^{2} - 410691674963720 T^{3} + 22901084019829076710 T^{4} - 410691674963720 p^{5} T^{5} + 7288898140 p^{10} T^{6} - 83576 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 95722 T + 12725957650 T^{2} - 855766372201346 T^{3} + 59432005964154088922 T^{4} - 855766372201346 p^{5} T^{5} + 12725957650 p^{10} T^{6} - 95722 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 32292 T + 3442585220 T^{2} + 208851418425348 T^{3} + 32394335758961706246 T^{4} + 208851418425348 p^{5} T^{5} + 3442585220 p^{10} T^{6} + 32292 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 15808 T + 12850187792 T^{2} - 155559792375120 T^{3} + 96760091794744851486 T^{4} - 155559792375120 p^{5} T^{5} + 12850187792 p^{10} T^{6} - 15808 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 390144 T + 85105738060 T^{2} - 12399801254687936 T^{3} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( T^{4} - 12399801254687936 p^{5} T^{5} + 85105738060 p^{10} T^{6} - 390144 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−9.832475499213612231499210410665, −9.431345161716663526391123693013, −9.200479320707138584515732183245, −9.019160060459357635436823980946, −8.709625677484349257297156851555, −8.225656353132825209269708030747, −8.083718823173798828079717103032, −7.927778142289123096047955616507, −7.54651675747262978971951603258, −7.12419007858485931559609283560, −6.65642070778136893404319743003, −6.43196401138061302583603281629, −6.34162910928160237251983584250, −5.30794138835482810317363104191, −5.15627335346740143338542308493, −4.78430292367576283093725815916, −4.55825948090368447773881738636, −3.69669353457452965289333442177, −3.62080280161447646120425900521, −3.22412238648762007599784433542, −3.07468451838490571805274430762, −1.78704165689002666760465674903, −1.61991322911244519223945417208, −0.969426716122768700793627321316, −0.60751442473624338876882234352,
0.60751442473624338876882234352, 0.969426716122768700793627321316, 1.61991322911244519223945417208, 1.78704165689002666760465674903, 3.07468451838490571805274430762, 3.22412238648762007599784433542, 3.62080280161447646120425900521, 3.69669353457452965289333442177, 4.55825948090368447773881738636, 4.78430292367576283093725815916, 5.15627335346740143338542308493, 5.30794138835482810317363104191, 6.34162910928160237251983584250, 6.43196401138061302583603281629, 6.65642070778136893404319743003, 7.12419007858485931559609283560, 7.54651675747262978971951603258, 7.927778142289123096047955616507, 8.083718823173798828079717103032, 8.225656353132825209269708030747, 8.709625677484349257297156851555, 9.019160060459357635436823980946, 9.200479320707138584515732183245, 9.431345161716663526391123693013, 9.832475499213612231499210410665
