| L(s) = 1 | + 36·3-s + 6·7-s + 810·9-s + 342·11-s − 222·13-s + 618·17-s + 1.52e3·19-s + 216·21-s + 752·23-s + 1.45e4·27-s + 4.00e3·29-s + 3.01e3·31-s + 1.23e4·33-s + 1.41e4·37-s − 7.99e3·39-s − 1.89e4·41-s + 1.14e4·43-s + 7.57e3·47-s − 2.50e4·49-s + 2.22e4·51-s + 4.73e4·53-s + 5.47e4·57-s + 4.30e4·59-s − 1.94e4·61-s + 4.86e3·63-s + 2.56e4·67-s + 2.70e4·69-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.30·3-s + 0.0462·7-s + 10/3·9-s + 0.852·11-s − 0.364·13-s + 0.518·17-s + 0.965·19-s + 0.106·21-s + 0.296·23-s + 3.84·27-s + 0.883·29-s + 0.562·31-s + 1.96·33-s + 1.69·37-s − 0.841·39-s − 1.75·41-s + 0.942·43-s + 0.499·47-s − 1.48·49-s + 1.19·51-s + 2.31·53-s + 2.23·57-s + 1.60·59-s − 0.670·61-s + 0.154·63-s + 0.697·67-s + 0.684·69-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 5^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(6-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 5^{8}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{4} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(51.65784911\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(51.65784911\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | | \( 1 \) |
| 3 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{4} \) |
| 5 | | \( 1 \) |
| good | 7 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 6 T + 25040 T^{2} + 3775866 T^{3} + 195748062 T^{4} + 3775866 p^{5} T^{5} + 25040 p^{10} T^{6} - 6 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 11 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 342 T + 443712 T^{2} - 76803486 T^{3} + 83091304430 T^{4} - 76803486 p^{5} T^{5} + 443712 p^{10} T^{6} - 342 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 13 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 222 T - 14800 T^{2} + 121093818 T^{3} + 244917954510 T^{4} + 121093818 p^{5} T^{5} - 14800 p^{10} T^{6} + 222 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 17 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 618 T + 1971128 T^{2} - 3100314870 T^{3} + 2921743668558 T^{4} - 3100314870 p^{5} T^{5} + 1971128 p^{10} T^{6} - 618 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 19 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 80 p T + 8017612 T^{2} - 7503400304 T^{3} + 25990277114806 T^{4} - 7503400304 p^{5} T^{5} + 8017612 p^{10} T^{6} - 80 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 23 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 752 T + 19014140 T^{2} - 10846331312 T^{3} + 171500693938342 T^{4} - 10846331312 p^{5} T^{5} + 19014140 p^{10} T^{6} - 752 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 29 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 138 p T + 41245860 T^{2} - 2052028782 T^{3} + 531865053741014 T^{4} - 2052028782 p^{5} T^{5} + 41245860 p^{10} T^{6} - 138 p^{16} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 31 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 3012 T + 64375804 T^{2} - 104976522036 T^{3} + 1995658050211206 T^{4} - 104976522036 p^{5} T^{5} + 64375804 p^{10} T^{6} - 3012 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 37 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 14142 T + 267797888 T^{2} - 62861008386 p T^{3} + 26391063221321934 T^{4} - 62861008386 p^{6} T^{5} + 267797888 p^{10} T^{6} - 14142 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 41 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 18900 T + 417574740 T^{2} + 5341513264524 T^{3} + 73890473527486070 T^{4} + 5341513264524 p^{5} T^{5} + 417574740 p^{10} T^{6} + 18900 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 43 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 11424 T + 455618572 T^{2} - 4156002260640 T^{3} + 95491049697724758 T^{4} - 4156002260640 p^{5} T^{5} + 455618572 p^{10} T^{6} - 11424 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 47 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 7572 T + 502849628 T^{2} - 4484398068612 T^{3} + 131893405336802694 T^{4} - 4484398068612 p^{5} T^{5} + 502849628 p^{10} T^{6} - 7572 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 53 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 47374 T + 1314136952 T^{2} - 16220958811546 T^{3} + 245138667241476574 T^{4} - 16220958811546 p^{5} T^{5} + 1314136952 p^{10} T^{6} - 47374 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 59 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 43014 T + 3138923408 T^{2} - 85511244344238 T^{3} + 3396429745251891150 T^{4} - 85511244344238 p^{5} T^{5} + 3138923408 p^{10} T^{6} - 43014 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 61 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 19480 T + 1818982540 T^{2} + 11177939991304 T^{3} + 1488458395242824950 T^{4} + 11177939991304 p^{5} T^{5} + 1818982540 p^{10} T^{6} + 19480 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 67 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 25620 T + 673027244 T^{2} - 42891163773684 T^{3} + 4070094696704157750 T^{4} - 42891163773684 p^{5} T^{5} + 673027244 p^{10} T^{6} - 25620 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 71 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 81036 T + 8128543116 T^{2} - 379257248199228 T^{3} + 21602305876831289798 T^{4} - 379257248199228 p^{5} T^{5} + 8128543116 p^{10} T^{6} - 81036 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 73 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 111324 T + 12163443188 T^{2} - 740080077987060 T^{3} + 42024955472997288966 T^{4} - 740080077987060 p^{5} T^{5} + 12163443188 p^{10} T^{6} - 111324 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 79 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 84988 T + 5906431900 T^{2} - 410334793182028 T^{3} + 30047763404998661254 T^{4} - 410334793182028 p^{5} T^{5} + 5906431900 p^{10} T^{6} - 84988 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 83 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 83200 T + 14077629356 T^{2} - 760267609238272 T^{3} + 76175012082465117430 T^{4} - 760267609238272 p^{5} T^{5} + 14077629356 p^{10} T^{6} - 83200 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 89 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 - 226488 T + 18828868604 T^{2} - 357850805109192 T^{3} - 29854343234341882650 T^{4} - 357850805109192 p^{5} T^{5} + 18828868604 p^{10} T^{6} - 226488 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| 97 | $C_2 \wr S_4$ | \( 1 + 32016 T + 29625153668 T^{2} + 864756739509552 T^{3} + \)\(36\!\cdots\!18\)\( T^{4} + 864756739509552 p^{5} T^{5} + 29625153668 p^{10} T^{6} + 32016 p^{15} T^{7} + p^{20} T^{8} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−6.96232034549902349202526921020, −6.65065146804184656567470505593, −6.41225536749406835544991906539, −6.37602373675948533435396302505, −6.18928634623361762108063031380, −5.28242677823428519449261989041, −5.27126503563591125104331401235, −5.26676037250319762019015103009, −5.12661523260812384526400463794, −4.28860607714832096763605206467, −4.21257465110687266459207588282, −4.08663794907846943309604469868, −4.07215457058249910184320644152, −3.28520729543879197938020587520, −3.14116169106433162456205478477, −3.13037671584736809333386935361, −3.05983495041313144403633372185, −2.31071792986135078060405425263, −2.00477707660201796253663386319, −1.99529393560830880330465341230, −1.94116082016035737484950357840, −0.909067979445659965974779871314, −0.902970098230778282001338421421, −0.893838322743685931622557360080, −0.52523113703514755119986462038,
0.52523113703514755119986462038, 0.893838322743685931622557360080, 0.902970098230778282001338421421, 0.909067979445659965974779871314, 1.94116082016035737484950357840, 1.99529393560830880330465341230, 2.00477707660201796253663386319, 2.31071792986135078060405425263, 3.05983495041313144403633372185, 3.13037671584736809333386935361, 3.14116169106433162456205478477, 3.28520729543879197938020587520, 4.07215457058249910184320644152, 4.08663794907846943309604469868, 4.21257465110687266459207588282, 4.28860607714832096763605206467, 5.12661523260812384526400463794, 5.26676037250319762019015103009, 5.27126503563591125104331401235, 5.28242677823428519449261989041, 6.18928634623361762108063031380, 6.37602373675948533435396302505, 6.41225536749406835544991906539, 6.65065146804184656567470505593, 6.96232034549902349202526921020
